工程數(shù)學(xué)(高等數(shù)學(xué)第三冊第三版物理類專用)第三章

1、1第三章第三章 線性方程組線性方程組2第一節(jié)第一節(jié) 向量組與矩陣的秩向量組與矩陣的秩線性相關(guān)與向量組的線性無關(guān)3.1.1 向量組的秩1212,.,. -1(-1),.,; 1 設(shè)是一組向量若其中有一個向量可經(jīng)組中的個向量或者說是其余個向量的線性組合 ，則稱是線性相關(guān)的向量組這 個 定至少其余線性表出線性相。關(guān)向義量sssss 否則，就稱該向量組是線性無關(guān)的向量組這 個向量。線性無關(guān)s321112 ,.,.,().,.,2 設(shè)向量組線性相關(guān)，則任意添上若干個同維向量之后，得到的 向量線相例組也必性關(guān)rrrssr 1 任何含有向量的向量組一定例零線性相關(guān)。1212122. =+.+. ：因?yàn)? ,

2、線性相關(guān)，不妨設(shè)可經(jīng), ,線性表出， 即證明rrrr 122r+1=+.+0+.+0，rrs 12r+1.故, , ,線性相關(guān)rs ().部分相關(guān)則全體相關(guān)4 ：用反證證法即可.明12121 ,.,.,(311)()設(shè)向量組線性，則從中任意取出若干個向量之后，得到的例線性向量組且稱為原向量組的子組 也必?zé)o。關(guān)關(guān)無irsiiriisr ()對于只含一個向量 的向量組補(bǔ)單個向量：充定義 . 當(dāng) 為向量時，稱它是線性的，當(dāng) 為向量時，稱它是線零相性的關(guān)非零無關(guān) 全體無關(guān)則(部分無關(guān))5112111. ,.,(1). 0100設(shè)線性相關(guān) 若，依補(bǔ)充定義知，對于任何 ：必都有成立要。證明性sss 121

3、2 ,.,(1),.1,向量組線性相關(guān)的充要條件是，至少存在一組的 個數(shù)，使得不零等式為定全理ssss 11 若，由定義 知，向量組中至少有一個向量是其余向量的線性組合。s 1122-1-1 .不妨設(shè)sss 1122-1-1 .()0.-1移項(xiàng)得sss 11221=.0 (1) 成立。sjjssj 61(1) 當(dāng)時，由可得s (1)(1) ,0. 設(shè)成立，且中至少有一個不妨設(shè)充分性不為零jsjs 11111(1)0. 00當(dāng)時， 式成為且，必有s 12,.,(1).因此，推出線性相關(guān)ss 1122.+0ss -11212-112-1 -.- ,., 移項(xiàng)后，可得，即可經(jīng)線性表出。sssssss

4、s 712 ,.,(1)(1,2,., ),(1)向量組的充要條件是線性無關(guān)所有，僅當(dāng)?shù)亩紴榱銜r式才。推論能成立sjsjs 11221=.0 (1)sjjssj 812121122 ,.,01. .0.因?yàn)椋?線性相關(guān)，故至少有一組不全為 的個數(shù) ， ， ， ，使得等證明：式成立sssss 121212 ,.,.,.,.4無關(guān)相設(shè)向量組線性，而向量組，線性，則向量 必可經(jīng)向線性例量表出關(guān)sss 0()需說明即可 1122 .0.0：反設(shè)，則上式成反證為法ss 1212.0,.(,?)而且，這時 ， ， 中至少有一個不為，從而推出線性無關(guān) 題設(shè)矛盾，故 一定不為零ss 1,.,即 可經(jīng)向量線性表

5、出。s9 | 0設(shè)，證明它的 個行向量線性相:關(guān)必要性證明An | det()20()階行列式的充分必要條件是，它的 行 列向量組線性定關(guān)。理相ijnAan1當(dāng)時，結(jié)論顯然成立；n 11201,.,.若，由例 知，線性相關(guān)n 1110. 0若，它必有非零的分量，不妨設(shè)a 111|(2,.-., )由行列式性質(zhì),將的第一行的倍加到第 行上，jAjanaj 歸納法-1. 假設(shè)結(jié)論對成立，現(xiàn)在也成證結(jié)論對立明nn12(,.,)(1,2,. )|.第 個用記的行向量iiiinaaaiinA 1012111( ,.,)02,.-().,不難得知，jjjnjjaaajan 1112122222211112

