江西省三校生高考三角函數(shù)復(fù)習(xí)

1、 三角函數(shù)三角函數(shù)O A 在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，角角可以看作一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形可以看作一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形成的圖形 初中學(xué)過的角的定義是什么？初中學(xué)過的角的定義是什么？如圖如圖 AOB BOA B一、任意角的三角函數(shù)1、角的概念的推廣角的概念的推廣正角正角負(fù)角負(fù)角oxy的終邊的終邊),(零角零角按按逆時(shí)針逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角；正角；按按順時(shí)針順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角；負(fù)角；當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)叫做當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)叫做零角零角. .角可以記作角角可以記作角 或或 ，也可簡記為，也可簡記為 .O

2、 A任意角的概念如圖如圖 AOB 120 ， BOA 120 O AB結(jié)論結(jié)論 所有與所有與 終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合：終邊相同的角構(gòu)成一個(gè)集合：注意注意 (1) k Z； (2) 是任意角；是任意角； (3) 終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角不一定相等， 但相等的角終邊相同；但相等的角終邊相同； (4) 終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)， 它們的差是它們的差是 360 的整數(shù)倍的整數(shù)倍S | k360，k Z 處于標(biāo)準(zhǔn)位置的角的終邊落在處于標(biāo)準(zhǔn)位置的角的終邊落在第幾象限第幾象限，就把這個(gè)，就把這個(gè)角叫做角叫做第幾象限的角第幾象限的角如果角的終邊落在如果角的終邊落在坐標(biāo)軸上坐

3、標(biāo)軸上，就，就認(rèn)為這個(gè)角認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限不屬于任何象限Oyx例例 是第一象限角，是第一象限角， 是第二象限角，是第二象限角， 不屬于任何象限不屬于任何象限象限角 在直角坐標(biāo)系中討論角時(shí)，通常使角的頂點(diǎn)和坐在直角坐標(biāo)系中討論角時(shí)，通常使角的頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的正半軸重合軸的正半軸重合. .這樣角的這樣角的大小和方向可確定終邊在坐標(biāo)系中的位置大小和方向可確定終邊在坐標(biāo)系中的位置. .這樣放置的這樣放置的角，我們說它在坐標(biāo)系中處于角，我們說它在坐標(biāo)系中處于標(biāo)準(zhǔn)位置標(biāo)準(zhǔn)位置例例1 寫出第一象限角的集合寫出第一象限角的集合.解解 在在0 360 之間之間，第

4、一象限角的取值范圍是第一象限角的取值范圍是 0 90 ， 所以第一象限角的集合是所以第一象限角的集合是 | k360 90 k360 ，k Z試一試試一試: （1）寫出第二象限角的集合；寫出第二象限角的集合； （2）寫出第三象限角的集合；寫出第三象限角的集合； （3）寫出第四象限角的集合寫出第四象限角的集合.1. 銳角是第一象限角銳角是第一象限角.( )2. 第一象限的角全是銳角第一象限的角全是銳角. ( )5. 小于小于 90 的角都是銳角的角都是銳角. ( )4. 終邊相同的角一定相等終邊相同的角一定相等. ( )3. 第一象限的角都是正角第一象限的角都是正角. ( )6.小于小于 90

5、的角不都是正角的角不都是正角. ( ) 1. 在平面幾何中，在平面幾何中，1 的角是怎樣定義的？的角是怎樣定義的？ 2. 在半徑為在半徑為 r 的圓中，的圓中，n 的圓心角所對的弧長如何計(jì)算？的圓心角所對的弧長如何計(jì)算？ nrl3602把一圓周把一圓周360360等分，則其中一份所對的圓心角是等分，則其中一份所對的圓心角是 1 1 度角度角 定義定義 長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做做 1 弧度的角弧度的角，弧度弧度記作記作 rad O rr1rad討論討論 一個(gè)圓周角是多少度？是多少弧度？一個(gè)圓周角是多少度？是多少弧度？ 一個(gè)平角是多少度？是多少弧度？一

