高三數學平面向量知識點與題型總結文科

1、占八、一. 向量的根本概念與根本運算1、向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小. 零向量：長度為0的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行 單位向量：模為1個單位長度的向量 平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量 相等向量：長度相等且方向相同的向量uuur r uni rr uuu uju uuur2、 向量加法：設 AB a,BC b，貝U a + b = AB BC=AC(1) 0 a a 0 a ;(2)向量加法滿足交換律與結合律；uuuuuuuuu uuuruuuuurABBCCDL PQQRAR，但這時必須“首尾相連.3、向

2、量的減法：相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做 a的相反向量向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，作圖法：a b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點)4、實數與向量的積：實數入與向量a的積是一個向量，記作入a，它的長度與方向規(guī)定如下：(I) a| I I |a ; (n )當 0時，入a的方向與a的方向相同；當0時，入a的方向與a的方向相反；當0時，a 0，方向是任意的5、兩個向量共線定理：向量b與非零向量a共線有且只有一個實數，使得b = a6、平面向量的根本定理：如果e,e2是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數1

3、, 2使：a ©2僉，其中不共線的向量(2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底二. 平面向量的坐標表示1平面向量的坐標表示：平面內的任一向量a可表示成a xf yj，記作a=(x,y)。2平面向量的坐標運算：r b%X1,y2X2,y1X2,X1y2UUU(2)假設 A Xi, yi , B X2, y2 ,那么 ABx?討2 y艸rb% yX1 XX =( ra raa=(X2,y2x, y)，那么 abXiy2X2V10r b%X1>y2y1X1y2X2,假設 a b，那么 x1 x2 y1 y2 0三. 平面向量的數量積1兩個向量的數量積：兩個非零向量a與b，它們的夾角為

4、，那么a b=I a丨丨b i cos 叫做a與b的數量積或內積規(guī)定0 a 02向量的投影:rbr braTa R,稱為向量br在a方向上的投影 投影的絕對值稱為射影3數量積的幾何意義：a br等于a的長度與b在a方向上的投影的乘積 4向量的模與平方的關系：a a a2af5乘法公式成立:6平面向量數量積的運算律:r r交換律成立：a b b a 對實數的結合律成立：a b a b a b 分配律成立：a b c a c b c c a b特別注意：i結合律不成立：a b c a b c ；2消去律不成立abac不能得到b crr r r3 a b =0不能得到a=0或b =07兩個向量的數量

5、積的坐標運算：rr兩個向量 a x., y,b x2,y2，那么 a yy1800) 叫-r r uun r uuu rn8向量的夾角：兩個非零向量 a與b，作OA=a,OB=b,那么/AOB= 00做向量a與b的夾角cos = cos a, ba ?b _x1 x2 y1 y2al?b 認2 y12 7x7_r r0r r0r當且僅當兩個非零向量a與b同方向時，B =0,當且僅當a與b反方向時B =180，同時0與 其它任何非零向量之間不談夾角這一問題r ro r rr r9垂直：如果a與b的夾角為900那么稱a與b垂直，記作a丄b10兩個非零向量垂直的充要條件 ：a丄b a b = O%x

6、2 y1 y2 0+平面向量數量積的性質【練習題】1、給出以下命題： 兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；uuur uuur 假設A, B, C, D是不共線的四點，貝V AB = DC是四邊形ABC助平行四邊形的充要條件； 假設a與b同向，且| a|>| b|，那么a>b； 入，口為實數，假設Xa= b，那么a與b共線.其中假命題的個數為A. 1B. 2C. 3D. 42 .設ao為單位向量，假設a為平面內的某個向量，那么a = | a| ao；假設a與ao平行，那么a= | a| ao；假設a與a。平行且|a| = 1,那么a= 上述命題中，假命題的個數是)A.0B. 1C

7、.2D. 33、設兩個非零向量a與b不共線.uuuuuuuuu(1)假設 AB = a+ b,BC = 2a+ 8b,CD = 3( a b).求證：A, B,D三點共線;2試確定實數k，使ka+ b和a+ kb共線.uuur4、兩點A4,1，B7，- 3，那么與AB同向的單位向量是uuiruuu uuur5、 在厶ABC中, M為邊BC上任意一點，N為AM中點，AN = X AB + 口 AC，貝V入+ 口的值 為D. 16、 兩個單位向量 e1，e2的夾角為，假設向量5 = e1 2e2，b2= 3e1 + 4e2，貝V A b2 =.7、|a| = 1，| b| = 2，a與b的夾角為1

8、20°，a+ b+ c= 0,那么a與c的夾角為A. 150°B. 90°C. 60°D. 30°8、 a與b為兩個不共線的單位向量，k為實數，假設向量 a+ b與向量ka b垂直，那么k=9、設向量 a, b 滿足 | a| = 1, | a b| =, a (a b) = 0,那么 |2 a+ b| =()A. 2B. 2D. 4C. 410、向量 a= (sin x, 1) , b=.當a丄b時，求| a+ b|的值;(2)求函數f(x) = a - (b-a)的最小正周期.11、 f (x) = a b,其中 a = (2cosx, s

9、in2 x) , b= (cosx, 1)( x R).(1)求f(x)的周期和單調遞減區(qū)間; 在厶ABC中，角A B, C的對邊分別為 a, b, c, f(A) = 1,a=,uuuABuult AC = 3,求邊長b和c的值(b>c).uun uuu12、如圖，在 ABC中，OA a, OB b,M為OB的中點,N為AB的中點,uuuP為ON AM的交點，貝U AP等()21.ab3312.-ab332 1 A2 a bB33da 2bD3313.A ABC中，AB邊的高為CD假設CB = a,uuuuuuCA = b, a buuur| a| = 1, |b| = 2,那么 AD