6、20|.0|于是得到等式nnnnnnnnnaaaaaaaaaBaaaaA 11| 0|-100.由，推知階行列式AnBa 223|,.,-1.(0)線性相 由歸納法假設(shè)，的個行向量線性相關(guān)，從而知，即存在不全為 的數(shù)，？，關(guān)，使得nnnB1112211112121(-)(-)0 ，nnnjjjjjjjnjjjjjjaaa 12,.,故線性相關(guān)。n 111212-11122-1-1,.,.1,., . 設(shè)線性相關(guān)時,不妨設(shè)是的線性組合：，nnnnnnn 充分性： (-)(1,2,.,-1),.則： 將第 行的倍加到第對 作初行等第 行變上行變換成零向量則jjnjnAn | 0.1于是， 當(dāng)時，顯

7、然結(jié)果成立。An121.2 任何個 維向量必線相推論性關(guān)nn , |()|01|階行列式的充分必要條件是的 個行推列向量線論。性無關(guān)AnAn 12 (,.,) (1,2,.,1).設(shè)， 證明：iiiinnaaai 121 ,.,10.但以為行的最后一列為階行列式中，該行列式零nn 121121 2,.,.,由定理 知線性相關(guān)，從而也線性相關(guān)nn 12(,.,)(1,2,.1,.0) 令，iiiinnaaai 111100.顯然，當(dāng)時，必有nnjjjjjj 13 (0) 任何含有向量的 維向量組 含有有限或無限個向量 ，必有線性；非無關(guān)子組n:結(jié)論.它的任何一個線性所含向量的個數(shù)都不超關(guān)子組過無

8、個n14 2 若向量組的一個線性，但將向量組中任何一個向量添加到這個線性無關(guān)子組中去，得到的都是的子組，則稱該線性無關(guān)子組為向子組無關(guān)線量組的 定義極大線性性相關(guān)無關(guān)組。4,. 由推知 向量組中的任何向量都是它的中向量極大線的線性無關(guān)組性組合例0僅有的向量組沒有極大線向量性無關(guān)組。一個的向量組的極大線性無關(guān)組就是該向量線性無關(guān)組本身；15一般地，一個向量組的極大不是線性無關(guān)組唯一的：123312123 4=(1,0,1,2)=(0,1,0,-1)=(1,1,1,1).=+,維向量組，因?yàn)?，所以線性相關(guān). 122313, 但都是線性無關(guān)組 因而都是它的極；大線性無關(guān)組。 161212 ,.,.,

9、 . 設(shè)和是所給向量組的兩個極大線性無證明關(guān)：組rs .3 對于一個給定的向量組，它的一切極大線性無關(guān)組所含向量的理個數(shù)相同定,.若設(shè)rsrs1711111221221122221122, (2 ).rrrrssssrrddddddddd 1212,.,.,都由極大線性無關(guān)組定是義知,的線性組合：sr 112111222212121212(,.,)(,.,)( )(,.)3.,ssrrrrsrsddddddDddd 12,.,( )?需要證明線性相關(guān)s (2):把改寫成矩陣形式181211221122120,., 0=.(,.,)因此，存在一組不全為 的數(shù)，使得ssssssdddd ddD 1

10、2 sr,.,. 22由于 大于 ，由知 的 個定理 推理維列向量線性相關(guān)sDsrd dd112112212221.(,.,)(,.,)0則ssrsssD s12,.,.這表明線性相關(guān)，矛盾，故rs 1900.僅含 向量的向量組，它的秩等于規(guī)定3 .一個向量組的極大線性無關(guān)組個數(shù)所含向量的，稱為義該向量組的秩定 1.秩為 的向量組中，任何個向量必線相推論性關(guān)rr 20 (),;.設(shè)是矩陣 它的 個行向量是一個 維向量的向量組個列向量是一個 維向量的向量組ijAamnmnnm3.1.2 矩陣的秩矩陣 的行向量組的秩稱為；秩的行AA. 的列向量組的秩稱為 的列秩AA? ()行秩與列秩的關(guān)系211

