大學物理08--1簡諧振動

1、第八章第八章 振動振動振動和波是物理中的重要領域：振動和波是物理中的重要領域：大量存在大量存在無無“序序”運動運動；分子熱運動、；分子熱運動、有序運動有序運動；振動就是一種周期運動。；振動就是一種周期運動。振動：描寫某一系統(tǒng)狀態(tài)的物理量在一定范圍內作振動：描寫某一系統(tǒng)狀態(tài)的物理量在一定范圍內作 周期性變化，則這系統(tǒng)的運動稱為振動。周期性變化，則這系統(tǒng)的運動稱為振動。復雜的振動可以分解成若干個最簡單的振動簡諧振動復雜的振動可以分解成若干個最簡單的振動簡諧振動簡諧振動簡諧振動最基本的振動，為研究復雜的振動打下基礎。最基本的振動，為研究復雜的振動打下基礎。機械振動：物體在一定位置附近所作的周期性往復

2、運動機械振動：物體在一定位置附近所作的周期性往復運動一）何謂簡諧振動一）何謂簡諧振動 XoFx)1(kxF平衡位置為原點建立坐標平衡位置為原點建立坐標OX。（回復力）（回復力） maF022 kxdtxdm81 簡諧運動簡諧運動 22dtxdmShockwave Flash Object022xmkdtxd2mk令：令：)2(0222xdtxd解此微分方程：解此微分方程：)3()cos(tAxA：初始條件決定初始條件決定簡諧振動的運動方程（振動方程）簡諧振動的運動方程（振動方程）定義定義:符合符合1、2、3式特征的振動簡諧振動式特征的振動簡諧振動)cos(tAxdtdxv dtdva x2二）

3、簡諧振動的速度二）簡諧振動的速度 加速度加速度 )sin(tA)cos(2tA)2cos(tA)cos(2tAtx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT三）描述簡諧振動的物理量三）描述簡諧振動的物理量)cos(tAx1）振幅）振幅 : 離開平衡位置最大位移的絕對值離開平衡位置最大位移的絕對值)cos(tAxAxmax類似的類似的)sin(tAvAvmax速度振幅速度振幅)cos(2tAa2maxAa加速度振幅加速度振幅2 2）周期）周期一周期一周期T后，振動狀態(tài)就重復一次后，振動狀態(tài)就重復一次)(cosTtAx2T2TcostAcosTtAt+T時刻時刻 t時刻振動狀態(tài)完

4、全一樣時刻振動狀態(tài)完全一樣完成一次全振動所經歷的時間。完成一次全振動所經歷的時間。4）角（圓）頻率）角（圓）頻率單位（弧度單位（弧度/秒）秒）2秒內完成的振動次數(shù)秒內完成的振動次數(shù)2對彈簧諧振子對彈簧諧振子mk /kmT22mk2T1mk213）頻率）頻率T1單位：單位： 赫茲赫茲 HZ 2單位時間完成振動的次數(shù)單位時間完成振動的次數(shù)T2固有周期固有周期固有頻率固有頻率決定于振動決定于振動系統(tǒng)本身系統(tǒng)本身)cos(tAx)2cos(tTAx)2cos(tAx用周期，頻率用周期，頻率振動方程振動方程可以表示為：可以表示為：振幅振幅描述振動強度的物理量描述振動強度的物理量周期，頻率，圓頻率周期，頻

5、率，圓頻率描述振動快慢的物理量描述振動快慢的物理量描述的都是振動的總體情況，無法描述振動描述的都是振動的總體情況，無法描述振動的細節(jié)情況，下面介紹其它的物理量的細節(jié)情況，下面介紹其它的物理量5）相位：）相位：)(t決定振動狀態(tài)及進程的物理量。決定振動狀態(tài)及進程的物理量。t=0時的相位稱為初相。反映時的相位稱為初相。反映t=0時的狀態(tài)。時的狀態(tài)。)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa若相位已知，則振動狀況就了如指掌了若相位已知，則振動狀況就了如指掌了用相位表示，可以更好的反映振動的周期性用相位表示，可以更好的反映振動的周期性6）初相：）初相：振動狀態(tài)決定其振幅振動狀態(tài)決定其振幅A、頻

6、率、頻率 （或（或 T或或 ） 、初相初相 。這三者稱為振動三要素。這三者稱為振動三要素。)cos(tAx)cos(111tAx)cos(222tAx)()(21tt21212121振動振動“1”超前超前“2”振動振動“1”落后落后“2”振動振動“1”和振動和振動“2”同相；同相；振動振動“1”和振動和振動“2”反相。反相。規(guī)定：規(guī)定：21另另在比較同頻率的諧振動時，往往用到相位差概念。在比較同頻率的諧振動時，往往用到相位差概念。)cos(tAx)sin(tAv)cos(2tAa)2cos(tA)cos(2tA速度超前位移速度超前位移2加速度超前速度加速度超前速度2加速度的積累得到速度加速度的

