二階微分方程解的存在唯一性定理畢業(yè)論文

1、二階微分方程解的存在唯一性定理摘要本文通過利用李普希茲條件證明一階微分方程解的存在唯一性定理，從而證明二階微分方程解的存在唯一性定理成立的條件也是李普希茲條件。一階微分方程初值問題解的存在唯一性定理既是微分方程的理論基礎(chǔ)，也是常微分方程得以廣泛應(yīng)用的基石。一階微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的證明，采用的是Picard的逐步逼近法，通過對一階微分方程定理的證明，逐步延伸到二階或者多階，并應(yīng)用的廣泛的領(lǐng)域。微分方程是一門十分有用又十分有魅力的學(xué)科，隨著社會技術(shù)的發(fā)展和需求，微分方程會有更大的發(fā)展?？梢灶A(yù)測，隨著以來數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，微分方程還會繼續(xù)擴展。關(guān)鍵詞：常微分方程；李普希茲條

2、件；解的存在唯一性定理AbstractIn this study, we should prove first-order differential equations through the Lipschitz condition of the existence and uniqueness theorem, then we prove that the second-order differential equations existence and uniqueness theorem is also satisfied Lipschitz conditions. Existence

3、and uniqueness theorem is the theoretical basis of first-order differential, and is also the basis of the application of differential equations and ordinary differential equations. We use the Picard method of successive approximation to complete the proof of the first-order differential equations, a

4、nd then we can also extend it to the second-order or multi-order, and apply it to other areas. Differential equation is very useful and very attractive, and differential equations will have a greater social development and needs. In the future, with the development of other disciplines, mathematic i

5、s used as the basis of other fields, and the differential equation will continue to expand.Keywords: ordinary differential equations; Lipschitz condition; Solutions for the existence and uniqueness theorem目錄摘要IAbstractII目錄III第一章 緒論1第二章 一階微分方程解的存在唯一性定理32.1定理描述32.2證明步驟32.2.1逐次逼近法證明步驟32.2.2定理證明過程的命題化42

6、.3應(yīng)用實例及拓展8第三章 證明二階微分方程解的存在唯一性定理123.1定理描述123.2 證明步驟12第四章 總結(jié)18致謝21參考文獻22外文文獻譯文2445第一章 緒論常微分方程是一門在數(shù)學(xué)、物理、天文和工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用的重要學(xué)科，是數(shù)學(xué)理論通向?qū)嶋H應(yīng)用的橋梁之一，因此成為高等學(xué)校數(shù)學(xué)及許多工程技術(shù)專業(yè)學(xué)生必學(xué)重要內(nèi)容。學(xué)好該門課程，對提高科學(xué)素養(yǎng)意義重大。而一階微分方程初值問題解的存在唯一性定理既是微分方程的理論基礎(chǔ)，也是常微分方程得以廣泛應(yīng)用的基石。一階微分方程解的存在唯一性定理中唯一性的證明，采用的是皮卡的逐步逼近法，通過對一階微分方程定理的證明，逐步延伸到二階或者多階，并

7、應(yīng)用的廣泛的領(lǐng)域。19世紀20年代，柯西建立了柯西問題 解的存在唯一性定理。1873年，德國數(shù)學(xué)家李普希茲提出著名的“李普希茲條件”，對柯西的存在唯一性定理作了改進。在是定性的研究中，與柯西、李普希茲同一時期，還有皮亞諾和皮卡，他們先后于1875年和1876年給出常微分方程的逐次逼近吧。皮亞諾在僅僅要求在點鄰域連續(xù)的條件下證明柯西問題解的存在性，后來這方面的理論有了很大的發(fā)展，其中基本理論包括：解的存在及唯一解，延展性，解的整體存在性，解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性和可微性，奇解等等。這些問題都是微分方程的一般基礎(chǔ)理論問題。本文通過利用李普希茲條件證明一階微分方程解的存在唯一性定理，從而證明二階微