11、11 212 12 22121212 () 1 ,.11 在矩陣 中，取出 個不同行與不同列相交處的元按排列 構(gòu)成的 階行列原順式稱為矩陣 的一個序階定子義式kkkkk ki ji ji ji ji ji jkki ji ji jAkkaaaaaaiiimjjjnkaaaA221112121222120.|00 證明：設(shè) 中有一個 階子式不等于上角一切高，不失一般性，可設(shè)位于 左的 階子，式階的子式為而于都rrrrrrAraaaaaaDrAraaa 0.1 矩陣 的秩等于 中行一切非 子式的最理數(shù)定高階AA12| 0,.,( )? .，立刻推知 的前 個行向由于量線性無關(guān)rDrA () ()短

12、無關(guān)則長一定無關(guān)證明向目標(biāo)？量2311| 01. 若兩列，其中中有相同，；rrDDkjrmr 11121121222212121,()|11,考察階行列式rjrjrrrrrjkkkrkrjarkmjnrDaaaaaaaaaaaaaaa 110. 若是 的階子式，由假設(shè)它也等于，則rDArjrn 1 | 0于是。恒有rD 11212 .|.| 0|按最后一列展開得將jjrjrkjraaaDDa 112| |,.,1,2,.,., 對皆成立，其中分別是中最后一列各元的代數(shù)余子式，它們是與 無關(guān)的常數(shù)rrjDDjn 2412| 0(),.,.由于，知可經(jīng)線性表出krarDkm 11221,2,.,.

13、| 0 )(.由這 個等式：jjrjrkjanjDaaan 12,.,. ：是 的行向量組的極大線性無關(guān)組，因而 的行向量組即為有的秩rAAr .矩陣 的的秩也等于同理中非列向量組零子式證，數(shù)可的最高階AA1122|0( ) 得到rrkaaaD arkm25 .2 矩陣 的行秩，稱為矩陣 的秩，記定義為AAAr 20. 矩陣的行秩等于列定理秩，等于矩陣中非 子式的最高階數(shù)結(jié)論：1. 0的行秩的列秩中非 子式的最高階數(shù)ArAAA2. AArr 261122,的第 個行向量iiinnABiaaa1212 84 12 ()(),設(shè)，若以記 的列向量，作記 的行向量，業(yè):證明：ijm nijn snn

14、AaBbA AAABP 1122.的第 個列向量jjnjnBAjb Ab Ab A(1,2,; 1,2, )imjs27.證明：先證ABBrr 3min().，矩陣乘積的秩不超過的定秩每理個因子ABABrrr ()(). 設(shè)，則為矩陣ijm nijn pAaBbABmp12,.,.由于的每個向量都是 的向量組的線性組合行行jnABB.從而也是 的行向量組的極大無關(guān)組的線性組合B121212 ,.,.,.,.不妨設(shè) 的行向量組的極大無關(guān)組是,則它們維向量的向量組的極大線性組是關(guān)也無BBrmrBp12 ,.,.于是知向量組中的任何線性不無關(guān)子組，所含向量過數(shù)必，即超mABBBrrr .同理可證AB

15、Arr 28.即任何矩陣乘上可逆矩陣后，其秩不變 ,. 1 設(shè) 為 階可逆矩陣，則推論，m nn pAQQPAPAnPPQQrrrr證明：AQQrr -13().由定理 知，又因?yàn)椋訟QQQAQrrQAAQrr 2. 初等變換不改變矩陣的秩推論29 A 求一個矩陣秩的方法：對 進(jìn)行一系列初等變換，將其化成便于確定秩的矩陣階梯形矩陣.12* * 0*00-irrm r 行行i(1)0.第一個表示該行中的元，稱為該行的零不非首元為ir階梯形階梯形矩陣矩陣30 2130541003430000100001015 , , 01000021300123002000: 00000000例子階梯形矩陣1

16、003401015,020 000000 1 階梯形矩不是陣31 0,1().階梯形矩陣的秩等于它所含非零行向量的個數(shù) ，因?yàn)樗辽儆幸粋€ 階子式而任何階子式如存在向零量個都有一rrr12* * 0*00-irrm r 行行321 200-1-1214-102A=-1-42-1028112互換 、行 例 求矩陣的秩14-10200-1-12-1-42-1028112(1)+(3)-2+(4)14-10200-1-12001-120031 -2行行(1)行行 -10200-1-12000-240000.140， 用初等變換把一個矩陣化成階梯矩陣，其并不唯一；但所結(jié)果個數(shù)得階梯形矩陣的非零行向量的

