高中數(shù)學(xué)橢圓經(jīng)典例題詳解2

1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程典型例題例1橢圓mx2 3y2 6m 0的一個(gè)焦點(diǎn)為0, 2求m的值.分析：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由 c2，根據(jù)關(guān)系a2 b22c2可求出m的值.2 2解：方程變形為- L 1 .因?yàn)榻裹c(diǎn)在6 2my軸上，所以2m 6,解得m 3.又c 2，所以2m 622, m 5適合.例2橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P 3,0,a 3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.分析：因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況.根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法,求出參數(shù)a和b或 a2和b2的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)其方程為由橢圓過點(diǎn)P 3,0，知3b，代入得b21 , a29，故橢圓的方程為

2、y2 1.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)其方程為2y2ax2b290由橢圓過點(diǎn)P 3,0 ,知一02a b3b,聯(lián)立解得281 , b29 ,故橢圓的方程為 812X-1 .930,求此三角形重心 G的軌跡和頂點(diǎn) A的軌跡.例3 ABC的底邊BC 16 , AC和AB兩邊上中線長之和為分析：1由可得 GC GB 20，再利用橢圓定義求解.設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為x, y，由GC GB 20,2由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求 A的軌跡方程.x由題意有yx3，3代入，得A的軌跡方程為y2x9002y3241 y 0，其軌跡是橢圓除去x軸上兩點(diǎn)知G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn).因a 10

3、, c 8，有 b 6 ,2故其方程為X2y_1 y 0 .10036(2)設(shè) A x, y,G2x, y，那么 x£1 y 0 .10036解：1 以BC所在的直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系.例4P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為 5和，過P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸33的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程.解：設(shè)兩焦點(diǎn)為F1、F2，且PF1從 PFiPF?知PF?可求出PFiF24.53,PF22 5-.從橢圓定義知2a |PF. |PF2 2 5 .即a . 5 .垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸，所以在RtPF2F1 中,sinPF1F2PF2 lPF.2，2c

4、 PF. cos6晉，從而b21032所求橢圓方程為53y2101或眩102x例5橢圓方程a長軸端點(diǎn)為Ai， A，焦點(diǎn)為Fi，F(xiàn)2，橢圓上一點(diǎn),APA2F1PF2.求：FiPF2的面積用a、b、表示.分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊，從而利用 Slabsi nC求面積.2解：如圖，設(shè)x, y，由橢圓的對(duì)稱性,不妨設(shè) P在第一象限.由余弦定理知:F1F2PFi2 PF22 PF. PF2 cos4c2.由橢圓定義知:故 S f.,PF2PFiPF22a ，那么2得PF2 sin1 2b2sin2 1 cosPFib2 tan .2PF22b21 cos例6動(dòng)圓P過定點(diǎn)A 3,0，且在

5、定圓B:x 3 2 y2 64的內(nèi)部與其相內(nèi)切, 分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn) P滿足的關(guān)系式.解：如下圖，設(shè)動(dòng)圓 P和定圓B內(nèi)切于點(diǎn)M .動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)，即定點(diǎn)A 3,0和定圓圓心B 3,0距離之和恰好等于定圓半徑，即PA PB PM PB BM|8.二點(diǎn)P的軌跡是以 A, B為兩焦點(diǎn),i 2 2半長軸為4,半短軸長為b . 42 32 .7的橢圓的方程：- 1 .167說明：此題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程.這是求軌跡方程的一種重要思想方法.X22例7橢圓-y 1，(1 )求過點(diǎn)P -，-且被P平分的弦所在直線的方程；2 2(2) 求斜率為2的平

6、行弦的中點(diǎn)軌跡方程；(3) 過A 2,1引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；1(4) 橢圓上有兩點(diǎn) P、Q，O為原點(diǎn)，且有直線 OP、OQ斜率滿足kOP kOQ1-，故所求直線方程為：2x 4y 3 02求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程.分析：此題中四問都跟弦中點(diǎn)有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法.解:設(shè)弦兩端點(diǎn)分別為M xby1 , n X2,y，線段MN的中點(diǎn)R x, y ,那么2為2y22得X1X2 X1X22 y1y2 y1y20 .2冷2y；2y2 y1y2 0,x冷2x,由題意知x1X2，那么上式兩端冋除以X1X2 ,有X1X2 2 y1X1X2%y22y,將代入得X 2yy1 y2

7、0 .X1x2(1 )將x - , y丄代入，得22x1 x20,136 4 6 -40符合題意，2x 4y 30為所求x 4y0 .(橢圓內(nèi)局部)x2 2y2 2x2y 0 .(橢圓內(nèi)局部)，將平方并整理得2 2 2y1 y2 4y 2y°2,將代入橢圓方程 X2 2y22得6y2 6y -(2 )將 里上 2代入得所求軌跡方程為：X-I x2(3 )將 丄2 山代入得所求軌跡方程為：% X2 x 22 2(4)由+得：兇亞 y； y2 2,22 2 2x( x2 4x 2x1x2,，將代入得:4x22捲 x244y2 2y22，2x2 x-|X2 4y222即 x21 .121再

