函數(shù)的單調(diào)性

1、函數(shù)的單調(diào)性與值域函數(shù)的單調(diào)性與值域1.函數(shù)函數(shù) 在在(-2,+)上為增函數(shù)，上為增函數(shù)，則則a的取值范圍是的取值范圍是( )A. B. C. D. a-2( )axf xx1212a012aa 1或12a 2.函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)遞增的單調(diào)遞增區(qū)間是區(qū)間是( )A. B. C. D. ( )()f xx x 213log 61)2，1)22，1()2 ，1()23，一、一、單調(diào)函數(shù)的概念單調(diào)函數(shù)的概念設(shè)設(shè)D是是f(x)的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，對于的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間，對于任意的任意的x1，x2D，若，若 ，則稱，則稱f(x)在區(qū)間在區(qū)間D上為增函數(shù)；若上為增函數(shù)；若 ，則稱，則稱f(x)在區(qū)間在區(qū)

2、間D上為減函數(shù)上為減函數(shù).x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有f(x1)f(x2)x1x2時(shí)，都有時(shí)，都有f(x1)f(x2)二、二、函數(shù)單調(diào)性的判定方法函數(shù)單調(diào)性的判定方法1.定義法：解題步驟為：定義法：解題步驟為：第一步第一步 ， .第二步第二步 . 第三步第三步 .第四步下結(jié)論第四步下結(jié)論.設(shè)設(shè)x1，x2是是f(x)定義域內(nèi)給定區(qū)定義域內(nèi)給定區(qū)作差變形作差變形(變形方法：因式變形方法：因式判斷差的正負(fù)或商與判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系的大小關(guān)系間上的任意兩個(gè)自變量，且間上的任意兩個(gè)自變量，且x1x2分解、配方、分解、配方、有理化等有理化等) )或作商變形或作商變形2. 圖象法：從左到右，圖象圖象法

3、：從左到右，圖象 ，即為增函數(shù)，圖象即為增函數(shù)，圖象 ，即為減函數(shù)，即為減函數(shù).3. 定理法：對于復(fù)合函數(shù)定理法：對于復(fù)合函數(shù)y=fg(x)，如，如果內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同，那么果內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同，那么y=fg(x)為為 ，如果內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相，如果內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相反，那么反，那么y=fg(x)為為 .上升上升下降下降增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)4. 導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法1.求函數(shù)求函數(shù)f(x)=|lg(x+1)|的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. 作函數(shù)作函數(shù)y=|lg(x+1)|的圖象的圖象.由右圖可知，由右圖可知，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1，0，單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是0

4、，+). 2. 判斷函數(shù)判斷函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(-1，1)上的單調(diào)性并證明上的單調(diào)性并證明.( )()axf xax201 設(shè)設(shè)-1x1x21，則則因?yàn)橐驗(yàn)樗运詀0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)在在(-1，1)上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減；a0時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)f(x)在在(-1，1)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.()()()().()()a x xxxf xf xxx1221122212111()()0,()()a x xxxxx12212212111點(diǎn)評：點(diǎn)評：用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：設(shè)參，即任取指定區(qū)間上的一般步驟是：設(shè)參，即任取指定區(qū)間上的的x1、x2，

5、且設(shè)，且設(shè)x2x1；比較函數(shù)值；比較函數(shù)值f(x2)、f(x1)的大小；下結(jié)論的大??；下結(jié)論.如果函數(shù)值在比較時(shí)如果函數(shù)值在比較時(shí)含有參數(shù)，需根據(jù)情況進(jìn)行分類討論含有參數(shù)，需根據(jù)情況進(jìn)行分類討論.求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. 由由得得x-3或或x1.所以所以f(x)的定義域是的定義域是(-，-31，+).令令 則則2231( )( )2xxf x223 0 xx txx223，1( )2ty ，因?yàn)橐驗(yàn)?是在是在R上的減函數(shù)，上的減函數(shù)， 在在(-，-3上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，在在1，+)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，所以所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是的單調(diào)遞增區(qū)間是(-，-3；單調(diào)遞減區(qū)間是

6、單調(diào)遞減區(qū)間是1，+).1( )2ty txx2231.判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法有：判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法有：定義定義法；法；圖象法；圖象法；復(fù)合函數(shù)法；復(fù)合函數(shù)法；導(dǎo)數(shù)法；導(dǎo)數(shù)法；轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù).2. 在判定函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要注意先對函數(shù)在判定函數(shù)單調(diào)性時(shí)，要注意先對函數(shù)的解析式適當(dāng)變形，盡量減少解析式中變量的解析式適當(dāng)變形，盡量減少解析式中變量x的個(gè)數(shù)，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域的個(gè)數(shù)，同時(shí)要注意函數(shù)的定義域. 1.設(shè)設(shè)aR，為常數(shù)，為常數(shù)，已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=lg(ax-1)-lg(x-1)在區(qū)間在區(qū)間10，+)上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞增，求求a的取值范圍的取值范圍.

