線性代數(shù) 矩陣PPT學習教案

1、會計學12第1頁/共103頁3下面引入一個一般的概念如求方程 的根，210 x 此方程不僅在有理數(shù)范圍內(nèi)無解，就是在實數(shù)范圍內(nèi)也無解，只在復數(shù)范圍內(nèi)有解。為了在以后的討論中能把具有共同運算性質(zhì)的數(shù)集統(tǒng)一處理在研究某些問題時，常常和所研究對象的取值范圍有關。第2頁/共103頁4則稱集合F構成一個數(shù)域定義1.1例如: 有理數(shù)集、實數(shù)集、復數(shù)集都構成數(shù)域。 但整數(shù)集不構成數(shù)域。 第3頁/共103頁5定義1.2如果一個數(shù)集F中任意兩個數(shù)經(jīng)過某一種運算后所得結果仍在該數(shù)集中,則稱數(shù)集F對該運算封閉.例如: 整數(shù)集對加法運算封閉，但對除法運 算不封閉。 因此,要證明一個數(shù)集是否構成數(shù)域只要能證明該數(shù)集中含

2、有數(shù)0和1,并且對加、減、乘、除四種運算都封閉即可。第4頁/共103頁6注意:（1）本書中涉及到的數(shù)都是指某個數(shù)域中的數(shù) 例1 設 則 是一個 數(shù)域。 3, ,Faba bQF（2）若沒有特別說明涉及到的數(shù)域一般是指實數(shù)域第5頁/共103頁7引例:例1 設某種物資，如煤炭等，有 個產(chǎn)地， ， 個銷地， ，如果以 aij表示由第i個產(chǎn)地銷往第 j個銷地的數(shù)量，mn12,mA AA12,nB BB1112112122221212jnjniiijinmmmjmnaaaaaaaaaaaaaaaa矩陣表示由第 個產(chǎn)地銷往第 個銷地的數(shù)量ijaij則這類物資的調(diào)運方案，可用一個數(shù)表表示如下：第6頁/共10

3、3頁8由mn 個數(shù) aij ( i = 1, 2, , m ; j = 1, 2, , n)按一定次序排成 m 行 n 列的矩形數(shù)表111212122212nnmmmnaaaaaaaaa稱為一個 m 行 n 列的矩陣，簡記為 (aij)mn一般用大寫字母 A，B，表示，m行n列的矩陣A也記為Amn，構成矩陣A的每個數(shù)稱為矩陣A的元素，而aij表示矩陣第 i 行、第 j 列的元素。定義1.3m nA第7頁/共103頁9(1)如果矩陣A的元素aij全為實(復)數(shù),就稱A為實(復)矩陣。一般的，僅討論實矩陣。(2)如果矩陣的行數(shù)等于列數(shù) ， 則稱矩陣為 階矩陣或 階方陣，記做mnnnnA實際上，一階

4、矩陣就是一個數(shù)。(3)若兩個矩陣行數(shù)和列數(shù)分別相等，則稱這兩個矩陣是同型矩陣，否則稱為非同型矩陣。(4)若兩個矩陣不但是同型矩陣，而且對應的元素也相等，則稱這兩個矩陣相等。注意：第8頁/共103頁10矩陣應用舉例：例1：把下圖中四個城市之間的航線用矩陣表示出來 城市2城市3城市4城市1解:設1,140ijaij從城市i到城市j有一條航線（，）， 從城市i到城市j沒有航線則得到鄰接矩陣40110101101000010A第9頁/共103頁11例2：把下列成績統(tǒng)計表用矩陣表示出來 姓名高數(shù) 英語 鄧論 普物張一98908772李二89908698王三97847587劉六85888588解：用矩陣表

5、示為98908772899086989784758785888588第10頁/共103頁12l列矩陣：只有一列的矩陣12mbbBbl零矩陣：元素都是零的矩陣 記作O。幾種比較特殊的矩陣：有多少個？它們都相等嗎？l行矩陣：只有一行的矩陣12(,)nAaaa第11頁/共103頁13形如 的方陣11121222000nnnnaaaaaa形如 的方陣11212212000nnnnaaaaaa上、下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣第12頁/共103頁14l對角矩陣：方陣并且除主對角線上的元素外其余 元素全為零通常用 表示),(21ndiag即 = ),(21ndiagnnn00000021例如:100(1, 2,