6、個(gè)平角是多少度？是多少弧度？180 rad .360 2 rad ，思考思考 1 等于多少弧度？等于多少弧度？180 1 rad ( ) 57.305718 1 rad 0.01745 rad ； 1801 rad 等于多少度？等于多少度？n 呢？呢？180n n rad rad 呢？呢？180rad 度 弧度 003064543602120321354315065270231803602902、角度與弧度的互化角度與弧度的互化36021801801185730.57)180(1,弧度特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表 例例1 1 把把 67 30 化成弧度化成弧度r

7、ad 832135rad1803067，21353067解解rad 53 例例2 2 把把 化成度化成度10853180rad 53解解2 rBAr O練習(xí)練習(xí) 將半徑為將半徑為 r 的圓的半徑的圓的半徑 OA ，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 OB若若 長為長為 2 r ，那么，那么AOB 為多少弧度？為多少弧度？AB 這種用這種用“弧度弧度”做單位來度量角的制度叫做做單位來度量角的制度叫做弧度制弧度制. 無論是用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實(shí)無論是用角度制還是弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集數(shù)集R之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系.正角正角的弧度數(shù)為的弧度數(shù)為正數(shù)正數(shù)， 負(fù)角負(fù)角

8、的弧度數(shù)為的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)，零角零角的弧度數(shù)為的弧度數(shù)為 0 0二、弧長公式與扇形面積公式二、弧長公式與扇形面積公式1 1、弧長公式：、弧長公式：= l2 2、扇形面積公式：、扇形面積公式：S=12 lS=12 2RL第第1 18 8講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2扇形弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用扇形弧長公式與扇形面積公式的應(yīng)用1 1、終邊相同的角與相等角的區(qū)別、終邊相同的角與相等角的區(qū)別終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。終邊相同的角不一定相等，相等的角終邊一定相同。2 2、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別、象限角、象間角與區(qū)間角的區(qū)別Zkkk2 ,2xyOxyOxyOxyO3

9、 3、角的終邊落在、角的終邊落在“射線上射線上”、“直線上直線上”及及“互相互相垂直的兩條直線上垂直的兩條直線上”的一般表示式的一般表示式Zkk2ZkkZkk2三、終邊相同的角例例. .若若是第三象限的角，問是第三象限的角，問/2/2是哪個(gè)象限的是哪個(gè)象限的角角?2?2是哪個(gè)象限的角是哪個(gè)象限的角? ? 初中銳角三角函數(shù)定義初中銳角三角函數(shù)定義( (正弦，余弦，正切正弦，余弦，正切) ) 思考思考 角的范圍已經(jīng)推廣，那么我們?nèi)绾味x角的范圍已經(jīng)推廣，那么我們?nèi)绾味x 任意角任意角 的的三角函數(shù)呢？三角函數(shù)呢？ 斜邊鄰邊Acos斜邊對邊Asin鄰邊對邊AtanAB鄰鄰 邊邊 斜斜 邊邊對對邊邊C

10、注意：注意： ，自變量為，自變量為函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)的的都是都是，角終邊上的任意一點(diǎn)角終邊上的任意一點(diǎn)是是點(diǎn)點(diǎn)是任意大小的角是任意大小的角csc,seccot,tan,cos,sin. 3P. 2. 1三角函數(shù)的定義域三角函數(shù)的定義域：xo oP(x,yP(x,y) )yrxryxxyrxry csc sec cottan cos sinsincos三三 角角 函函 數(shù)數(shù)定定 義義 域域sec,tancsc,cotRR,2|Zkk ,|Zkk 例例 1 已知角已知角 終邊經(jīng)過點(diǎn)終邊經(jīng)過點(diǎn) P（2，- -3）如圖，如圖， 求求角角 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值OyxP（

11、2，-3）解解 已知點(diǎn)已知點(diǎn) P（2， -3），則則133222 OPr；23tan13132132cos13133133sinxyrxry角角 sin6cottancos4 2 32 3 43 65 02323212122221002323 2121 2222 333333 33 333 3 111 1 01001 0二二、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)、三角函數(shù)在各象限的符號(hào) sin costan 要點(diǎn)探究第第1818講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1任意角的概念的應(yīng)任意角的概念的應(yīng)用用 簡單應(yīng)用：簡單應(yīng)用：1. 以原點(diǎn)為圓心，半徑為以原點(diǎn)為圓心，半徑為 1 的圓稱為的圓稱為單位圓單位圓.2.

