江蘇大學(xué)線性系統(tǒng)理論(現(xiàn)代控制理論)考試必備--第6章

1、第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 6.1 狀態(tài)觀測器的基本概念狀態(tài)觀測器的基本概念 6.2 全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器 6.3 降維狀態(tài)觀測器降維狀態(tài)觀測器 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 6.4 基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 6.5 Kx函數(shù)觀測器函數(shù)觀測器 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 2. 2. 全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器 3. 3. 降維狀態(tài)觀測器降維狀態(tài)觀測器 1. 1. 狀態(tài)觀測器的基本概念狀態(tài)觀測器的基本概念 4. 4. 基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)基于觀測器

2、的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 重點(diǎn)重點(diǎn)： 5. Kx5. Kx函數(shù)觀測器函數(shù)觀測器 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 在系統(tǒng)綜合中利用狀態(tài)反饋，可實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置，從而在系統(tǒng)綜合中利用狀態(tài)反饋，可實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置，從而改善系統(tǒng)性能；可對系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定，使不穩(wěn)定系統(tǒng)成為穩(wěn)改善系統(tǒng)性能；可對系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定，使不穩(wěn)定系統(tǒng)成為穩(wěn)定；可對系統(tǒng)進(jìn)行解耦，使相互耦合的定；可對系統(tǒng)進(jìn)行解耦，使相互耦合的MIMO系統(tǒng)變成多系統(tǒng)變成多個相互獨(dú)立的個相互獨(dú)立的SISO系統(tǒng)；在最優(yōu)控制中，狀態(tài)反饋還可用系統(tǒng)；在最優(yōu)控制中，狀態(tài)反饋還可用來使系統(tǒng)某個性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。實(shí)

3、現(xiàn)狀態(tài)反饋的前提條來使系統(tǒng)某個性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的前提條件是要獲得系統(tǒng)的狀態(tài)變量，但在實(shí)際中，由于設(shè)備和物件是要獲得系統(tǒng)的狀態(tài)變量，但在實(shí)際中，由于設(shè)備和物理?xiàng)l件的限制，狀態(tài)變量往往難以直接被測量到。于是，理?xiàng)l件的限制，狀態(tài)變量往往難以直接被測量到。于是，就需要人們設(shè)法用其它方法間接地獲得系統(tǒng)的狀態(tài)變量，就需要人們設(shè)法用其它方法間接地獲得系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其途徑之一是構(gòu)建一個附加的系統(tǒng)來對實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)變其途徑之一是構(gòu)建一個附加的系統(tǒng)來對實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行重構(gòu)。這種用來對狀態(tài)變量進(jìn)行重構(gòu)的附加系統(tǒng)稱量進(jìn)行重構(gòu)。這種用來對狀態(tài)變量進(jìn)行重構(gòu)的附加系統(tǒng)稱之為狀態(tài)觀測器或者狀態(tài)估計(jì)器。之

4、為狀態(tài)觀測器或者狀態(tài)估計(jì)器。 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： 6.1 狀態(tài)觀測器的基本概念狀態(tài)觀測器的基本概念 , 0t 0 x = Ax +Bu, x(0) = xy = Cx式中：式中：x 為為 n 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量；u 為為 p 維控制輸入向量；維控制輸入向量；y 為為q 維輸出向量。維輸出向量。(1) 從輸出方程從輸出方程 yCx 可以看到，如果可以看到，如果 C 是非奇異方陣，是非奇異方陣，則則 C 的逆存在，由于的逆存在，由于 C 已知，而輸出變量已知，而輸出變量 y 易測量

5、，于是，易測量，于是，由由 xC1 y 即可求得狀態(tài)變量。但是即可求得狀態(tài)變量。但是,一般情況下輸出變量一般情況下輸出變量數(shù)目少于狀態(tài)變量數(shù)目數(shù)目少于狀態(tài)變量數(shù)目,即即 ptt( )0t x 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 然而，實(shí)際應(yīng)用中，開環(huán)狀態(tài)觀測器存在著一定的問然而，實(shí)際應(yīng)用中，開環(huán)狀態(tài)觀測器存在著一定的問題。首先，開環(huán)狀態(tài)觀測器在每次使用時(shí)，都要設(shè)置一次題。首先，開環(huán)狀態(tài)觀測器在每次使用時(shí)，都要設(shè)置一次初始值，這是極不方便的。其次，更重要的是，系統(tǒng)中總初始值，這是極不方便的。其次，更重要的是，系統(tǒng)中總存在著各種干擾，觀測器初始狀態(tài)也不可能設(shè)置的

6、完全準(zhǔn)存在著各種干擾，觀測器初始狀態(tài)也不可能設(shè)置的完全準(zhǔn)確。于是，狀態(tài)估計(jì)誤差就按照確。于是，狀態(tài)估計(jì)誤差就按照 的規(guī)律變的規(guī)律變化，如果化，如果 A 的特征值全為負(fù)實(shí)部，則的特征值全為負(fù)實(shí)部，則 將隨時(shí)間按指數(shù)將隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減為零，即規(guī)律衰減為零，即 。但是，若。但是，若 A 有正的特有正的特征值，則即使很小的初始誤差，征值，則即使很小的初始誤差， 也將隨時(shí)間越來越大也將隨時(shí)間越來越大，或者，或者，A 的一部分特征值離虛軸較近，即使誤差會隨時(shí)的一部分特征值離虛軸較近，即使誤差會隨時(shí)間衰減，但衰減速度很慢，也不能滿足需要。間衰減，但衰減速度很慢，也不能滿足需要。 0()0( )t tet