8、分方程解的存在唯一性定理成立的條件也是李普希茲條件。微分方程是一門十分有用又十分有魅力的學(xué)科，隨著社會技術(shù)的發(fā)展和需求，微分方程會有更大的發(fā)展?？梢灶A(yù)測，隨著以來數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的其他學(xué)科的發(fā)展，微分方程還會繼續(xù)擴展。在積分方程的求解中，逐次逼近法是一種極其有效的方法。而皮卡序列在逐次逼近中也發(fā)揮了十分重要的作用。對皮卡序列的證明及應(yīng)用做了一定的研究，并對皮卡逐次逼近法給出了一些論述，且將這種方法運用到了其他一些學(xué)科的研究中，如數(shù)值分析。本文主要是通過利用皮卡逐次逼近法證明存在唯一性定理，求解積分方程，對積分方程求近似解。同時逐次逼近法也可以應(yīng)用于近似計算和誤差估計。第二章 一階微分方程解的存在唯一

9、性定理2.1定理描述一階常微分方程初值問題解的存在唯一性定理：定理1 對一階微分方程的柯西問題 ，若函數(shù)在矩形區(qū)域滿足：i) 在R上連續(xù)；ii) 在R上關(guān)于y滿足Lipschitz 條件（簡稱Lip條件），即存在常數(shù)（稱為Lip常數(shù)）。使得對，恒有成立，則初值問題在區(qū)間上存在唯一解，其中。2.2證明步驟2.2.1逐次逼近法證明步驟第1 步：證明初值問題的解與積分方程 ，在區(qū)間上的連續(xù)解等價。第2步：構(gòu)造Picard逐次逼近函數(shù)序列，證明函數(shù)序列在區(qū)間有定義且連續(xù)。第3步：證明函數(shù)序列在區(qū)間一致收斂。第4步：證明是積分方程的解。第5步：利用Lip條件和同一性證明解的唯一性。以上證明過程是現(xiàn)今許多

10、教材上的流行思路，其過程復(fù)雜，教學(xué)難度較大，為分化難點，本文作如下命題化處理。2.2.2定理證明過程的命題化1. 證明過程命題化的意義命題化后的五個命題雖在過程或形式上和五個步驟具有一致性，但命題化后對強調(diào)其各步的理論意義具有不可忽視的優(yōu)勢，它更能彰顯定理內(nèi)涵的邏輯層次，同時更有利于分散難點。證明該定理的靈魂是對微分方程具有劃時代影響的Picard逐次逼近法，其迭代序列的構(gòu)造及收斂性證明有力推動了人們對各種方程的求解探索，典型的思想方法對后繼的其他數(shù)學(xué)分支的產(chǎn)生和發(fā)展起了重要催化作用。對定理證明步驟命題化處理，則有利于突出Picard迭代思想的地位與作用。2. 五個命題及簡潔證明命題1 Cau

11、chy問題與積分方程等價。證 是的解，是的解。命題2 對，序列在有定義、連續(xù)，且。證 當時，在上有定義、連續(xù)，且命題成立。 假設(shè)時命題成立，即在上有定義連續(xù)，且，則在上有定義連續(xù)，且命題成立。根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法由以上可得，對任意的自然數(shù)n命題2成立。命題3 Picard函數(shù)序列在上一致收斂。證 考慮函數(shù)項級數(shù) ， 顯然，的部分和為，于是在上的一致收斂問題化為級數(shù)在上的一致收斂問題。因為 ， ， ，設(shè)對正整數(shù)n，有，則對正整數(shù)n+1，有 由數(shù)學(xué)歸納法得，對所有的正整數(shù)n，有 。所以，當時，。又 ，由阿貝爾比值審斂法得正項級數(shù)收斂，再由Weierstrass判別法得級數(shù)一致收斂，從而一致收斂。命題4