6、3)020003diag 是一個三階對角矩陣第13頁/共103頁15l數(shù)量矩陣：對角矩陣中當 時n21例如：5000050000500005就是一個數(shù)量矩陣也就是說，數(shù)量矩陣是對角矩陣的一種特例第14頁/共103頁16 特點:從左上角到右下角的直線(主對角線)上的元素都是1，其他元素都是0。100010001E即l單位矩陣：當數(shù)量矩陣中對角線上的常數(shù)為1，稱為單位矩陣，用字母 或 表示 nEE第15頁/共103頁17如果變量y1 ,y2 ,. ,ym可由變量x1 ,x2 ,. ,xn線性表示, . ,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxax

7、axay稱為由變量x1 ,x2 , . ,xn到變量y1 ,y2 , . ,ym的變換為線性變換。線性變換由 個 元函數(shù)組成，每個函數(shù)都是變量的一次冪，故而稱之為線性變換。mn線性變換：定義1.4即第16頁/共103頁18111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA其中,由系數(shù)構成的矩陣可以看出給定一個矩陣必定對應于一個線性變換如：單位矩陣100010001nE對應的線性變換為1122nnyxyxyx稱為恒等變換第17頁/共103頁19再如: 線性變換 .,222111nnnxyxyxy 對應n階系數(shù)矩陣為12000000nA是一個對角矩陣。也就是說，線性變換和系數(shù)矩陣是一一對應的

8、。第18頁/共103頁202 矩陣的運算一. 矩陣的加法定義2.1 設有兩個mn矩陣A=(aij), B=(bij),那么A與B的和記為C=A+B,規(guī)定為111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnabababababababababCA B背景: 矩陣之所以有用,不在于把一組數(shù)能排成矩形數(shù)表,而在于能進行有實際意義的運算。第19頁/共103頁21加法滿足運算規(guī)律: (1) A+B= B + A; (交換律) (2) (A + B)+C= A +(B +C) . (結合律)特別的:AAOOA=+=+) 3 (OAAAA=+=+)- ()- () 4(A是A的負矩陣n

9、mijaA)(注意:只有當兩個矩陣同型時,才能進行加法運算，其運算法則就是把它們的對應元素相加。第20頁/共103頁22nmijijbaBABA=+=)-()- (-例：計算下列兩個矩陣的和與差102110,321213AB解：012212,512134ABAB第21頁/共103頁23二. 數(shù)與矩陣相乘（簡稱為數(shù)乘）定義2.2 數(shù)與矩陣A的乘積記作 A,規(guī)定為111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 數(shù)與矩陣相乘滿足運算規(guī)律:)()(1(AA AAA )(2(BABA )()3(第22頁/共103頁24例2設431,205A120103B求 A3B解：3603309B43136

10、03205309AB191504說明：矩陣的加法運算和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算第23頁/共103頁2512,t t123,x x x111 112 2221 122 2331 132 2xb tb txb tb txb tb t123,x x x12,y y111 1122133221 1222233ya xa xa xya xa xa x12,t t12,y y11111 112 21221 122 21331 132 222111 112 22221 122 22331 132 2yab tb tab tb tab tb tyab tb tab tb tab tb t第24頁/共103

11、頁26即：111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt上述運算也稱為兩個線性變換的乘積根據(jù)線性變換與矩陣的關系，也可以理解為111213212223aaaaaa111221223132bbbbbb矩陣與的乘積為第25頁/共103頁27111211121311 1112 2113 3111 1212 2213 32212221222321 1122 2123 3121 1222 2223 323132bbaaaa ba ba ba b

12、a ba bbbaaaa ba ba ba ba ba bbb按上述方法定義的矩陣乘法有實際意義。由此推廣得到一般的定義：？第26頁/共103頁28定義2.3 設A=(aij)ms，B=(bij)sn ，那么規(guī)定矩陣A與B的乘積是C=(cij) m n,其中 skkjiksjisjijiijbabababac12211并把此乘積記作C=AB。 msmmisiisaaaaaaaaa212111211 snnnsjsjjbbbbbbbbb211221111 mnmjminnijijccccccccc111111第27頁/共103頁29特例:行矩陣與列矩陣相乘其結果就是一個數(shù)12121 122,()