7、Axx( ) tx lim ( )( )tttxx ( ) tx 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 要獲取狀態(tài)變量進(jìn)行狀態(tài)反饋的目的往往是由于要獲取狀態(tài)變量進(jìn)行狀態(tài)反饋的目的往往是由于A有正的特征值需對系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定，或是特征值離虛軸較有正的特征值需對系統(tǒng)進(jìn)行鎮(zhèn)定，或是特征值離虛軸較近，需要改變其位置以提高性能。另外，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模近，需要改變其位置以提高性能。另外，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型也會存在偏差或在工作過程中產(chǎn)生攝動漂移，于是，型也會存在偏差或在工作過程中產(chǎn)生攝動漂移，于是，僅僅利用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和輸入變量所構(gòu)成的開環(huán)狀態(tài)僅僅利用系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和輸入變量所構(gòu)成的

8、開環(huán)狀態(tài)觀測器在實(shí)際應(yīng)用中是難以滿足需求的。利用反饋原理觀測器在實(shí)際應(yīng)用中是難以滿足需求的。利用反饋原理，使?fàn)顟B(tài)觀測器具有閉環(huán)性質(zhì)，能夠克服干擾和模型不，使?fàn)顟B(tài)觀測器具有閉環(huán)性質(zhì)，能夠克服干擾和模型不準(zhǔn)確引起的偏差，使?fàn)顟B(tài)估計(jì)值更好的逼近實(shí)際系統(tǒng)的準(zhǔn)確引起的偏差，使?fàn)顟B(tài)估計(jì)值更好的逼近實(shí)際系統(tǒng)的狀態(tài)值，這就形成了具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的所謂閉環(huán)狀態(tài)狀態(tài)值，這就形成了具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的所謂閉環(huán)狀態(tài)觀測器。觀測器。 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 6.2 全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器 前述的開環(huán)狀態(tài)觀測器只用到系統(tǒng)的輸入信號對原系統(tǒng)前述的開環(huán)狀態(tài)觀測器只用

9、到系統(tǒng)的輸入信號對原系統(tǒng)進(jìn)行模擬復(fù)制，并沒有利用原系統(tǒng)的輸出信息。由經(jīng)典控制進(jìn)行模擬復(fù)制，并沒有利用原系統(tǒng)的輸出信息。由經(jīng)典控制理論可知，引入負(fù)反饋可抵抗干擾影響，使被控制量更好的理論可知，引入負(fù)反饋可抵抗干擾影響，使被控制量更好的逼近輸入量。在狀態(tài)觀測器中，我們可以把逼近輸入量。在狀態(tài)觀測器中，我們可以把 x 看作是觀測器看作是觀測器的參考輸入，而把的參考輸入，而把 看作是觀測器的輸出量，從而利用狀態(tài)看作是觀測器的輸出量，從而利用狀態(tài)反饋來使反饋來使 跟蹤跟蹤 x ?？上У氖请m然?？上У氖请m然 可以獲取，而可以獲取，而x 卻無法卻無法取得。但是原系統(tǒng)的輸出是可以獲得的，而系統(tǒng)的輸出是系取得。

10、但是原系統(tǒng)的輸出是可以獲得的，而系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)狀態(tài)變量的線性組合，如果統(tǒng)狀態(tài)變量的線性組合，如果 能逼近能逼近x ，則，則 也將逼也將逼近近 ，因此可用，因此可用 替代進(jìn)行狀態(tài)替代進(jìn)行狀態(tài)反饋控制。反饋控制。 x x x xy = Cxy = Cxy = y-y = Cx-Cx = Cx第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 構(gòu)成的閉環(huán)狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)如下圖所示。構(gòu)成的閉環(huán)狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)如下圖所示。 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 在上圖中增加了一個前向增益矩陣在上圖中增加了一個前向增益矩陣M，它可被用來，它可被用來對

11、狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)進(jìn)行配置，使觀測器的動態(tài)性能符對狀態(tài)觀測器的極點(diǎn)進(jìn)行配置，使觀測器的動態(tài)性能符合設(shè)計(jì)要求。由圖所給出的結(jié)構(gòu)，可列出閉環(huán)狀態(tài)觀測合設(shè)計(jì)要求。由圖所給出的結(jié)構(gòu)，可列出閉環(huán)狀態(tài)觀測器的動態(tài)方程：器的動態(tài)方程： x = Ax +My +Bu = Ax +My -MCx +Bu= (A-MC)x +My +Buy = Cx(5) 由式由式(5)可看出狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣為可看出狀態(tài)觀測器的系統(tǒng)矩陣為 ，人為的改變?nèi)藶榈母淖僊，可改變觀測器的極點(diǎn)位置，從而獲得所，可改變觀測器的極點(diǎn)位置，從而獲得所需的觀測器動態(tài)性能。需的觀測器動態(tài)性能。 (A-MC)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江

12、蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 下面具體考察影響估計(jì)誤差的因素和的變化規(guī)律。式下面具體考察影響估計(jì)誤差的因素和的變化規(guī)律。式(5)與式與式(2)相減得：相減得： x = x-x = Ax +Bu-(Ax +MCx-MCx +Bu) = (A-MC)x(6) 根據(jù)式根據(jù)式(6) ，按照線性時(shí)不變系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解方，按照線性時(shí)不變系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的求解方法，可求得估計(jì)誤差法，可求得估計(jì)誤差 的動態(tài)變化規(guī)律為：的動態(tài)變化規(guī)律為：( )x t0()0( )( )t ttet(A-MC)xx(7) 將式將式(7)與式與式(4)進(jìn)行比較可看出，因?yàn)橐肓朔答伜驮鲞M(jìn)行比較可看出，因?yàn)橐肓朔答伜驮鲆婢仃囈?/p>

13、矩陣M，閉環(huán)狀態(tài)觀測器的動態(tài)特性由，閉環(huán)狀態(tài)觀測器的動態(tài)特性由(AMC)的特征的特征值所決定。由此，可選取適當(dāng)?shù)闹邓鶝Q定。由此，可選取適當(dāng)?shù)腗，使，使(AMC)的特值位的特值位于于 S 左半平面并離虛軸足夠遠(yuǎn)，使左半平面并離虛軸足夠遠(yuǎn)，使 以足夠快的速度趨以足夠快的速度趨近于零，從而滿足系統(tǒng)對狀態(tài)估計(jì)誤差收斂速度的要求。近于零，從而滿足系統(tǒng)對狀態(tài)估計(jì)誤差收斂速度的要求。( ) tx 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 定理定理6.2.1 對于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)對于連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng) 0t 0 x = Ax+Bu, x(0) = x ,y = Cx其全