12、 如圖，角如圖，角 的終邊與單位圓交于點(diǎn)的終邊與單位圓交于點(diǎn)P，則根據(jù)三角函數(shù)定義可知，點(diǎn)則根據(jù)三角函數(shù)定義可知，點(diǎn) P 的坐標(biāo)的坐標(biāo) x， y 分別為分別為 cos 和和 sin ，即，即 P( cos , sin ).O M x A(1,0)(1,0)y1 P 由于由于 cos x OM； sin y MP，于是我們把于是我們把規(guī)定了方向的線段規(guī)定了方向的線段OM 稱作角稱作角 的的余弦線余弦線，MP 稱作角稱作角 的的正弦線正弦線 . 單位圓與三角函數(shù)線單位圓與三角函數(shù)線(cos , sin )練習(xí)練習(xí) 2 2（1 1） 在單位圓中在單位圓中作出下列各角的正弦線、余弦線作出下列各角的正弦

13、線、余弦線 （1） ； （2） 332yxOyxO3PM32PM如何畫如何畫正切線？正切線？yxOATT所以所以 AT ( AT ) 稱作角稱作角 的的正切線正切線 ，因?yàn)?(tanTAATxy附注 通過單位圓研究三角函數(shù)的幾何演示過程可在主界面單擊“單位圓研究三角函數(shù).gsp”文件觀看.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式平方關(guān)系平方關(guān)系1cossin22商數(shù)關(guān)系商數(shù)關(guān)系cossintan“同角同角”二層含義二層含義: : 一是角相同；一是角相同； 二是二是“任意任意”一個(gè)角一個(gè)角 解解 由由 sin2 cos2 1，得得,0cos因?yàn)橐驗(yàn)?是第二象限角，是第二象限角，53541

14、cos2345354cossintan例例1 已知已知 ，且，且 是第二象限的角，是第二象限的角， 求求 角角 的余弦和正切值的余弦和正切值54sin2sin1cos小結(jié)步驟：小結(jié)步驟：已知正弦已知正弦求余弦求余弦求正切求正切平平 方方 關(guān)關(guān) 系系商商 數(shù)數(shù) 關(guān)關(guān) 系系例例2 已知已知 tan ， 且且 是第二象限的角，是第二象限的角， 求角求角 的正弦和余弦值的正弦和余弦值 55cossin1cossin22解解 由題意得由題意得 代入代入整理得整理得 .61cos2.630665cos5sin代入代入式式 得得66cos因?yàn)橐驗(yàn)?是第二象限角，所以是第二象限角，所以 ，小結(jié)步驟：小結(jié)步驟：

15、已知正切已知正切求正弦或余求正弦或余弦弦解解 方方 程程 組組cos5sin由由得得例例3 化簡：化簡：1tancossin解解 原式原式 sincossin1cos cos coscossincossin化簡化簡原則原則切切化化弦弦例例4 求證：求證：；1sin2cossin) 1 (244；2222sintansintan)2(cossin1sin1cos)3()cossin)cossin2222（22cossin)sin1 (sin221sin22證明證明 (1) 原式左邊原式左邊 =右邊右邊所以所以; 1sin2cossin244；1sin2cossin) 1 (244；2222sin

16、tansintan)2(證明證明 (2) 原式原式右右邊邊= 左邊，左邊，所以所以22222costantan)cos1tan（；2222sintansintan證證法法 1cossin1sin1coscos)sin1()sin1(cos22，0cos)sin1(coscos22因此因此cossin1sin1cos作差法作差法cossin1sin1cos)3(求證：求證：cossin1sin1cos)3(求證：求證：左邊左邊 =)sin1)(sin1 ()sin1 (cos2sin1)sin1 (cos；2cos)sin1 (coscoscoscos)sin1 ( 右邊右邊因此因此cossin