10、 =()a ba b14. (2021 鄭州質檢)假設向量a = (x 1,2),b= (4 , y)相互垂直，那么9x+ 3y的最小值為()B. 2A. 12C. 3D. 6UULuuu15. (2021 山西省四校聯考)在厶 OABO 為原點)中，OA = (2cos a , 2s in a) , OB = (5cos p ,uuu uuu5sin p )，假設 OA Ob = 5,那么厶 OAE的面積 S=()C. 516、 假設a, b, c均為單位向量，且a b = 0, (a c) (b c) <0,那么| a+ b c|的最大值為().1B. 1 C.D . 217、 AB

11、C為等邊三角形，AB= 2.設點P, Q滿足=入，=(1 入),入尺假設=,那么 入=().18如圖，平行四邊形 ABC啲頂點A(0 , 0) , B4,1) , Q6,8)求頂點D的坐標；uuur uuur假設DE = 2 EC , F為AD的中點，求 AE與BF的交點I的坐標.【課后練習題】1. 以下等式： Oa = a;一一a = a; a+ a = 0; a+ 0a; a b= a+ b.正確的個數是A. 2B. 3C. 4D. 5解析：選C2. 2021 福州模擬假設 a + b+ c= 0,貝V a, b, cA. 都是非零向量時也可能無法構成一個三角形B. 定不可能構成三角形C.

12、 都是非零向量時能構成三角形D. 定可構成三角形解析：選Auuu uuu uuu3. 2021 威海質檢平面上不共線的四點 QA,B,C.假設OA + 2OC = 3OB，那么的值為解析：選A4. 2021 -海淀期末如圖，正方形ABCD，點E是DC的中點，點F是BCuuurE的一個三等分點靠近B>,那么EF=()IuuuuuuruuuuuurABADAB +ADuuuuuuuuuruuujAB+ DAABADAB解析:選Duur uuu uuu5. 2021 -揭陽模擬點O為厶ABC外接圓的圓心，且 OA + OB + CO = 0,那么厶ABC的內 角A等于A. 30°B.

13、 60°C. 90°D. 120°解析：選Auur uuu uuu uuu6. ABC勺三個頂點A、B C及平面內一點 P滿足PA + PB + PC = AB ,那么點P與厶ABC的關系為A. P在厶ABC內部B. P在厶ABC外部C. P在AB邊所在直線上D. P是AC邊的一個三等分點解析：選 Duuur uuur uuur7. (2021 鄭州五校聯考)設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外, BC 2= 16, | AB + AC | uuur uuur uuuur=| AB Ac |，那么 | AM | =.答案： 2uuur uuur uuur uu

14、ur8. (2021 -大慶模擬)O為四邊形ABC斷在平面內一點，且向量 OA , OB , OC , OD滿 uuur uuur uuur uuur足等式OA + OC = OB + OD，貝y四邊形ABC啲形狀為.答案：平行四邊形 uuur uuur uuur9. 設向量 ei, e2不共線，Ab = 3( ei + e2), Cb = e2 ei, CD = 2ei + e2,給出以下結論： AB, C共線；A, B, D共線；B, C, D共線；A, C, D共線，其中所有正確結論的序號為 .答案：uuur uuur10. 設i , j分別是平面直角坐標系 Ox Oy正方向上的單位向量

15、，且 OA = 2i + nji, OB = ni uuur+j , OC = 5i j，假設點A, B, C在同一條直線上，且 m= 2n,求實數 m n的值.或7. 向量 a=, b= (x, 1)，其中 x>0,假設(a 2b) II (2a+ b)，貝V x=.答案： 48. P= a|a= ( 1,1) + m1,2) , mG R, Q= b|b = (1 , 2) + n(2,3) , n F是兩個向量集合，那么Pn Q等于.答案：uuur uuur uuur9. 向量 OA = (1， 3), OB = (2 , 1) , OC = (k+ 1, k 2)，假設 A, B

16、, C三點能構成三角形，那么實數k應滿足的條件是 .答案：k工110. A(1,1) ，B(3， 1)，C(a，b).(1) 假設A, B, C三點共線，求a, b的關系式；uuur uuur(2) 假設AC = 2 AB，求點C的坐標.(5 , 3) .11. a=(1,0) , b=(2,1) .求：(1) | a3b|；(2) 當 k 為何實數時, ka b 與 a3b 平行,平行時它們是同向還是反向？方向相反.uuuur uuur uuur12. O為坐標原點，A(0,2) , B(4,6) , OM = tQA + t?AB .(1)求點M在第二或第三象限的充要條件;(2)求證：當ti= 1時，不管t2為何實數，A, B, M三點都共線.&向量 a，b 夾角為 45°，且 |a| = 1, |2a b| =，那么 | b| =.答案： 39向量a= (2 , 1) , b = (x, 2),c= (3 ,y)，假設 a/b,(a+ b)丄(b c),Mx,y),uuuurN(y，x) ，那么向量 MN 的模為 答案： 810. a= (1,2) , b= ( 2, n) , a與 b 的夾角是 45°.(1) 求 b;(2) 假設 c 與 b 同向 且 a 與 c a 垂直 求 c.c= b= ( 1,3).11