14、維閉環(huán)狀態(tài)觀測器其全維閉環(huán)狀態(tài)觀測器x = Ax+My +Bu = (A-MC)x+My +Bu可任意配置極點(diǎn)的充分必要條件是被觀測系統(tǒng)完全能觀測?？扇我馀渲脴O點(diǎn)的充分必要條件是被觀測系統(tǒng)完全能觀測。 根據(jù)這一定理，只要選擇適當(dāng)?shù)母鶕?jù)這一定理，只要選擇適當(dāng)?shù)腗，就可使估計(jì)誤差，就可使估計(jì)誤差以足夠快的速度趨近于零，也就是說，不管狀態(tài)觀測器的以足夠快的速度趨近于零，也就是說，不管狀態(tài)觀測器的初始狀態(tài)如何，狀態(tài)觀測器所重構(gòu)的狀態(tài)變量初始狀態(tài)如何，狀態(tài)觀測器所重構(gòu)的狀態(tài)變量 終將逐漸終將逐漸趨近于實(shí)際狀態(tài)趨近于實(shí)際狀態(tài) x ，所以，這樣的狀態(tài)觀測器也稱之為漸，所以，這樣的狀態(tài)觀測器也稱之為漸進(jìn)狀態(tài)觀

15、測器。該性質(zhì)也使其在實(shí)際使用中毋需設(shè)置初始進(jìn)狀態(tài)觀測器。該性質(zhì)也使其在實(shí)際使用中毋需設(shè)置初始狀態(tài)。狀態(tài)。 x第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 值得一提的是，雖然值得一提的是，雖然 (AMC) 特征值的負(fù)實(shí)部離虛特征值的負(fù)實(shí)部離虛軸越遠(yuǎn)，軸越遠(yuǎn)， 逼近逼近 x 的速度越快，但特征值離虛軸越遠(yuǎn)，系的速度越快，但特征值離虛軸越遠(yuǎn)，系統(tǒng)對外界的噪聲也越敏感，超調(diào)也會增加甚至使觀測器統(tǒng)對外界的噪聲也越敏感，超調(diào)也會增加甚至使觀測器飽和。所以特征值位置的選擇應(yīng)考慮被觀測系統(tǒng)本身對飽和。所以特征值位置的選擇應(yīng)考慮被觀測系統(tǒng)本身對速度要求綜合配置。速度要求綜合配置。 x

16、此定理實(shí)際上也給出了全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)計(jì)算方此定理實(shí)際上也給出了全維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)計(jì)算方法。首先根據(jù)系統(tǒng)速度要求，確定觀測器的期望特征值，法。首先根據(jù)系統(tǒng)速度要求，確定觀測器的期望特征值， ，進(jìn)而采用極點(diǎn)配置算法計(jì)算，進(jìn)而采用極點(diǎn)配置算法計(jì)算 M ，使得：，使得： 12,n (), =1,2,iiinAC M求出求出M后，即可構(gòu)成閉環(huán)狀態(tài)觀測器：后，即可構(gòu)成閉環(huán)狀態(tài)觀測器：x = (A-MC)x+My +Bu(8)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 定理定理6.2.2 對于式對于式(1)所示系統(tǒng)，要使式所示系統(tǒng)，要使式(9)中的中的 z 為為Tx的估的估

17、計(jì)，并由式計(jì)，并由式(10)獲得狀態(tài)獲得狀態(tài) x 的估計(jì)的估計(jì) ，其充分必要條件是：，其充分必要條件是：（1）TAFT=GC，T非奇異；非奇異；（2）HTB；（3）F 的全部特征值具有負(fù)實(shí)部。的全部特征值具有負(fù)實(shí)部。 x 全維狀態(tài)觀測器的另一種設(shè)計(jì)方法是，先對被觀測系全維狀態(tài)觀測器的另一種設(shè)計(jì)方法是，先對被觀測系統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換統(tǒng)進(jìn)行非奇異變換 ，再從形式上列出類似于式，再從形式上列出類似于式(8)的觀測器方程。的觀測器方程。 zTx其中：其中：F，G，H分別為分別為nn，nq，np 的待定常數(shù)矩的待定常數(shù)矩陣。對陣。對 Z 進(jìn)行估計(jì)，然后再取反變換。進(jìn)行估計(jì)，然后再取反變換。z = Fz +

18、Gy + Hu(9)1xTz得到得到 x 的估計(jì)值的估計(jì)值 。 x(10)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 6.3 降維狀態(tài)觀測器降維狀態(tài)觀測器 前面的全維狀態(tài)觀測器是構(gòu)造一個和原系統(tǒng)同階的模擬前面的全維狀態(tài)觀測器是構(gòu)造一個和原系統(tǒng)同階的模擬系統(tǒng)把被觀測系統(tǒng)的所有狀態(tài)都重構(gòu)出來。然而稍加分析便系統(tǒng)把被觀測系統(tǒng)的所有狀態(tài)都重構(gòu)出來。然而稍加分析便知，重構(gòu)所有的狀態(tài)變量是有冗余的。因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出是狀知，重構(gòu)所有的狀態(tài)變量是有冗余的。因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出是狀態(tài)變量的線性組合，實(shí)際上只需要通過線性變換即可從輸出態(tài)變量的線性組合，實(shí)際上只需要通過線性變換即可從輸出變量中直

