課件-現(xiàn)代控制理論-劉豹第三版-第5章

1、5.1 線(xiàn)性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.2 極點(diǎn)配置問(wèn)題5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題5.4 系統(tǒng)解耦問(wèn)題5.5 狀態(tài)觀測(cè)器5.6 利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)5.1 線(xiàn)性反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)及其特性5.1.1狀態(tài)反饋 狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個(gè)狀態(tài)變量乘以相應(yīng)的反饋系數(shù)，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的控制輸入。下（圖一）是一個(gè)多輸入一多輸出系統(tǒng)狀態(tài)反饋的基本結(jié)構(gòu)。圖中受控系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：式中簡(jiǎn)記為 式中，v 為 維參考輸人；K為 維狀態(tài)反饋系數(shù)陣或狀態(tài)反饋增益陣。對(duì)單輸入系統(tǒng)，K為 維行矢量。（1）若D D =0，則受控系統(tǒng)：（2）狀態(tài)線(xiàn)性反饋控制律 為：（

2、3） 把式(3)代人式(1)整理可得狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：簡(jiǎn)記為。閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣： 比較開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 與閉環(huán)系統(tǒng) 可見(jiàn)，狀態(tài)反饋陣K的引入，并不增加系統(tǒng)的維數(shù)，但可通過(guò)K的選擇自由地改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而使系統(tǒng)獲得所要求的性能。（4）若D D =O，則（5）（6）5.1.2 輸出反饋 輸出反饋是采用輸出矢量y構(gòu)成線(xiàn)性反饋律。在經(jīng)典控制理論中主要討論這種反饋形式。（圖二）示出多輸入一多輸出系統(tǒng)輸出反饋的基本結(jié)構(gòu)。受控系統(tǒng)（7）或（8）輸出線(xiàn)性反饋控制律為：（9） 其中日為 維輸出反饋增益陣。對(duì)單輸出系統(tǒng)，HH為 維列矢量。 閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可由式(7)代入式(9)得：（

3、10）整理得：（11）再把式(1 1)代入式(7)求得：（12）若D D =0，則（13） 簡(jiǎn)記 。由式(13)可見(jiàn)，通過(guò)選擇輸出反饋增益陣日也可以改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而改變系統(tǒng)的控制特性。 輸出反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：若受控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為：存在下列關(guān)系：（14）（15）（16）或（17） 從系統(tǒng)輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的線(xiàn)性反饋形式在狀態(tài)觀測(cè)器獲得應(yīng)用。（圖三）表示這種反饋結(jié)構(gòu)： 比較上述兩種基本形式的反饋可以看出，輸出反饋中的HC HC 與狀態(tài)反饋中的K K 相當(dāng)。但由于 ，所以H 可供選擇的自由度遠(yuǎn)比K K 小，因而輸出反饋只能相當(dāng)于一種部分狀態(tài)反饋一只有當(dāng) 時(shí)， ，才能等同于全

4、狀態(tài)反饋。因此，在不增加補(bǔ)償器的條件下，輸出反饋的效果撮然不如狀態(tài)反饋系統(tǒng)好。但輸出反饋在技術(shù)實(shí)現(xiàn)上的方便性則足其突出優(yōu)點(diǎn)。5.1.3 從輸出到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù)反饋設(shè)受控系統(tǒng)： 加入從輸出y到狀態(tài)矢量導(dǎo)數(shù) 的反饋增益陣 ，可得閉環(huán)系統(tǒng)：將式(19)中的y 代入 整理得：（18）（19）（20）記作。若D D =0，則（21）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：（22）5.1.4 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器 上述三種反饋基本結(jié)構(gòu)的共同點(diǎn)是，不增加新的狀態(tài)變量，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)與閉環(huán)同維。其次，反饋增益陣都是常矩陣，反饋為線(xiàn)性反饋。在更復(fù)雜的情況下，常常要通過(guò)引入一個(gè)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)來(lái)改善系統(tǒng)性能，這種動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，稱(chēng)為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器。 它與受控系