12、是積分方程在上的連續(xù)解。證 由Lip條件，有。而在一致收斂于，則序列在上一致收斂于，對兩邊取極限，得 即是積分方程的連續(xù)解。 命題5 設(shè)是的定義于上的連續(xù)解，則，。證 由假設(shè)，得 而在上連續(xù)，則存在M，使得 將帶入式，得 將再帶入式，依此遞推并由數(shù)學(xué)歸納法，得由級數(shù)收斂得，從而。2.3應(yīng)用實例及拓展上述逐次逼近法既是定理證明過程的核心內(nèi)容，也是求Cauchy 問題近似解的理論基礎(chǔ)和實用方法。但教材內(nèi)容卻只有理論證明，而忽略了實際例子的選用。以下補充實例則有利于突破定理的難點和重點。例 求微分方程的過點的解。解法一 Picard逐次逼近法。因為所求解過點，故可取 第1次近似解 第2次近似解 第3

13、次近似解 第n次近似解 易見。由Picard逼近法知是方程的過點的解。解法二 對應(yīng)齊次方程為，所以兩邊積分，得齊次通解為 由常數(shù)變易法設(shè)非齊次通解為。代入，得 故得非齊次通解為 由得原Cauchy問題的解為，與Picard逼近法所求結(jié)果相同。 注 在解法一中，若以任意滿足條件的連續(xù)函數(shù)作為初始逼近函數(shù)，將得到完全相同的解。初值問題解的局部存在性證明除以上的Picard 逼近法外, 還有利用不動點原理的證明法。后者因其涉及較深的理論知識而不被一般教材采用。但唯一性問題的常見證明則是多法并舉各具特色。具有代表性的常見證法有四種?？梢宰C采用了先證也是的一致收斂極限函數(shù)，再根據(jù)收斂序列的極限唯一性獲證

14、。可以采用的反證法中充分借助了幾何直觀。而利用Cronwall Bellman不等式和比較原理的證明方法則具較好理論意義，但要先引入并證明該不等式則顯得任務(wù)繁重。作者教學(xué)中采用的是遞推的證明思路。這四種方法以及其它證法，它們在內(nèi)涵上都是基于同一的邏輯思想。關(guān)于初值問題解的唯一性問題至今仍為一個研究課題, 其存在條件比Lip條件更弱的。基于知識拓展的需要, 本文對定理的條件與結(jié)論作以下簡單討論。1. 對于或的情形, 可有相應(yīng)的定理。2. Picard定理對于微分方程組的初值問題也成立，即若，是維矢量時，證明類似，只需將證明中的絕對值改為矢量的模即可。3. 若去掉Picard定理中的Lip條件，則

15、定理中解的存在性的結(jié)論仍成立，相應(yīng)定理稱為Peano存在性定理。其證明可用Euler折線法或Schauder不動點定理完成。Euler折線法基本思想是在坐標系中，從出發(fā)連接以下點畫一條折線其中 是的嚴格遞增序列，連接點與點的線段的方向取為方向場在點的方向。該折線所表示的函數(shù)是的近似解，取時，得近似解的序列。它在上一致有界連續(xù)。由Ascoli Arzela引理，從中可選出一致收斂的函數(shù)子列,其極限函數(shù)連續(xù)，可以證明就是相應(yīng)積分方程的解, 從而是的解。雖然歐拉折線法用于計算機求初值問題近似解并不實用，但其思想?yún)s是計算方法的理論基礎(chǔ)：導(dǎo)數(shù)乘以步長近似于函數(shù)的相應(yīng)增量。4.若將Picard 定理中的L

16、ip 條件改為在內(nèi)關(guān)于單調(diào)不增，則的右行解（即解的存在區(qū)間為）存在且唯一。唯一性證明: 設(shè),為初始問題的任意兩個解, 令, 則,從而當時, 即。5. 若將定理條件加強為在帶形域中連續(xù)，且關(guān)于滿足Lip條件，則只要用在上的上界代替就可類似證明在中上的解存在唯一。第三章 證明二階微分方程解的存在唯一性定理3.1定理描述定理2 (1)其中均在的鄰域內(nèi)連續(xù)，記作。若函數(shù)在始值的鄰域G內(nèi)對所有變量連續(xù)，且對和的一階偏導(dǎo)數(shù)有界，則(1)在內(nèi)存在唯一的解。3.2 證明步驟我們用逐步逼近法分五步證明該定理。1. 問題的轉(zhuǎn)化通過引進向量和矩陣記號，我們把二階線性微分方程初值問題轉(zhuǎn)化稱為一階線性微分方程組的初值問