19、接獲得一部分狀態(tài)變量。設(shè)系統(tǒng)是變量中直接獲得一部分狀態(tài)變量。設(shè)系統(tǒng)是n階，有階，有q個獨(dú)立個獨(dú)立輸出變量，即輸出變量，即rankCq，則經(jīng)過非奇異線性變換后，可直，則經(jīng)過非奇異線性變換后，可直接獲得接獲得q個狀態(tài)變量。于是，只需構(gòu)建一個個狀態(tài)變量。于是，只需構(gòu)建一個nq階的狀態(tài)觀階的狀態(tài)觀測器對剩下的狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)即可，這就是降維觀測器。測器對剩下的狀態(tài)變量進(jìn)行估計(jì)即可，這就是降維觀測器。降維觀測器不僅降低了狀態(tài)觀測器的維數(shù)使之在物理上更易降維觀測器不僅降低了狀態(tài)觀測器的維數(shù)使之在物理上更易實(shí)現(xiàn)，而且通過線性變換所獲得的一部分狀態(tài)變量，不存在實(shí)現(xiàn)，而且通過線性變換所獲得的一部分狀態(tài)變量，不存

20、在動態(tài)跟蹤過程，這部分狀態(tài)變量的動態(tài)估計(jì)誤差也得以減小。動態(tài)跟蹤過程，這部分狀態(tài)變量的動態(tài)估計(jì)誤差也得以減小。 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 設(shè)式設(shè)式(1)所示的系統(tǒng)完全能觀測，所示的系統(tǒng)完全能觀測， ，如果，如果rankC=q , 則可以找到一個線性變換則可以找到一個線性變換: 或著或著 ，使得：，使得： q nCx = Px-1x = P x = Qx1 0q qCQCPCI (11)q qq q112xy = I 0 x = I 0 xx其中其中 ，從而有：，從而有： 1xq可見，可見，q個輸出表示的是經(jīng)過變換的個輸出表示的是經(jīng)過變換的q個狀態(tài)變

21、量個狀態(tài)變量 ，因此，因此，只需用觀測器對剩下的只需用觀測器對剩下的 nq 個狀態(tài)變量個狀態(tài)變量 進(jìn)行估計(jì)，即進(jìn)行估計(jì)，即可得到全部狀態(tài)變量，此處的變換矩陣只需取為：可得到全部狀態(tài)變量，此處的變換矩陣只需取為： 1x2x第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 CP =R即可滿足即可滿足 1 0q qCPI其中，其中，R為能使為能使P滿秩的任意滿秩的任意(nq)n 實(shí)陣，這是因?yàn)閷?shí)陣，這是因?yàn)?111() () q qn qn qI 0CCPPP=PR0 IRP再來討論再來討論(nq)維狀態(tài)觀測器的構(gòu)建，用線性變換維狀態(tài)觀測器的構(gòu)建，用線性變換 ，將方程將方程(1

22、)變換成變換成x = Pxq q-1-1-1x = PAP x+PBuy = CP x = CP x = I 0 x記記 :1APAPBPB1CCP并將上式寫并將上式寫成分塊形式成分塊形式 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 0q q 1111211222212211122xA AxB=+u xxBA Axxy = C= I= xxx或?qū)懗蓛蓚€子系統(tǒng)的形式或?qū)懗蓛蓚€子系統(tǒng)的形式11111221221122221x = A x + A x + B ux = A x + A x + B uy = x 1112212222212222212y = A y + A

23、x +B uyx = A x +A y +B u = A x + A Bu整理得：整理得：(12)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 分別記分別記212 BAB yu =u111y = y- A y-B u則式則式(12)可寫成可寫成2222122x = A x +B uy = A x(13) 由于由于 和和 都已知，都已知，y 和和 u 均可獲得，所以可獲得均可獲得，所以可獲得 、 和和 。于是，式。于是，式(13)在形式上，構(gòu)成了一個以在形式上，構(gòu)成了一個以 為為狀態(tài)變量狀態(tài)變量( nq) 階系統(tǒng)，由于所觀測的系統(tǒng)是完全能觀階系統(tǒng)，由于所觀測的系統(tǒng)是完全

24、能觀的，所以其任何子系統(tǒng)也完全能觀，即式的，所以其任何子系統(tǒng)也完全能觀，即式(13)所示的系統(tǒng)所示的系統(tǒng)是能觀的。于是，可按前述全維狀態(tài)觀測器構(gòu)造方法構(gòu)造是能觀的。于是，可按前述全維狀態(tài)觀測器構(gòu)造方法構(gòu)造一個一個(nq) 維的漸進(jìn)狀態(tài)觀測器對狀態(tài)變量維的漸進(jìn)狀態(tài)觀測器對狀態(tài)變量 進(jìn)行估計(jì)。進(jìn)行估計(jì)。即存在一個即存在一個 和如下形式的和如下形式的(nq) 狀態(tài)觀測器。狀態(tài)觀測器。 21A2BBuy2x2xM第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 222122x = (A-MA )x +My +B u并且，借助于選取適當(dāng)?shù)牟⑶遥柚谶x取適當(dāng)?shù)?可任意配置可任意配置

25、 的極點(diǎn)。的極點(diǎn)。 2212AMAM(14)式式(14)中，雖然中，雖然 和和 可由已知的可由已知的 u 和和 y 獲得，但獲得，但 的表的表達(dá)式中有達(dá)式中有y 的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)起來需要微分器，純粹的微分的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)起來需要微分器，純粹的微分器在物理上是難以實(shí)現(xiàn)的，即使是近似的微分器也容易引器在物理上是難以實(shí)現(xiàn)的，即使是近似的微分器也容易引起高頻干擾。實(shí)際上，可采用變換的方法消去起高頻干擾。實(shí)際上，可采用變換的方法消去 ，為此，為此，再來考察式再來考察式(14)的展開式，將的展開式，將 uyyy 212 BAB yu =u111y = y- A y-B u代人式代人式(14)得得2221221