13、ssssbba aaa ba ba bb思考：列矩陣和行矩陣相乘的結果是什么？例321 ,1AB BA 設A=(1,2,-3),B=求解：21,2, 31(1)1AB 224611,2, 31231123BA 第28頁/共103頁30第29頁/共103頁31例4.線性變換的矩陣表示yAx111 11221221 122221 122nnnnmmmmnnya xa xa xya xa xa xya xaxa x設線性變換，111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA12nxxxx12myyyy，則記第30頁/共103頁32設方程組為11 112211nna xa xa xb21 12

14、2222nna xa xa xb1 122mmmnnma xaxa xb例5.線性方程組的矩陣表示其中設111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa稱為線性方程組的系數(shù)矩陣第31頁/共103頁33則方程組可以表示為：12mbbBb若令1112111212222212nnmmmnnmaaaxbaaaxbaaaxb簡記為AXB12nxxXx第32頁/共103頁34例6101 21 1300 51 4A 0341213 11121B求：AB和BA。解：567102621710AB3 23 5 16174624 123762BA思考:由本例的計算你能得到什么結論？第33頁/共103頁35一

15、般地，矩陣乘法不滿足交換律，即：ABBAm sAs nBm ss nABmns nm sBA1.如果 ， ，則 有意義，當 時， 無意義。2.即使 ， ，則 是m階方陣，而 是n階方陣；m nAn mBm nn mABn mm nBA3.如果 ， 都是n階方陣， 如：AB注意第34頁/共103頁36例 7 設1111A1111B則00,00AB22,22BA特別的，當AB=BA時，則稱A與B可交換。.BAAB故由例7可知兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣。同樣不滿足交換律第35頁/共103頁37則55,1010ABAC,.AOBC但且例8 設1321B7112C1224A由例8可知矩陣乘法一般不滿

16、足消去律。第36頁/共103頁38數(shù)的運算與矩陣運算的比較：在數(shù)的乘法中，若 ab = 0 a = 0 或 b = 0兩個非零矩陣乘積可能為O。在矩陣乘法中,若 AB = O A = O 或 B = O在矩陣乘法中, 若 AC = AD, 且 A O C = D 在數(shù)的乘法中，若 ac = ad，且 a 0 c = d (消去律成立) (消去律不成立)第37頁/共103頁39矩陣的乘法滿足如下的運算律：(1)()()AB CA BC結合律CABAACBACABCBA )( )() 2(右分配律右分配律左分配律左分配律BAAB)()() 3( 對于單位矩陣，有nmnnmnmnmmAEAAAE ,

17、單位矩陣與任何矩陣可交換簡記為:AEEAA第38頁/共103頁40例10利用矩陣的運算計算第一節(jié)例2中4個學生每人的總成績和各學科平均成績解：每人的總成績的矩陣表示式989087728990869897847587858885881111 347363=34334698908772899086989784758785888588各學科平均成績的矩陣表示式1111， ， ，1492.2588=83.2586.25第39頁/共103頁41為方陣A的n次冪。一般稱nnAAAA 規(guī)定：EA 0設k，l為正整數(shù)，判斷下列各式是否正確？,klk lA AA(),klklAA()kkkABA B。矩陣乘法中

18、的特例：方陣的冪思考：（1）兩個對角矩陣的乘積如何計算？ （2）對角矩陣的冪如何計算？ （3）單位矩陣的冪又如何？第40頁/共103頁42例1：用矩陣表示課本第2頁圖1，1中，從第i個城市經(jīng)過一次中轉(zhuǎn)到第j個城市的單向航線。解：由于四個城市之間的單向航線可用下列矩陣表示0111100001001010A利用矩陣的乘法可知，下列矩陣即為所求22110011110000211A第41頁/共103頁43242(),2,42ijijbbi設A則 表示從第 個城市經(jīng)一次中轉(zhuǎn)到第j個城市 的單向航線數(shù)如：b表示從第 個城市經(jīng)過一次中轉(zhuǎn)到第 個城市 有2條單向航線 分別為412，432。思考：上述問題中若要

19、表示從第i個城市能直接或經(jīng)一 次中轉(zhuǎn)到第j個城市的單向航線，該用什么樣的矩陣？（答案： ）2AA第42頁/共103頁44開式如何?1 1001 1001A2()()AEOAEAEOAEAE 或第43頁/共103頁45練習題2.,1021nANnA求求設設121111.1,32344AB 求10()BA第44頁/共103頁46四、矩陣的轉(zhuǎn)置滿足運算律：(1)()TTAA (2)()TTTABAB(3)()TTAA (4)(),()()TTTn TTnABB AAA定義 把矩陣A的行換成同序數(shù)的列,得到的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作 或 。 TAA111212122212nnmmmnaaaaaaa