17、題。令，則由并滿足條件記，則同時記矩陣，則二階線性常微分方程(1)的初值問題等價于如下初值問題滿足初值條件.為方便起見在實數(shù)域上的二維空間上任取，定義的范數(shù)，則。容易得到如下結(jié)論：(I) 向量函數(shù)在區(qū)域R上連續(xù)；(II) 向量函數(shù)在區(qū)域R上滿足Lipschitz條件。這樣定理2的證明就轉(zhuǎn)化為證明如下定理：定理 考慮如下初值問題 (2)若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對X滿足Lipschitz條件，則(2)在區(qū)間上有并且只有一個解，其中常數(shù)2. 把初值問題(2)化成等價的積分方程 (3)引理 若，是初值問題(2)的解，則，也是(3)的解，反之亦然。證明：設(shè)，是 (2)的解，則有，且，從而有，整理得，即，則

18、說明，是積分方程(3)的解。反之，設(shè)是積分方程(3)的解，即。對該式等號兩邊同時對求導(dǎo)，有，且當時，則說明是積分方程(2)的解。引理成立。故要證明定理，只需證明積分方程(3)在區(qū)間I上有并且只有一個解。3. 用逐步逼近法構(gòu)造Picard序列首先，引進如下疊代過程，其中，當時，在I上連續(xù)可微，且滿足不等式，其中在在閉區(qū)域上的最大值。則，其中，即，且在I上式連續(xù)的。則又有在I上連續(xù)可微，且滿足不等式。由此類推，可知構(gòu)造的Picard序列完全位于閉區(qū)域中，且Picard序列在I上是連續(xù)的，并滿足不等式。4. 證明Picard序列一致收斂到積分方程(3)的解由于，則可知序列的收斂性等價于級數(shù)的收斂性，

19、故只需證明級數(shù)一致收斂即可。下面，用歸納法證明不等式在I上成立，其中L為Lipschitz常數(shù)。當n=0時顯然成立。假設(shè)當n=k時，不等式成立，那么當n=k+1時，即可知，當n=k+1時，不等式也成立。又由于，說明在I上收斂。由維爾斯特拉斯判別法知，在I上一致收斂，因此Picard序列在I上一致收斂。不妨令，則在I上連續(xù)，對等號兩邊同時令n趨向于，則有，容易證明在I上一致收斂，因此，即說明是積分方程(3)的一個解。5. 證明積分方程(3)解的唯一性我們用反證法來證明。設(shè)積分方程(3)在I上有兩個不同的解和，令為他們的共同存在區(qū)間，為常數(shù)且，則由(3)知， (4)由于在區(qū)間J上，連續(xù)有界，不妨取

20、其中一個上界K，則有，將它代回(4)式右端有再將該式代入(4)式右端，歸納可得，由于收斂，故令，有。由此可知，即說明積分方程(3)的解釋唯一的。 由初值問題(2)與積分方程(3)的等價性即知初值問題(2)的解存在且唯一，從而我們也完成了定理2的證明。第四章 總結(jié)通過一個學(xué)期的不斷學(xué)習(xí)和實踐，我的畢業(yè)設(shè)計終于完成了。在開始動手做畢業(yè)設(shè)計以前，總覺得畢業(yè)設(shè)計只是對這幾年來所學(xué)知識的單純總結(jié)，但是通過這次做畢業(yè)設(shè)計我才發(fā)現(xiàn)自己的看法有點太片面。畢業(yè)設(shè)計不僅是對前面所學(xué)知識的一種簡單檢驗，而是更需要理解并且找到各種知識之間的聯(lián)系，并且要將他們?nèi)跁炌ǖ揭黄?，這對自己的能力無疑是一種考驗和鍛煉。通過這次

