【新課標(biāo)II卷】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)模擬試題(理)(含答案)

1、絕密啟用前注意事項(xiàng):2020年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。作答時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。、選擇題:本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有項(xiàng)是符合題目要求的。1 2i1 .1 2i3. i53. i5c.0 4i5 5D.4.-i 52.已知集合22x y <3,則A中元素的個(gè)數(shù)為A. 9B. 8C. 5D.3.函數(shù)fxeAx的圖像大致為4,已知向量aA. 45.雙曲線a. ya b1 ,則 a (2a b)b滿足|a| 12

2、 y b21(a- 2x6.在 ABC 中,C cos 2B.0,bB.C. 2D.0）的離心率為y 3xBC 1, AC73,則其漸近線方程為C. yD.5,則 ABB.C.國D.7.11為計(jì)算S 1 2 31199 100,設(shè)計(jì)了右側(cè)的程序框圖,則在空白框中應(yīng)填入N 0,T 0IB.100i 1C.D. i i 48.9.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30 7于30的概率是1A .一121B .一142的偶23 .在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等C.1151D .一18在長方體ABCDAB

3、1GD1 中，AB BC1, AA點(diǎn),則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為C.dU210.若f(x) cos xsin x在a, a是減函數(shù),則a的最大值是兀A. 一43兀C.一411.已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ┑钠婧瘮?shù)，滿足 f（1 x） f （1x) .若 f(1) 2,則f (1) f (2) f (3)f(50)A.50C. 2D. 502212.已知F2是橢圓 C: xy yr 1(a ba b0）的左，右焦點(diǎn)， A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為由的直線上,6PF1F2為等腰三角形,F1F2 P 120 ,則C的離心率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.曲線

4、 y 21n(x1）在點(diǎn)（0,0）處的切線方程為x 2y 5 0,14.若x，y滿足約束條件 x 2y 3 0,則Z x y的最大值為x 5 0,15. 已知 sin & cos 3 1, cos & sin 3 。，則 sin( a 3) .16. 已知圓錐的頂點(diǎn)為 S,母線SA, SB所成角的余弦值為 7, SA與圓錐底面所成角為 45。，若SAB的 8面積為5灰，則該圓錐的側(cè)面積為.三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第 1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題：共 60分。17. (1

5、2 分)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a17, S315.(1)求4的通項(xiàng)公式；(2)求& ,并求&的最小值.18. (12 分)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 y (單位：億元)的折線圖.為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額， 建立了 y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型.根據(jù)2000 年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,，17)建立模型：? 30.4 13.5t;根據(jù)2010年 至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2,，7 )建立模型：? 99 17.5t .(1)分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資

6、額的預(yù)測值；(2)你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由.19. (12 分)2設(shè)拋物線C: y 4x的焦點(diǎn)為F ,過F且斜率為k(k 0)的直線l與C交于A , B兩點(diǎn)，| AB| 8.(1)求l的方程;(2)求過點(diǎn)A,B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.20. （12 分）如圖，在三棱錐 P ABC中，AB BC 2屐,PA PB PC AC 4 ,。為AC的中點(diǎn).(1)證明：PO 平面ABC ;(2)若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角 M PA C為30 ,求PC與平面PAM所成角的正弦值.21. （12 分）已知函數(shù)f（x） ex ax2.(1)若 a 1 ,證明：當(dāng) x 。時(shí)，f (x)

7、1 ;(2)若f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a .(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22. 選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x 2cos 0,(。為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為y 4sin 0x 1 t COS a ,0 , .(t為參數(shù)).y 2 tsin a(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),求l的斜率.23. 選彳4- 5:不等式選講(10分)設(shè)函數(shù) f (x) 5 | x a | | x 2| .(1)當(dāng)a 1時(shí)，求不等式f(x)

8、0的解集；(2)若f (x) 1 ,求a的取值范圍.參考答案：、選擇題1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空題13. y 2x 14.915. -16.40后 九2三、解答題17 . （12 分）解：（1）設(shè)an的公差為d,由題意得3a1 3d 15.由 a17 得 d=2.所以%的通項(xiàng)公式為an 2n 9.（2）由（1）得 Sn n2 8n （n 4）2 16.所以當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值，最小彳t為-16.18 .（12 分）解：（1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為?30,4 13.5 19 226.1 （億元）.