26、11212x = (A-MA )x +My- M A y-MB u+ A y +B u第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 經(jīng)整理，得經(jīng)整理，得222122211121x -My = (A-MA )x +(A- M A )y +(B -MB )u由此可見，如果把由此可見，如果把 看作一個整體進(jìn)行估計(jì)，則可消看作一個整體進(jìn)行估計(jì)，則可消去去 ，為此可定義：，為此可定義：2x -Myy (15) 22z = x -Myz = x -My(16)將式將式(16)代入式代入式(15)，得，得221221112122122212211121z = (A-MA )(z+M

27、y)+(A- M A )y +(B -MB )u= (A-MA )z+ (A-MA )M+(A- M A ) y +(B -MB )u 這是以這是以 y 和和 u 作為輸入，以作為輸入，以 z 為狀態(tài)變量的（為狀態(tài)變量的（nq）維動態(tài)系統(tǒng)。在此系統(tǒng)中，獲得維動態(tài)系統(tǒng)。在此系統(tǒng)中，獲得 z 后再由式后再由式(16) ，可得，可得 。 2x = z+My第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 1-1-12xx = P x = Px12yxx =xMy + z最后，再與最后，再與 所獲得的所獲得的 合在一起構(gòu)成全部被估合在一起構(gòu)成全部被估計(jì)的狀態(tài)變量：計(jì)的狀態(tài)變量：

28、11x = x1y = x若再進(jìn)行反變換若再進(jìn)行反變換 可得到原系統(tǒng)所有狀態(tài)變量。實(shí)際上，可得到原系統(tǒng)所有狀態(tài)變量。實(shí)際上，在全反饋應(yīng)用中，因?yàn)樵谌答亼?yīng)用中，因?yàn)?和和 x 等價(jià)，等價(jià)，可直接用可直接用 進(jìn)行狀態(tài)反饋，不必再反進(jìn)行狀態(tài)反饋，不必再反變換求取變換求取x。 xx令令 ：112QPQ則降維狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)可由下圖所示。則降維狀態(tài)觀測器的結(jié)構(gòu)可由下圖所示。 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 上述討論中，取變換矩陣上述討論中，取變換矩陣 將狀態(tài)變量組合的將狀態(tài)變量組合的q個分個分量作為量作為 直接從直接從 y 輸出，而用降維觀測器對輸出，而用降維觀

29、測器對(nq) 個不可個不可直接測量的狀態(tài)變量作為直接測量的狀態(tài)變量作為 進(jìn)行估計(jì)。也可取進(jìn)行估計(jì)。也可取 將將q 個分量作為個分量作為 從從 y 輸出，而對輸出，而對 進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)。 CP =R1x2xRP =C2x1x第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 【例例6.3.1】 給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:1( )(1)(2)g ss ss(1) 確定一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的特征值均為確定一個全維狀態(tài)觀測器，并使觀測器的特征值均為-5；(2) 確定一個降維狀態(tài)觀測器，并使其特征值均為確定一個降維狀態(tài)觀測器，并使其特征值均為-

30、5。解：系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為解：系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為32( )(1)(2)32ss sssss將系統(tǒng)按能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，得將系統(tǒng)按能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，得01000010 , 1000231uy xxx（1）設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器）設(shè)計(jì)全維狀態(tài)觀測器期望的觀測器特征多項(xiàng)式為期望的觀測器特征多項(xiàng)式為 *332( )(5)1575125sssss第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 12312332112123010det()det00110002310det123(3)(32)(23)smssmsmsmmsmssmsmmsmmm A-mC與期望特征多項(xiàng)式比較系數(shù)得與期望特征多項(xiàng)

31、式比較系數(shù)得112123315327523125mmmmmm解方程組得解方程組得123710Tm第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)方程為()01012012 00137100037023101101210012 37010371023110uyuyuy xAmC xBmxx（2）設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測器）設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀測器本題中，令本題中，令 001010100_RxPxxxC則有則有 1001010100P第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 1122222233123001320

32、1 10000100 xxxxuxxxxux -11111AAPAP x + Pbu =PAA123001xxx-1y = cP x由此可知由此可知 可直接從輸出變量可直接從輸出變量 y 獲得，降維狀態(tài)觀測器所獲得，降維狀態(tài)觀測器所需估計(jì)的狀態(tài)分量為需估計(jì)的狀態(tài)分量為 和和 ，由方程可知，由方程可知3x1x2x 111221223 20AA0 1 , 0 1 0 0 AA，第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 需估計(jì)的狀態(tài)分量動態(tài)方程為需估計(jì)的狀態(tài)分量動態(tài)方程為123 21 1 0 0 xux 依題意可知降維狀態(tài)觀測器的期望特征多項(xiàng)式為依題意可知降維狀態(tài)觀測器

33、的期望特征多項(xiàng)式為*22( )(5)1025ssss設(shè)設(shè) 12mmm則有則有 112232m32m()0 110m1m 2111A-mA于是于是1221221232mdetdet(m3)3mm21msssss11I-(A-mA )比較系數(shù)知：比較系數(shù)知： 2m310213mm225解得解得 ：2m71m2第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 于是降維狀態(tài)觀測器的方程式為：于是降維狀態(tài)觀測器的方程式為：121212()() ()() ()()341 170zuyzyuyxuyxxux 1121121222112111211212221121121222A -mA

34、zB -mBA-mA+(A -mA )mA -mAzmB -mBA-mAA -mAB -mBA-mA其中其中 1122327xzyyxzyyxyzm解畢解畢第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 對應(yīng)于對應(yīng)于定理定理6.2.2 所述的全維狀態(tài)觀測器第二種算法，所述的全維狀態(tài)觀測器第二種算法，降維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)也有類似的第二種設(shè)計(jì)方法，可由降維狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)也有類似的第二種設(shè)計(jì)方法，可由如下定理給出。如下定理給出。定理定理6.3.2 對于式對于式(1)所示的完全能觀測系統(tǒng)所示的完全能觀測系統(tǒng)(A, B, C)，其中，其中, rankC=q，構(gòu)造，構(gòu)造(nq)

