最大公因數(shù)最小公倍數(shù)習題7頁

1、公約數(shù)、公倍數(shù)問題，是指用求幾個數(shù)的（最大）公約數(shù)或（最?。┕稊?shù)的方法來解答的應用題。這類題一般都沒有直接指明是求公約數(shù)或公倍數(shù)，要通過對已知條件的仔細分析，才能發(fā)現(xiàn)解題方法。解答公約數(shù)或公倍數(shù)問題的關鍵是：從約數(shù)和倍數(shù)的意義入手來分析，把原題歸結為求幾個數(shù)的公約數(shù)問題。例如：1、有一個長方體的木頭，長3.25米，寬1.75米，厚0.75米。如果把這塊木頭截成許多相等的小立方體，并使每個小立方體盡可能大，小立方體的棱長及個數(shù)各是多少？解：根據(jù)題意，小立方體一條棱長應是長方體長、寬、厚各數(shù)的最大公約數(shù)。即：（325、175、75）=25（厘米）因為325÷25=13175÷

2、25=775÷25=3所以13×7×3=273（個）答：能分為小立方體273個，小立方體的每條棱長為25厘米。2、 有一個兩位數(shù)，除50余2，除63余3，除73余1。求這個兩位數(shù)是 多少？解：這個兩位數(shù)除50余2，則用他除48（522）恰好整除。也就是說，這個兩位數(shù)是48的約數(shù)。同理，這個兩位數(shù)也是60、72的約數(shù)。所以，這個兩位數(shù)只可能是48、60、72的公約數(shù)1、2、3、4、6、12，而滿足條件的只有公約數(shù)12，即（48、60、72）=12。答：這個兩位數(shù)是12。幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。幾個數(shù)公有的倍數(shù)叫做

3、這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。應用最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)方法求解的應用題，叫做公約數(shù)與公倍數(shù)問題。解題的關鍵是先求出幾個數(shù)的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，然后按題意解答要求的問題。三、考點分析最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的性質(zhì)。（1）兩個數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商一定是互質(zhì)數(shù)。（2）兩個數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)，都是這兩個數(shù)的公因數(shù)，（3）兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積。四、典型例題例1、有三根鐵絲，一根長18米，一根長24米，一根長30米。現(xiàn)在要把它們截成同樣長的小段。每段最長可以有幾米？一共可以截成多少段？分析與解：截成的小段一定是18、2

4、4、30的最大公因數(shù)。先求這三個數(shù)的最大公因數(shù)，再求一共可以截成多少段。解答：（18、24、30）6（18+24+30）÷612段答：每段最長可以有6米，一共可以截成12段。例2、一張長方形紙，長60厘米，寬36厘米，要把它截成同樣大小的長方形，并使它們的面積盡可能大，截完后又正好沒有剩余，正方形的邊長可以是多少厘米？能截多少個正方形？分析與解：要使截成的正方形面積盡可能大，也就是說，正方形的邊長要盡可能大，截完后又正好沒有剩余，這樣正方形邊長一定是60和36的最大公因數(shù)。解答：（36、60）12（60÷12）×（36÷12）15個答：正方形的邊長可以是

5、12厘米，能截15個正方形。例3、用96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每個花束里的紅玫瑰花的朵數(shù)相同，白玫瑰花的朵數(shù)也相同，最多可以做多少個花束？每個花束里至少要有幾朵花？分析與解：要把96朵紅玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的紅白花朵數(shù)同樣多，那么做成花束的個數(shù)一定是96和72的公因數(shù)，又要求花束的個數(shù)要最多，所以花束的個數(shù)應是96和72的最大公因數(shù)。解答：（1）最多可以做多少個花束（96、72）24（2）每個花束里有幾朵紅玫瑰花96÷244朵（3）每個花束里有幾朵白玫瑰花72÷243朵（4）每個花束里最少有幾朵花4+37朵例4、公共汽車站有三路汽車通往不同

6、的地方。第一路車每隔5分鐘發(fā)車一次，第二路車每隔10分鐘發(fā)車一次，第三路車每隔6分鐘發(fā)車一次。三路汽車在同一時間發(fā)車以后，最少過多少分鐘再同時發(fā)車？分析與解：這個時間一定是5的倍數(shù)、10的倍數(shù)、6的倍數(shù)，也就是說是5、10和6的公倍數(shù)，“最少多少時間”，那么，一定是5、10、6的最小公倍數(shù)。解答：5、10、630答：最少過30分鐘再同時發(fā)車。例5、某廠加工一種零件要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個；第二道工序每個工人每小時可完成12個；第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使流水線能正常生產(chǎn)，各道工序每小時至少安排幾個工人最合理？分析與解：安排每道工序人力時，應使每道工序在相同

