關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)性與完備性的進(jìn)一步討論ppt課件

1、9 關(guān)于實(shí)數(shù)的連續(xù)性 與完備性的進(jìn)一步 討論單調(diào)有界定理確 界定 理閉區(qū)間套定理有限覆蓋定理列緊性定 理Cauchy收斂定理等價定理可相互證明定義9.1 （集合的聚點(diǎn)）的任何鄰域的任何鄰域如果點(diǎn)如果點(diǎn)和點(diǎn)和點(diǎn)對數(shù)軸上的點(diǎn)集對數(shù)軸上的點(diǎn)集aa,E|0|);( axxaUo的點(diǎn)，的點(diǎn)，中異于中異于都含有都含有aE空空集集即即 ),(UEo a則稱 為 的聚點(diǎn).aE等價的敘述:的任何鄰域的任何鄰域如果點(diǎn)如果點(diǎn)a|0|);( axxaUo都含有 中無窮多個點(diǎn)，則稱 為 的聚點(diǎn).aEE定理定理9.1 (聚點(diǎn)定理聚點(diǎn)定理)證：二等分，二等分，將，將設(shè)設(shè),Ebaba .,E11ba中中無無窮窮多多點(diǎn)點(diǎn)，記記

2、為為則則至至少少一一個個含含,kkba依依次次可可得得閉閉區(qū)區(qū)間間套套滿足下列條件：滿足下列條件：實(shí)數(shù)軸上任何一個有界無限點(diǎn)集至少有一個聚點(diǎn).二二等等分分，繼繼續(xù)續(xù)將將,11ba.,E22ba無無窮窮多多點(diǎn)點(diǎn)，記記為為則則至至少少一一個個含含.E,)3(的的無無窮窮多多個個點(diǎn)點(diǎn)中中每每個個區(qū)區(qū)間間都都含含有有kkba, 2 , 1, )1(11 kbabakkkk; 0|lim)2( kkkab 1,kkkba 唯唯一一由由閉閉區(qū)區(qū)間間套套定定理理，存存在在有有當(dāng)當(dāng)對對, 0NkN 中中無無窮窮多多點(diǎn)點(diǎn)，含含）由由（E),(3),(, ookkUUba .E聚聚點(diǎn)點(diǎn)為為由由聚聚點(diǎn)點(diǎn)定定義義 定

3、理9.2 利用聚點(diǎn)定理證明列緊性定理證明： 設(shè) 為一個有界無窮點(diǎn)列，假設(shè) 只有有限多個數(shù)組成，則它必有無窮多項(xiàng)等于同一個數(shù)，此時定理自然成立。 下設(shè) 有無窮多個互不相同的數(shù)組成，則集合就是數(shù)軸上的一個有界無窮點(diǎn)集，它存在一個聚點(diǎn)，設(shè)為 。與聚點(diǎn)的定義知，對任意的正整數(shù)k，在 中必有 的無窮多項(xiàng)，我們可以取 的子列易見 。nxnxnx*:nExnNanx1( ,)U ak1211( ,1), ( , ), ( ,),2knnnxU axU axU aklimknkxanx定理9.3 利用有限覆蓋定理證明聚點(diǎn)定理證：反證法： 設(shè)有界無限點(diǎn)集S無聚點(diǎn)，則由S有界知,baSba 使得使得存在實(shí)數(shù)存在實(shí)

4、數(shù).S,聚聚點(diǎn)點(diǎn)中中點(diǎn)點(diǎn)都都不不是是無無聚聚點(diǎn)點(diǎn)，知知由由baS.S),(,的的有有限限個個點(diǎn)點(diǎn)僅僅含含有有使使得得xoxxUbax ,| ),(baxxUFxo 記記.S一開覆蓋一開覆蓋為為則則F由有限覆蓋定理，由有限覆蓋定理，.SS的的有有限限個個點(diǎn)點(diǎn)含含有有有有限限個個開開覆覆蓋蓋，每每個個僅僅存存在在矛盾定理定理9.4證： |, 01, 0nmNnmN有有對對.lim nnCauchy定定理理，由由用Cauchy收斂原理證明確界定理.,S1S.1,Snnnnnnnknknknknn任 取 正 整 數(shù)， 存 在 整 數(shù)使 得是上 界 ，但不 是的 上 界記則是上 界 ， 但不 是 。1111, ,1,| max , mnmnnmnmmnm nnnm任取兩個自然數(shù) 由于是S的上界而不是，易知 類似有易得.S上確界上確界是是下證下證 .S上上界界是是由由極極限限保保序序性性知知， 有有對對, 0NnN ,1 nn