7、 解法解法1：由已知，：由已知，當(dāng)當(dāng)x1x210時(shí)，有時(shí)，有f(x1)f(x2)恒成立，恒成立，即即lg(ax1-1)-lg(x1-1)lg(ax2-1)-lg(x2-1) (ax1-1)(x2-1)(ax2-1)(x1-1) ax2-10即即 (a-1)(x1-x2)0 所以所以 a-10 恒成立恒成立.因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以所以所以a的取值范圍是的取值范圍是ax21，ax21x21110，a1110 ，().1110，解法解法2：因?yàn)椋阂驗(yàn)?在在10，+)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，所以所以 在在10，+)上是增函數(shù)上是增函數(shù).又又 在在10，+)上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，所以所以a-10，即，即a

8、1.因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)x10，+)時(shí)時(shí)f(x)有意義，有意義，所以當(dāng)所以當(dāng)x10時(shí)，時(shí)，ax-10恒成立，恒成立，即即 恒成立，恒成立，所以所以 故故( )()af xax1lg1ayax11yx11ax1( )axmax1110，().a1110，點(diǎn)評：點(diǎn)評：由函數(shù)的單調(diào)性逆求參數(shù)的取值由函數(shù)的單調(diào)性逆求參數(shù)的取值范圍，即根據(jù)單調(diào)性質(zhì)得出相應(yīng)的不等式范圍，即根據(jù)單調(diào)性質(zhì)得出相應(yīng)的不等式( (組組) )，由此不等式，由此不等式( (組組) )恒成立，得出相應(yīng)恒成立，得出相應(yīng)參數(shù)的取值范圍，注意函數(shù)定義域的應(yīng)用參數(shù)的取值范圍，注意函數(shù)定義域的應(yīng)用. .1.已知奇函數(shù)已知奇函數(shù)y=f(x)是定義在是定義

9、在(-2，2)上的減函數(shù)，上的減函數(shù)，若若f(m-1)+f(2m-1)0，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m的取值范圍的取值范圍. 因?yàn)橐驗(yàn)閒(m-1)-f(2m-1)，且，且f(x)為為奇函數(shù)，奇函數(shù)，所以所以f(m-1)f(1-2m).又因?yàn)橛忠驗(yàn)閒(x)在在(-2，2)上遞減，上遞減，所以所以-2m-11-2m2，即即所以所以m的取值范圍為的取值范圍為1.2m23 1().223，點(diǎn)評：點(diǎn)評：與函數(shù)有關(guān)的不等式的解法，與函數(shù)有關(guān)的不等式的解法，關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性質(zhì)剝掉外層符號關(guān)鍵是根據(jù)單調(diào)性質(zhì)剝掉外層符號“f”，得出相應(yīng)的具體不等式，特別注意函數(shù)得出相應(yīng)的具體不等式，特別注意函數(shù)定義域這一個(gè)隱含條件不能忽略定

10、義域這一個(gè)隱含條件不能忽略.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 解不等式解不等式f(x2+x-1)1. 顯然，顯然，f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?0，+).又又因?yàn)橐驗(yàn)?和和 在在(0，+)上都是上都是增函數(shù)，增函數(shù)，所以所以f(x)在在(0，+)上是增函數(shù)上是增函數(shù).( )xf xx21，( )f xxx12，yx 2yx 1又又f(1)=1，所以不等式化為所以不等式化為f(x2+x-1)f(1) 0 x2+x-11，即，即 x2+x-10 x2+x-20.由此解得由此解得()().x 15512122， 3. 已知定義在已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足滿足f(1)0，且對任意且對任意x，yR，都

11、有都有f(x+y)=f(x)+f(y).若若f(k3x)+f(3x-9x-2)0對任意對任意xR都都成立，成立，求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)k的取值范圍的取值范圍. 取取x=y=0，則，則f(0)=2f(0) f(0)=0，所以不等式可化為所以不等式可化為f(k3x+3x-9x-2)f(0).因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)是單調(diào)函數(shù)，是單調(diào)函數(shù)，f(1)0=f(0)，所以所以f(x)是是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，上的單調(diào)遞增函數(shù)，從而不等式等價(jià)于從而不等式等價(jià)于k3x+3x-9x-20，即即 恒成立恒成立.xxk2313所以所以因?yàn)橐驗(yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號，時(shí)取等號，所以所以故故k的取值范圍是的取值范圍是().xxkmin

