實(shí)驗(yàn)一計(jì)算復(fù)變函數(shù)極限微分積分留數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1實(shí)驗(yàn)一計(jì)算復(fù)變函數(shù)極限微分積分留數(shù)實(shí)驗(yàn)一計(jì)算復(fù)變函數(shù)極限微分積分留數(shù)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式1、MATLAB求復(fù)變函數(shù)極限求復(fù)變函數(shù)極限2、MATLAB求復(fù)變函數(shù)微分求復(fù)變函數(shù)微分3、MATLAB求復(fù)變函數(shù)積分求復(fù)變函數(shù)積分4、MATLAB求復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)求復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)5、MATLAB求復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式求復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式MATLAB實(shí)現(xiàn)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)內(nèi)容第1頁(yè)/共17頁(yè)1、MATLAB求復(fù)變函數(shù)極限求復(fù)變函數(shù)極限用函數(shù)用函數(shù)limit求復(fù)變函數(shù)極限求復(fù)變函數(shù)極限【Matlab源程序】 syms z f=;limit(f,z,z0) 返回極限結(jié)果返回極

2、限結(jié)果例例1 求求 在在z=0的極限的極限 解解 syms z;f=z*exp(z)/(sin(z)limit(f,z,0)ans = 1zzezfzsin)(MATLAB基本命令基本命令第2頁(yè)/共17頁(yè). 例例2 設(shè)設(shè) sin( )zfzz求0lim( )zf z1lim( )zif z .解解 【Matlab源程序】syms z f=sin(z)/z;limit(f,z,0)ans=1limit(f,z,1+i)ans=1/2*sin(1)*cosh(1)-1/2*i*sin(1)*cosh(1)+1/2*i*cos(1)*sinh(1)+1/2*cos(1)*sinh(1)第3頁(yè)/共17

3、頁(yè)2、 MATLAB求復(fù)變函數(shù)微分求復(fù)變函數(shù)微分用函數(shù)用函數(shù)diff求復(fù)變函數(shù)極限求復(fù)變函數(shù)極限【Matlab源程序】 syms z f=（）; diff(f,z) 返回微分結(jié)果返回微分結(jié)果例例3設(shè)設(shè) zfzzezfz 求,sin1)(解解 syms z f=exp(z)/(1+z)*(sin(z);diff(f) ans = exp(z)/(1+z)/sin(z)-exp(z)/(1+z)2/sin(z)-exp(z)/(1+z)/sin(z)2*cos(z)第4頁(yè)/共17頁(yè)3、 MATLAB求復(fù)變函數(shù)積分求復(fù)變函數(shù)積分(1)用函數(shù)用函數(shù)int求解非閉合路徑的積分求解非閉合路徑的積分.【Ma

4、tlab源程序】syms z a bf=int(f,z,a,b) 返回積分結(jié)果返回積分結(jié)果例例 4 求積分60ii0 x1=ch3zdz; x2(1)dzzez解解 syms z x1=int(cosh(3*z),z,pi/6*i,0)x2=int(z-1)*exp(-z),z,0,i)結(jié)果為：結(jié)果為：x1 = -1/3x1 = -1/3* *i ix2 = -i/exp(i)x2 = -i/exp(i)第5頁(yè)/共17頁(yè)(2) 用函數(shù)用函數(shù)int 求解閉合路徑的積分求解閉合路徑的積分.例例5 計(jì)算積分10| | 21d(i) (1)(3)zzzzz的值的值解解 【Matlab源程序源程序】 s

5、yms t z z=2*cos(t)+i*2*sin(t);f=1/(z+i)10/(z-1)/(z-3);inc=int(f*diff(z),t,0,2*pi)結(jié)果為結(jié)果為 inc =779/78125000*i*pi+237/312500000*pi若只輸出若只輸出6位有效數(shù)值位有效數(shù)值，使用語(yǔ)句使用語(yǔ)句 vpa(inc,6)結(jié)果為結(jié)果為 ans =.238258e-5+.313254e-4*i第6頁(yè)/共17頁(yè)4、 MATLAB求復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)求復(fù)變函數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)（1）f(z)=p(z)/q(z)；p(z)、q(z)都是按降冪排列的都是按降冪排列的 多項(xiàng)式多項(xiàng)式 用函數(shù)用函

6、數(shù)residue求求f(z)=p(z)/q(z)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù)在孤立奇點(diǎn)的留數(shù) 【Matlab源程序源程序】 R,P,K= residue (B,A) 返回留數(shù)，極點(diǎn)返回留數(shù)，極點(diǎn) 說(shuō)明：向量說(shuō)明：向量B為為f(z)的分子系數(shù)；的分子系數(shù)； 向量向量A為為f(z)的分母系數(shù)；的分母系數(shù)； 向量向量R為留數(shù)；為留數(shù)； 向量向量P為極點(diǎn)位置；為極點(diǎn)位置； 向量向量k為直接項(xiàng)為直接項(xiàng): 第7頁(yè)/共17頁(yè)解解 R,P,K= residueR,P,K= residue(1,0,1,1,1)結(jié)果為：結(jié)果為：R= 2R= 2P = -1P = -1K = 1 -1K = 1 -1例例6 求函數(shù)112zz在

