信號(hào)與系統(tǒng)教案第4章 2

1、信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-1 1 1頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.8 4.8 取樣定理取樣定理點(diǎn)擊目錄點(diǎn)擊目錄 ，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)，進(jìn)入相關(guān)章節(jié)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-2 2 2頁(yè)

2、頁(yè)頁(yè)電子教案第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解 時(shí)域分析時(shí)域分析，以，以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而可分解為一系列沖激函數(shù)；而yf(t) = h(t)*f(t)。 本章將以本章將以正弦信號(hào)正弦信號(hào)和和虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本信號(hào)，任為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號(hào)或虛指的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。數(shù)信號(hào)之和。 這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是這里用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立

3、變量是頻率頻率。故稱(chēng)為。故稱(chēng)為頻域分析頻域分析。 矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1, vy2, vy3)正交的定義：正交的定義：其內(nèi)積為其內(nèi)積為0。即。即031iyixiTyxvvVV信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-3 3 3頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱(chēng)為稱(chēng)為正交矢量集正交矢量集如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個(gè)所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集正交矢量

4、集。 例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量例如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以，可以用一個(gè)三維正交矢量集用一個(gè)三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線(xiàn)性組合分量的線(xiàn)性組合表示。即表示。即 A= vx+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)信號(hào)空間，空間，在信號(hào)空間找到若干個(gè)在信號(hào)空間找到若干個(gè)相互正交的信號(hào)相互正交的信號(hào)作為基本信作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線(xiàn)號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線(xiàn)性組合。性組合。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-4 4 4頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交

5、函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集1. 定義：定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿(mǎn)足若滿(mǎn)足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱(chēng)則稱(chēng) 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿(mǎn)足內(nèi)滿(mǎn)足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱(chēng)此函數(shù)集為在區(qū)間則稱(chēng)此函數(shù)集為在區(qū)間(t

6、1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-5 5 5頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在函數(shù)不存在函數(shù)(t)(0）滿(mǎn)足）滿(mǎn)足 則稱(chēng)此函數(shù)集為則稱(chēng)此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如例如：三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的是兩組典型的在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備

7、正交函數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-6 6 6頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)三、信號(hào)的正交分解三、信號(hào)的正交分解設(shè)有設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交個(gè)正交函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)近似，可表示為函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)近似，可表示為 f(t)C1 1+ C2 2+ Cn n 如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)

8、為最小。內(nèi)為最小。通常使誤差的方均值通常使誤差的方均值(稱(chēng)為稱(chēng)為均方誤差均方誤差)最小。均方誤差為最小。均方誤差為 ttCtfttttnjjjd )()(12121122信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-7 7 7頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)為使上式最小為使上式最小0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不展開(kāi)上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為為0，寫(xiě)為，寫(xiě)為 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即即 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系

9、數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-8 8 8頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）代入，得最小均方誤差（推導(dǎo)過(guò)程見(jiàn)教材）0d)(112212221njjjttKCttftt在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即時(shí)，所取得項(xiàng)數(shù)越多，即n越越大，則均方誤差越小。當(dāng)大，則均方誤差越小。當(dāng)n時(shí)（為完備正交函數(shù)時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時(shí)有集），均方誤差為零。此時(shí)有 12221d)(jjjttKC

10、ttf上式稱(chēng)為上式稱(chēng)為(Parseval)巴塞瓦爾公式巴塞瓦爾公式，表明：在區(qū)間，表明：在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和可分解為無(wú)窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-9 9 9頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為，其周期為T(mén)，角頻率，角頻率 =2

11、/T，當(dāng)滿(mǎn)足，當(dāng)滿(mǎn)足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)條件時(shí)，它可分解為如下三角級(jí)數(shù)數(shù) 稱(chēng)為稱(chēng)為f(t)的的傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱(chēng)為稱(chēng)為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見(jiàn)，可見(jiàn)， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-101010頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a02

12、2nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， A0/2為為直流分量直流分量； A1cos( t+ 1)稱(chēng)為稱(chēng)為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率與原周，它的角頻率與原周期信號(hào)相同；期信號(hào)相同； A2cos(2 t+ 2)稱(chēng)為稱(chēng)為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)稱(chēng)為稱(chēng)為n次諧波次諧波。 可見(jiàn)可見(jiàn)An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,

