物理合工大理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)普遍定理與拉氏方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1物理合工大理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)普遍定理與物理合工大理論力學(xué)動(dòng)力學(xué)普遍定理與拉氏方程拉氏方程設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，受力加速度為ai虛加上其慣性力FIi=miai則根據(jù)達(dá)朗伯原理， Fi 、FNi 與FIi應(yīng)組成形式上的平衡力系，即Fi + FNi +FIi= 0若質(zhì)點(diǎn)系受理想約束作用，應(yīng)用虛位移原理，有或(171)FiFNiFgiaiMFNiFNiMMFgiaiFIiaiFiFi約束反力FNi主動(dòng)力Fi第1頁/共43頁即則D-L方程的坐標(biāo)分解式為若動(dòng)力學(xué)普遍方程或達(dá)朗貝爾-拉格朗日方程（D-L方程）(172)第2頁/共43頁第3頁/共43頁研究整個(gè)系統(tǒng)，進(jìn)行受力分析；m

2、2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMI虛加各剛體的慣性力。設(shè)桿的加速度為a，則FI1= m1a，F(xiàn)I2= m2a，a給連桿以平行于斜面向下的虛位移s，則相應(yīng)地兩輪有轉(zhuǎn)角虛位移，且根據(jù)動(dòng)力學(xué)普遍方程，得s于是解得m2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMIasm2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMIm2gm1gm1gN1N2F1F2FI1FI2FI1MIMIas解畢。第4頁/共43頁第5頁/共43頁第6頁/共43頁D-L方程可寫成對上式求變分得 ri= ri(q1，q2，qN，t)(173)上式中(174)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，矢徑為ri。

3、則具有s個(gè)完整理想約束，則有N=3n-s個(gè)自由度（廣義坐標(biāo)）。第7頁/共43頁廣義力(175)廣義慣性力以廣義坐標(biāo)表示的達(dá)朗貝爾原理廣義力廣義虛位移(k =1，2，N)第8頁/共43頁(176)中廣義慣性力進(jìn)行變換：第9頁/共43頁(177)(178)(1710)所以第10頁/共43頁(1711) 若作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力均為有勢力（保守力），于是，對保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成(1712)是一個(gè)方程組，該方程組的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，各方程均為二階常微分方程。揭示了系統(tǒng)動(dòng)能的變化與廣義力之間的關(guān)系。則廣義力Qk可寫成質(zhì)點(diǎn)系勢能表達(dá)的形式第11頁/共43頁(1713)L稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢

4、。勢能V僅僅是廣義坐標(biāo)qk的函數(shù)，而與廣義速度無關(guān)，有 于是，在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢表示的拉格朗日方程的形式為(1714)對保守系統(tǒng)，拉格朗日方程可寫成第12頁/共43頁 在保守系統(tǒng)中，用動(dòng)勢表示的拉格朗日方程的形式為 拉格朗日方程是解決具有完整約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。 拉格朗日方程形式簡潔，應(yīng)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力；對于保守系統(tǒng)，只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和勢能。 拉格朗日方程是標(biāo)量方程，以動(dòng)能為方程的基本變量，是用廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。第13頁/共43頁對受完整約束的多自由度質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題，根據(jù)虛位移原理，采用廣義坐標(biāo)，得到與自由度相同的一組獨(dú)

5、立平衡方程。這種用分析方法建立的平衡條件，避開了未知的約束反力，使非自由質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題的求解變得簡單。同理，對受完整約束的多自由度質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題，可以根據(jù)能量原理，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)出與自由度相同的一組獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)微分方程。這種用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力學(xué)普遍方程，稱為拉格朗日第二類方程，或簡稱拉格朗日方程。第14頁/共43頁拉格朗日方程是著眼于整個(gè)系統(tǒng)，避開約束反力，用分析方法給出了系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題的統(tǒng)一表述，為處理受約束的復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題開辟了新的捷徑。這里從能量原理中的功率方程出發(fā)，采用廣義坐標(biāo)，推導(dǎo)拉格朗日方程。由于拉格朗日方程是用廣義坐標(biāo)且從能量的觀點(diǎn)研究系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題，而能量是自

6、然界各種不同物理形態(tài)的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)一度量，因 此 ，拉格朗日方程的應(yīng)用就具有較大的普遍性，它不僅適用于機(jī)械系統(tǒng)，也適用于電學(xué)系統(tǒng)和機(jī)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問題。第15頁/共43頁設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，各質(zhì)點(diǎn)系的速度則為jq 所以vi是廣義速度的齊次線性函數(shù)。其中是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，位置矢徑為ri，系統(tǒng)受s個(gè)定常的完整的理想約束，因此有N =3n-s個(gè)自由度。用k個(gè)廣義坐標(biāo)q1、q2、qn表示質(zhì)點(diǎn)的位置。由于約束是定常的，所以矢徑ri 僅是廣義坐標(biāo)的函數(shù)第16頁/共43頁又系統(tǒng)的動(dòng)能T為其中 稱為廣義質(zhì)量，是廣義坐標(biāo)的函數(shù)?，F(xiàn)令系統(tǒng)的動(dòng)能為T，功率為P，則功率方程為所以