7、積累得到速度速度的積累得到位移速度的積累得到位移討論一下討論一下txav)cos(tAx)2cos(tAv)cos(2tAax-t圖圖v-t圖圖a-t圖圖t)cos(tAx)2cos(tAv)cos(2tAax-t圖圖v-t圖圖a-t圖圖紅紅黃黃綠綠vxa四）簡諧振動的表示四）簡諧振動的表示重要的是將三要素表示出來。重要的是將三要素表示出來。1）三角函數(shù)及其振動曲線）三角函數(shù)及其振動曲線)cos(tAxtx注意：對一個諧振動而言，計時起點不同，初相不同。注意：對一個諧振動而言，計時起點不同，初相不同。tx)cos(tAx設有一諧振動設有一諧振動作大小為作大小為A的以的以旋轉的旋轉的旋轉矢量旋轉

8、矢量A在在X軸上的投影點的坐標。軸上的投影點的坐標。2）用旋轉矢量表示）用旋轉矢量表示XY)(tA)cos(tAx投影點作簡諧振動投影點作簡諧振動故：旋轉矢量可以表示簡諧振動故：旋轉矢量可以表示簡諧振動能把三要素一目了然地表示出來。能把三要素一目了然地表示出來。優(yōu)點：形象化，便于振動的合成。優(yōu)點：形象化，便于振動的合成。旋轉矢量旋轉矢量簡諧振動簡諧振動振幅振幅矢量長度矢量長度圓頻率圓頻率角速度角速度初相初相初始時刻矢量與初始時刻矢量與X軸夾角軸夾角任意時刻矢量與任意時刻矢量與X軸夾角軸夾角相位相位XY)(tA)cos(tAx2tvtAv 在在X軸上的投影軸上的投影)2cos(tAvx)sin(

9、tA同樣：同樣：2Aa 在在X軸上的投影軸上的投影)cos(2tAax)cos(2tAa3）用復數(shù)表示）用復數(shù)表示歐拉公式歐拉公式)cos(tAxcossin iei對一諧振動對一諧振動為一復數(shù)為一復數(shù))(tiAeA的實部的實部)(tieAeRxx)(tiAe把諧振動用復數(shù)代表：把諧振動用復數(shù)代表：優(yōu)點：便于諧振動的計算。優(yōu)點：便于諧振動的計算。XoFx)cos(tAx動能：動能：)sin(tAdtdxv221mvEk221kxEP五）簡諧振動的能量五）簡諧振動的能量)(sin21222tmA勢能：勢能：)(cos2122tkA系統(tǒng)總能：系統(tǒng)總能：pkEEE2mk2mk 2221mAE 221

10、kA2A1）振動動能和振動勢能相互轉化，總能量守恒）振動動能和振動勢能相互轉化，總能量守恒2AE A是振動強度的標志是振動強度的標志2）另：另：2221mA221kAE 2max21mv在任意位置處：在任意位置處：)(xv222121kxmvEEEpk221kA)(222xAmkv)(222xA 22xA 六）確定振動方程六）確定振動方程)cos(tAx利用初始條件利用初始條件0t0 xx 0vv 求求A1）解析法）解析法)2(sin0Av)1 (cos0Ax )sin(tAdtdxv解方程即可解方程即可2）公式法）公式法)4(00 xvtg)3(22020vxA3）旋轉矢量法）旋轉矢量法有時

11、能簡單求出有時能簡單求出例例1 一諧振動一諧振動X0=0.707cm，sscmov/10,/7. 70求初相求初相00 xvarctg1 arctg解：解：看是否同時滿足：看是否同時滿足：)2(sin0Av)1 (cos0Ax )315(45707.01007.7 arctg13545 或)4(00 xvtgX旋轉矢量法旋轉矢量法第四象限第四象限tx例例2：諧振動的位移時間曲線如圖，求振動方程：諧振動的位移時間曲線如圖，求振動方程004.08 . 0由圖可知：由圖可知：mA04.0sT8 .0T25 .2初始條件：初始條件：0t時時0cos0Ax2/2/sin0Av02/)2/5 .2cos(

12、04.0tx例例3：一彈簧：一彈簧 K ，如圖：求振動方程，如圖：求振動方程0l1l2lOX建立坐標建立坐標0)(01llkmg在在O點點m在任意點在任意點X,彈力彈力)(01xllkffmgF)(01xllkmgkx022kxdtxdm022xmkdtxd2mk令：令：0222xdtxd解此微分方程：解此微分方程：)cos(tAx12llA0tllxcos)(124)4)復擺復擺cl很小很小已知：已知：l軸至質心的距離軸至質心的距離mg擺的質量擺的質量m及轉動慣量及轉動慣量J對轉動軸，對轉動軸，JM 22sindtdJmglsin22JmgldtdJmgldtd22022Jmgldtd022

13、Jmgldtd令令Jmgl20222dtd所以小角度復擺作諧振動所以小角度復擺作諧振動2TclmgZ+對于單擺對于單擺2mlJ mglJT2mglml22gl2mglJ25 5）如圖所示，一長為）如圖所示，一長為L L的立方體木塊浮于靜水中，浸入的立方體木塊浮于靜水中，浸入水中部分的高度為水中部分的高度為b b。今用手將木塊壓下去，放手讓其。今用手將木塊壓下去，放手讓其開始運動。若忽略水對木塊阻力，證明木塊作諧振動。開始運動。若忽略水對木塊阻力，證明木塊作諧振動。bXmg浮F以水面為原點建立坐標以水面為原點建立坐標OX受力分析：受力分析：gblmg2水glxbF2)( 水浮x靜止時，重力等于浮力靜止時，重力等于浮力一般位置，浮力為一般位置，浮力為maFmg浮gblmg2水glxbF