13、將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫(xiě)為信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-111111頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)二、波形的對(duì)稱(chēng)性與諧波特性二、波形的對(duì)稱(chēng)性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)稱(chēng)縱坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)an =0，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。，展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)。實(shí)際上，任意函數(shù)實(shí)際上，任意函數(shù)f(t)都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部都可分解為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，即分，即 f

14、(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-121212頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此時(shí)此時(shí) 其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分諧波分量，而不含偶次諧波分量即量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三角形式三

15、角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感的傅里葉級(jí)數(shù)，含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)?？蓮娜母道锶~級(jí)數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪媒切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-131313頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項(xiàng)的上式中第三項(xiàng)的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則上式寫(xiě)為則上式寫(xiě)為 110ee21ee

16、212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A(yù)0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-141414頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)nnjnFFAnnee21稱(chēng)其為稱(chēng)其為復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)傅里葉系數(shù)。，簡(jiǎn)稱(chēng)傅里葉系數(shù)。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttf

17、TF表明：任意周期信號(hào)表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。數(shù)信號(hào)之和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-151515頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)四、周期信號(hào)的功率四、周期信號(hào)的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功率之和。電阻上消耗的平均功率之和。 n0時(shí)，時(shí)， |Fn| = An/2。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為信號(hào)與系

18、統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-161616頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)周期信號(hào)的頻譜及特點(diǎn)一、信號(hào)頻譜的概念一、信號(hào)頻譜的概念 從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種從廣義上說(shuō)，信號(hào)的某種特征量特征量隨信號(hào)頻率變隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱(chēng)為化的關(guān)系，稱(chēng)為信號(hào)的頻譜信號(hào)的頻譜，所畫(huà)出的圖形稱(chēng)為信，所畫(huà)出的圖形稱(chēng)為信號(hào)的號(hào)的頻譜圖頻譜圖。 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將將An和和 n的關(guān)系分別畫(huà)在以的關(guān)系分別畫(huà)在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩

19、個(gè)圖，分別稱(chēng)為面上得到的兩個(gè)圖，分別稱(chēng)為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因?yàn)?。因?yàn)閚0，所以稱(chēng)這種頻譜為，所以稱(chēng)這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可畫(huà)也可畫(huà)|Fn|和和 n的關(guān)系，稱(chēng)為的關(guān)系，稱(chēng)為雙邊譜雙邊譜。若。若Fn為實(shí)數(shù)，也可直接畫(huà)為實(shí)數(shù)，也可直接畫(huà)Fn 。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-171717頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜例：例：周期信號(hào)周期信號(hào) f(t) =試求該周期信號(hào)的基波周期試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫(huà)，畫(huà)出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324c

20、os211tt解解 首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)首先應(yīng)用三角公式改寫(xiě)f(t)的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即263cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號(hào)的直流分量。是該信號(hào)的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P= 323741212121122信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-181818頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次

21、諧波分量；次諧波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫(huà)出畫(huà)出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如圖(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-191919頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為舉例：有一幅度為1，脈沖寬，脈沖寬度為度為 的周期矩形脈沖，其周的周期矩形脈沖，其周期為期為T(mén)，如圖所示。求頻譜。，如圖所示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnn

22、de1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） nnTjnTtjn)2sin(2e122信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-202020頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1，2， Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T = 4畫(huà)圖。畫(huà)圖。零點(diǎn)為零點(diǎn)為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。Fn022441特點(diǎn)特點(diǎn)： (1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散離散)性。譜線(xiàn)位置性。譜線(xiàn)位置是基頻是基頻的整數(shù)倍；的整數(shù)倍；(2)

23、一般具有收斂性。總趨勢(shì)減小。一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-212121頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜譜線(xiàn)的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線(xiàn)的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a) T一定，一定， 變小，此時(shí)變小，此時(shí) （譜線(xiàn)間隔）不變。兩零點(diǎn)（譜線(xiàn)間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線(xiàn)數(shù)目：之間的譜線(xiàn)數(shù)目： 1/ =（2 / ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，間隔增大，間隔 減小，頻譜變密。幅度減小。減小，頻譜變密。幅度減小。 如果周期如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線(xiàn)間隔

24、將趨近于零，周期信號(hào)的那么，譜線(xiàn)間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過(guò)就過(guò)渡到非周期信號(hào)的渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。于無(wú)窮小。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-222222頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換傅里葉變換一、傅里葉變換一、傅里葉變換 非周期信號(hào)非周期信號(hào)f(t)可看成是周期可看成是周期T時(shí)的周期信號(hào)。時(shí)的周期信號(hào)。 前已指出當(dāng)周期前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線(xiàn)間隔趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線(xiàn)間隔 趨趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)