7、，在定常約束中，動(dòng)能T不是時(shí)間t的函數(shù)，僅是廣義坐標(biāo)和廣義速度的函數(shù)。第17頁/共43頁將上式對時(shí)間求全微商，有又由于動(dòng)能T僅含的二次項(xiàng)，代入上式可得根據(jù)歐拉齊次函數(shù)定理將系統(tǒng)的動(dòng)能T寫成一般式是廣義速度 的齊二次函數(shù)。第18頁/共43頁再看功率方程的右邊，功率為根據(jù)虛位移原理中廣義力Qk的表達(dá)式可知所以將(3) (4)式代入(2)式并移項(xiàng)可得將(5)式改寫成第19頁/共43頁對受定常約束的系統(tǒng)，微小的實(shí)位移必為虛位移中之一，即dqk必為qk之一，但因各廣義坐標(biāo)qk是彼此獨(dú)立的，為使上式在各qk具有任何值都能滿足，必須即上式即為以廣義坐標(biāo)表達(dá)的質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程，稱為拉格朗日方程。為了使系統(tǒng)在

8、任何初始條件下可能發(fā)生的位移都能滿足方程（6），就必須第20頁/共43頁 選廣義坐標(biāo)； 計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能T，且用廣義速度來表示動(dòng)能； 計(jì)算廣義力（對保守系統(tǒng)可計(jì)算勢能）； 代入拉格朗日方程即可得質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)微分方程。第21頁/共43頁rRMMO AM第22頁/共43頁研究整個(gè)系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，則行星輪瞬心為P，系統(tǒng)的動(dòng)能為T = TOA+ T輪ARMrO 見后續(xù)P P P角速度為vAvAvA第23頁/共43頁O AvARMr又關(guān)于廣義坐標(biāo)的廣義力為代入Lagrange方程：于是得解畢。第24頁/共43頁O見后續(xù)Rml l l第25頁/共43頁RlOm已知m；R ； l；求擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。m此擺為

9、單自由度保守系統(tǒng)，選廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動(dòng)能為選=0處為系統(tǒng)勢能的零勢點(diǎn)，則V = mg（l+Rsin）（lR）cos系統(tǒng)的動(dòng)勢為見后續(xù)第26頁/共43頁已求得將式、代入保守系統(tǒng)的拉氏方程得擺的運(yùn)動(dòng)微分方程解畢。第27頁/共43頁OO O見后續(xù)OO第28頁/共43頁解(設(shè)圓柱O的半徑為r)選x1、x2為廣義坐標(biāo)，x1x2O則三棱柱速度為圓柱中心的速度為 圓柱的角速度為vO系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，o1o2所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為見后續(xù)加速度為x1x2vOx1x2vOx1x2vO第29頁/共43頁解畢x2x2x2x2系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)x1 、x2的廣義力分別為：已求得系統(tǒng)的動(dòng)能為x1x2Oo1o2m1gFNm2g

10、x1聯(lián)立解得：代入L程：m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1m1gFNm2gx1第30頁/共43頁見后續(xù)Okkllll2rACB第31頁/共43頁解系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，且為保守系統(tǒng)。選1、2為廣義坐標(biāo)，OkkllllACB2r12則桿的角速度為圓盤的角速度為 所以，系統(tǒng)的動(dòng)能為見后續(xù)1212第32頁/共43頁OkACkllll2rB2m1gm1gm1gm1gm2gm2gm2gm2g1l1l1F1F2l1l1l1l1重力與振動(dòng)方向相同，例17-5續(xù)2 已求得系統(tǒng)的動(dòng)勢為見后續(xù)F1F2F1F2F1F2取平衡位置處為零勢點(diǎn)，彈性力變形從平衡位置處計(jì)算，可以不計(jì)重力勢能！第33頁/共43頁已求得可

11、見，圓盤的角加速度為零！圓盤作平動(dòng)！得所以系統(tǒng)的固有頻率為圓盤作平動(dòng)！圓盤作平動(dòng)！解畢。OkACkllll2rB2m1gm2g1l1l1F1F2第34頁/共43頁見后續(xù)m1bam2OAB第35頁/共43頁vAvAvAvAbaOAB12解選1、2為廣義坐標(biāo)，則系統(tǒng)具有兩個(gè)自由度，系統(tǒng)動(dòng)能為見后續(xù)vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA12vAvB2 1vBA系統(tǒng)作微幅擺動(dòng)，cos(21)1第36頁/共43頁1221已求得求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)1的廣義力：m2g求系統(tǒng)關(guān)于廣義坐標(biāo)2的廣義力：112XOYOm2gm1g2m1gm2gXOYOm1gYOm2gXOm1gm2gYOm1gXO1122b2b2b2a1a1a1a1a1a1見后續(xù)給1，則給2，則第37頁/共43頁已求得代入Lagrange方程：化簡得解畢。第38頁/共43頁 動(dòng)力學(xué)普遍方程是將虛位移原理與達(dá)朗伯原理結(jié)合起來，形成如下的方程 拉格朗日方程是將動(dòng)力學(xué)普遍方程以廣義坐標(biāo)表示，并用動(dòng)能作為方程的基本變量，形式如下第39頁/共43頁對于保守系統(tǒng)，廣義力可用勢能來表示