正弦定理應(yīng)用舉例

1、：目標(biāo)視線在水平線上方的叫仰角;：目標(biāo)視線在水平線下方的叫俯角；：北方向線順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線的夾角。N方位角60度水平線目標(biāo)方向線視線視線仰角仰角俯角俯角O解斜三角形中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)解斜三角形中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)：從從A處望處望B處的仰角為處的仰角為 ,從從B處望處望A處的俯角處的俯角為為 ,則則 的關(guān)系為的關(guān)系為( )., . A.B0.90C0.180CACB51o55m75o例例1.設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離。測(cè)量者在測(cè)量者在A的同測(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)的同測(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出測(cè)出AC的距離是的距離是55cm

2、，BAC51o， ACB75o，求，求A、B兩點(diǎn)間的距離（精確到兩點(diǎn)間的距離（精確到0.1m）分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形分析：已知兩角一邊，可以用正弦定理解三角形sinsinABACCB解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得答：答：A,B兩點(diǎn)間的距離為兩點(diǎn)間的距離為65.7米。米。sinsinsin55sinsinsin55sin7555sin7565.7( )sin(1805175 )sin54ABACACBABCACACBACBABABCABCmABCD.,),(,2兩點(diǎn)間距離的方法設(shè)計(jì)一種測(cè)量達(dá)不可到兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸、如圖例BABAABCDa解：如圖，測(cè)量者可解：如圖，

3、測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，設(shè)，設(shè)CD=a，BCA=，ACD=，CDB=，ADB=分析：用例分析：用例1的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一的方法，可以計(jì)算出河的這一岸的一點(diǎn)點(diǎn)C到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出到對(duì)岸兩點(diǎn)的距離，再測(cè)出BCA的大小，的大小，借助于余弦定理可以計(jì)算出借助于余弦定理可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)間的距離。兩點(diǎn)間的距離。解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得，測(cè)得CD=a,并并且在且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得兩點(diǎn)分別測(cè)得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在 ADC和和 BDC中，應(yīng)用正弦定理得中，應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出計(jì)算出A

4、C和和BC后，再在后，再在 ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出算出AB兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離sin()sin()sin()sin 180()sinsinsin()sin 180()aaACaaBC222cosABACBCACBC變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距4040米的米的C C、D D兩兩點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)，測(cè)得 BCA= BCA= ， ACD= ACD= ， CDB= CDB= ，BDA=BDA=60304560求求A、B兩點(diǎn)間距離兩點(diǎn)間距離 .注：閱讀教材注：閱讀教材P12P12，了解，了解基線基線的概念的概念練習(xí)練習(xí)1.一艘船以一艘船以32.2n mile

5、/ hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A處看燈塔處看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B處，在處，在B處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABSBn mileSABhhSBn milehn mile 解：在中，由正弦定理得設(shè)點(diǎn) 到直線的距離

6、為則此船可以繼續(xù)沿正北方向航行答：此船可以繼續(xù)沿正北方向航行變式練習(xí)：兩燈塔變式練習(xí)：兩燈塔A A、B B與海洋觀察站與海洋觀察站C C的距離都的距離都等于等于a km,a km,燈塔燈塔A A在觀察站在觀察站C C的北偏東的北偏東3030o o，燈塔，燈塔B B在觀察站在觀察站C C南偏東南偏東6060o o，則，則A A、B B之間的距離為多之間的距離為多少？少？練習(xí)練習(xí)2自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長(zhǎng)度已知車(chē)廂的最大仰角是的長(zhǎng)度已知車(chē)廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)，油泵頂點(diǎn)B與車(chē)廂支點(diǎn)與車(chē)廂支點(diǎn)A之間的距

7、離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長(zhǎng)（精確到的長(zhǎng)（精確到0.01m0.01m） （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角）例題中涉及一個(gè)怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB練習(xí)練習(xí)2自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)。設(shè)計(jì)時(shí)需要計(jì)算油泵頂桿油泵頂桿BC的長(zhǎng)度已知車(chē)廂的最大仰角是的長(zhǎng)度已知車(chē)廂的最大仰角是60，油泵頂點(diǎn)

8、，油泵頂點(diǎn)B與車(chē)廂支點(diǎn)與車(chē)廂支點(diǎn)A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長(zhǎng)為長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算，計(jì)算BC的長(zhǎng)（精確到的長(zhǎng)（精確到0.01m0.01m） 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夾角夾角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得答：頂桿答：頂桿BCBC約長(zhǎng)約長(zhǎng)1.89m。 CAB22222 2cos 1.951.402 1.95 1.40 cos66 20 3.571 1.89(m)BCABACAB ACABC 測(cè)量垂直高度

9、測(cè)量垂直高度 1 1、底部可以到達(dá)的、底部可以到達(dá)的 測(cè)量出角測(cè)量出角C C和和BCBC的長(zhǎng)度，解直的長(zhǎng)度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。 .,. 3的方法物高度設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑為建筑物的最高點(diǎn)不可到達(dá)的一個(gè)建筑物是底部例ABABAB圖中給出了怎樣的一個(gè)圖中給出了怎樣的一個(gè)幾何圖形？已知什么，幾何圖形？已知什么，求什么？求什么？想一想想一想BEAGHDC2 2、底部不能到達(dá)的、底部不能到達(dá)的 例例3 AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法分析：由于