17、1sin1cos證法證法 2由原題知由原題知，0cos，1sin2cos)sin1 (cos恒等變形恒等變形的條件的條件誘導(dǎo)誘導(dǎo)公式（一）公式（一）sin(360 )sincos(360 )costan(360 )tankkkkZ 其中 sin(2)sincos(2)costan(2)tankkkkZ 其中 實(shí)質(zhì)：終邊相同，三角函數(shù)值相等實(shí)質(zhì)：終邊相同，三角函數(shù)值相等用途：用途：“大大”角化角化“小小”角角 tan)tan(cos)cos(sin)sin( xyxyyx01-1-11P(x,y)P(-x,-y)誘導(dǎo)誘導(dǎo)公式（二）公式（二）由對稱性及單位圓上三角函數(shù)的定義可得：由對稱性及單位圓上

18、三角函數(shù)的定義可得： tan)tan(cos)cos(siny)sin( xyxyx01-1-11P(x,y)P(x,-y)誘導(dǎo)誘導(dǎo)公式（三）公式（三）由對稱性及單位圓上三角函數(shù)的定義可得：由對稱性及單位圓上三角函數(shù)的定義可得：正弦正切為奇函數(shù)、余弦為偶函數(shù)！正弦正切為奇函數(shù)、余弦為偶函數(shù)！ tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin( 2tan)tan(2cos)cos(2sin)sin(因?yàn)橐驗(yàn)樗运哉T導(dǎo)誘導(dǎo)公式的變形公式的變形 tantancoscossinsin xyxy誘導(dǎo)誘導(dǎo)公式（四）公式（四）P(x,y)yx01-1-11P(-x,y)由對稱性及單位圓上三角函數(shù)的定義

19、可得：由對稱性及單位圓上三角函數(shù)的定義可得：5、誘導(dǎo)公式：、誘導(dǎo)公式：,:2符號(hào)看象限奇變偶不變口訣為的各三角函數(shù)值的化簡誘導(dǎo)公式是針對k例：)23sin(cos（即把 看作是銳角）)2cos(sin)sin(sin)cos(cos sin)23cos(cos)23sin( sin)23cos(cos)23sin( sin)2cos(cos)2sin( sin)2cos(cos)2sin( yx共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：函數(shù)名改變函數(shù)名改變, ,符號(hào)與符號(hào)與前面值前面值的正負(fù)一至的正負(fù)一至. .記憶方法：記憶方法：奇變偶不變，符號(hào)看象限奇變偶不變，符號(hào)看象限說明：說明：)(2由由象象限限決決定定數(shù)數(shù)的的

20、符符號(hào)號(hào)符符號(hào)號(hào)指指的的是是前前面面三三角角函函的的奇奇偶偶性性；中中奇奇偶偶指指的的是是kk 例利用公式求下列三角函數(shù)值：11(2)sin316(3)sin()30(4)cos( 2040 )0(1)cos225解:000021 cos225cos(18045 )cos452 （）113(2)sinsin(4)sin3332 1616(3) sin()sinsin(5)3333(sin)sin332 00000000(4)cos( 2040 )cos2040cos(6 360120 )1cos120cos(18060 )cos602例2 化簡：.)180cos()180sin()360sin

21、()180cos(0000化簡，解：先對各個(gè)因式進(jìn)行,sin)360sin( ,cos)180cos(00)180(sin)180sin(00)180sin(0-sin)sin()180(cos)180cos(00)180cos(0cos. 1)cos(sinsincos原式提高題提高題（2）已知，求的值336cos65cos（1）已知 ，且 是第一象限角， 求 的值 21cos9tan53cos()cos()cos()cos()66663 解：211cos()cos223sin1 cos,2sintan3costan(9 )tan(8 )tan()tan()tan3 解：又是第一象限角練習(xí)練