17、都等于原矩陣的秩，因而是一樣的。A r =3.因此33-10200-1-1214 若在化的過程中，既用行初等變換又用列初等變換，則可得到具有最簡單形狀的階梯形矩陣：000一般對于秩為 的矩陣,必可經(jīng)初等變換轉(zhuǎn)化為rEr-最簡單的階梯形矩陣。000000-100000-200000.01.00000000=0000001110003000E34 0 (1)00.單秩為 的矩陣必可經(jīng)一系列初等變換化成形狀為的階梯形矩陣，其中為 階矩陣位rrrEEr ()00. (2)040設(shè)且的充分必要條件是，存在可逆矩陣和使得定理ijm nArm mn nAarrEPPQQAPQ 35

18、第二節(jié)第二節(jié) 線性方程組的解法線性方程組的解法 形式變換形式變換 解方程組本質(zhì)原理：解方程組本質(zhì)原理： 線性方程線性方程組組(n元一次元一次)矩陣矩陣(增廣矩陣增廣矩陣)表示表示 每個每個方程方程與一個與一個n+1維維行向量對應(yīng)行向量對應(yīng)(反之亦然？反之亦然？) 同解同解(減少方程個數(shù)減少方程個數(shù))線性相關(guān)線性相關(guān) 去掉多余方程去掉多余方程 消元消元(簡化方程的求解簡化方程的求解)初等行變換初等行變換361. 有解的條件3.2.1 非齊次線性方程組的解法11112211211222221122 (1) ().0非齊次線性方程組的一般形狀是或者用矩陣形式記為，nnnnmmmnnma xa xa

19、xba xa xaxbaxaxaxbAXbb , .它的增廣矩陣記為BA b 37 證明：必要性 (1) .1 非齊次線性方程組有解的充要條件是,系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩相同，即 定理ABrr B, B 極大線性無關(guān)組 又由推知， 的列向量組的是的列向量組的極大線性無關(guān)組，從而.ABA bArr 12 (1),.,(1)-設(shè)方程組有解，即存在數(shù)組使方程組的列向每一量個方程成為恒等式矩陣 的是矩陣的線的性組合。列向量組nbAxxxB38B. 因此,增廣矩陣 的前 個行向量是其的一個極大線性無行量組關(guān)組向r11121212221B2. =r(r0)Ar0.r=0A設(shè),則 中至少有一個 階子式不等

20、于 ，不妨設(shè) 的左上角的充分性:階，子式rrrrrrAaaaaaaaaarr (1)(1) 即方程組中個方前同程是的。解方程r(1)-. 方程組中后個方程都可用前從而推知，個方程表出m rr(1)-因此，方程組中后個方程是的，多余m r3911 .0) (2 ,任意,因,用解,得到克萊姆法則解于組值唯對一一rrnnxxxx 1,.)(,由于,并將其中含的項(xiàng)都移到右端,就得？到rnxxrn 1122 .， ，rrxxxxxx121( ., .)(1)而， ， ，就是方程組的。一個解rrnxxxxx 1111221121122222111112212112211.-.-.-. - (2.)rrrr

21、rrrrrrnnrrnnrnrrrmnaxa xaxaxa xa xa xba xa xa xba xa xa xbaxax 40-(1).個參當(dāng)時解向量依賴于方程組有無窮多解數(shù)rnn r (.2 1)充分性的證明過程也是解線性方程組的定一般規(guī)則理(1)當(dāng)時，方程組只有唯一解。rn (1)3 當(dāng)時，非齊次線性方程組只有唯一解；當(dāng)時，它有無窮多個解； 定理當(dāng)時？ABAABBrrnrrrnrr 41. 用初等變換來化簡方程組，從而簡化了解線性方程組的手續(xù)2. 矩陣消元法11()(1)(1)若用初等行變換 僅限于把方程組的增廣矩陣 化成矩陣，則以為增廣矩陣的線性方程組是方程組注意：初等行的方程.變換