21、畢業(yè)設(shè)計，我明白了自己知識的欠缺。自己需要學(xué)習(xí)的東西還太多，以前老是覺得自己的學(xué)習(xí)還可以，但是實際用起來才發(fā)現(xiàn)自己的眼高手低，對許多東西還知之甚少，甚至說是一無所知，以至于在設(shè)計中自己老是困難重重，不能順利進行。通過這次畢業(yè)設(shè)計，我更加明白了學(xué)習(xí)是一個長期積累的過程，“冰凍三尺，非一日之寒；水滴石穿，非一日之功”。學(xué)習(xí)亦是如此，不能只在一朝一夕，要長期以往，堅持不懈。所以在以后的工作、生活中我們都會不斷的虛心學(xué)習(xí)，努力提高自己知識水平和綜合素質(zhì)，這樣才能使自己在以后的工作和生活中更能運用自如。這次畢業(yè)設(shè)計的課題是關(guān)于二階常微分方程解的存在唯一性定理的證明，并且是在老師的一定指導(dǎo)下，由自己設(shè)計和

22、完成的，鍛煉了我獨立思考解決問題的能力。這些對我將來踏上工作崗位以后也是非常受益的，因為這是對我踏上工作崗位前的一次綜合演練，也是一次真正的理論轉(zhuǎn)化為實踐的契機。盡管在設(shè)計的這個課題上有一定的成功案例可以去參考去借鑒，并且這些案例很成功也很出色，但是我仍然希望通過自己的努力來完成這個論文并希望有所突破。所以在本次證明過程中我完全是按照要求來進行，從課題分析開始，再進行總體研究、詳細證明，最后到證明完成，每一步都非常細心非常用心，每一步都讓我將理論學(xué)習(xí)的知識應(yīng)用到實踐中去。使我受益匪淺。在課題分析階段，由于本次設(shè)計是一個以一階常微分方程解的存在唯一性定理的證明為基礎(chǔ)的，所以在設(shè)計前做好材料搜集的

23、工作尤為重要。因此我對指導(dǎo)老師提供的資料要反復(fù)認真的閱讀，并且我還在圖書館借了很多關(guān)于常微分方程的書。 在總體設(shè)計階段，由于我先前所做的大量工作，對課題分析做的比較全面，因此很快就對常微分方程的性質(zhì)，解的存在唯一性定理有了充分的認識和理解，對課題的設(shè)計有了初步的規(guī)劃，并著手列出論文的提綱。詳細設(shè)計階段，首先我考慮的是一階常微分方程解的存在唯一性定理的證明，以及應(yīng)用到的皮卡逐次逼近法進行系統(tǒng)的學(xué)習(xí)，通過逼近法來證明定理，找尋到合適的方法，對二階常微分方程解的存在唯一性定理進行證明。最后，針對證明過程的不足之處通過查找資料和與老師同學(xué)溝通進行改進，重新糾錯找到了一些錯誤并改正，使證明過程基本完善了

24、。在以后的工作和學(xué)習(xí)中一定會對這些引起高度的重視，爭取不再讓此類的事情發(fā)生。這也使我們意識到今后不論遇到什么情況都要分析原因，列出可能的情況后，沉著應(yīng)對，必然能給予解決。下面我對整個畢業(yè)設(shè)計的過程做一下簡單的總結(jié)。第一，接到任務(wù)以后進行選題。選題是畢業(yè)設(shè)計的開端，選擇恰當?shù)?、感興趣的題目.第二，題目確定后就是找資料了。查資料是做畢業(yè)設(shè)計的前期準備工作，我主要是通過去圖書館借閱相關(guān)書籍，當然在網(wǎng)絡(luò)高度發(fā)達的當今時代，我還去中國知網(wǎng)和百度文庫查閱了相關(guān)資料。感謝學(xué)校給我們提供的這些資源。第三，通過閱讀找到的材料和認真學(xué)習(xí)，我對課題內(nèi)容有了更近一步的了解，并且通過所學(xué)習(xí)的知識對一階常微分方程的解存在

