七年級數(shù)學(xué)上冊4.3線段的長短比較例題與講解(新版)滬科版

1、14.3 線段的長短比較基礎(chǔ)知識塘本技髓1 線段的長短比較比較線段長短的方法有兩種：(1)疊合法：先把兩條線段的一端重合，另一端點(diǎn)落在同一側(cè)，從而確定兩條線段的長短，這是從“形”的方面進(jìn)行比較.當(dāng)兩條線段能夠放在一起而又不要求知道相差的具體數(shù)值時(shí)，可用此法.將線段AB放到線段CD上，使點(diǎn)A和點(diǎn)C重合，點(diǎn)B和點(diǎn)D在重合點(diǎn)的同 側(cè).如果點(diǎn) B 和點(diǎn) D 重合，如圖，就說線段 AB 與線段 CD 相等，記作 AB=CD.ABCD如果點(diǎn) B 在線段 CD 上，如圖，就說線段AB 小于線段 CD,記作 AB CD.A1B1 JICD(2)度量法：先分別量出每條線段的長度，再根據(jù)度量的結(jié)果確定兩條線段的大

2、小，這是從“數(shù)”的方面進(jìn)行比較.當(dāng)兩條線段的長短差別不太明顯，而又不便放在一起比較，或需要求出相差的具體數(shù)值時(shí)，可用此法.對于線段 AB 和 CD 我們可以用刻度尺分別量出線段AB 和 CD 的長度，數(shù)值大的線段較長，數(shù)值小的線段較短，數(shù)值相等時(shí)兩線段一樣長.-cAB1D【例 1】 如圖，已知AB CD則AC與BD的大小關(guān)系為().ABDB. AO BDC. ACkBDD. AC和BD的大小不能確定解析：運(yùn)用疊合法或度量法直接比較，可以發(fā)現(xiàn)AC與BD的大小關(guān)系為AO BD答案：A2.線段的中點(diǎn) 如圖， 點(diǎn)C在線段AB上且使線段AC CB相等， 這樣的點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn).LACB中點(diǎn)定義的推

3、理步驟：(1) AO CB 已知),點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(中點(diǎn)的定義).(2)T點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)(已知)，1 1AC= BC或AC=AB或BC=qAB或AB=2AC或AB=2BQ中點(diǎn)的定義).談重點(diǎn)對線段中點(diǎn)的理解線段的中點(diǎn)在線段上，有且只有1 個(gè)，它把線段分成兩條相等的線段.注意，若AOBC則點(diǎn)C不一定是線段AB的中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)C不一定在線段AB上.【例 2】 如圖，已知點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，BD=3 cm,求線 段AB的長度.2AC D B解：點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，BD-3 cm ,BC=2BD2x3=6 cm./C點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，AB=2BC=2x6=12 c

4、m.AB的長度為 12 cm.說方法線段的中點(diǎn)的應(yīng)用由線段的中點(diǎn)這一條件得到的結(jié)論，解題過程中不一定全部寫出，要根據(jù)所求問題靈活選擇，一般用哪個(gè)寫哪個(gè)即可.3線段的性質(zhì)(1) 兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短.連接兩點(diǎn)是指畫出這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段.(2) 兩點(diǎn)之間線段的長度，叫做這兩點(diǎn)之間的距離.它是一個(gè)數(shù)量.而線段本身是圖形，因此不能把A,B兩點(diǎn)間的距離說成是線段AB釋疑點(diǎn) 線段與線段的長度的區(qū)別“線段”是一個(gè)幾何圖形，而“線段的長度”是一個(gè)數(shù)量，二者是有區(qū)別的，但是為了書寫的方便，我們常常用線段的名稱表示線段的長度，如AB=2 cm.【例 3】進(jìn)入新世紀(jì)，信息技術(shù)在社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域都起著至關(guān)重要

5、的作用.2012 年某中學(xué)開始安裝校園網(wǎng)，實(shí)現(xiàn)辦公樓、教學(xué)樓、圖書館、食堂、實(shí)驗(yàn)樓的聯(lián)網(wǎng)，布線工程十分重 要.已知這五座建筑物的位置及它們之間的距離，如圖(1)所示(圖書館、辦公樓、 實(shí)驗(yàn)樓在同一條直線上，教學(xué)樓、辦公樓、食堂在同一條直線上).假如你是布線工程的設(shè)計(jì)者，你應(yīng)如何設(shè)計(jì)線路，才能使線路最短？最短線路的長是多少米？教學(xué)樓圖圖分析：聯(lián)想兩 點(diǎn)之間線段最短去設(shè)計(jì).解：布線設(shè)計(jì)圖如圖(2).最短線路的 長為 120 + 120+ 180 + 240= 660(m).4.線段的和、差、倍、分的計(jì)算比較線段的大小，形成了線段的和、差關(guān)系，學(xué)習(xí)線段的中點(diǎn)及延長線形成了線段的倍、分關(guān)系.在解答有關(guān)