5、統(tǒng)的連接方式如圖54所示，其中圖a為串聯(lián)連接，圖b為反饋連接。5.1.5 閉環(huán)系統(tǒng)的能控性與能觀性定理5.1.1 狀態(tài)反饋不改變受控系統(tǒng) 的能控性。但不保證系統(tǒng)的能觀性不變。證明 只證能控性不變。這只要證明它們的能控判別矩陣同秩即可。 受控系統(tǒng)0和狀態(tài)反饋系統(tǒng)0的能控判別陣為：（23）（24）實(shí)際上，受控系統(tǒng) 的傳遞函數(shù)為：（25）將0的能控標(biāo)準(zhǔn)I型代入上式，得：（26）引入狀態(tài)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（27）定理5.1.2 輸出反饋不改變受控系統(tǒng)的能控性和能觀性。證明 關(guān)于能控性不變。因?yàn)椋?8） 若把(HC HC )看成等效的狀態(tài)反饋陣K K，那么狀態(tài)反饋便保持受控系統(tǒng)的能控性不變。關(guān)

6、于能觀性不變。由能觀判別矩陣（29）和（30） 定理5.2.1 采用狀態(tài)反饋對(duì)系統(tǒng) 任意配置極點(diǎn)的充要條件是0完全能控。5.2 極點(diǎn)配置問(wèn)題5.2.1采用狀態(tài)反饋?zhàn)C明 只證充分性。若0完全能控，通過(guò)狀態(tài)反饋必成立式中， 為期望特征多項(xiàng)式。（31）（32） 式中， 為期望的閉環(huán)極點(diǎn)(實(shí)數(shù)極點(diǎn)或共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn))。1)若0完全能控，必存在非奇異變換：能將0化成能控標(biāo)準(zhǔn)I I型：（33）式中受控系統(tǒng)0的傳遞函數(shù)為：（34）2)加入狀態(tài)反饋增益陣：（35）可求得對(duì) 的閉環(huán)狀態(tài)空間表達(dá)式：（36）閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：式中（37）閉環(huán)傳遞函數(shù)為：3)使閉環(huán)極點(diǎn)與給定的期望極點(diǎn)相符，必須滿(mǎn)足：（38）由等式兩邊

7、同次冪系數(shù)對(duì)應(yīng)相等可解出反饋陣各系數(shù)：于是得：（39）4)最后，把對(duì)應(yīng)于 的 ，通過(guò)如下變換，得到對(duì)應(yīng)于狀態(tài) 的 ：這是由于 的緣故。5.2.2 采用輸出反饋 定理5.2.2 對(duì)完全能控的單輸入一單輸出系統(tǒng) ，不能采用輸出線(xiàn)性反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的任意配置。 證明 對(duì)單輸入一單輸出反饋系統(tǒng) ，閉環(huán)傳遞函數(shù)為：（40） 定理5.2.3 對(duì)完全能控的單輸入單輸出系統(tǒng) 通過(guò)帶動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的輸出反饋實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)任意配置的充要條件是：1) 完全能觀。2)動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的階數(shù)為nl。 5.2.3 采用從輸出到反饋 定理5.2.4 對(duì)系統(tǒng) 采用從輸出到 的線(xiàn)性反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是0完全能觀。證明 根

8、據(jù)對(duì)偶原理，如果 能觀則 必能控，因而可以任意配置 的特征值，而 的特征值和 的特征值相同，又因?yàn)?因此，對(duì) 任意配置極點(diǎn)就等價(jià)于對(duì)A A+GcGc任意配置極點(diǎn)。于是設(shè)計(jì) 輸出反饋陣G G 的問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng) 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋陣K K的問(wèn)題。具體步驟如下：將系統(tǒng) 化成能觀標(biāo)準(zhǔn)型：式中， 為能將系統(tǒng)化成能觀標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣。 (1)取線(xiàn)性變換：（41）（42）(2)引入反饋陣 后，得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：式中（43）和閉環(huán)特征多項(xiàng)式：(3)由期望極點(diǎn)得期望特征多項(xiàng)式：（44）(4)比較 各對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)，可解出：即（45）（46）(5)將在 求得的G G 變換到 狀態(tài)下便得： 和求狀態(tài)反饋陣K K 的情