25、唯一性定理進行證明。第四，了解了一階的證明之后，運用相應(yīng)的方法對二階常微分方程解的存在唯一性定理進行證明。第五, 寫論文能提升以下幾個方面的能力:1、文字表述:論文里的語言非常講究，這方面需要繼續(xù)加強。2、交流、討論:文章的大致內(nèi)容寫完后，一定要和老師、其他同學(xué)多交流，讓他們多提點建議。3、細心：公式編輯、標點符號、文章各段格式等，都需要細心。4、搜索：需要搜索很多資料，如何在短時間找到你想要得資料，得在搜索關(guān)鍵詞上有所設(shè)置才行。一些好的數(shù)學(xué)網(wǎng)站，需要隨時記錄下來，以便日后繼續(xù)使用。以上就是我這次設(shè)計的一點總結(jié)，總之，這次畢業(yè)設(shè)計讓我學(xué)習(xí)到很多。雖然結(jié)束了，但這只能是一個開始。凡事我們只有對自

26、己有了更高的要求，才能作為動力不斷取得新的成績! 不管學(xué)會的還是學(xué)不會的，的確覺得困難比較多，真是萬事開頭難，不知道如何入手。 但只要你堅持不懈，一直用心努力，什么問題都是可以解決的。致謝本論文是在我的導(dǎo)師孫明正老師的親切關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的。他嚴肅的科學(xué)態(tài)度，嚴謹?shù)闹螌W(xué)精神，精益求精的工作作風(fēng)，深深地感染和激勵著我。再次謹向?qū)O老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。我還要感謝在一起愉快渡過畢業(yè)論文小組的同學(xué)們，正是由于你們的幫助和支持，我才能克服一個又一個的困難和疑惑，直至本文的順利完成。同時也要感謝這篇論文所設(shè)計的各位學(xué)者。本文引用了數(shù)位學(xué)者的研究文獻，如果沒有各位學(xué)者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我

27、將很難完成這篇論文的寫作。由于我的學(xué)術(shù)水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請各位老師和學(xué)友批評指正！參考文獻1王高雄，周之銘，朱思銘，等.常微分方程M. 北京：高等教育出版社，19922東北師范大學(xué)微分方程教研室.常微分方程M.北京：高等教育出版社，20053孔志宏，陳喜娥.存在唯一性定理中唯一性的另外兩種證法J.山西煤炭管理干部學(xué)院學(xué)報，2003（1）:23-264孟世才.常微分方程中解的存在唯一性定理教學(xué)初探J.重慶教育學(xué)院學(xué)報，2001,14（3）:445-4505鮮大權(quán).常微分方程解的存在唯一性定理教學(xué)研究J.大學(xué)數(shù)學(xué)，2009,52（6）:54-576馬如云，白定勇.二階非線性邊值問

28、題解的存在唯一性定理J.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，1998,14（2）：61-647P.B.Baily , L.F.Shampine , Waltman.P.E. Nonlinear Two Point Boundary Value ProblemsJ. New York: Academic Press, 1968(12):120-1248L.Collatz. The Numerical Treatment of Differential EquationsJ. Berlin: 3rd ed Springer, 1960(34):560-5649W.J.Coles, Sherman. Two-poi

29、nt problems for nonlinear second or der ordinary differential equationsD. Math. Res. Center, 196410CH.Fabry, P.Habets. The Picard boundary value problem for nonlinear second order vector differential equationsJ. Differential Equation, 1981 (42): 186-19811A.Granas, R.Guenther, J.W.Lee. Nonlinear boun

30、dary value problems for some classes of ordinary differential equationsJ. Rocky Mountain J.math. 1979 (10): 35-5812Antonion Tineo, An Existence Theorem for a class of BVP without Restrictions of the Bernstein-Nagumo TypeJ. Math.Anal.and Appl, 1993 (175): 25-32外文文獻譯文非線性函數(shù)的微分變換方法及其應(yīng)用摘要 在這項研究中，提出了新的差分變

31、換方法來解決一些非線性函數(shù)。建議的方法是為了方便計算起見，由于簡單的計算機編碼并提供詳細的解決方法。算法的新方法被應(yīng)用到不同類型的非線性的函數(shù)模型中。關(guān)鍵詞 差變換，逆差變換，Emdem-Fowler微分方程，非線性微分方程1. 引言微分變化法（DT）是一種數(shù)值方法求解微分方程或差分方程的系統(tǒng)1-7。微分變化方法最近引起關(guān)注，是由于關(guān)于此類的一些重要的應(yīng)用可以用來解決工程問題1-7。文獻中對于解微分方程都沒有此方法，即用有因變量非線性變換方法解微分方程的方法。本文提出了解決這些問題的方法，例如非線性的Emden-Fowler和Lane-Emden類型的微分方程。在下一節(jié)中，我們開始通過引入微分