35、維線性時(shí)不變系統(tǒng)。維線性時(shí)不變系統(tǒng)。z = Fz +Gy + Hu(17)其中，其中，F(xiàn)，G和和H分別為分別為nn，nq，np 的待定常數(shù)矩的待定常數(shù)矩陣。式陣。式(17) 可用作式可用作式(1) 的降維數(shù)狀態(tài)觀測器的充分必要的降維數(shù)狀態(tài)觀測器的充分必要條件是，存在一個條件是，存在一個(nq)n的滿秩矩陣的滿秩矩陣T，使得，使得CPT 為非奇異為非奇異第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 此定理所給出的降維觀測器所滿足的條件，也同時(shí)此定理所給出的降維觀測器所滿足的條件，也同時(shí)就是計(jì)算狀態(tài)觀測器各個矩陣系數(shù)的方法。設(shè)計(jì)觀測器就是計(jì)算狀態(tài)觀測器各個矩陣系數(shù)的方法。

36、設(shè)計(jì)觀測器時(shí)，根據(jù)性能要求，確定時(shí)，根據(jù)性能要求，確定F，取一個，取一個T矩陣使得矩陣使得且成立：且成立： （1）TAFT=GC；（；（2）HTB；（3）F的全部特征值具為負(fù)實(shí)部。的全部特征值具為負(fù)實(shí)部。由此可得被觀測狀態(tài)的估計(jì)值為由此可得被觀測狀態(tài)的估計(jì)值為:非奇異，再由定理中的條件（非奇異，再由定理中的條件（1）和（）和（2）求出）求出G 和和 H，即可由式即可由式 (17) 和式和式 (18) 構(gòu)成構(gòu)成 (nq) 維狀態(tài)觀測器。維狀態(tài)觀測器。CT P1 yx = Pz(18)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 6.4 基于觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)基于觀測器

37、的狀態(tài)反饋系統(tǒng) 前一章討論的狀態(tài)反饋是在狀態(tài)變量可直接測量的基前一章討論的狀態(tài)反饋是在狀態(tài)變量可直接測量的基礎(chǔ)之上的。當(dāng)狀態(tài)變量不能直接獲取時(shí)，要實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，礎(chǔ)之上的。當(dāng)狀態(tài)變量不能直接獲取時(shí)，要實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，就要用狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并用狀態(tài)就要用狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，并用狀態(tài)變量的估計(jì)值替代實(shí)際狀態(tài)變量來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。然而，變量的估計(jì)值替代實(shí)際狀態(tài)變量來實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋。然而，前述狀態(tài)反饋是針對真實(shí)狀態(tài)而設(shè)計(jì)的，用估計(jì)的狀態(tài)來前述狀態(tài)反饋是針對真實(shí)狀態(tài)而設(shè)計(jì)的，用估計(jì)的狀態(tài)來替代實(shí)際狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋和用真實(shí)的狀態(tài)有些什么異同替代實(shí)際狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋和用真實(shí)的狀態(tài)

38、有些什么異同呢？下面就來討論這一問題。呢？下面就來討論這一問題。 為使系統(tǒng)能控能觀的，其中為使系統(tǒng)能控能觀的，其中A，B，C分別為分別為nn，np和和qn維常陣。維常陣。 設(shè)被觀測的受控系統(tǒng)設(shè)被觀測的受控系統(tǒng)x = Ax + Buy = Cx(19)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 按前一章的討論，可用狀態(tài)反饋控制律按前一章的討論，可用狀態(tài)反饋控制律u vKx實(shí)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)特征值的任意配置，如果現(xiàn)系統(tǒng)特征值的任意配置，如果x不能直接獲取，要實(shí)現(xiàn)不能直接獲取，要實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋，就要構(gòu)建一個狀態(tài)觀測器對狀態(tài)反饋，就要構(gòu)建一個狀態(tài)觀測器對x進(jìn)行估計(jì)。下面進(jìn)行估計(jì)。下面

39、以全維狀態(tài)觀測器來討論觀測器和狀態(tài)反饋組合的復(fù)合系以全維狀態(tài)觀測器來討論觀測器和狀態(tài)反饋組合的復(fù)合系統(tǒng)，降維觀測器同理。設(shè)全維觀測器的狀態(tài)方程為統(tǒng)，降維觀測器同理。設(shè)全維觀測器的狀態(tài)方程為 : x = (A-MC)x+My +Bu y = Cx(20)其中，其中，M是是nq 矩陣。如果用觀測器的狀態(tài)矩陣。如果用觀測器的狀態(tài) 替代替代x， 采用控制律采用控制律 xu = v-Kx 構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，由此構(gòu)成由狀態(tài)觀測器和原被觀測構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng)，由此構(gòu)成由狀態(tài)觀測器和原被觀測的受控系統(tǒng)組合而成的復(fù)合系統(tǒng)，如下圖所示。的受控系統(tǒng)組合而成的復(fù)合系統(tǒng)，如下圖所示。第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器

40、江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 圖圖4 帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 將原系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)組合在一起，并且其輸入輸出將原系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)組合在一起，并且其輸入輸出信號也相互連接，相互關(guān)聯(lián)，由此自然會想到三個問題：信號也相互連接，相互關(guān)聯(lián)，由此自然會想到三個問題：（1）用）用 替代替代 x 后仍按照真實(shí)狀態(tài)進(jìn)行反饋設(shè)計(jì)，所配后仍按照真實(shí)狀態(tài)進(jìn)行反饋設(shè)計(jì)，所配置的極點(diǎn)是否一樣？置的極點(diǎn)是否一樣？ （2）狀態(tài)觀測器的特征值與狀態(tài)反）狀態(tài)觀測器的特征值與狀態(tài)反饋所配置特征值是否相互影響

