插值法：原理與應(yīng)用

1、整理課件插值法：原理與應(yīng)用Zhenhua Song整理課件插值的背景 1. 只有n個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值 希望找到一條通過這些點(diǎn)的曲線（連續(xù)、光滑） 2. 函數(shù)太麻煩，近似簡(jiǎn)化 找到一個(gè)好計(jì)算的函數(shù)，近似代替 3. 用多項(xiàng)式代替 多項(xiàng)式方便求值、求導(dǎo)、積分等整理課件插值 & 逼近 & 擬合 0. 給定n個(gè)不同的點(diǎn)，構(gòu)造曲線 1. 插值：曲線依次通過n個(gè)點(diǎn) 2. 逼近：曲線最接近n個(gè)點(diǎn) （接近：在某種意義下） 例：最小二乘法 3. 擬合：插值 + 逼近整理課件泰勒展開 在某一點(diǎn)x0處展開 只在x0處近似性較好 遠(yuǎn)離x0的點(diǎn)誤差較大 需要n個(gè)點(diǎn)近似性較好 插值可以勝任整理課件一次插值 用一

2、次函數(shù)近似表示整理課件二次插值 用二次函數(shù)來表示整理課件多項(xiàng)式插值 ：示例 給定的n+1個(gè)不同的點(diǎn) 找到一個(gè)n次多項(xiàng)式， 依次通過這n+1個(gè)點(diǎn) n次多項(xiàng)式必然唯一整理課件多項(xiàng)式插值：唯一性 整理課件多項(xiàng)式插值：唯一性 整理課件拉格朗日插值 整理課件拉格朗日插值：2點(diǎn)情形 整理課件基函數(shù)的構(gòu)建：2點(diǎn)情形 整理課件基函數(shù)的構(gòu)建：n+1點(diǎn)情形 整理課件拉格朗日插值：n+1點(diǎn)情形 整理課件拉格朗日插值：誤差估計(jì) 整理課件拉格朗日插值：示例 整理課件Nevile迭代插值 整理課件Nevile迭代插值 整理課件Nevile迭代插值 整理課件牛頓差商插值 整理課件牛頓差商插值：系數(shù)確定 整理課件牛頓差商插值

3、：系數(shù)確定 整理課件牛頓差商插值：公式導(dǎo)出 整理課件牛頓差商插值：系數(shù)求解 整理課件牛頓差商插值：間距相等 整理課件牛頓差商插值：間距相等 整理課件牛頓差商插值：反向差商 整理課件Hermite插值 整理課件拉格朗日插值缺點(diǎn) 插值多項(xiàng)式形狀、走向差異較大整理課件Hermite插值 ：優(yōu)勢(shì) 整理課件Hermite ：一階導(dǎo)數(shù)相同 整理課件Hermite：一階導(dǎo)數(shù)相同 整理課件Hermite : 一階導(dǎo)數(shù)相同 整理課件回憶拉格朗日基函數(shù) 整理課件Hermite ：其他 整理課件三次樣條插值 ：背景 整理課件線段連接：粗糙 相鄰兩點(diǎn)用線段連接 形成折線，不夠光滑整理課件三次樣條插值：特性 整理課件三次樣條插值：邊界 整理課件三次樣條插值：構(gòu)建 整理課件三次樣條插值：構(gòu)建 整理課件三次樣條插值：應(yīng)用 整理課件 整理課件 整理課件多項(xiàng)式插值：對(duì)比整理課件參數(shù)曲線 整理課件參數(shù)曲線：圖像整理課件三次參數(shù)曲線：定義 整理課件三次參數(shù)曲線：構(gòu)造 整理課件三次函數(shù)曲線：圖像整理課件Bezier曲線 n+1個(gè)點(diǎn)分成n段， 每一段都是三次參數(shù)曲線 輸入： n+1個(gè)點(diǎn) n段上端點(diǎn)切向量上某一點(diǎn) 輸出： n個(gè)三次多項(xiàng)式，作為Bezier曲線整理課件Bezier曲線：形狀整理課件Bezier曲線：特點(diǎn) 改變某一段，不會(huì)對(duì)其他段產(chǎn)生影響 常用于工業(yè)設(shè)計(jì)