25、頻譜。各頻率近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。間仍有差別。 為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱(chēng)稱(chēng)F(j)為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-232323頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考慮到：考慮到：T，無(wú)窮小，記為無(wú)

26、窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而2d21T同時(shí)，同時(shí)， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變換式“- -”傅里葉反變換式傅里葉反變換式F(j)稱(chēng)為稱(chēng)為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜頻譜。f(t)稱(chēng)為稱(chēng)為F(j)的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數(shù)原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-242424頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換也可簡(jiǎn)記為也可簡(jiǎn)記為 F(j) = F f(t) f(t) = F

27、 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為一般是復(fù)函數(shù)，寫(xiě)為 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 說(shuō)明說(shuō)明 (1)前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟。可證明，前面推導(dǎo)并未遵循嚴(yán)格的數(shù)學(xué)步驟?？勺C明，函數(shù)函數(shù)f(t)的傅里葉變換存在的的傅里葉變換存在的充分條件充分條件:ttfd)(2)用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分用下列關(guān)系還可方便計(jì)算一些積分dttfF)()0(d)(21)0(jFf信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-252525頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)

28、單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 0實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)10tf(t)jjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et , 0 10tf(t)2200211deedee)(jjttjFtjttjt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-262626頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換3. 門(mén)函數(shù)門(mén)函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(24. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 信號(hào)與系

29、統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-272727頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換5. 常數(shù)常數(shù)1有一些函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿(mǎn)足絕對(duì)可積這一充分條件，如1， (t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，并且滿(mǎn)足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列形成的序列Fn(j )是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉變換F (j )為為)(lim)(

30、tftfnn)(lim)(jFjFnn這樣定義的傅里葉變換也稱(chēng)為這樣定義的傅里葉變換也稱(chēng)為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-282828頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200jFjF又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一種求法另一種求法： (t)1(t)1代入反變換定義式，有代入反變換定義式，有)(de21ttj將將 t t，tt- - )(de21tt

31、j再根據(jù)傅里葉變換定義式，得再根據(jù)傅里葉變換定義式，得)(2)(2de1ttj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-292929頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案6. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(22007. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-303030頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.4 4.4 傅里葉變換傅里葉變換歸納記憶：1. F 變換對(duì)變換對(duì)

32、2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F 變換對(duì)：變換對(duì)：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) j1)(e - - t (t) j1g(t) 2Sasgn (t) j2e |t|222 1 12()信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-313131頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)一、線(xiàn)性一、線(xiàn)性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjt

33、jde)(bde)(a11= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-323232頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-333333頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換

34、的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)二、時(shí)移性質(zhì)(Timeshifting Property)If f (t) F(j) thenwhere “t0” is real constant.)(e)(00jFttftjProof: F f (t t0 ) tttftjde)(000ede)(tjjttf)(e0jFtj信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-343434頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?Ans: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j)

35、 =5e)3Sa(6j5e)Sa(2j5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t221468信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-353535頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)三、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)三、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)(Symmetrical Property)If f (t) F(j) thenProof:de)(21)(tjjFtf（1）in (1) t ，t thentjtFftjde)(21)( （2）in (2) - - thentjtFftjde)(21)( F(j t) 2f () endF( j

36、t ) 2f ()信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-363636頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example F(j) = ?211)(ttfAns:22| |2etif =1,2| |12et|2e212t|2e11t* if2232)(22tttttfF(j) = ?信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-373737頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)四、頻移性質(zhì)四、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)If f (t) F(j) thenProof:where “0” is real con

37、stant.F e j0t f(t)ttftjtjde)(e0ttftjde)()(0= F j(- -0) end)(e)(00tfjFtjFor example 1f(t) = ej3t F(j) = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-383838頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2f(t) = cos0t F(j) = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(F(j) = (+0)+ (- -0)For example 3Given that f(t) F(j) The modu

38、lated signal f(t) cos0t ? 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-393939頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)If f (t) F(j) then where “a” is a nonzero real constant.Proof: F f (a t ) =teatftjd)(For a 0 ,F f (a t ) d1e)(afajatajFa1for a 0 ,F f (a t ) de)(1d1e)(ajajatfaafajFa1That is ,f (a t ) ajFa|1Also,letting a = - -1,f (- t