20、aaA1121112222T12mmnnmnaaaaaaaaaA行列互換1221()TTTTnnA AAAA A 第45頁/共103頁47(),(),(),()ijm sijs nTTijm nijn mAaBbABCcB ADd設記有1sjijkkikca b121211(,)jssjijiisikijkjkkikkjsaadb bbb aa ba所以), 2 , 1;, 2 , 1(mjnicdjiij ,()TTTTCDABB A即即或或證明：4）第46頁/共103頁48(1) 若方陣A滿足 AT = A，即 aji = aij，則稱A為對稱矩陣。(2) 若方陣A滿足 AT = A，即

21、aji = aij，則稱A為反對稱矩陣。這時 aii = 0 ( i = 1, 2, n)對稱矩陣的特點是: 它的元素以主對角線為對稱軸對應相等 。反對稱矩陣的特點是: 以主對角線為對稱軸的對應元素絕對值相等,符號相反,且主對角線上各元素均為0 。第47頁/共103頁49例8設112,201A210113421B，求 (AB)T。解法一：210112113201421AB92180198()2011TAB第48頁/共103頁50解法二(AB)T = BT AT214121 121003121 982011第49頁/共103頁51例9 設列矩陣 滿足 12,TnXx xx1,TX X .,2,E

22、HHHXXEHnETT 且且陣陣是對稱矩是對稱矩證明證明階單位矩陣階單位矩陣為為證明2TTTHEXX2TTTEXX2,TEXXH.是對稱矩陣是對稱矩陣H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 第50頁/共103頁52思考題: 證明: 任一 階矩陣 都可表示成對稱陣與反對稱陣之和.nA證明TAAC 設設 TTTAAC 則則AAT ,C 所以C為對稱矩陣.,TAAB 設設 TTTAAB 則則AAT ,B 所以B為反對稱矩陣.22TTAAAAA 22CB。第51頁/共103頁532AOAO，則。第52頁/共103頁54定義 將矩陣A用若

23、干條縱線和橫線分成許多個小矩陣,每個小矩陣稱為A的子塊,以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。 111213142122232431323334aaaaAaaaaaaaa列舉三種分塊形式：111213142122232431323334(1)aaaaaaaaaaaa11122122AAAAA五、矩陣的分塊對行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣經(jīng)常采用分塊法來簡化計算，盡量分出一些單位矩陣和零矩陣第53頁/共103頁55111213142122232431323334(2)aaaaaaaaaaaa111213142122232431323334(3)aaaaaaaaaaaa111212122212,rrsssrAAA

24、AAAAAAA同一列的子塊的列數(shù)相同；同一行的子塊的行數(shù)相同。第54頁/共103頁56 ,4321AAAA bbaaA110101000001 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004（按列分塊）,4321 AAAA bbaaA110101000001 0011aA 其其中中 0002aA 1013bA bA1104 （按行分塊）兩種特殊的分塊方式：第55頁/共103頁57分塊矩陣的運算法則:(1)矩陣A與B為同型矩陣,采用同樣的分塊法,有 111211112121222212221212,rrrrsssrsssrAAABBBAAABBBABAAABBB111112121

25、121212222221122rrrrsssssrsrABABABABABABABABABAB注： 也是同型矩陣。當然，對加法而言，分塊法意義不大。ijijAB與第56頁/共103頁581111rssrAAAAA1111rssrAAAAA第57頁/共103頁59(3) A為ml 矩陣,B為ln 矩陣,將A,B分成 11111111,trsstttrs tt rAABBABAABB其中Ai1,Ai2,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,Btj的行數(shù),則有 1111rssrs rCCABCC1(1,2,., ;1,2,., )tijikkjkCA Bis jr其中第58頁/共103頁60簡單的說，

26、前一矩陣的列分法與后一矩陣的行分法一致。第59頁/共103頁61用分塊矩陣的乘法去理解矩陣乘法()()ijm sijs nAaBb，1212()TTnTmAB，則：111212122212()TTTnTTTnijm nTTTmmmnABc 其中，1sTijijikkjkca b 第60頁/共103頁621000101001001201,1210104111011120AB例10求AB.解 A,B分塊成 110000010012101101EAAE1121221010120110411120BEBBB第61頁/共103頁63111112122111211220EBEBEABAEBBABBAB 1