12、23132xxxx22332 233，x 3log2()xxmin2312 213，().2 21，點(diǎn)評：點(diǎn)評：解決抽象函數(shù)問題，其策略是利用解決抽象函數(shù)問題，其策略是利用賦值法或配湊法，如本題中令賦值法或配湊法，如本題中令x=y=0，得到，得到f(0)=0，從而將不等式化為，從而將不等式化為f(k3x)+f(3x-9x-2) 0且且u=6-x-x2的單調(diào)遞減區(qū)間的單調(diào)遞減區(qū)間,畫圖即得畫圖即得x-12,2)，故選，故選B.1( )3f xu log( )()f xxx21log63答案：答案：B 解法解法1：由由得得畫圖得畫圖得 故選故選C.( )axaf xaxx11222，ayx12向左

13、平移向左平移2個(gè)單位長度個(gè)單位長度向上平移向上平移a個(gè)單位長度個(gè)單位長度( ).af xaxaxx122121,2aa120解法解法2：函數(shù)：函數(shù) 在在(-2,+)上上為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以對任意所以對任意-2x1x2都有都有f(x1)0a12,故選故選C.( )axf xx1212()()(21)()()()axaxf xf xxxaxxxx121212121122022，答案：答案：C例例 討論函數(shù)討論函數(shù) 單調(diào)性單調(diào)性. 定義域是定義域是(-,0)(0,+)，任取任取x1f(x2),所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間(0, 上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減；當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),則則f(x1)f(x2),所以所

14、以f(x)在區(qū)間在區(qū)間 ,0)上單調(diào)遞減；上單調(diào)遞減；當(dāng)當(dāng)x1x2 時(shí)，時(shí)，則則f(x1)f(x2)，所以所以f(x)在區(qū)間在區(qū)間(-, 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.0bxxa12()()()()ba xxx xaf xf xx x121212120，baba()()()()ba xxx xaf xf xx x121212120，ba 3. 求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. 令令t=4x-x2，則，則由由4x-x20，得，得0 x4.因?yàn)橐驗(yàn)?在在(0，+)上是減函上是減函數(shù)，數(shù)，t=4x-x2在在(0，2上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在2，4)上是減函數(shù)，上是減函數(shù)，所以所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間

15、是的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，2，單調(diào)，單調(diào)遞增區(qū)間是遞增區(qū)間是2，4).12( )()f xxx2log412( )()f xxx2log412.ytlog點(diǎn)評：點(diǎn)評：函數(shù)函數(shù)y=fg(x)，我們可以分解為，我們可以分解為y=f(u)，u=g(x)，即，即y是由外層函數(shù)是由外層函數(shù)f(x)與內(nèi)層與內(nèi)層函數(shù)函數(shù)g(x)復(fù)合而成復(fù)合而成.對于公共區(qū)間對于公共區(qū)間D，若，若f(x)與與g(x)同為增函數(shù)同為增函數(shù)(或同為減函數(shù)或同為減函數(shù))時(shí)，其復(fù)合函時(shí)，其復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若數(shù)為增函數(shù)；若f(x)與與g(x)一個(gè)為增函數(shù)，一一個(gè)為增函數(shù)，一個(gè)為減函數(shù)時(shí)，其復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)，綜合個(gè)為減函數(shù)時(shí)，其復(fù)合函數(shù)

16、為減函數(shù)，綜合成一句話就是成一句話就是“同增異減同增異減”. (1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間在區(qū)間1， 2上是單調(diào)函數(shù)，上是單調(diào)函數(shù)，求求a的取值范圍的取值范圍;(2)若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(-2,+)上是上是增函數(shù)，增函數(shù)，求求a的取值范圍的取值范圍.( )axf xx12 (1)f(x)=x2+(2a+1)x+1故對稱軸為故對稱軸為 要使要使f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上是單調(diào)函數(shù)，上是單調(diào)函數(shù)，需需解得解得所以所以a的取值范圍為的取值范圍為()(),aax222121124ax212,aa21211222或.aa 3522或(,). 5322(2) 若要使若

17、要使f(x)在在(-2,+)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)，則需則需1-2a0,即即 ，所以所以a的取值范圍為的取值范圍為( ),axaxaaaf xaxxx 121 21 222212a 1( ,).2一一、基本函數(shù)的值域、基本函數(shù)的值域1. 一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b (k0)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?.2. 二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a0)的值域：當(dāng)?shù)闹涤颍寒?dāng)a0時(shí)，值域?yàn)闀r(shí)，值域?yàn)?;當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，值域?yàn)橹涤驗(yàn)?.R)acba 244，(acba244，3. 反比例函數(shù)反比例函數(shù)y=kx (x0，k0)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?.4. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax (a0，a1)的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?/p>