9、況類(lèi)似，當(dāng)系統(tǒng)的維數(shù)較低時(shí)，只要系統(tǒng)能觀，也可以不化成能觀標(biāo)準(zhǔn)型，通過(guò)直接比較特征多項(xiàng)式系數(shù)米確定G G 矩陣。5.3 系統(tǒng)鎮(zhèn)定問(wèn)題 定理5.3.1對(duì)系統(tǒng) ，采用狀態(tài)反饋能鎮(zhèn)定的允要條件是其不能控子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 證明 (1)設(shè)系統(tǒng) 不完全能控，因此通過(guò)線(xiàn)性變換可將其按能控性分解為：（1） 式中， 為能控子系統(tǒng)； 為不能控子系統(tǒng)。(2)由于線(xiàn)性變換不改變系統(tǒng)的特征值，所以有： (3)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)。考慮對(duì) 引人狀態(tài)反饋陣：（2）（3）于是得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：（4）和閉環(huán)特征多項(xiàng)式：（5） 定理5.3.2 系統(tǒng) 通過(guò)輸出反饋能鎮(zhèn)定的充要條件是 0結(jié)構(gòu)分解中的能控且能觀子系統(tǒng)是輸

10、出反饋能鎮(zhèn)定的，其余子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明 (1) 對(duì)進(jìn)行能控性能觀性結(jié)構(gòu)分解，有： 比較式(5)與式(2)可見(jiàn)，引入狀態(tài)反饋陣 ，只能通過(guò)選擇 使 的特征值均具有負(fù)實(shí)部，從而使 ，這個(gè)子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。但 的選擇并不能影響 的特征值分布。因此，僅當(dāng) 的特征值均具有負(fù)實(shí)部，即不能控子系統(tǒng) 為漸近穩(wěn)的此時(shí)整個(gè)系統(tǒng) 才是狀態(tài)能鎮(zhèn)定的。（6） (2)因?yàn)?能控性和能觀性和能鎮(zhèn)定性 上完全等價(jià)，所以對(duì) 引入輸出反饋陣H H ，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣：（7）和閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：（8） 式(8)表明，當(dāng)且僅當(dāng) 的特征值均具負(fù)實(shí)部時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)才為漸近穩(wěn)定。定理得證。 定理5.3.3 對(duì)系統(tǒng) 采用從輸出到

11、 反饋實(shí)現(xiàn)鎮(zhèn)定的充要條件是0的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。證明 (1)將系統(tǒng) 進(jìn)行能觀性分解，得： 式中， 為能觀子系統(tǒng)； 為不能觀子系統(tǒng)。（9）開(kāi)環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式為：（10） (2)由于 在能控性和穩(wěn)定性上等價(jià)，考慮對(duì) 引入從輸出到 的反饋陣 ，于是有：（11）和（12） 式(12)表明，引入反饋陣 ，只影響 的特征值。5.4 系統(tǒng)解耦問(wèn)題 解耦問(wèn)題是多輸入一多輸出系統(tǒng)綜合理論中的重要組成部分?其沒(méi)汁目的是尋求適當(dāng)?shù)目刂埔?guī)律，使輸入輸出相互關(guān)聯(lián)的多變量系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)每一個(gè)輸出僅受相應(yīng)的一個(gè)輸入所控制，每一個(gè)輸入也僅能控制相應(yīng)應(yīng)的一個(gè)輸出，這樣的問(wèn)題稱(chēng)為解耦問(wèn)題解耦問(wèn)題。設(shè) 是一個(gè) 維輸入、 維輸出的受