7、奇點(diǎn)處的留數(shù)在奇點(diǎn)處的留數(shù)例例7 計(jì)算積分4d1Czzz 的值，的值，其中其中C C是正向圓周是正向圓周2z解解 先求被積函數(shù)的留數(shù) R,P,K= residue (1,0,1,0,0,0,-1) 結(jié)果為：結(jié)果為： 第8頁(yè)/共17頁(yè)R = 0.2500 0.2500 -0.2500 + 0.0000i -0.2500 - 0.0000iP = -1.0000 1.0000 0.0000 + 1.0000i 0.0000 - 1.0000iK = 可見(jiàn)在圓周可見(jiàn)在圓周2z內(nèi)有四個(gè)極點(diǎn)內(nèi)有四個(gè)極點(diǎn),所以積分值等于所以積分值等于2isum(R)S S=2S=2* *pipi* *i i* *sum(

8、sum(R)R)結(jié)果為結(jié)果為S =0S =0故原積分故原積分4d2i sum(R)=01Czzz第9頁(yè)/共17頁(yè)（2 2）如果已知函數(shù)奇點(diǎn)）如果已知函數(shù)奇點(diǎn)z0z0的重?cái)?shù)為的重?cái)?shù)為m,m,則可用下面則可用下面的的MATLABMATLAB語(yǔ)句求出相應(yīng)的留數(shù)語(yǔ)句求出相應(yīng)的留數(shù)R=limit(FR=limit(F* *(z-z0),z,z0) %(z-z0),z,z0) %單奇點(diǎn)單奇點(diǎn)R=limit(diff(FR=limit(diff(F* *(z-z0)m,z,m-1)(z-z0)m,z,m-1)/prod(1:m-1);z,z0) % m/prod(1:m-1);z,z0) % m重奇點(diǎn)重奇點(diǎn)

9、例例8 求函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù) zezzzzf233sin11 第10頁(yè)/共17頁(yè)解解 分析原函數(shù)可知分析原函數(shù)可知：0z 是三重奇點(diǎn)，是三重奇點(diǎn)，syms zf=sin(z+pi/3)*exp(-2*z)/(z3*(z-1)R=limit(diff(f*z3,z,2)/prod(1:2),z,0)結(jié)果為：結(jié)果為：R = -1/4*3(1/2)+1/2 ;limit(f*(z-1),z,1)ans = 1/2*exp(-2)*sin(1)+1/2*exp(-2)*cos(1)*3(1/2)MATLAB語(yǔ)句分別求出這兩個(gè)奇點(diǎn)的留數(shù)語(yǔ)句分別求出這兩個(gè)奇點(diǎn)的留數(shù)1z是單奇點(diǎn)，因此

10、可以直接使是單奇點(diǎn)，因此可以直接使用下面的用下面的第11頁(yè)/共17頁(yè)5、MATLAB求復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式求復(fù)變函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式（1）用函數(shù)）用函數(shù)taylor求求f(z)泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式【Matlab源程序源程序】 syms z f= Taylor(f,z0) 返回返回f(z)在點(diǎn)在點(diǎn)z0泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式例例9 求函數(shù)求函數(shù)f=1/(z-b)在點(diǎn)在點(diǎn)z=a泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式前泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式前4項(xiàng)項(xiàng) syms z a b; f=1/(z-b); taylor(f,z,a,4) ans = 1/(a-b)-1/(a-b)2*(z-a)+1/(a-b)3*(z-a)2

11、-1/(a-b)4*(z-a)3第12頁(yè)/共17頁(yè) （2）求二元函數(shù)）求二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)（在點(diǎn)（x0,y0）的泰勒級(jí)數(shù)）的泰勒級(jí)數(shù) 展開(kāi)式展開(kāi)式. 【Matlab源程序源程序】 syms x y; f=(); F=maple(mtaylor,f,x,y,m) 返回在返回在(0,0)點(diǎn)處點(diǎn)處 的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前m項(xiàng)項(xiàng). F=maple(mtaylor,f,x=x0,y=y0,m) 返回在返回在 (x0,y0)點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前m項(xiàng)項(xiàng). F=maple(mtaylor,f,x=a,m) 返回對(duì)單變量返回對(duì)單變量 在在x=a處的泰勒級(jí)數(shù)

12、展開(kāi)式的前處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前m項(xiàng)項(xiàng).第13頁(yè)/共17頁(yè) 例例10 求函數(shù)求函數(shù)222( , )(2 )xyxyzf x yxx e在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0(0，0)0)，以及（，以及（1 1，a a）點(diǎn)處的）點(diǎn)處的TaylorTaylor展式展式【Matlab源程序源程序】 syms x y; f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y); maple(mtaylor,f,x,y,4) 在在(0,0)點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式：點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式： ans = -2*x+x2+2*x3+2*y*x2+2*y2*x 第14頁(yè)/共17頁(yè)maple(mtaylor,f,x=a,2) 在在x=a處泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式：處泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式：ans = (a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)+(a2-2*a)*exp(-a2-y2-a*y)*(-2*a-y)+(2*a-2)*exp(-a2-y2-a*y)*(x-a)maple(mtaylor,f,x=1,y=a,2) 在在(1,a)點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式：點(diǎn)處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式：ans = -exp(-1-a-a2)-exp(-1-a-a2)*(-2-a)*(x-1)-exp(-1-a-a2)*(-2*a-1)*(y-a)第15