22、習(xí) 1 sin(7 /3)= , 2 sin(8 /3)= , 3 sin(10 /3)= , 4 sin(11 /3)= ,1 cos(7 /3)= ,2 cos(8 /3)= ,3 cos(10 /3)= ,4 cos(11 /3)= ,1 tan(7 /3)= ,2 tan(8 /3)= ,3 tan(10 /3)= ,4 tan(11 /3)= ,23213要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1誘導(dǎo)公式及應(yīng)用誘導(dǎo)公式及應(yīng)用 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及應(yīng)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及應(yīng)用 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究

23、 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)3 3齊次式的應(yīng)用齊次式的應(yīng)用 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究與與 x 軸的軸的交點(diǎn)交點(diǎn):， )00(， )0(；，) 02(圖象的圖象的最高點(diǎn)最高點(diǎn):圖象的圖象的最低點(diǎn)最低點(diǎn):，) 123( 觀察觀察 y sin x ，x 0，2 圖象的最高點(diǎn)、最低圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)和圖象與點(diǎn)和圖象與 x 軸的交點(diǎn)？坐標(biāo)分別是什么？軸的交點(diǎn)？坐標(biāo)分別是什么？2oxy-11-3232656734233561126；， )12(五點(diǎn)五點(diǎn)作圖法作圖法x6yo-12345-2-3-41 定義域定義域(1) 值域值域x R 1, 1 二、二、正弦函數(shù)的性質(zhì)正弦函數(shù)的性質(zhì))(22Z

24、kkx時(shí)，取最小值時(shí)，取最小值1；時(shí)，取最大值時(shí)，取最大值1；)(22Zkkx觀察正弦曲線，得出正弦函數(shù)的性質(zhì)：觀察正弦曲線，得出正弦函數(shù)的性質(zhì)：周周 期期 的的 概概 念念一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù) f (x)，如果存在一個(gè)非零，如果存在一個(gè)非零常數(shù)常數(shù) T ，使得當(dāng)，使得當(dāng) x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有有 f ( xT ) f (x)，那么函數(shù)，那么函數(shù) f (x) 就叫做就叫做周期周期函數(shù)函數(shù)，非零常數(shù)，非零常數(shù) T 叫做這個(gè)函數(shù)的叫做這個(gè)函數(shù)的周期周期對于一個(gè)周期函數(shù)，如果在它的所有周期中對于一個(gè)周期函數(shù)，如果在它的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么

25、這個(gè)最小正數(shù)就叫做存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做它的它的最小正周期最小正周期 由公式由公式 sin (xk 2 )sin x (k Z) 可知：可知： 正弦函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，正弦函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，2 ，4 ， ，2 ，4 ， ， 2k (k Z 且且 k0)都是正弦函數(shù)的周期都是正弦函數(shù)的周期 2 是其最小正周期是其最小正周期 . (2) 正弦函數(shù)的周期性正弦函數(shù)的周期性 (3) 正弦函數(shù)的奇偶性正弦函數(shù)的奇偶性由公式由公式 sin(x)sin x圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱 .正弦函數(shù)是奇函數(shù)正弦函數(shù)是奇函數(shù)xyo-1234-2-31223252722325在

26、閉區(qū)間在閉區(qū)間 上上, 是增函數(shù)；是增函數(shù)；22， (4) 正弦函數(shù)的單調(diào)性正弦函數(shù)的單調(diào)性xyo-1234-2-31223252722325 xsinx2223 0 -1 0 1 0 -1在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上，是減函數(shù)上，是減函數(shù).232，Zkkk,22,22觀察正弦函數(shù)圖象觀察正弦函數(shù)圖象Zkkk,223,22一、余弦函數(shù)的圖象一、余弦函數(shù)的圖象 余弦函數(shù)圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：余弦函數(shù)圖象的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：與與 x 軸的軸的交點(diǎn)交點(diǎn)，)0()0(，圖象的圖象的最高點(diǎn)最高點(diǎn)， )10() 12(，圖象的圖象的最低點(diǎn)最低點(diǎn)) 1(，oxy-11-13232656734233561126五點(diǎn)五點(diǎn)作圖法作