7、的時間內(nèi)完成同樣多的零件個數(shù)。這個零件個數(shù)一定是每道工序每人每小時完成零件個數(shù)的公倍數(shù)。至少安排的人數(shù)，一定是每道工序每人每小時完成零件個數(shù)的最小公倍數(shù)。解答：（1）在相同的時間內(nèi)，每道工序完成相等的零件個數(shù)至少是多少？3、12、560（2）第一道工序應安排多少人60÷320人（3）第二道工序應安排多少人60÷125人（4）第三道工序應安排多少人60÷512人例6、有一批機器零件。每12個放一盒，就多出11個；每18個放一盒，就少1個；每15個放一盒，就有7盒各多2個。這些零件總數(shù)在300至400之間。這批零件共有多少個？分析與解：每12個放一盒，就多出11個，就

8、是說，這批零件的個數(shù)被12除少1個；每18個放一盒，就少1個，就是說，這批零件的個數(shù)被18除少1；每15個放一盒，就有7盒各多2個，多了2×714個，應是少1個。也就是說，這批零件的個數(shù)被15除也少1個。解答：如果這批零件的個數(shù)增加1，恰好是12、18和15的公倍數(shù)。1、剛好能12個、18個或15個放一盒的零件最少是多少個12、18、151802、在300至400之間的180的倍數(shù)是多少180×23603、這批零件共有多少個360-1359個例7、公路上一排電線桿，共25根。每相鄰兩根間的距離原來都是45米，現(xiàn)在要改成60米，可以有幾根不需要移動？分析與解：不需要移動的電線

9、桿，一定既是45的倍數(shù)又是60的倍數(shù)。要先求45和60的最小公倍數(shù)和這條公路的全長，再求可以有幾根不需要移動。解答：1、從第一根起至少相隔多少米的一根電線桿不需移動？45、60180（米）2、公路全長多少米？45×（25-1）1080（米）3、可以有幾根不需要移動？1080÷180+17（根）例8、兩個數(shù)的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？分析與解：根據(jù)“兩個自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個數(shù)的乘積?！毕惹蟪?與252的乘積，再用積去除以28即可。4×252÷28=1008÷28=36【模擬試題

10、】1、24的因數(shù)共有多少個？36的因數(shù)共有多少個？24和36的公因數(shù)是哪幾個？其中最大的一個是？2、一個長方形的面積是323平方厘米，這個長方形的長和寬各是多少厘米？（長和寬都是素數(shù)）3、兩個自然數(shù)的乘積是420，它們的最大公因數(shù)是12，求它們的最小公倍數(shù)。4、兩個自然數(shù)相乘的積是960，它們的最大公因數(shù)是8，這兩個數(shù)各是多少？5、兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是126，最大公因數(shù)是6，已知兩個數(shù)中的一個數(shù)是18，求另一個數(shù)。6、有一種長51厘米，寬39厘米的水泥板，用這種水泥板鋪成一塊正方形地，至少需要多少塊水泥板？7、有三根鐵絲長度分別為120厘米、90厘米、150厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每

11、根無剩余，每段最長多少厘米？一共可以截成多少段？8、有兩個不同的自然數(shù)，它們的和是48，它們的最大公因數(shù)是6，求這兩個數(shù)。9、同學們參加野餐活動準備了若干個碗，如果每人分得3個碗或4個碗或5個碗，都正好分完，這些碗最少有多少個？10、有A、B兩個兩位數(shù)，它們的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，則A、B兩個自然數(shù)的和是多少？【試題答案】1、24的因數(shù)共有多少個？36的因數(shù)共有多少個？24和36的公因數(shù)是哪幾個？其中最大的一個是？答：24的因數(shù)共有8個，36的因數(shù)共有9個，24和36的公因數(shù)是1、2、3、4、6、12。其中最大的一個是12。2、一個長方形的面積是323平方厘米，這個長方形的長和寬各

12、是多少厘米？（長和寬都是素數(shù)）答：長方形的長是19厘米，寬是17厘米。3、兩個自然數(shù)的乘積是420，它們的最大公因數(shù)是12，求它們的最小公倍數(shù)。答：它們的最小公倍數(shù)是35。4、兩個自然數(shù)相乘的積是960，它們的最大公因數(shù)是8，這兩個數(shù)各是多少？答：這兩個數(shù)分別是24和40。5、兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是126，最大公因數(shù)是6，已知兩個數(shù)中的一個數(shù)是18，求另一個數(shù)。答：另一個數(shù)是42。6、有一種長51厘米，寬39厘米的水泥板，用這種水泥板鋪成一塊正方形地，至少需要多少塊水泥板？答：至少需要221塊水泥板。7、有三根鐵絲長度分別為120厘米、90厘米、150厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根無剩余，每段最長多少厘米？一共可以截成多少段？答：每段最長30厘米，一共可