8、將yyx/2代入式得:2此即為所求軌跡方程當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決.2 2橢圓4x y 1及直線y x m .(1)當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)?(2)假設(shè)直線被橢圓截得的弦長為乙丄0，求直線的方程.5解：1把直線方程y x m代入橢圓方程4x2y21得4xx m 1 ,即 5x2 2mx m2 102m 24 5m2116m220°，解得于2 設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1 ,x，由12mm2X2x-|x2根據(jù)弦長公式得 ：.1 122 22mm 1一 4 552 105.解得m0 .方程為y x .采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別.說明：處理

9、有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題,這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式.用弦長公式，假設(shè)能合理運(yùn)用韋達(dá)定理即根與系數(shù)的關(guān)系，可大大簡化運(yùn)算過程.2 2例9以橢圓x -1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線123l: x y 90上一點(diǎn)M作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短,點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程.分析：橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，此題實(shí)際上就是要在直線上找一點(diǎn), 使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩點(diǎn)即兩焦點(diǎn)的距離之和最小，只須利用對(duì)稱就可解決.2 2解:如下圖，橢圓 1的焦點(diǎn)為F1 3,0 , F2 3,0 .123點(diǎn)F1關(guān)于直線I: xy 9 0的對(duì)稱點(diǎn)F的坐

10、標(biāo)為一9, 6,直線FF?的方程為x 2y 3 0.解方程組x 2y 3 0得交點(diǎn)M的坐標(biāo)為5, 4.此時(shí)MR MF2最小.x y 9 0所求橢圓的長軸：2a MF MF2 FF2 6J5 ,. a 3區(qū)，又c 3,2 2x y4536例 11 x2 siny2 cos1 (0表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求的取值范圍.分析：依據(jù)條件確定的三角函數(shù)的大小關(guān)系再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出的取值范圍.解：方程可化為sin2y1cos1 因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以1cos1sin-2 23 532 36 因此，所求橢圓的方程為2 2例10 方程 y 1表示橢圓，求k的取值范圍k 53 kk 50,解:由3 k

11、 0, 得3 k 5，且k4.k 53 k,滿足條件的k的取值范圍是3k 5，且 k 4.說明k:此題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：由50,得3 k 5，故k的取值范圍是3 k5.3k0,出錯(cuò)的原因是沒有注意橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中a b 0這個(gè)條件，當(dāng)ab時(shí)，并不表示橢圓3因此sin 0且tan 1從而 一，.2 4說明：1由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知10,1sincos21.21由焦點(diǎn)在y軸上，知acos,bsin0,這是容易無視的地方.求 的取值范圍時(shí)，應(yīng)注意題目中的條件例12求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過AC. 3 , 2和B 2.3,1兩點(diǎn)的橢圓方程.分析：由題設(shè)條件焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上不明確，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情

12、形，為了計(jì)算簡便起見，2 2可設(shè)其方程為mx ny 1m 0, n 0,且不必去考慮焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，直接可求出方程.解：設(shè)所求橢圓方程為 mx2 ny20.由A.3,2和B 2、3,1兩點(diǎn)在橢圓上可得m ( 3)2 n ( 2)21,即m ( 2 .3)2 n 121,1,所以m1,n -.故所求的橢圓方程為1552 2x y155例13 知圓x2y21,從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段，求線段中點(diǎn)M的軌跡.相關(guān)點(diǎn)求軌跡方程或軌跡.分析：此題是一些軌跡，求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題這種題目一般利用中間變量解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為x , y，點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0 , y0，那么x 乂 , y y0.2因?yàn)?Pxo

13、 , yo在圓 x2 y2 1 上，所以 x02 y02 1 將x02x ,y0y代入方程x0y01得4x?y21 .所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓4x?y21 .說明：此題是利用相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程的方法，這種方法具體做法如下：首先設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為X , y,設(shè)軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)為 X。，y0，然后根據(jù)題目要求，使 x , y與x0 , y0建立等式關(guān)系,從而由這些等式關(guān)系求出 x0和y0代入的軌跡方程，就可以求出關(guān)于x , y的方程，化簡后即我們所求的方程.這種方法是求軌跡方程的最根本的方法，必須掌握.例14長軸為12,短軸長為6,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn) F1作傾斜解為的直線交橢圓于 A