32、變換的定義。在第3節(jié)中，我們給出變換方法求解微分方程的新公式，在第4節(jié)中，我們展示了如何運用新公式，利用常微分方程。最后，我們用一個簡潔的討論總結(jié)本文。2. 基本定義在本節(jié)中，我們應(yīng)當闡明一些定義和將在后續(xù)中被用到的轉(zhuǎn)換表。細節(jié)請見參考文獻1-7。微分變換方程定義如下4：(1) 其中是原函數(shù)，Y (k)是轉(zhuǎn)換方程。這里意味著x的k階導(dǎo)數(shù)。 Y (k)的微分變換方程被定義為：(2) 結(jié)合(1)和(2)我們得到(3) 從以上定義可以很容易地看到，差分變化的概念是從泰勒級數(shù)展開而得到的。(1)和(2)的基本的數(shù)學(xué)運算很容易得到，并在表一中給出結(jié)論。原函數(shù)變換函數(shù)(where c is a const

33、ant)3. 非線性函數(shù)的微分變換 非線性函數(shù)Ny(x)的微分變化定義如下：(4) 其中Ny(x)是原非線性方程，N(k)是變換方程。N(k)的微分變化定義為(5) 從(4)和(5)我們得到這意味著微分變換的概念是從泰勒級數(shù)展開而得到的，但該方法不能確定象征性的衍生工具。然而，相關(guān)的衍生工具通過迭代的方法運用微分方程的變換方程可以進行計算。從定義(4)和(5)很容易證明變換方程完成基本的數(shù)學(xué)運算，如表二所示。非線性函數(shù)變換形式在實際應(yīng)用中，函數(shù)Ny(x)表示一個有限序列，(5)可以寫作：這里的m是決定這項研究中的收斂的自然頻率。非線性差分變化不需要針對每個多項式的計算公式。初等展開的代數(shù)、三角

34、或泰勒展開式只需要展開操作。Maple大多被用來進行方便的計算工作。通過討論以下合適的非線性形式，非線性差分變換的概念將更加清晰。并且按照以下不同的情況提出了建議方法的應(yīng)用。Case 1: 如果 則 其中 ，從變換定義(4)中，我們得到 其中Case 2: 如果 則 其中 則 從變換定義(4)中，我們得到 其中 Case 3: 如果 則 我們首先設(shè)(6) 將(6)帶入 中得到(7) (7)中的展開式可以按組重新排列，提出每一項的公共元素。這樣，我們可以將(7)改寫為：把以上帶入方程 中，并賦值得到：Case 4: 如果 則 帶入方程 中并賦值得到： 在這一節(jié)中，我們給出了兩個數(shù)值例子，來說明上

35、一節(jié)中的方法的有效性。例 1: 考慮非線性微分方程(8) 初始條件為(9) 我們很容易得到微分方程(8)的精確解為。然后，通過變換形式表一和表二的初等屬性，我們可以找到方程(4.2)變換形式如下：(10) 其中和分別是是方程和的變換形式，應(yīng)用初始條件(4.2)，我們得到(11) 現(xiàn)在，把(11)帶入(10)中，我們?nèi)菀椎玫揭韵耏 (k)的值, , 最后，使用逆變換，我們得到(12) 因此，(12)的封閉形式為 例 2: 考慮非線性的Emden-Fowler型方程11,12(13) 初始條件為(14) 顯而易見，(13)的精確解是。然后，然后，通過變換形式表一和表二的初等屬性，我們可以找到方程(