12、控系統(tǒng)，即（1）若其傳遞函數(shù)矩陣：（2）實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解耦，目前主要有兩種方法：(1)前饋補(bǔ)償器解耦(2)狀態(tài)反饋解耦5.4.1 前饋補(bǔ)償器解耦前饋補(bǔ)償器解耦的框圖如下圖所示。根據(jù)串聯(lián)組合系統(tǒng)可寫(xiě)出整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣：（3）式中， 為串接補(bǔ)償器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。（4）顯然，只要 存在，則串聯(lián)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)矩陣為：（5）5.4.2 狀態(tài)反饋解耦 1.狀態(tài)反饋解耦中的幾個(gè)特征量狀態(tài)反饋解耦系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如下圖所示：為了便于討論狀態(tài)反饋解耦的條件，首先定義幾個(gè)特征量。1)定義 ，是滿(mǎn)足不等式：且介于0到 之間的一個(gè)最小整數(shù)l。(6) 式中， 為系統(tǒng)輸出矩陣c中的第i 行向量 ，因此， 的下標(biāo)i 表示

13、行數(shù)。 2. 能解耦性判據(jù) 定理5.4.1 受控系統(tǒng) 采用狀態(tài)反饋能解耦的充要條件是 維矩陣E E 為非奇異。即（7） 3. 積分型解耦系統(tǒng) 定理5.4.2 若系統(tǒng) 是狀態(tài)反饋能解耦的，則閉環(huán)系統(tǒng)是一個(gè)積分型解耦系統(tǒng)。其中狀態(tài)反饋矩陣為：（8）（9）輸入變換矩陣為：（10）閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：（11） 式(11)表明，用式(9)和式(10)實(shí)現(xiàn)(K K，F(xiàn) F)解耦的系統(tǒng)，其每個(gè)子系統(tǒng)都是相當(dāng)于一個(gè) 階積分器的獨(dú)立子系統(tǒng)。4能解耦標(biāo)準(zhǔn)形 定理5.4.3 狀態(tài)反饋 使系統(tǒng) 解耦并任意配置極點(diǎn)的充要條件是，它們具有以下形式：式中，（12）5. 狀態(tài)反饋解耦的設(shè)計(jì)步驟綜上所述，用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)解

14、耦的設(shè)計(jì)步驟可歸納如下： 1)檢驗(yàn)系統(tǒng)是否滿(mǎn)足式(7)所述充要條件。 2)按照式(9)和式(10)計(jì)算狀態(tài)反饋矩陣K和輸入變換陣F，將系統(tǒng)化成積分型解耦形式。 3)按照式(12)對(duì)各獨(dú)立子系統(tǒng)采用附加狀態(tài)反饋，將其極點(diǎn)配置為期望值。 3) 的輸出 應(yīng)以足夠快的速度漸近于 ，即 應(yīng)有足夠?qū)挼念l帶。但從抑制干擾角度看，又希望頻帶不要太寬。因此，要根據(jù)具體情況予以兼顧。5.5 狀態(tài)觀測(cè)器5.5.1 狀態(tài)觀測(cè)器定義 設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)0=(A A，B B，C C)的狀態(tài)矢量工不能直接檢測(cè)。如果動(dòng)態(tài)系統(tǒng) 以0，的輸入 和輸出 作為其輸入量，能產(chǎn)生一組輸出 主漸近于 則稱(chēng) 的一個(gè)狀態(tài)觀測(cè)器。根據(jù)上述定義，可得

15、構(gòu)造觀測(cè)器的原則是： 1)觀測(cè)器 應(yīng)以0的輸入 和輸出 為其輸入量。 2)為滿(mǎn)足 必須完全能觀，或其不能觀子系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。4) 在結(jié)構(gòu)上應(yīng)盡量簡(jiǎn)單。即具有盡可能低的維數(shù)，以便于物理實(shí)現(xiàn)：5.5.2 狀態(tài)觀測(cè)器的存在性 定理5.5.1 對(duì)線(xiàn)性定常系統(tǒng)0=(A A，B B，C C)，狀態(tài)觀測(cè)器存在的充要條件是0，的不能觀子系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定。 證明 (1)設(shè)0=(A A，B B，C C)不完全能觀，可進(jìn)行能觀性結(jié)構(gòu)分解。這里，不妨設(shè)0=(A A，B B，C C)已具有能觀性分解形式。即（13） (2)構(gòu)造狀態(tài)觀測(cè)器 為狀態(tài) 的估值， 為調(diào)節(jié) 漸近于 的速度的反饋增益矩陣。于是得觀測(cè)器方程：或（14