27、圖法二、余弦函數(shù)的性質(zhì)二、余弦函數(shù)的性質(zhì) 定義域定義域x R ，值值 域域y - - 1， 1.當(dāng)當(dāng) x2 k ，k Z 時(shí)，時(shí)， ycos x 取得最大值取得最大值1，即，即 ymax1；當(dāng)當(dāng) x (2 k+1) ， k Z 時(shí)，時(shí)， ycos x 取得最小值取得最小值 - -1，即，即 ymin- -1 觀察余弦曲線觀察余弦曲線(1) 余弦函數(shù)的值域余弦函數(shù)的值域 由公式由公式 cos(xk 2 )cos x ( k Z ) 可知：可知：余弦函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)余弦函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)，2 ，4 ，2 ，4 ， ， 2k ( k Z 且且 k0 )都是余弦函數(shù)的周期；都是余弦函數(shù)的周期； 2

28、是其最小正周期是其最小正周期 (2) 余弦函數(shù)的周期余弦函數(shù)的周期 余弦函數(shù)的圖象每隔余弦函數(shù)的圖象每隔 2 重復(fù)出現(xiàn)重復(fù)出現(xiàn) (3) 余弦函數(shù)的奇偶性余弦函數(shù)的奇偶性 由公式由公式 cos(x)cos x 余弦函數(shù)是偶函數(shù)余弦函數(shù)是偶函數(shù)圖象關(guān)于圖象關(guān)于 y 軸成軸對稱軸成軸對稱 xo-1234-2-3-41y(4) 余弦函數(shù)的單調(diào)性余弦函數(shù)的單調(diào)性 觀察余弦曲線觀察余弦曲線 xcosx1 0 1 0 1在在 (2 k1) , 2 k (k Z)上，是增函數(shù)；上，是增函數(shù)； 在在 2 k ，(2 k1) (k Z)上，是減函數(shù)上，是減函數(shù) yxo-12-2-312232522325 0 22

29、三、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性質(zhì)定義域RR值 域-1，1-1，1周期性T=2T=2奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性增函數(shù)22 ,22kk減函數(shù)232 ,22kk增函數(shù)2 ,2kk減函數(shù)2 ,2kko1、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)3、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=tanx圖象22 xyo2323定義域值域,2|NkkxxR奇偶性奇函數(shù)周期性T單調(diào)性)(2,2(Zkkk例例1 已知已知 ，且，且 ，求，求 x 的取值集合的取值集合. 21sinx2, 0 x解解 因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 x 是第一

30、或第二象限角是第一或第二象限角 021sinx6可知符合條件的角有且只有兩個(gè)，即第一象限角可知符合條件的角有且只有兩個(gè)，即第一象限角 或第二象限角或第二象限角 656所以所以 x 的集合是的集合是656 ，因?yàn)橐驗(yàn)?16sin)6sin(已知三角函數(shù)值求角的步驟可概括為已知三角函數(shù)值求角的步驟可概括為(1)(1)定象限；定象限；(2)(2)找銳角；找銳角；(3)(3)寫形式寫形式找銳角找銳角 如果如果三角函數(shù)值為正，則可直接求出對應(yīng)的銳角，三角函數(shù)值為正，則可直接求出對應(yīng)的銳角，如果如果三角函數(shù)值為負(fù)，則求出與其絕對值對應(yīng)的銳角三角函數(shù)值為負(fù)，則求出與其絕對值對應(yīng)的銳角定象限定象限 根據(jù)三角函