41、？（饋所配置特征值是否相互影響？（3）系統(tǒng)增加了觀測器）系統(tǒng)增加了觀測器后，對其傳遞函數(shù)矩陣有什么影響？下面來進(jìn)行具體的分后，對其傳遞函數(shù)矩陣有什么影響？下面來進(jìn)行具體的分析。析。 x令估計(jì)誤差令估計(jì)誤差 ，則其被觀測系統(tǒng)狀態(tài)方程為，則其被觀測系統(tǒng)狀態(tài)方程為x = x-xx = Ax-BKx+Bv = Ax-BK(x-x)+Bv = (A-BK)x+BKx+Bvy = Cx(21)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 觀測器狀態(tài)方程為觀測器狀態(tài)方程為 x = (A-MC)x +My +Bu = (A-MC)x +MCx +B(v -Kx) = (A-MC)x

42、+MCx +B(v -Kx) = (A-MC-BK)x +MCx +Bv y = Cx將將 代入上式，得代入上式，得 x = x-x x-x = (A-MC-BK) x-x +MCx+Bv（）再將式再將式(21)代入上式，得到觀測器估計(jì)誤差代入上式，得到觀測器估計(jì)誤差 的動態(tài)方程為的動態(tài)方程為x x = (A-BK)x+BKx+Bv-(A-BK -MC) x-x -MCx-Bv = (A-MC)xy = Cx（）(22)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 用用 替代替代 x 進(jìn)行狀態(tài)反饋，閉環(huán)系統(tǒng)相當(dāng)于多了一個進(jìn)行狀態(tài)反饋，閉環(huán)系統(tǒng)相當(dāng)于多了一個等效的輸入驅(qū)

43、動項(xiàng)等效的輸入驅(qū)動項(xiàng) ，它是由觀測誤差引起的。而閉，它是由觀測誤差引起的。而閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣與直接用實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)反饋所得到環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣與直接用實(shí)際狀態(tài)進(jìn)行狀態(tài)反饋所得到的閉環(huán)系統(tǒng)是一樣的，仍然是的閉環(huán)系統(tǒng)是一樣的，仍然是 ，特征值仍由，特征值仍由K來來任意配置，且極點(diǎn)配置過程和結(jié)果都與用真實(shí)狀態(tài)反饋一任意配置，且極點(diǎn)配置過程和結(jié)果都與用真實(shí)狀態(tài)反饋一樣的，不受狀態(tài)觀測器的影響。樣的，不受狀態(tài)觀測器的影響。 xBKx ()ABK 由式（由式（22）也可看出，觀測器的狀態(tài)）也可看出，觀測器的狀態(tài) 被用來反饋到被用來反饋到被觀測系統(tǒng)的輸入端后，觀測器誤差的動態(tài)方程和未實(shí)施被觀測系統(tǒng)的輸入端

44、后，觀測器誤差的動態(tài)方程和未實(shí)施反饋前的誤差動態(tài)方程是一樣的，其系統(tǒng)矩陣仍然是反饋前的誤差動態(tài)方程是一樣的，其系統(tǒng)矩陣仍然是，也就是說，仍然可，也就是說，仍然可M對觀測器進(jìn)行任意極點(diǎn)配置，且極對觀測器進(jìn)行任意極點(diǎn)配置，且極點(diǎn)配置過程和結(jié)果也一樣。點(diǎn)配置過程和結(jié)果也一樣。 xAMC第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 上述兩點(diǎn)說明，基于觀測器的狀態(tài)反饋，其反饋閉環(huán)上述兩點(diǎn)說明，基于觀測器的狀態(tài)反饋，其反饋閉環(huán)的極點(diǎn)和觀測器的極點(diǎn)可按照真實(shí)狀態(tài)反饋一樣分別獨(dú)立的極點(diǎn)和觀測器的極點(diǎn)可按照真實(shí)狀態(tài)反饋一樣分別獨(dú)立進(jìn)行任意配置，互不影響。進(jìn)行任意配置，互不影響。 從從

45、的動態(tài)方程可知，選擇的動態(tài)方程可知，選擇M使觀測器的特征值在負(fù)使觀測器的特征值在負(fù)半半 s 平面離虛軸足夠遠(yuǎn)，則平面離虛軸足夠遠(yuǎn)，則 按照按照的規(guī)律迅速趨于零。因此式（的規(guī)律迅速趨于零。因此式（21）中的）中的 項(xiàng)只在系統(tǒng)項(xiàng)只在系統(tǒng)初始的一段時(shí)間內(nèi)起作用。而隨著時(shí)間的推移，初始的一段時(shí)間內(nèi)起作用。而隨著時(shí)間的推移， 衰減衰減到可忽略不計(jì)。隨后的動態(tài)運(yùn)行規(guī)律和真實(shí)狀態(tài)反饋系統(tǒng)到可忽略不計(jì)。隨后的動態(tài)運(yùn)行規(guī)律和真實(shí)狀態(tài)反饋系統(tǒng)的狀態(tài)動態(tài)是一樣的，完全由被觀測系統(tǒng)的特征值和輸入的狀態(tài)動態(tài)是一樣的，完全由被觀測系統(tǒng)的特征值和輸入驅(qū)動所確定。驅(qū)動所確定。 x x0()0( )( )t ttet(A-MC

46、)xxBKx BKx 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 xA-BK BKxB =v 0 A-MCx0 xx y = Cx = C 0 x 還可以將被觀測系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)合并起來看成一個還可以將被觀測系統(tǒng)和觀測器系統(tǒng)合并起來看成一個2n階的復(fù)合系統(tǒng)來進(jìn)行考察。將式（階的復(fù)合系統(tǒng)來進(jìn)行考察。將式（21）和（）和（22）合并在）合并在一起，其狀態(tài)方程為：一起，其狀態(tài)方程為：由此得整個復(fù)合系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為由此得整個復(fù)合系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為 det 0 detdetsssABKBKIAMCIABKIAMC(23)第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院

