一元函數(shù)微分公式

1、大 小】【打印】【關(guān)閉】啟航考研數(shù)學(xué)系列精講之二一元函數(shù)積分的計算(一)一元函數(shù)積分包括不定積分與定積分， 以及作為定積分推廣的廣義積分對于不定積分需要掌握的， 除了原函數(shù)與不定積分的概念與基本性質(zhì)外， 就是基本積分公式與兩種基本積分方法。 這是因為任何積分過程最終都要化為基 本積分公式中已有的形式，否則就需要再進(jìn)一步簡化，而兩種基本的積分方法， 變量替換法(換元積分法)與分部積分法是簡化積分的主要方法。 除此之外，一些 特殊的積分方法，如：有理函數(shù)積分法、三角函數(shù)有理式的積分法、某些簡單無 理式的積分法等，則是在特定情況下的特殊方法。由于不定積分的計算是最基本的，它滲透于一切積分之中，所以這

2、里將 不單獨予以講述， 而是將其融合于定積分的計算之中。 為了幫助讀者查找， 在分 類講述例題之前將列出基本積分公式。借助于牛頓萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式，定積分可化為被積函數(shù)的 任一原函數(shù)在積分上限與下限兩點函數(shù)值的差。 這樣，只要能求出原函數(shù)就解決 了定積分的計算問題， 而求原函數(shù)則是不定積分所解決的問題。 然而，定積分的 計算過程并不是分為求原函數(shù)與求原函數(shù)在上、 下限函數(shù)值的差兩個步驟， 而是 把兩者結(jié)合起來。這樣，如同不定積分一樣，定積分也有兩個基本方法，那就是 變量替換法與分部積分法。牛頓萊布尼茲公式的基礎(chǔ)是關(guān)于變限積分求導(dǎo)數(shù)的定理，同時在如何 求極限的部分也涉及到

3、，這里就不再重復(fù)了。一、定積分的變量替換法定理 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，代換x二(t)滿足條件：(4)(t)在a,B上連續(xù);(2)(a )=a,(B)=b，并且當(dāng)atB時，aw(t)0)上連續(xù)，則有:當(dāng)f ( x)為偶函數(shù)時；Af=0Y當(dāng)f(X)為奇函數(shù)時。注(1)類似的性質(zhì)重積分與第一類曲線(或曲面)積分也有，只是第二 類曲線(或曲面)積分因為涉及方向問題要特別注意。(2)關(guān)于奇、偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)也有一些值得注意的性質(zhì)， 其中重 要的是：偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)；奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)；奇函數(shù)的原函數(shù) 為偶函數(shù)，但是，偶函數(shù)的原函數(shù)不一定是奇函數(shù)。3周期函數(shù)的積分定理假定連續(xù)函數(shù)f

4、(x)以T為周期，即對于任意的實數(shù)x:f(x+T)=f(x)，那么J了陽=J/也o，即在任何長度為了的區(qū)間上的積分值是相等的。4某些不易求原函數(shù)的定積分依照牛頓一萊布尼茲公式計算定積分，就必須先求原函數(shù)，然而有的原 函數(shù)不易求，卻能夠通過變量替換使被積函數(shù)變形，并從中找到解決問題的途徑。四、廣義積分廣義積分是定積分的推廣，這個推廣是針對定積分的兩個基本約定作出 的。這就是取消積分區(qū)間有限的約定， 則為無窮限的廣義積分；取消被積函數(shù)有界的約定，則為無界函數(shù)的廣義積分(即瑕積分)1無窮限廣義積分的概念(1)若f(x)在a,+g)上連續(xù)，貝U(-g ,b上連續(xù)，則=limQ.I(8)(3)若f(x)在(-g,+g)上連續(xù)，則Ko0+f兒)必二/ 3 必 +j/(9)右端極限存在，則稱廣義積分收斂，否則稱為發(fā)散。(9)式要求右端兩個廣義積分同時收斂，有一個發(fā)散則稱發(fā)散。X2無界函數(shù)廣義積分的概念(1)若f(x)在a，b)上連續(xù)，在b點的左鄰域無界，貝U若f(x)在a,b上除點c外均連續(xù)，在點c的鄰域內(nèi)無界，則加訕二J/G)必+J/G/與無窮限的廣義積分一樣，右端的極限存在稱為收斂，否則為發(fā)散。(12)式要求 右端兩個廣義積分均收斂。無界函數(shù)的廣義積分也稱為瑕積分，被積函數(shù)在其鄰 域內(nèi)無界的點