22、同解BBB421(1) 第一步，寫出方程組的增廣矩陣，并用初等變換把它化成階梯矩陣，行B(1)解線性方程組的步驟如下：1( , )().行變換即階梯形矩陣BA bB 110. 比較和所成的矩陣的非 行數(shù)可知中前 列是否成立ABBrBrn (1)(1)若，方程組無解。ABBArrrr+-同解 消元431 B-0100把化成“行簡化矩陣” 每行非 首元都等于 ,且所在的除本身外其余元全為 的階梯形矩陣.列非 首元再消(元、同解)B1 B第二步， 若，則解以為增廣矩陣的階梯形方程組：Arr 1B 111,111222,1121,1111.,.,., ,. . . . . .rrnnrrnnrr rr

23、rnnrrxbaxa xxbaxaxxbaxa xxx . ,) (3nnxx 1(1)(1). 其中為任意常數(shù),就是方程組的全部解，即.的.,通解rnxx 11112122110.0.01.0.00.1.00.00.00.00.00.00解為rnrnrrrnraabaabaab 441212 x=rrrnxxxxxx (3)通解也可寫成向量的形式：11112122 12 221212-=+11+.+0000000001+rrrnrrnrrrrrnrrnbaaabaaabaaaxxx 12=.( ).01特別當(dāng)時，得到方程組的特解一個：rrnxxx12(,.,0,0,.,0).rb bb111

24、 ,111222 ,1121,1111.,.,., ,. . . . . .rrnnrrnnrr rrrnnrrxbaxaxxbaxaxxbaxaxxx . ,) (3nnxx 45 解 對方程組的增廣矩陣施行初等行變換1234512345134512345 223 - 30 22664533 - . 4解線性方，程例組，xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1111122311-30 B=1022664533-141022660-1-1-5-4=B . 000000000000112.可見，原方程有無窮多解BArr1345234512 2 +66, - - - 5-4.B 所對應(yīng)的方程組為

25、xxxxx xxx 行初等變換 4613452345334455, , , 62-6-4+5 -2+ , xxxxxxxxxxxxxx 33445512 =，解出 ，得通令解xxxxxxxx312345456-2-2-6-411501=+0000100001+或xxxxxxxx345.其中 ， ，為參數(shù)xxx470當(dāng)非齊次線性方程組右端全部常數(shù)項(xiàng) 都等于 時，ib3.2.2 齊次線性方程組的解法 A X=0它的矩陣形式是.齊次線性方程組是非齊次線性方程組的特殊情況,原解法也適用111122121122221122.0.0. (1).0得到的方程組稱為齊次線性方程組nnnnmmmnna xa x

26、a xa xa xaxaxaxax 48-.-0當(dāng)時，只有唯一解解Arn ( ,0), (0,0,.,0)0()：稱為齊次線性方程恒有組的必平凡解有解解ABrrBA -.當(dāng)時，它除零解外還有依賴于個參數(shù)的非零解AArnn r 0| 0. 對 個未知量 個方程的齊次線性方程組，有非 解的是系數(shù)行列式 結(jié)論：充要條件nnA 1. ：直接對系數(shù)矩陣 作初等行變換，將它齊次化成線性方程組的解階梯形矩陣法AA1.然后解以為系數(shù)矩陣的階梯形齊次線性方程組A49 1111110-1-1-53211-301226 =.01226000005433-A100000行初等變換對方程組的增廣矩陣施行初等行變換解 1

27、234512345234512345 032 - 30 2260543 3 - 0.解線性方程例，組，xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 250. ，方程組有非 解Ar 13452345- -50, +2+2+60 .與方程組同解x xxxxxxx 50345341122334453554354 ,11,-2-2 ,10 ,01 +-2 X=+5- ,002 -6解出或xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 55-6001+x 13452345- -50, +2+2+60 .由方程組x xxxxxxx 345.其中 ， ，可取任意值xxx51 例例 求求 ，使齊次線性方程組，使齊次線性

28、方程組有非零解，并求其通解有非零解，并求其通解123123123(3)20,(1)0,3(1)(3)0 xxxxxxxxx解解 系數(shù)行列式系數(shù)行列式2312|11(1)3(1)3A2|(1)0A0,1當(dāng)當(dāng) ,即即 時時,方程組有非零解方程組有非零解52 將將 代入原方程組代入原方程組，得，得01232313320,0,330,xxxxxxx1312011303A123()111xxkkRx 方程組的系數(shù)矩陣方程組的系數(shù)矩陣10101100053再將再將 代入原方程組，得代入原方程組，得112313123420,0,640,xxxxxxxx2412101101012614000A123()121