9、利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值為? 99 17.5 9 256.5（億元）.（2）利用模型得到的預(yù)測值更可靠.理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)沒有隨機(jī)散布在直線y 30.4 13.5t上下,這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢.2010年相對2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型y? 99 17.5t可以較好

10、地描述 2010年以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預(yù)測值更可靠（ii）從計(jì)算Z果看，相對于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到的預(yù)測值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測值的增幅比較合理.說明利用模型得到的預(yù)測值更可靠以上給出了 2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分19.(12 分)解：（1）由題意得F（1,0）l的方程為y k(x 1)(k 0).設(shè) A(x1,y1), B(x2,y2)，y k(x 1),八由2得k2x2y 4x(2k24)xk20.216k2 16 0 ,故 x1X22k2所以 | AB | | AF |

11、BF |(X11) (X2 1)4k2 4k2,.4k2 4由題設(shè)知2 4k1 （舍去）1.因此1的方程為y（2）由（1）得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2),所以AB的垂直平分線方程為 y 2 （x 3）,即y x 5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（,丫0）,則5,81)2(y° x0 1)2 16 解得X0V。3,或2X0V。11,6.因此所求圓的方程為(x3)2 (y2)2一，2_ 216或(x 11) (y 6)144.20.(12 分)解：（1）因?yàn)锳PCPAC 4。為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P AC,且OP 2J3.連結(jié)OB.因?yàn)锳BBCW2AC ,所以 ABC為等腰直角三角形,2且 OB A

12、C,OB1 AC 2.2由 OP2 OB2PB2知 PO OB .由 OP OB,OP AC 知 PO 平面 ABC.urn（2）如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O xyz._ uur_由已知得 O(0,0,0), B(2,0,0), A(0, 2,0),C (0,2,0), P(0,0,2 V3), AP (0,2,2 73),取平面 PAC 的法uuu向量 OB (2,0,0).設(shè) M(a,2 a,0)(0 auuur2),則 AM (a,4 a,0).設(shè)平面PAM的法向量為n (x,y,z).uur uuu由 AP n 0, AM八 2y 2,3z 0n

13、0得y，可取ax (4 a)y 0n (V3(a 4),73a, a),所以umcos： OB, n2.3(a 4)23(a 4)2 3a2 a2.由已知得|cos：.OB, n.： | 所以2.3|a2,3(a 4)2g-=.解得a 22n3a a 24 （舍去），所以8 3 4 34 uuun ( , 一).又 PC (0,2,3332石），所以.umcos； PC, n3所以PC與平面PAM所成角的正弦值為421. (12 分)【解析】（1）當(dāng)a 1時(shí)，f （x） 1等價(jià)于（x2 1）e x 1設(shè)函數(shù) g(x) (x2 1)ex 1,貝U g'(x) (x2 2x 1)ex (x

14、 1)2e當(dāng)x 1時(shí)，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)單調(diào)遞減.而 g(0) 0,故當(dāng) x 0 時(shí)，g(x) 0,即 f(x) 1.設(shè)函數(shù)h(x) 1 ax2e x.f (x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)a 0時(shí)，h(x) 0, h(x)沒有零點(diǎn);(ii)當(dāng) a 0時(shí),h'(x) ax(x 2)e x.當(dāng) x (0,2)時(shí)，h'(x) 0；當(dāng) x (2,)時(shí)，h'(x) 0.所以h(x)在(0, 2)單調(diào)遞減，在(2,)單調(diào)遞增.4a故 h(2) 1)的最小值.4a 是 h(x)在0, e2若h(2) 0,即a h(x

15、)在(0,)沒有零點(diǎn);42若h(2) 0,即a h(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn);42若h(2) 0,即a 土，由于h(0) 1,所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn), 4由(1)知，當(dāng)x 0時(shí)，exx2,所以 h(4a),16a3 .16a31-4a-1/ 2a、2e (e )16a3(2a)4)有兩個(gè)零點(diǎn).故h(x)在(2,4 a)有一個(gè)零點(diǎn)，因此h(x)在(0,2綜上，f(x)在(0,)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a e .422選彳4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)22【解析】(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為1 .416當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為 y tan x 2 tan當(dāng)cos 0時(shí)，l的直角坐標(biāo)方程為 x 1 .(2)將l的參數(shù)方程代入 C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于 t的方程-22(1 3cos )t 4(2cos sin )t 8 0 .因?yàn)榍€C截直線l所得線段的中點(diǎn)(1,2)在C內(nèi)，所以有兩個(gè)解，設(shè)為ti , t2,則ti t2 0 .又由得t1 t