39、 ) F( - -j) ajFaatf|1)(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-404040頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案意義意義 為為非非零零常常數(shù)數(shù)則則若若aajFaatfjFtf,1),()(1) a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展，且幅值縮小時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展，且幅值縮小a倍。倍。 。時(shí)時(shí)域域反反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，頻頻域域也也反反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)jFtfa 1 )3(五、尺度變換性質(zhì)五、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-414141頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案尺度變換性質(zhì)尺度變換性質(zhì)證明證明 atfF atfF aFaatfF

40、 1綜合上述兩種情況綜合上述兩種情況 tatfatfFtdej 因?yàn)橐驗(yàn)閤ataxtatxad1d,0 ，令令當(dāng)當(dāng)xatxaaxttaatxaaad1d,1 ,0 令令，當(dāng)當(dāng) aFa 1 xxfaaxde1j aFa 1 xxfaxade1j xxfaaxde1j 4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-424242頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案otE2 2 tfo E 2 F 2ot 2tfEo E2 22F (1) 0a1 時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展時(shí)域壓縮，頻域擴(kuò)展a倍。倍。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-444444頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換

41、的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 1Given that f (t)F( j), find f (at b) ?Ans: f (t b) e - -jb F( j)f (at b) ajFabaje|1orf (at) ajFa|1f (at b) =)(abtafajFeabaj|1信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-454545頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2f(t) = F(j) = ?11jtAns:11)(ejtt)(e211jt)(e211 jt對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性,尺度變化特性尺度變化特性 a = - -1,so信號(hào)與

42、系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-464646頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)六、卷積性質(zhì)六、卷積性質(zhì)(Convolution Property)Convolution in time domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)Convolution in frequency domain：If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)Then f1(t) f2(t) F1(j)*F2(j)21信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-474747頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉

43、變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)Proof:d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t)*f2(t) =dde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingjtjjFttfe)(de)(22So that, F f1(t)*f2(t) =de)()(de)()(1221jjfjFjFf= F1(j)F2(j)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-484848頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example?)(sin2jFttAns:)Sa(2)(2tgUsing symmetry,)(2)Sa(22gt)

44、()Sa(2gt )(*)(2)(*)(21sin22222ggggttg2()*g2()22- -20F(j)2- -20信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-494949頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)七、時(shí)域的微分和積分七、時(shí)域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain)If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()()0(d)(ttfjFFd)()()0(0Proof:f(n)(t) = (n)(t)*f(t) (j )n F(j) f(- -1)(

45、t)= (t)*f(t) jjFFjFj)()()0()(1)(信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-505050頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)f(t)= 1/t2 ?For example 1Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-515151頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 2已知已知 f (t) F1(j) 求證求證f (t) F1(j) + f(-)+ f() ( )j1)()()()(1)(

46、dd)(d)(1dd)(d)()(11ffjFjtttfjFjtttfftft)()()()(1)()(2)(1ffjFjfjFSo)()()()(1)(1ffjFjjFSummary: if f (n)(t) Fn(j)，and f(-)+ f() = 0 Then f (t) F (j) = Fn(j)/ (j)n信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-525252頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)For example 3f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2

47、)f (t)Ans:f ” ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ” ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-535353頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)八、頻域的微分和積分八、頻域的微分和積分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t)

48、 F(n)(j) xjxFtfjttfd)()(1)()0(whered)(21)0(jFfFor example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-545454頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)Notice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.For example 2Determined)sin(aAns:

49、)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-555555頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案九、帕斯瓦爾關(guān)系九、帕斯瓦爾關(guān)系(Parsevals Relation for Aperiodic Signals)d)(21d)(22jFttfEProofttftfttfEd)()(d)(*2tjFtftjdde)(21)(*dde)()(21*ttfjFtjd| )(|21d)()(212*jFjFjF|F(j)|2 is referred to as the energy-density sp

50、ectrum of f(t). 單位頻率上的頻譜單位頻率上的頻譜 (能量密度譜能量密度譜）Js4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-565656頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案For exampleDetermine the energy of ttt5sin)997cos(2Ans:)(5sin10gtt)997()997(5sin)997cos(21010ggttt10)1010(21d)(2ttfE4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-575757頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)十

51、、奇偶性十、奇偶性(Parity)If f(t) is real, thentttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(= R() + jX()()(| )(|22XRjF)()(arctan)(RXSo that(1)R()= R( ) , X() = X ( ) |F(j)| = |F( j)| , () = ( )(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F(j) = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F(j) = jX()信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-585858頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.