27、1422101204311012101112121111BBA 133302141121221BA1010120124331131AB第62頁/共103頁64(4)設111212122212rrsssrAAAAAAAAAA則112111222212ssrrsrAAAAAAAAAA(5)設n階方陣A的分塊矩陣為 12mAAAA除主對角線上的子塊不為零子塊外,其余子塊都為零矩陣,且Ai(i=1,2,m)為方陣,則A稱為分塊對角矩陣(或準對角矩陣). 怎么樣就成為對角矩陣？第63頁/共103頁65例如：321AAA00為準對角矩陣。3200001400000060000005100002110000

28、12第64頁/共103頁66 在矩陣理論的研究中,矩陣的分塊是一種最基本,最重要的計算技巧與方法.(1) 加法采用相同的分塊法采用相同的分塊法同型矩陣同型矩陣,(2) 數(shù)乘的每個子塊的每個子塊乘乘需需乘矩陣乘矩陣數(shù)數(shù)AkAk,(3) 乘法,ABAB若若 與與 相相乘乘 需需 的的列列的的劃劃分分與與 的的行行的的劃劃分分一一致致 分塊矩陣之間的運算:分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)類似(4) 轉(zhuǎn)置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11第65頁/共103頁673 可逆矩陣(方陣) 背景：在矩陣的運算中沒有除法。從乘法的角度看，n階單位矩陣E在n階方陣乘法中的地位與

29、數(shù)1在數(shù)的乘法中的地位類似，因此可以把數(shù)中的倒數(shù)關系延拓到矩陣中。定義3.1 對于n階方陣A,如果存在一個n階方陣B，滿足AB=BA=E，則稱方陣A可逆，且把方陣B稱為A的逆矩陣。記作 1BA顯然，只有方陣才可能有逆矩陣；如果B是A的逆矩陣，則A是B的逆矩陣；實際上，只需滿足AB= E或 BA=E即可（后面有證）。第66頁/共103頁68例1 設,21212121,1111 BA,EBAAB .的一個逆矩陣的一個逆矩陣是是AB性質(zhì)1 如果A是可逆的,則A的逆矩陣唯一 。證:設B,C都是A的逆矩陣,則一定有逆矩陣的性質(zhì)B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.第67頁/共103頁694,A B

30、AB性質(zhì)若為同階方陣且均可逆 則亦可逆 且 1111 ABBAABAB1 AEA,1EAA .111 ABAB證明 1ABB1 1 A3,0, AkkA性質(zhì)若 可逆 數(shù)則可逆 且 .111 AkkA1112,.AAAA性質(zhì)若 可逆 則亦可逆 且 .1212 AA推廣推廣1AmA1 mA1 1A第68頁/共103頁70 TTTAAAA11 TE ,E .11TTAA 01,.kkAAEAA另外 當 可逆時 定義證明 為正整數(shù)為正整數(shù)k115,.TTTAAAA性質(zhì)若 可逆 則亦可逆 且第69頁/共103頁71性質(zhì)6 設 ，則，120na aa 112naaa 112naaa 12111naaa11

31、111nnaaa 第70頁/共103頁72性質(zhì)7 設M是一準對角矩陣， 都是可逆矩陣，則M也是可逆矩陣，且12sAAMA (1,2, )iA is 111121sAAMA 類似的，11112111sssAAAAAA 第71頁/共103頁73性質(zhì)8 設A,B,C都是n階矩陣，且A,B均可逆，則11111ACAA CBOBOB 性質(zhì)9 設A,B,D都是n階矩陣，且A,B均可逆，則11111AOAODBB DAB 第72頁/共103頁74例 2 設,0112 A.A求 的逆矩陣解:設 是 的逆矩陣, dcbaBA則 dcbaAB0112 1001221001acbdab利用待定系數(shù)法(以后還有其它方

32、法) , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba第73頁/共103頁75又因為 0112 2110 0112 2110,1001 所以.21101 AABAB第74頁/共103頁76證明證明, 022 EAA由由 EEAA2 得得()2AEAE.,2,:, 022并求它們的逆矩陣并求它們的逆矩陣都可逆都可逆證明證明滿足方程滿足方程設方陣設方陣EAAEAAA 例3.可逆可逆故故A .211EAA 第75頁/共103頁77022 EAA又由又由 0432 EEAEA EEAEA 3412.EA可逆可逆故故2 EAEA34121 且且.43AE 12 EA類似的， ？