29、xxkkRx方程組的系數(shù)矩陣方程組的系數(shù)矩陣54例例 取何值時，線性方程組取何值時，線性方程組 12312321231,xxxxxxxxx（1）有惟一解；（）有惟一解；（2）無解；（）無解；（3）有無窮多解，并求解）有無窮多解，并求解解解 方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為1111 ,11A21111111B2(1) (2)A 則則551111 ,11A21111111B2(1) (2)A12 0,A 3,ABrr2 211112 12121203 3311240003B23ABrr此時方程組無解；此時方程組無解；（1）當(dāng)）當(dāng) 且且 時，時，（2）當(dāng)）當(dāng) 時，時，

30、此時方程組有惟一解；此時方程組有惟一解；56（3）當(dāng)）當(dāng) 時，時，11 1 1 111111 1 1 100001 1 1 10000B1ABrr12322331,xxxxxxx 得通解得通解12123111010001xxxkkx 12( ,).k kR，此時方程組有無窮多解，此時方程組有無窮多解由同解方程組由同解方程組57第三節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu) 討論線性方程組的解之間的關(guān)系討論線性方程組的解之間的關(guān)系 一個線性方程組的全體解向量所成的集合稱為一個線性方程組的全體解向量所成的集合稱為該線性方程組的該線性方程組的解集合解集合. 解集合是解集合是n維向量的集合維向量的集合58當(dāng)時，齊次線性方

31、程組的有無窮多個解向量.解集合Arn 3.3.1 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.-(n+1n)極大線性無關(guān)子組這個解集合一定存在個 維向量必相關(guān)1212 ,.,.,.是它的極大線性無關(guān)子組，則齊次線性方程組的任一個解向量必可出如用線性表例ssXXXXXX591sjjjXA 12s1X ,X ,.,X又由于的任意線性組合都滿足齊次線性方程組：sjjjX 12s12s X ,X ,.,XX ,X ,.,X.即的任意組合都是齊次線性方程組的解向量，從而知的一切線性組合構(gòu)成了齊次線性方程組的解集合1=AsjjjX 10=0.sjj 60 當(dāng)時(秩未知量個數(shù)),才有基礎(chǔ)解系,且不止一個；但基礎(chǔ)解系所含解向量

32、數(shù)同小于個相.Arn 齊次線性方程組解集合的一個極大線性無關(guān)子組，稱為該齊次線性方程組的一定義個基礎(chǔ)解系.-解齊次線性方程組就是它的基求礎(chǔ)解系.61 3.2.2rn - ： 從知，當(dāng)時，齊次線性方程組的解向量證明賴于數(shù).依個參n r =-.當(dāng)時,齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系含有定個解向量理Arrnn r 12-,.,.不失一般性，可假設(shè)這個參數(shù)是rrnn rxxx(1,0,.,0), (0,1,.,0), ., (0,0,.,1).-現(xiàn)在分別給它們組值：n r62011112102212220- 1- 2-1,0,00,1, ( , , , ,),( , , , ,), ,00,0,1 (,).r

33、rn rn rn rn rrXCCCXCCCXCCC -對應(yīng)地得到齊次線性方程組的個解向量：n r00012- ( - )-1, .由于以它們?yōu)樾械木仃嚨淖詈髠€列所成的行列式，得知，線性無關(guān)n rn rnn rXXX 63只需證明齊次線性方程組的任何一個解向量()-需證明它們就是解集合的一個極大線性無關(guān)子組01212,(,),rrrnkXk kkkk 00012-, .都可用，線性表出n rXXX00001212- - .依據(jù)齊次線性方程組的可知解向量被它所依賴的：個成參數(shù)定立唯一確rrnn rXn rkkkXXX64 先用初等行變換將系數(shù)矩陣化為解階梯形矩陣12345123451234512

34、3453+-8 202-2-3-7 +20+11-1234-50-52-16 + 310.求齊次，的一個基礎(chǔ)解系及通解，例線性方程組xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 193110-31-8218822-2-3-72725101- =.882111-1234-5000001-52-16300A000行初等變換 25-2=3.，基礎(chǔ)解系應(yīng)有個線性無關(guān)的解向量Ar 134523451931= ,8827251= ,882 解出階梯形矩陣對應(yīng)的方程組得xxxxxxxx 6503452010 (0,1,0)325,(-,01 0)88令代入可求得解向量,， ，,xxxX 1345021197 ,