10、建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高。由解接測(cè)量出建筑物的高。由解直角三角形的知識(shí)，只要能直角三角形的知識(shí)，只要能測(cè)出一點(diǎn)測(cè)出一點(diǎn)C到建筑物的頂部到建筑物的頂部A的距離的距離CA,并測(cè)出由點(diǎn)并測(cè)出由點(diǎn)C觀察觀察A的仰角，就可以計(jì)算的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)出建筑物的高。所以應(yīng)該設(shè)法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出法借助解三角形的知識(shí)測(cè)出CA的長(zhǎng)的長(zhǎng)。BEAGHDC)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：選擇一條水平基線解：選擇一條水平基線HG,使使H,G,B三點(diǎn)在同一條直線上。由三點(diǎn)在同一

11、條直線上。由在在H,G兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的的仰角分別是仰角分別是，CD=a,測(cè)角儀測(cè)角儀器的高是器的高是h.那么，在那么，在 ACD中，中，根據(jù)正弦定理可得根據(jù)正弦定理可得例例3. AB是底部是底部B不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，不可到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法的方法BEAGHDC).1(,3 .27.150, 4054,. 400mDCmBCACAB精確到求出山高部分的高為塔已知鐵角處的俯處測(cè)得在塔底的俯角面上一點(diǎn)處測(cè)得地鐵塔上在山頂如圖例分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計(jì)算出

12、法計(jì)算出AB或或AC的長(zhǎng)的長(zhǎng)A AB BC CD D )(177)1504054sin(4054sin150cos3 .27)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC177-27.3=150(m)答：山的高度約為答：山的高度約為150米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，)90sin()sin(ABBC解：在解：在ABC中，中，BCA= 90 +, ABC= 90 -, BAC=-, BAD=.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，A AB BC CD D 1.如圖如圖,B,C,D三點(diǎn)在地面一直線上三點(diǎn)在地面一直線上,DC=a,從從C,D

13、兩點(diǎn)測(cè)得兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角分別是點(diǎn)的仰角分別是 ,則則A點(diǎn)離點(diǎn)離地面的高地面的高AB等于等于( ), () ABDCsinsin.cos()aAsinsin.sin()aBsincos.sin()aCcoscos.cos()aD2.有一幢有一幢20m的樓頂測(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫榈臉琼敎y(cè)得對(duì)面一塔頂?shù)难鼋菫?00 ,塔基的俯角為塔基的俯角為450 ,則塔高為則塔高為( )3. 20(1)3Am. 20(13)Bm. 10( 62)Cm. 20( 62)Dm:多應(yīng)用實(shí)際測(cè)量中有許正弦定理和余弦定理在.)3(測(cè)量角度).01. 0,1 . 0(,.0 .5432,5 .6775,. 6000nmil

14、eCACnmileBBnmileA確到距離精角度精確到需要航行多少距離航行此船應(yīng)該沿怎樣的方向出發(fā)到達(dá)航行直接從如果下次后到達(dá)海島的方向航行東沿北偏出發(fā)然后從后到達(dá)海島航行的方向沿北偏東出發(fā)一艘海輪從如圖例例例6 一艘海輪從一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東75的方向航行的方向航行67.5n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島B,然后從然后從B出發(fā)，沿北偏東出發(fā)，沿北偏東32的方向航行的方向航行54.0n mile后到達(dá)海島后到達(dá)海島C.如果下次航行直接從如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角度精確到沿怎樣的方向航行，需要航行多少距離（角

15、度精確到0.1,距距離精確到離精確到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根據(jù)余弦定理，根據(jù)余弦定理，15.113137cos0 .545 .6720 .545 .67cos22222ABCBCABBCABAC已知兩座燈塔已知兩座燈塔A和和B與海洋觀察站與海洋觀察站C的距離相等的距離相等,燈塔燈塔A在觀察站在觀察站C的北偏東的北偏東400 ,燈塔燈塔B在觀察站在觀察站C的南偏東的南偏東600,則燈塔則燈塔A在燈塔在燈塔B的的( ).A. 北偏東北偏東100B. 北偏西北偏西100C. 南偏東南偏東100D. 南偏西南偏西100例例8 在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三形的區(qū)域改造成市內(nèi)公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m，這，這個(gè)區(qū)域的面積是多少（精確到個(gè)區(qū)域的面積是多少（精確到0.1cm）?ABC).coscoscos(22sinsinsin19222222222CabBcaAbccbaCBAcbaABC）（；）（中，求證：在例總總 結(jié)結(jié)實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題抽象概括抽象概括示意圖示意圖數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型推理推理演算演算數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)模型的解實(shí)際問(wèn)題的解實(shí)際問(wèn)題的解還原說(shuō)明還原說(shuō)明