31、數(shù)值的符號(hào)確定角是第幾象限角根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定角是第幾象限角寫形式寫形式 根據(jù)根據(jù) ，- - 的誘導(dǎo)公式寫出結(jié)果的誘導(dǎo)公式寫出結(jié)果例例2 已知角已知角x ，求滿足下列各式的，求滿足下列各式的x的值的值:；）（23sin1x；）（22sin2x；21sin)3(x2672.0sin)4(x22， 解：解：(1) (1) 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵?上，上， 22，233sin3x 所以所以x6yo-12345-2-3-41224x6x2705. 0 x故故 x 的取值集合是的取值集合是 4543，可知符合條件的第二象限角是可知符合條件的第二象限角是 , 第三象限角是第三象限角是 ，4345，224cos

32、)4cos()4cos(由由22解解 由由 cos x 0 ，得，得 x 是第二或第三象限角是第二或第三象限角例例 4 已知已知 cos x ， x 0，2 ，求，求 x 的取值集合的取值集合 22若若 cos x ， 則符合條件的銳角是則符合條件的銳角是 422由由336tan6tan33解解 因?yàn)橐驗(yàn)閠an x ，所以，所以 x 是第四象限的角是第四象限的角又因?yàn)橛忠驗(yàn)閠an x ，所以符合條件的銳角是，所以符合條件的銳角是 .336所以在所以在 上符合條件的角只有上符合條件的角只有 x = .22，6例例5 已知已知 tan x = ，且，且 x ，求，求 x 的值的值.3322，CBA

33、公式記憶公式記憶兩角差的余弦公式：兩角和的余弦公式： coscoscossinsincoscoscossinsin 公式反映了兩角和與差的余弦函數(shù)值與相應(yīng)角的三角函數(shù)值之間的關(guān)系。 應(yīng)用分析：怎樣把分析：怎樣把1515表示成兩個(gè)特殊角的差？表示成兩個(gè)特殊角的差？30sin45sin30cos45cos42621222322)3045cos(15cos解法1:例例1.利用利用差角余弦公式求差角余弦公式求cos15的值的值.5、例例1 不查表，不查表，計(jì)算計(jì)算COS105和和 COS15 2 1 2 3 2 2 2 2 2 6 4= COS45COS60-sin45sin60解解:COS105=

34、COS（45+60） C = C C S S 例題講解例題講解342cos,cos55例 、已知，并且 和 都是銳角，cos(),cos()求的值。2234cos,cos5543sin1cossin1cos55解：因?yàn)?，并且?都是銳角，所以 ，3443 coscoscossinsin05555344324 coscoscossinsin555525所以例2：求下列各式的值 （1）cos80cos35+sin80sin35 (2) cos25cos35-sin25sin35-35)=cos45=+35)=cos60=1/2sin25sin35- cos25cos35=？應(yīng)用公式公式的逆用的逆用

35、coscoscoscos+ +sinsinsin=cos(sin=cos(- -)變式2：(1).求求求求cos27 cos12 +sin27 sin12的值的值.(2).求求cosxcos(x+15 ) +sinx sin(x+15 )的值的值.426 (3).求求 的值的值. 15sin2315cos21223).233 32 2、已已知知cos =cos =，2 2，求求cos(cos(5 5解：解：223cos2sin1cos1cos()coscossinsin333132234 3.10 3 3= = ，2 25 53434555534345555鞏固練習(xí)鞏固練習(xí): :練習(xí)：練習(xí)：1

36、(1)cos24 cos69sin24 sin69(2)coscossinsin、化簡：452sin,cos5213cos(),cos(). 、已知， 是第三象限角，求的值34coscossinsin.5,5 ,求cos-的值變式變式3:以知以知變式變式2：已知cos=，cos（）=，0 ,求求cos的值。的值。31542()思考思考? 若將若將cos（）改為）改為cos（+）呢）呢?注注:公式能夠正用公式能夠正用,逆用逆用,變形用變形用.).cos()2() 1 ( :22構(gòu)造出分析第第2222講講 知識(shí)梳理知識(shí)梳理知識(shí)梳理第第2222講講 知識(shí)梳理知識(shí)梳理第第2222講講 知識(shí)梳理知識(shí)梳理