35、8819 7 (,(1,0, 0 1 0 0)8810 )令代入上式解出，于是對應(yīng)的解向，量為，xxxxxX 03453(0,0,11 1,(-,0 0)01)2 21令代入得,解向量， ，；xxxX 000123000112233123 ,()于是,是方程組的一個基礎(chǔ)解系,因而方程組的全部解向量為其中 ， ，為任意的實(shí)數(shù)XXXXk Xk Xk Xkkk66124512341234512345+-3 -0-+2-04-2+6 3-402+4-2 +4 -70. 2，求齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系例xxx xx xx xxxxxxxxxxx 67 352.，基礎(chǔ)解系應(yīng)由 個線性無關(guān)的解向量構(gòu)成A

36、r 110-3-110-3-11-12-100-2-2-14-263-4000-124-24-70003 0102系數(shù)矩陣作初等變換解1245234545+-3 -02-2-2-03-0.寫出的方程對應(yīng)組： ， ， xxx xxxx xx x 12435.三個非零首元對應(yīng)未知量為,由于,故選取,為數(shù),參xxxxx1245243545+-3 =2-2=2+3=.，得 項(xiàng) 移 ，xxxxxxxxxx 6851324,=-1=1,=100令代入解出，xxxxx1245243545+-3 =2-2+3= =2.，xxxxxxxxxx 1 X =(-1 1,1 0 0)對應(yīng)的解向量為， ，1235475

37、1,=,=6=0=163令代入，解得，xxxxx27 51X =(,01)6 63對應(yīng)的解向量為，12XX.則，是所得方程組的一個基礎(chǔ)解系693.3.2 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 對非齊次線性方程組，由于解一般向量的線性組合不是它的解向量。 .0非齊次線性方程組對應(yīng)的齊次線性方程組,稱為非齊次線性方程導(dǎo)組的出組AXAXb AB012n-r r =r =rnXX ,X ,.,X 特設(shè)，是非齊次線性方程組的一個，是解基礎(chǔ)導(dǎo)出組的個解系一.121212XXXX A=A= (0) A()=2XXAX=.,不是方程組的解bb bbbb 700011222-1 , .(1). .加到它的的每個解向量上，就

38、得到非齊次線性方程組的全部解向量，它的全部解向量可表為 把非齊次線性方程組的一個特解導(dǎo)出 , ，,定為任組常數(shù)理意n rrrnnXXXkk Xk XkkkX 1.( )非齊次線性方程首先：是組的證明解AXb (1)代入非齊次將線性方程組得到0011()0.n rn rjjjjjjA Xk XAXk AXbb012-0,.,!-特解導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，的線性組合n rXAXXXX7100 (-) -0 其次，假設(shè) 是非齊次線性方程組的任意一個解向量，由于，XA XXAXAXb b0-.導(dǎo)出組知是的一個解向量XXX 12-1122- . .即存在一組常數(shù) ， ，使得成立n rn rn rkkkXk

39、Xk XkX 001122- .(1).于是,即成立n rn rXXXXk Xk XkX 12-,.,. 基礎(chǔ)解系線性組從而是導(dǎo)出組合它的的n rXXX721234512345134512345 223 - 30 22664533 -4. ，解線性方，程組例xxxxxxxxxxxxxxxxxxx 1111121022662311-3001-1-1-5-4 B=.1022660000004533-14000000行初等變換對方程組的增廣矩陣施行解行初等變換 25.，原方程有無窮多解ABrr731.先求它的一個特解、134523452 2 +66, - - - 5-4 (2.)寫出與階梯形矩陣對應(yīng)

40、的方程組為 xxxxx xxx 34512= =0=6=-4. (2) 在令得，中到xxxxx0X =(6,-4,0,0,0) 于是得到特解742 、一個基礎(chǔ)導(dǎo)出組的解系求：134523452 2 +60, - - (3 - 5.)0導(dǎo)出組方程為xxxxx xxx 345 1 0 0 0 1 (3)0 0 0 1取， ，；， ，在中分別；，讓，xxx123 =(-2,1,1,0,0); =(-2,1,0,1,0);XXX = (-6,5,0,0,1);可求得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系123 (6,-4,0,0,0)(-2,1,1,0,0)(-2,1,0,1,0)(-6,5,0,0,1)方程組的通解為 X