52、6 4.6 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.6 4.6 周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得由頻移特性得 e j 0 t 2( 0 ) e j 0 t 2(+0 ) cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) ( 0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-595959頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.6 4.6 周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換ntjn

53、nTFtfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(例例1：周期為：周期為T(mén)的單位沖激周期函數(shù)的單位沖激周期函數(shù) T(t)= mmTt)(TdtetfTFTTtjnn1)(122解解：)()()(2)(tnnTtnnT(1)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-606060頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.6 4.6 周期信號(hào)傅里葉變換周期信號(hào)傅里葉變換例例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解解：周期信號(hào)：周期信號(hào)f(t)也可看作也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周的周期拓

54、展。即期拓展。即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0F(j) =nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2本題本題 f0(t) = g2(t)Sa(222T(2)(2)式與上頁(yè)式與上頁(yè)(1)式比較，得式比較，得)2(1)(200TnjFTjnFFn這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-616161頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析 傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)

55、不同頻傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。率的虛指數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(對(duì)周期信號(hào)：對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：de)(21)(tjjFtf其其基本信號(hào)基本信號(hào)為為 ej t一、基本信號(hào)一、基本信號(hào)ej t作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)說(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)檎f(shuō)明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)? ，)，而，而t= 總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫(xiě)為響應(yīng)，常寫(xiě)為y(t)。 信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-626262頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.7 LTI4.7 LTI系

56、統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率，當(dāng)激勵(lì)是角頻率的基的基本信號(hào)本信號(hào)ej t時(shí)，其響應(yīng)時(shí)，其響應(yīng) tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式積分而上式積分 正好是正好是h(t)的傅里葉變換，的傅里葉變換，記為記為H(j )，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了響應(yīng)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-636363頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系

57、統(tǒng)的頻域分析二、一般信號(hào)二、一般信號(hào)f(t)作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齊次齊次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) =F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j )信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-646464頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析LTI* h(t) =傅傅氏氏 變變換換傅傅氏氏 反反變變換換f (t)傅傅氏氏 變變換換y(t)F(j)H(j)Y(j)頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)H(j

58、 )可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變可定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換換Y(j )與激勵(lì)與激勵(lì)f(t)的傅里葉變換的傅里葉變換F(j )之比，即之比，即 )()()(jFjYjH)()()()()()()(fyjjejFjYejHjH H(j ) 稱(chēng)為稱(chēng)為幅頻特性幅頻特性（或（或幅頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)）；）；( ) )稱(chēng)為稱(chēng)為相相頻特性頻特性（或（或相頻響應(yīng)相頻響應(yīng)）。）。 H(j ) 是是 的偶函數(shù)，的偶函數(shù)，( )是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 頻域分析法步驟：頻域分析法步驟：傅里葉變換法傅里葉變換法信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-656565頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻

59、域分析系統(tǒng)的頻域分析對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)法。對(duì)周期信號(hào)還可用傅里葉級(jí)數(shù)法。周期信號(hào)周期信號(hào)ntjnnTFtfe)(ntjnnntjnnTjnHFthFtfthtye)(e*)()(*)()(若若10)cos(2)(nnnTtnAAtf)()()(jejHjH則可推導(dǎo)出則可推導(dǎo)出10)(cos| )(|)0(2)(nnnntnjnHAHAty信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-666666頁(yè)頁(yè)頁(yè)電子教案4.7 LTI4.7 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析例例：某：某LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)的 H(j ) 和和( ) )如圖，如圖，若若f(t)= 2 + 4cos(5t) + 4cos(10t

60、)，求系統(tǒng)的響應(yīng)。，求系統(tǒng)的響應(yīng)。|H(j)|()10- -1001- -解法一解法一：用傅里葉變換：用傅里葉變換F(j ) = 4() + 4(5) + (+5)+ 4(10) + (+10)Y(j ) = F(j )H(j ) = 4() H(0) + 4(5) H(j5 5) + (+5) H(-j5 5)+ 4(10) H(j1010) + (+10) H(-j1010) H(j )= = H(j ) ej(ej( ) )= 4() + 4-j0.5(5) + j0.5(+ 5) y(t) = F-1Y(j ) = 2 + 2sin(5t)信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng)第第第4-4-4-6767