36、4.2)變換形式如下：或者(15) 其中Y (k)和N(k)分別是函數(shù)y(x)和的變換形式。應(yīng)用初始條件(14)，我們得到(16) 現(xiàn)在，把(16)代入(15)中，我們很容易得到Y(jié) (k)的值, , , 最后，運用的逆變換，我們得到(17) 因此，方程(17)的封閉解是 5. 結(jié)束語本文的主要目標是為了通過微分變換方法來解非線性微分方程。所有問題的近似解都可以用所建議的方法來解決。數(shù)值方法給出了幾乎取決于變換方法的類型的解析解。它還表明，這種方法的數(shù)值算法，很容易計算所需的洗漱或者設(shè)置計算機代碼，以獲得許多方面的一系列我們需要的解決方案。外文文獻原文The Differential Trans

37、form Methods For Nonlinear Functions And Its Applications Yildiray Keskin and Galip OturancAbstract. In this study, new differential transform methods were presented to solve some nonlinear functional. The suggested methods are convenient for computational purpose because of its simple computer codi

38、ng and its providing detailed solutions. The algorithms of the new methods were applied to the different types of nonlinear functional models.Key words: Differential transformation, differential inverse transformation, Emdem-Fowler differential equation, nonlinear differential equation.1. Introdutio

39、n Differential transform method (DT) is a numerical method for solving differential equations or system of the differential equations 1-7. Differential transform method recently had interest because of some important applications for solving engineering problems 1-7. There is no known method in lite

40、rature for solving differential equations which have nonlinear dependent variable by transform method. This paper presents new formulae for solving these problems i.e. the nonlinear Emden.Fowler and Lane-Emden 8-12 type differential equations. In the next section we begin by introducing the definiti

41、ons of the differential transform methods. In section 3, we give new formulae for solving differential equations by transform methods. In section 4, we show how to apply the new formulae using for ordinary differential equations. Finally, we conclude this paper with a brief discussion in section 5.2

42、. Basic DefinitionsIn this section, we shall state some definitions and transform table which will be needed in sequel. For detail we refer to Refs.1-7. The differential transform of the function y (x) is defined as follows 4:(1) where y (x) is the original function and Y (k) is the transformed func

43、tion. Here means the th derivative with respect to x.The differential inverse transform of Y (k) is defined as(2) Combining (1) and (2) we obtain(3) From above definitions it is easy to see that the concept of differential transform is derived from Taylor series expansion. With the aid of (1) and (2

44、) the basic mathematical operations are readily be obtained and given in Table 1.Original FunctionTransformed Form(where c is a constant)3. The Differential Transformation of Nonlinear FunctionalDifferential transform of nonlinear function Ny(x) is defined as follows:(4) Where Ny(x) is the original

45、nonlinear function and N(k) is the transformed function. Differential inverse transform of N(k) is defined as(5) From (4) and (5) we getwhich implies that the concept of differential transform is derived from Taylor series expansion, but the method does not evaluate the derivatives symbolically. How

46、ever, relative derivatives are calculated by an iterative way which is described by the transformed equations of the original functions. From the definition of (4) and (5), it is easy to prove that the transformed functions complete with the basic mathematical operations shown in the Table 2. Nonlin

47、ear FunctionTransformed FormIn actual applications, the function Ny(x) is expressed by a finite series and (5) can be written asHere m is decided by the convergence of natural frequency in this study. The nonlinear differential transform does not require a formula for each polynomial. The elementary

48、 expansion operations algebraic, trigonometric or Taylor expansion, are the only operations needed. The algebraic computation languages such as Maple may be used to facilitate the computational work. The nonlinear differential transform will be clarified by discussing the following suitable forms of

49、 nonlinearity. The applications of suggested methods were presented for following different cases.Case 1: If then where andFrom definition of transform in (4), we have whereCase 2: If then where and From definition of transform in (4), we have where Case 3: If then We first set(6) Substituting (6) i

50、nto gives(7) The expansion in (7) can be rearranged by grouping all terms with the sum of the subscripts of the components of is the same. This means that we can rewrite (7) asThis gives differential transformation of Case 4: If then This gives differential transformation of In this section, we give two numerical examples for demonstrating the validity of the method provided in the previous section.Example 1: Consider the nonlinear differential equat