18、 .5. 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)y=logax (a0，a1，x0)的的值域?yàn)橹涤驗(yàn)?.6. 正、余弦函數(shù)的值域?yàn)檎?、余弦函?shù)的值域?yàn)?，正、，正、余切函數(shù)的值域?yàn)橛嗲泻瘮?shù)的值域?yàn)?.y|y0，yRR+R-1，1R二、二、求函數(shù)值域的基本方法求函數(shù)值域的基本方法1. 配方法配方法常用于可化為二次函數(shù)的問常用于可化為二次函數(shù)的問題題.2. 逆求法逆求法常用于已知定義域求值域常用于已知定義域求值域(如分式型且分子、分母為一次函數(shù)的函數(shù)如分式型且分子、分母為一次函數(shù)的函數(shù)).3. 判別式法判別式法可轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的一可轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個(gè)變量的一元二次方程，利用方程有實(shí)數(shù)解的必要條件，元二次方程，利用方程有

19、實(shí)數(shù)解的必要條件，建立關(guān)于建立關(guān)于y的不等式后求出范圍的不等式后求出范圍.運(yùn)用判別式方運(yùn)用判別式方法時(shí)注意對法時(shí)注意對y的端點(diǎn)取值是否達(dá)到進(jìn)行驗(yàn)算的端點(diǎn)取值是否達(dá)到進(jìn)行驗(yàn)算.4. 不等式法不等式法幾個(gè)變量的和或積的形式幾個(gè)變量的和或積的形式.5. 導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)數(shù)工具，結(jié)合函數(shù)的單利用導(dǎo)數(shù)工具，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，討論其值域調(diào)性，討論其值域.1.函數(shù)函數(shù) 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)? )A. (-，1) B. C. D. 故選故選C.xy21113()113，1)31 ，1)3，xx2211110111313，C2.函數(shù)函數(shù)y=f(x)的值域是的值域是-,10，則函數(shù)，則函數(shù)y=f(x-10)+的值域

20、是的值域是( )A. -,10 B. 0,+10C. -10,0 D. -10, 因?yàn)橐驗(yàn)閥=f(x)所以函數(shù)所以函數(shù)y=f(x-10)+的值域是的值域是0,+10，故選，故選B.向右平移向右平移10個(gè)單位長度個(gè)單位長度向上平移向上平移個(gè)單位長度個(gè)單位長度B 1. 求下列函數(shù)的值域：求下列函數(shù)的值域： (1) (2) (3);yxx265;yxx4 1.yxx21 (1)(配方法配方法)設(shè)設(shè)=-x2-6x-5(0)，則原函數(shù)可化為則原函數(shù)可化為又因?yàn)橛忠驗(yàn)?-x2-6x-5=-(x+3)2+44，所以所以04，故，故0,2，所以所以 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,2.yyxx265(2)(代數(shù)換元法代數(shù)

21、換元法)設(shè)設(shè)則則x=1-t2，所以原函數(shù)可化為所以原函數(shù)可化為y=1-t2+4t=-(t-2)2+ 5 (t0)，所以所以y5，所以原函數(shù)的值域?yàn)樗栽瘮?shù)的值域?yàn)?-,5.tx10，(3)(三角換元法三角換元法)因?yàn)橐驗(yàn)?-x20，所以，所以-1x1，故可設(shè)故可設(shè)x=cos,0,，則則y=cos+sin= sin(+ ).因?yàn)橐驗(yàn)?,，所以所以 所以所以所以所以所以原函數(shù)的值域?yàn)樗栽瘮?shù)的值域?yàn)?,54444(), 2sin142，(), 2sin124，,.12點(diǎn)評：點(diǎn)評：配方法求函數(shù)的值域時(shí)，一配方法求函數(shù)的值域時(shí)，一是注意找到相應(yīng)的二次式，二是注意自是注意找到相應(yīng)的二次式，二是注意自

22、變量的取值范圍；運(yùn)用換元法求函數(shù)的變量的取值范圍；運(yùn)用換元法求函數(shù)的值域時(shí)，注意新變元的取值范圍值域時(shí)，注意新變元的取值范圍. .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=log2(3-2x-x2)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)锳，值，值域?yàn)橛驗(yàn)锽，則，則AB= . 由由3-2x-x20，得，得-3x1，所以所以A=(-3，1).因?yàn)橐驗(yàn)?3-2x-x2=4-(x+1)24，所以所以f(x)2，所以所以B=(-，2，故，故AB=(-3，1). 2. 求下列函數(shù)的值域求下列函數(shù)的值域: (1) (2);xyx125.xyx234 (1)解法解法1：(逆求法逆求法)由由 解出解出x，得，得因?yàn)橐驗(yàn)?y+10，所以函數(shù)的值域?yàn)樗院瘮?shù)的值域?yàn)閥|y-12，且，且yR.解法解法2：(分離常數(shù)法分離常數(shù)法)因?yàn)橐驗(yàn)?又又 所以所以y-1