37、三、例題教學(xué)(公式正用)sin2、 1312cos135sin解：169144)135(1sin1)2(22，是第二象限角16912013522sincossin2)1312(的值.cos2、tan2 .求,135已知sin例1.),2(要點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1基本公式的應(yīng)基本公式的應(yīng)用用 8 cos8 sin(2)2230cos2230sin22(1).例2.22.5 tan1tan22.5 3)2(四、例題教學(xué)(公式變形用)的的值值求求已已知知2cos,53)1-sin(、257)53(21sin212cos,53sin)sin()sin()sin(2

38、2：解解五、練習(xí)深化解題方法：用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù),再用二倍角公式五、練習(xí)深化。的值求已知tan,31tan2 2、10312) 1(1466, 016tantan16,tan1tan2:2222，tantantan31tan2 解解題方法：應(yīng)用正切的二倍角公式練習(xí)：練習(xí)：1.在在ABC中，中，sinAsinBcosAcosB，則則ABC為為 ( )A直角三角形直角三角形 B鈍角三角形鈍角三角形 C銳角三角形銳角三角形 D等腰三角形等腰三角形 .70sin160cos110cos20sin6;26cos34cos26sin34sin5;14cos74sin14sin74cos4求下列各式的值練習(xí)

39、2360sin7414sin原式212634cos26sin34sin26cos34cos原式111020sin110sin20cos110cos20sin原式練習(xí)：練習(xí)：)(12sin12cos3. 2的的值值為為 2D.2C.2B.0A.)2tan(,31tan,71tan的值求已知例例4. 講解范例：講解范例：第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2 2變形公式的應(yīng)用變形公式的應(yīng)用 第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要

40、點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2222講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2323講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究 探究點(diǎn)探究點(diǎn)1 1三角函數(shù)式的求值三角函數(shù)式的求值 第第2323講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究第第2323講講 要點(diǎn)探究要點(diǎn)探究練習(xí)化簡 .6cos24;cossin23;cossin32;sin23cos211xxxxxxxx xxx6sinsin6coscos6sin1原式 6sin26sincos6cossin2cos21sin2322xxxxx原式 4sin2cos22sin2223xxx原式 3cos22sin23cos21223xxx原式構(gòu)造角余余 弦弦 定定 理理 三角形

41、任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。C CB BA Ab ba ac cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：推論： 利用余弦定理可利用余弦定理可以解決什么類型以解決什么類型的三角形問題？的三角形問題？余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。和減去這兩邊與它們夾

42、角的余弦的積的兩倍。bcacbA2cos222中，在 ABC為直角；Aacb222為銳角；Aacb222為鈍角Aacb222C CB BA Ab ba ac cCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos22221、在ABC中,若a=4、b=5、c=6，判斷ABC的 形狀.A AD DC CB B) )30300 0) )45450 02、如圖所示，已知BD=3，DC=5，B=300， ADC=450，求AC的長。R2CsincBsinbAsina 正弦定理正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即正弦的比相等，即(1)

43、已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角的其他的邊和角.定理的應(yīng)用例 1在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 b (保留兩位有效數(shù)字）。解：CcBbsinsin 且 105C)(A180 Bb = CBcsinsin19=30sin105sin10已知兩角和任意邊，已知兩角和任意邊，求其他兩邊和一角求其他兩邊和一角變式訓(xùn)練：（1）在ABC中，已知b= ，A= ，B= ，求a。34560（2）在ABC中，已知c= ，A=

44、 ，B= ，求b。37560解： BbAasinsinaBAbsinsin=60sin45sin3=2解： =45)6075(180又 CcBbsinsinCBcbsinsin45sin60sin32230180()CAB例 2 在ABC中，已知a20，b28， A40，求B和c.解： sinB 0.8999b sinA a B164，B211640ABCbB1B2已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角角形的其他的邊和角. 在例 2 中，將已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？（1） b20，A60，a203 ;（2） b20，A60，a103 ;（3） b20，A60，a15.60ABCb230 ABC中，（1）