33、類似于因式分解。1(4 )AE思考：是否還有別的方法？第76頁/共103頁78例4設A，B，A+B，A-1+B-1都可逆，證明： (A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A第77頁/共103頁79500031 ,021A求A-1 .例5 設解11112231111(5),;,21235AAAA1250000310021AAA11005011 .023A第78頁/共103頁80定義1 對矩陣的行施行下列三種變換稱為矩陣的初等行變換(1) 互換兩行 的位置 ( 記作 ri rj );(2) 以不為0的數(shù) k 乘以某一行 ( 記作 k ri );(3) 將某一行的元素乘以數(shù)k后加到另一行的對應元素上

34、去 (記作 ri + k rj )。相應地，對矩陣的列可以定義矩陣的初等列變換 記號只需將 r 換成 c即可。矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換4 矩陣的初等變換和初等方陣第79頁/共103頁81矩陣的等價關系滿足的性質(zhì)：(1) 自反性：；A A(2) 對稱性：若，則；BAAB(3) 傳遞性：若，則；A B B CA C記做AB定義2 若矩陣經(jīng)過若干次初等變換得到矩陣則稱矩陣與矩陣等價ABAB第80頁/共103頁82定義3滿足下列特點的矩陣稱為行階梯形矩陣（1）矩陣中可畫出一條階梯線，階梯線下方元素全為零（2）每個階梯只有一行，且階梯線的豎線后面第一個元素非零其中，元素全部為零的

35、行稱為零行，否則稱為非零行。定理：任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行階梯形矩陣。例如：120400510000A就是一個行階梯形矩陣第81頁/共103頁8321312rrrr012140243501267B01214000530005332rr012140005300000目前，已經(jīng)化為行階梯形矩陣了。下面繼續(xù)進行初等行變換。第82頁/共103頁84215r012143000150000012rr170120530001500000觀察上述行階梯形矩陣，滿足（1）非零行的第一個非零元素都是1（2）每個非零行的第一個非零元素所在列的其他元素都是零。滿足這兩個特點的行階梯形矩陣稱為行最簡形矩

36、陣可知，任何矩陣都可以通過單純的初等行變換化成行最簡形矩陣。第83頁/共103頁85定義 由單位矩陣 E 經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣。 矩陣的初等變換是矩陣的一種基本運算，應用非常廣泛.三種初等變換對應著三種初等方陣. 行（列）上去行（列）上去乘某行（列）加到另一乘某行（列）加到另一以數(shù)以數(shù)乘某行或某列；乘某行或某列；以數(shù)以數(shù)對調(diào)兩行或兩列；對調(diào)兩行或兩列；kk. 30. 2. 1第84頁/共103頁86110111011ijijrrnccE 或記作第 i 行第j行( , )E i j(1)第85頁/共103頁87111111iikrncEk或k記作(2)第 i 行( ( )E i

37、 k第86頁/共103頁88(3)1111k第 i 行第 j 行ijjirkrnkcE或或c cE( i+ j (k)記作第87頁/共103頁89關于初等方陣有下列結論: E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k) 注:上述結論可以利用逆矩陣的定義證明初等方陣都是可逆矩陣,并且它們的逆矩陣仍然是初等方陣.其逆矩陣分別是:第88頁/共103頁90 111212122231323111221223132111213212223313233110010000110201000110030010100nnnaaakaaaaaakaaaaaa

38、bbbbbbbbbk例計算并觀察初等方陣的作用其中 nnnaaakakakaaaa332312222111211 3231222132123111aaaakaakaa 323331222321121311bbbbbbbbb第89頁/共103頁91定理1對A施行一次初等行變換，相當于在A的左側(cè)乘以一個相應的m階初等矩陣；對A施行一次初等列變換，相當于在A的右側(cè)乘以一個相應的n階初等矩陣；設A是一個 m n 矩陣矩陣乘法與矩陣的初等變換的關系第90頁/共103頁92r1 r2343332311413121124232221aaaaaaaaaaaaE(1, 2) A343332311413121124232221aaaaaaaaaaaa100001010343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA例如：第91頁/共103頁93定理2: 任意一個mn矩陣都可以經(jīng)過若干次初等行變換和若干次初等列變換化為如下形狀的矩陣：()()() ()rrn rm rrm rn rEOOO1212stPPPQQQ即即存存在在初初等等矩矩陣陣， ， ，和和， ，使使 000211