14、,3B兩點(diǎn)，求弦AB的長.分析：可以利用弦長公式 AB V1 k2|x1 x2 J1 k2x1 x22 4x1x2求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求. 解：法1利用直線與橢圓相交的弦長公式求解.ABV1k2 |x1x2<(1 k2)(x1x2)24x1x2.因?yàn)?a 6, b 3，所以 c33.因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x軸上,1，左焦點(diǎn)F 3. 3,0，從而直線方程為 yx2所以橢圓方程為-36由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x2 12 3x 36 8 0 .設(shè)x1 , x2為方程兩根，所以X1 X212、. 313，x1x2從而 AB v'1 k |x1 x2.(1

15、 kgX2)24x1x24813法2利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意可知橢圓方程為2236 七 1，設(shè) AF1 m，BF1n ,那么 AF212 m ,BF212 n .在 af1f2 中，af2所以m64.3 .AFF1F22 2AF1IRF2cos3，即(12 m)2同理在 BF1F2中，用余弦定理得n 尸，所以AB48 n法3利用焦半徑求解.先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程13x2 72 3x 36 8 0求出方程的兩根 為,x2，它們分別是A , B的橫坐標(biāo).再根據(jù)焦半徑|AFj a exi, BR a e冷，從而求出|AB AFj BRx2 y例15橢圓 二 1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)R的距離為2

16、, N為MF!的中點(diǎn)，貝y 0N| O為坐標(biāo)原點(diǎn)的值為2593A . 4B. 2C. 8D.-2解：如下圖，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F2 ,由橢圓第一定義得MFj |MF2| 2a 10，所以 |MF2| 10 |MF10 2 8,1又因?yàn)镺N為 MF1F2的中位線，所以|ON|MF2 4，故答案為A.說明：1橢圓定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)大于F1F2 的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.橢圓上的點(diǎn)必定適合橢圓的這一定義，即MF1 MF2 2a，利用這個(gè)等式可以解決橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的有關(guān)距離.2 2例16橢圓C: L431，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線l: y 4x m，橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該

17、直線對(duì)稱.分析：假設(shè)設(shè)橢圓上A , B兩點(diǎn)關(guān)于直線I對(duì)稱，那么條件等價(jià)于：1直線AB l ； 2弦AB的中點(diǎn)M在I 上. 利用上述條件建立 m的不等式即可求得 m的取值范圍.解：法1設(shè)橢圓上Ax1,yj,Bx2,y2兩點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，直線AB與l交于M x。,y。點(diǎn).1T的斜率ki4 ,.設(shè)直線 AB的方程為y x42201113x 8nx 16n480。二論 x213即點(diǎn)M的坐標(biāo)為如，回.點(diǎn)M在直線y 4x1313將式代入式得13 x2 26 mx 169 m2 48 0n .由方程組y4x n,消去y得22xy1,43%x4n112n于是X0,y0 一 x°n52134134n

18、13m上，.- n4m .解得nm .134A, B是橢圓上的兩點(diǎn),(26m)2 4 13(169m2 48) 0 .解得2 132 13m法2同解法1得出n13413m，二 x0 ( m) m ,413 41131y04X0 7m4 (m) 13m3m，即 M 點(diǎn)坐標(biāo)為(m, 3m).4 A, B為橢圓上的兩點(diǎn)， M點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，皿4(3m)1 .解得2. 13132 13m13法3設(shè)Axi , yi , BX2，財(cái)是橢圓上關(guān)于l對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線AB與I的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo , yo) A，B在橢圓上,3-，2X2兩式相減得3(XiX2)(XiX2)4(%y2)(yiy2) 0，即 3 2

19、Xo(XiX2)2yo(yiy2) o.yiy2X-IX2嚴(yán)(Xi4y。X2) 又直線AB I ,kABki3x04y01，即 y0 3x0。又M點(diǎn)在直線I上，二y04X0 m。由,得M點(diǎn)的坐標(biāo)為m,3m 以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點(diǎn)A ,1利用直線AB與橢圓恒有兩個(gè)交點(diǎn)， 通過直線方程與橢圓方程組成的方程組, 別式0，建立參數(shù)方程.B關(guān)于直線I恒對(duì)稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題,可以采用列參數(shù)滿足的不等式：消元后得到的一元二次方程的判2X0y0利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式.利用弦AB的中點(diǎn)M x。，y。在橢圓內(nèi)部，滿足a1例17在面積為1的PMN中，tanM , tanN2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出以M、N為焦點(diǎn)且過P2點(diǎn)的橢圓方程.解:那么以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)， MN所在直線為X軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y).所求橢圓方程為鉉15yX cyX c cy 1.2,53c5.即 P(2 3,2512a2a2 b243b23J41,得b21543.2y- 13l的方程.X2例18P4,2是直線l被橢圓一362仝 1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線9y 或 X，得到關(guān)于x或 y分析：此題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題.通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出X1 X2, X1X2 (或y1 y , Y1Y2)的值代入計(jì)算即得.