47、江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 由此可見，整個系統(tǒng)的特征值集合是由此可見，整個系統(tǒng)的特征值集合是ABK的特征的特征值集合與值集合與AMC的特征值集合的并集，狀態(tài)觀測器的特的特征值集合的并集，狀態(tài)觀測器的特征值不受其反饋的影響。在特征值配置方面，狀態(tài)反饋征值不受其反饋的影響。在特征值配置方面，狀態(tài)反饋的設(shè)計(jì)和狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)可以各自獨(dú)立的進(jìn)行。該性的設(shè)計(jì)和狀態(tài)觀測器的設(shè)計(jì)可以各自獨(dú)立的進(jìn)行。該性質(zhì)通常被稱為卡爾曼分離特性。質(zhì)通常被稱為卡爾曼分離特性。 再來考察用狀態(tài)觀測器估計(jì)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋后整再來考察用狀態(tài)觀測器估計(jì)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋后整個系統(tǒng)從輸入個系統(tǒng)從輸入v 到輸出到輸出 y 的傳遞函數(shù)矩陣。的傳遞

48、函數(shù)矩陣。 由式由式(23)，令，令 0 ABKBKAAMC0 BB 0CC將將 ， ， 代入傳遞函數(shù)陣的計(jì)算式，并根據(jù)分塊矩陣代入傳遞函數(shù)陣的計(jì)算式，并根據(jù)分塊矩陣的求逆公式，可得的求逆公式，可得 ABC第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 11111( )()() 0 0 sI()0() ()sI()= 00 0 sI() ssssss GC IABIABKBKBCAMCBIABKIABKBKAMCCAMCCI1K()( ) sABKBG 上式表明，用估計(jì)狀態(tài)構(gòu)成的全狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞上式表明，用估計(jì)狀態(tài)構(gòu)成的全狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與沒有狀態(tài)觀測器而直接

49、用真實(shí)狀態(tài)的全狀態(tài)反饋系函數(shù)與沒有狀態(tài)觀測器而直接用真實(shí)狀態(tài)的全狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一樣的。也就是說，從輸入統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一樣的。也就是說，從輸入v到輸出到輸出y的傳的傳遞函數(shù)矩陣中，沒有任何狀態(tài)觀測器的痕跡。遞函數(shù)矩陣中，沒有任何狀態(tài)觀測器的痕跡。 第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 用用 替代替代 x 后，其閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程和真實(shí)狀態(tài)反后，其閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程和真實(shí)狀態(tài)反饋的閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程是有差異的，兩者似乎有矛盾。這是饋的閉環(huán)系統(tǒng)動態(tài)方程是有差異的，兩者似乎有矛盾。這是因?yàn)閭鬟f函數(shù)的計(jì)算假設(shè)了所有的初始狀態(tài)都為零，故有因?yàn)閭鬟f函數(shù)的計(jì)算假設(shè)了所

50、有的初始狀態(tài)都為零，故有 ，這意味著對所有的，這意味著對所有的t 0有有 ，從，從這個意義上講，式這個意義上講，式(21) 多出的一項(xiàng)多出的一項(xiàng) 被忽略。實(shí)際上，被忽略。實(shí)際上，即使輸入狀態(tài)不等于零，即使輸入狀態(tài)不等于零， 也隨時(shí)間很快衰減到可以忽略也隨時(shí)間很快衰減到可以忽略不計(jì)的很小值。其衰減的速度取決于觀測器的特征值，特征不計(jì)的很小值。其衰減的速度取決于觀測器的特征值，特征值的負(fù)實(shí)部離虛軸越遠(yuǎn)，則值的負(fù)實(shí)部離虛軸越遠(yuǎn)，則 趨近于趨近于x的速度越快，當(dāng)然觀的速度越快，當(dāng)然觀測器的特征值負(fù)實(shí)部離虛軸太遠(yuǎn)將引起觀測器的反饋增益值測器的特征值負(fù)實(shí)部離虛軸太遠(yuǎn)將引起觀測器的反饋增益值M變大并會在瞬態(tài)

51、響應(yīng)中有較大的振蕩幅度，甚至使觀測器變大并會在瞬態(tài)響應(yīng)中有較大的振蕩幅度，甚至使觀測器出現(xiàn)飽和。當(dāng)特征值趨于負(fù)無窮時(shí)，觀測器的作用就像微分出現(xiàn)飽和。當(dāng)特征值趨于負(fù)無窮時(shí)，觀測器的作用就像微分器，從而對噪聲比較敏感。一般情況，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可取器，從而對噪聲比較敏感。一般情況，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可取AMC的特征值比的特征值比ABK的特征值快的特征值快23倍。倍。 x x(0)x(0)0 tt x( ) = x( )BKx BKx x第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 【例例6.4.1】 根據(jù)例根據(jù)例6.3.1所設(shè)計(jì)的全維狀態(tài)觀測器和降維狀所設(shè)計(jì)的全維狀態(tài)觀測器和降維狀態(tài)觀

52、測器，（態(tài)觀測器，（1）設(shè)計(jì)帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使閉環(huán)）設(shè)計(jì)帶有觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為系統(tǒng)的極點(diǎn)為3 和和 ；（；（2）求出閉環(huán)傳遞函數(shù)；）求出閉環(huán)傳遞函數(shù)；（3）分別畫出帶全維觀測器和降維觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)）分別畫出帶全維觀測器和降維觀測器的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。1322j解：（解：（1）仍然按照例）仍然按照例6.3.1進(jìn)行能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)進(jìn)行能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)01000010 , 1000231uy xxx依題意知期望特征多項(xiàng)式為依題意知期望特征多項(xiàng)式為*321313( )(3)()()4432222sssjsjsss第第6 6章章 狀態(tài)觀測器狀態(tài)觀測器 江蘇大學(xué)電氣學(xué)院江蘇大學(xué)電氣學(xué)院 引入狀態(tài)反饋引入狀態(tài)反饋 123ukkk x1233 421 431kkk則應(yīng)有則應(yīng)有224k 334k 13 k 于是求得狀