41、kkk 75 例例 求求 ，使齊次線性方程組，使齊次線性方程組有非零解，并求其通解有非零解，并求其通解123123123(3)20,(1)0,3(1)(3)0 xxxxxxxxx解解 系數(shù)行列式系數(shù)行列式2312|11(1)3(1)3A2|(1)0A0,1當(dāng)當(dāng) ,即即 時時,方程組有非零解方程組有非零解76 將將 代入原方程組代入原方程組，得，得01232313320,0,330,xxxxxxx1312011303A123()111xxkkRx 方程組的系數(shù)矩陣方程組的系數(shù)矩陣10101100077再將再將 代入原方程組，得代入原方程組，得112313123420,0,640,xxxxxxxx

42、2412101101012614000A123()121xxkkRx方程組的系數(shù)矩陣方程組的系數(shù)矩陣78例例 取何值時，線性方程組取何值時，線性方程組 12312321231,xxxxxxxxx（1）有惟一解；（）有惟一解；（2）無解；（）無解；（3）有無窮多解，并求解）有無窮多解，并求解解解 方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣分別為1111 ,11A21111111B2(1) (2)A 則則791111 ,11A21111111B2(1) (2)A12 0,A 3,ABrr2 211112 12121203 3311240003B23ABrr此時方程組無解；此時方程組

43、無解；（1）當(dāng)）當(dāng) 且且 時，時，（2）當(dāng)）當(dāng) 時，時，此時方程組有惟一解；此時方程組有惟一解；80（3）當(dāng)）當(dāng) 時，時，11 1 1 111111 1 1 100001 1 1 10000B1ABrr12322331,xxxxxxx 得通解得通解12123111010001xxxkkx 12( ,).k kR，此時方程組有無窮多解，此時方程組有無窮多解由同解方程組由同解方程組81特征值與特征向量特征值與特征向量相似矩陣和方陣的對角化相似矩陣和方陣的對角化82 1 1.XAnXXAnAXA設(shè)是 階 矩 陣 ， 如 果 有和維使 關(guān) 系 式（ ） 成 立 ， 那 么 稱 實(shí) 數(shù)為 方 陣的，向

44、量稱 為的 對 應(yīng) 于 特非 零 列 向 量特 征 值征 值的非義零特 征 向 量定 (1) ( 2)0 AE X式也可寫成（ ）nn 個未知量 個方程的齊次線性方程組83111212122212.(.3). 0 0.()Xnnnnnnaaaaaaaaa 0EAEA非有解的充要條件是零系數(shù)行列式即nA一元 次上式是以 為未知量的，方程特稱為 的征方程。,( ),.nfAEA左端是 的 次多項(xiàng)式 記為為 的特征多項(xiàng)式稱A的特征值就是特征方程的解。nnA階矩陣 在范圍內(nèi)有 個復(fù)數(shù)特征值.84 ()X0X, iiiiiAAEppA設(shè)是方陣的一個特征值，則由方程可求得那么便非零解是 的對應(yīng)于特征值的特

45、征向量 。8531 .11 .3A例求的 特 征 值 和 特 征 向 量2 2 31(3)113 86=(4)(2)AAE解： 的特征多項(xiàng)式為12 2 4A所以的特征值為8612當(dāng)時 ， 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 應(yīng) 滿 足12321(0 = 1 320)Xixx AE1211 1xx p解得，所以對應(yīng)的特征向量可取為 1 2 1 20 0 xxxx即87122121223410 =13401 10 0 00-1 4 ()X1ixxxxxx AEp當(dāng)時 ， 由即， 解 得所 以 對 應(yīng) 的 特 征 向 量 可 取 為88 ( .0) iiiikkpAp顯然，若是方陣 的對應(yīng)于特征值 的特征向量，則也是對應(yīng)于的特征向量891 1 04 3 0.1 0 2. 例2A求矩陣的特征值和特征向量 1 2 23 110430(2)(1)102 2, 1 AEAA解：的特征多項(xiàng)式為所以的特征值為9011 11 3 1 01 0 0 24 1 0 0 1 01 0 00 0 00 2(2)X01( 200)