16、）定義 為狀態(tài)誤差矢量，可導(dǎo)出狀態(tài)誤差方程：（15） 由式(16)可知，通過(guò)適當(dāng)選擇G G1 1，可使 的特征值均具負(fù)實(shí)部，因而有：(3)確定使 漸近于 的條件。由上式，得：（16）（17）（18）同理，由式（17)可得其解為：（19）成立時(shí)，才對(duì)任意 ，有：由于 ，因此僅當(dāng)（20） 而 特征值均具有負(fù)實(shí)部等價(jià)。只有當(dāng)0=(A A，B B，C C)的不能觀子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定時(shí)，才能使 。定理得證。（21）5.5.3 狀態(tài)觀測(cè)器的實(shí)現(xiàn) 定理5.5.2 若線(xiàn)性定常系統(tǒng) 0=(A A，B B，c c) 完全能觀，則其狀態(tài)矢量 可由輸出 和輸入 進(jìn)行重構(gòu)。證明 將輸出方程t 逐次求導(dǎo)，代以狀態(tài)方程并整理可

17、得：（22）將各式等號(hào)左邊用矢量z 表示，則有：（23）若系統(tǒng)完全能觀，rankN N=n，則有：（24）根據(jù)下圖可得狀態(tài)觀測(cè)器方程：（25）即5.5.4 反饋矩陣G G 的設(shè)計(jì)為了討論狀態(tài)估值主趨近于狀態(tài)真值工的漸近速度，引入狀態(tài)誤差矢量：（26）可得狀態(tài)誤差方程：（27）即（28）式(28)是一個(gè)關(guān)于 的齊次微分方程，其解為：（29）5.5.5 降維觀測(cè)器 以上介紹的觀測(cè)器是建立在對(duì)原系統(tǒng)模擬基礎(chǔ)上的，其維數(shù)和受控系統(tǒng)維數(shù)相同，稱(chēng)全維觀測(cè)器全維觀測(cè)器。實(shí)際上，系統(tǒng)的輸出矢量y 總是能夠測(cè)量的。因此，可以利用系統(tǒng)的輸出矢量y 來(lái)直接產(chǎn)生部分狀態(tài)變量，從而降低觀測(cè)器的維數(shù)。 降維觀測(cè)器設(shè)計(jì)分兩

18、步進(jìn)行。第一，通過(guò)線(xiàn)性變換把狀態(tài)按能檢測(cè)性分解成 ，其中 維 ，需要重構(gòu)，而m維 可由y直接獲得。第二，對(duì) 構(gòu)造 維觀測(cè)器。 可以證明，若系統(tǒng)能觀，輸出矩陣c的秩是m，則它的m個(gè)狀態(tài)分量可由y直接獲得，那么，其余的 個(gè)狀態(tài)分量便只需用 維的降維觀測(cè)器進(jìn)行重構(gòu)即可。降維觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法很多，下面介紹其一般設(shè)計(jì)方法。5.6 利用狀態(tài)觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的系統(tǒng)5.6.1 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與狀態(tài)空間表達(dá)式下圖是一個(gè)帶有全維狀態(tài)觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)。設(shè)能控能觀的受控系統(tǒng)0=(A A，B B，C C)為：（1） 將式(3)代入式(1)和式(2)整理或直接由結(jié)構(gòu)圖得整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：狀態(tài)觀測(cè)器G為：（2）反饋控制律為：（3）（4）寫(xiě)成矩陣形式為（5）這是一個(gè) 維的閉環(huán)控制系統(tǒng)。5.6.2 閉環(huán)系統(tǒng)的基本特性1.閉環(huán)極點(diǎn)設(shè)計(jì)的分離性 閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)包括0直接狀態(tài)反饋系統(tǒng)K=(A+BKA+BK，B B，C C)的極點(diǎn)和觀測(cè)器G 的極點(diǎn)兩部分。但二者獨(dú)立，相互分離。