6、線段的和、差、倍、分問題時(shí)，要從線段中點(diǎn)的定義出發(fā)，結(jié)合圖形， 利用線段的和差計(jì)算，尋求線段之間的大小關(guān)系，靈活運(yùn)用線段中點(diǎn)的性質(zhì).說方法 計(jì)算線段的和、差、倍、分時(shí)應(yīng)注意的問題一般要注意以下幾個(gè)方面：按照題中已知條件畫出符合題意的圖形是正確解題的先決 條件；觀察圖形，找出線段間的關(guān)系；線段的和、差、倍、分與線段長度的和、差、 倍、分是一致的.其運(yùn)算方法和順序結(jié)合與有理數(shù)運(yùn)算類似.【例 4】 已知線段AC和BC在一條直線上，如果AC= 5 cm ,BC=3 cm，求線段AC和 線段BC的中點(diǎn)間的距離.解：設(shè)AC BC的中點(diǎn)分別為M N,1 1由線段中點(diǎn)定義得AM=M(= ?AC BN= CN=

7、 -BC丄心11113如圖，MN= MO CN=AO尹0?(AO BC) = ?x8= 4(cm).A M C N B111 1如圖，MN= MC- CN=qAC-尹C= AC- BC=qx2= 1(cm).A BM N C5.方程思想在線段計(jì)算中的應(yīng)用有些已知條件中的關(guān)系比較復(fù)雜，無法或很難由已知條件直接推導(dǎo)出待求的線段的長 度，這時(shí)我們可以挖掘隱含條件，引進(jìn)未知數(shù)，然后以線段的和、差、倍、分作為相等關(guān)系，構(gòu)造出方程來解決問題.說方法方程思想在線段計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)題目提供某一線段長時(shí)，我們一般考慮使用含未知數(shù)的代數(shù)式再表示這條線段的長， 即可得到一個(gè)方程，從而求出未知數(shù)的值.【例 5】 如圖，

8、B, C兩點(diǎn)把線段AD分成 2 : 3：4三部分，M是AD中點(diǎn)，CD=8,求MOW.A S MCD分析：由AB：BC：CD=2 : 3 : 4,可設(shè)A*2x,BC= 3x,CD=4x,CD=4x= 8 而求得x值，進(jìn)而求出MC長.解：設(shè)AB=2x，由AB：BC：CD=2 : 3 : 4,得BC= 3x,CD=4x,AD=（2 + 3 + 4）x= 9x.TCD=8, .4x=8,x=2.AD=9x= 18. M 是 AD 中點(diǎn)，1 1 MC MD- CD=2AD- CD=f18- 8= 1.送思維柘展創(chuàng)新應(yīng)用_比j 1 ii（迂【i.（召；ni iiMxt;6線段的和、差、倍、分的計(jì)算的應(yīng)用生

9、活中涉及線段的和、差、倍、分的運(yùn)算問題比較常見，主要涉及路線、路徑問題解 決這類問題的關(guān)鍵是畫出線段示意圖，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線段的計(jì)算問題.然后運(yùn)用線段的和、差、倍、分及中點(diǎn)的性質(zhì)尋找由已知線段推導(dǎo)出未知線段的思維過程，對于這一推理過 程較為困難，有時(shí)要借助于方程思想方法來解決問題.解技巧結(jié)合圖形解線段應(yīng)用題有關(guān)線段的計(jì)算都是由已知，經(jīng)過和、差或中點(diǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求未知線段的過程，因此要 結(jié)合圖形，分析各線段關(guān)系，找出它們的聯(lián)系，通過和、差、倍、分的運(yùn)算解決.注意學(xué)會(huì) 利用畫線段圖的方式解決.【例 6】 李紅、王明、張江三人的家恰好與學(xué)校在一條筆直的街道上.已知李紅家到 學(xué)校的距離是 500 米，

10、張江家正好在李紅與學(xué)校的中間，王明家在李紅和張江家的中間，那么王明家到學(xué)校的距離是多少米？分析：此題考查學(xué)生對線段性質(zhì)、線段的中點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離知識的綜合運(yùn)用首先要 能用畫線段圖的方式來解決此類問題（如下圖）.ABCD禎紅王明張江校解：由題可知：AD=500 米.因?yàn)镃是AD的中點(diǎn)，1 1所以AC= CD=AD=500X3 = 250.因?yàn)锽是AC的中點(diǎn)，1 14所以BC= 2AC=250X= 125.王明到學(xué)校的距離BD= B6 CD=125+ 250 = 375.即王明到學(xué)校的距離是 375 米.7.線段的性質(zhì)的應(yīng)用兩點(diǎn)之間的所有連線中，線段最短，這是線段的重要的性質(zhì)，其在實(shí)際生活和生產(chǎn)中的應(yīng)用十分廣泛涉及這類問題主要為河道由曲改直等最短路徑問題，解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)實(shí)際問題中要解決