及生活密切相關(guān)的幾個(gè)概率問題

1、與生活密切相關(guān)的幾個(gè)概率問題摘 要 本文主要圍繞古典概型，全概率公式等有關(guān)知識,介紹了與日常生活密切相關(guān)的幾個(gè)概率問題,以進(jìn)一步揭示概率理論與實(shí)際生活的密切聯(lián)系,為解決日常生活中的實(shí)際問題奠定一定的概率基礎(chǔ).關(guān)鍵詞 概率問題;實(shí)際生活;密切相關(guān)中圖分類號 O211.1Several Probability Problems Related Closely With the Life Abstract:this paper focus on the classical probability model, total probability formula and other relevantk

2、nowledge, describes some closely related problems with the probability of daily life in order to further reveal the probability theory and real life close contact,to solve practical problems in daily life to lay certain probability. 朗讀顯示對應(yīng)的拉丁字符的拼音Keywords:probability problem;real life;closely relate

3、d1 引言概率理論是一種研究隨機(jī)現(xiàn)象中的數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)理論,隨機(jī)現(xiàn)象在自然界和人類生活中無處不在，隨著人類社會的進(jìn)步，科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，經(jīng)濟(jì)全球化的日益加快，概率理論在眾多領(lǐng)域中扮演著越來越重要的角色，取得越來越廣泛的應(yīng)用.概率應(yīng)用的基本方法是根據(jù)大量同類隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律,對隨機(jī)現(xiàn)象出現(xiàn)某一結(jié)果的可能性作出客觀的科學(xué)定義,對可能性的大小作出數(shù)量上的描述,通過比較這些可能性的大小,研究隨機(jī)現(xiàn)象之間的聯(lián)系.在我們的日常生活中有很多問題與概率密切相關(guān)，這里通過介紹幾個(gè)與生活密切相關(guān)的概率問題,來探討分析利用概率知識解決實(shí)際生活中的一些問題的方法.2 幾個(gè)生活中有趣的概率問題.2.1 與古典概型有關(guān)的

4、問題.隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但一個(gè)隨機(jī)事件在一次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的可能性的大小卻是固定的，先引入古典概率的定義及性質(zhì)定理：定義 設(shè)樣本空間,隨機(jī)事件A中有個(gè)樣本點(diǎn)，則稱為隨機(jī)事件A的古典概率，或簡稱為A的概率.定理 古典概率有以下性質(zhì)：（1） 對任何事件A有;（2） 必然事件的概率等于1，即;（3） 若A與B互不相容，即，則.例1 贏牌的概率有多大？撲克牌是人們喜歡玩的游戲，有些游戲規(guī)則中要求某幾張紙牌的花色要相同.現(xiàn)從一副52張的撲克牌中任取4張，求其中至少有兩張牌的花色相同的概率.解 至少有兩張牌花色相同的情況有：只有兩張花色相同；有三張花色相同；有四張花色相同，且彼此互

5、不相容，其對立事件是四張牌的花色各不相同.解法1 任取四張牌，設(shè)“至少有兩張牌的花色相同”為事件A；“四張牌是同一花色”為事件B；“有三張牌是同一花色，另一張牌是其他花色”為事件；“每兩張牌是同一花色”為事件；“只有兩張牌是同一花色，另兩張牌分別是不同花色”為事件.可見、彼此互不相容，且=.因?yàn)?()= ； ()= ；()= ；()=；所以 ()+()+()+()=0.8945.解法2 由解法一知為事件“取出的四張牌的花色各不相同”.因?yàn)?()=,所以 ()=0.8945.在實(shí)際生活中，如果直接計(jì)算符合條件的事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，可考慮對立事件，涉及“至少有一個(gè)發(fā)生” 、“至多有一個(gè)發(fā)生”時(shí)要

6、注意運(yùn)用對立事件來考慮.例2 我們的生日相同的概率有多大？某班有個(gè)人(),那么至少有兩個(gè)人的生日在同一天的概率有多大?解 令A(yù)表示事件“n個(gè)人中至少有兩個(gè)人的生日相同”,則表示事件“n 個(gè)人的生日全不相同”.所以 P()=.而 P(A)+ P()=1 ,于是 P(A)= 1- P()= 1- .這個(gè)例子中,直接求P(A)比較麻煩,而利用對立事件求解就簡單多了.對不同的一些n值,計(jì)算得相應(yīng)的P(A)值,如表1所示.表 1 人數(shù)n及對應(yīng)的概率P(A)表 n 10 20 23 30 40 50 P(A) 0.12 0.41 0.51 0.71 0.89 0.97上表所列的答案可能會引起多數(shù)人的驚奇,

7、這件事情發(fā)生的概率,并不如大多數(shù)人直覺中想象的那么小,而是相當(dāng)大.這說明了“直覺”并不可靠,也說明了研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的重要性.這類問題主要考察古典概率的計(jì)算及應(yīng)用，在分析過程中要注意每個(gè)事件所包含的樣本點(diǎn)，做到“既不重復(fù)，也不遺漏”.類似的問題日常生活中還有很多，如教師的排課問題、學(xué)生排座位的問題、銀行卡密碼的設(shè)置問題.解決此類問題時(shí)，一定要弄清楚題目的意思.其次對特殊情況、特殊元素一般優(yōu)先處理.2.2 與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)有關(guān)的概率問題.在日常生活中還有一種與古典概型不同的概率模型，它的基本事件不一定是等概率的.如何計(jì)算n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率.我們引入下面的定理：定理 設(shè)每次實(shí)驗(yàn)中

8、事件A發(fā)生的概率為p,則在次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中A發(fā)生次的概率是 P(A發(fā)生k次)例3 藥有效嗎？某地區(qū)?；寄撤N病的概率是 0.25 ,且每頭?；疾∨c否是彼此獨(dú)立的,今研制一種新的預(yù)防藥,任選12 頭牛做實(shí)驗(yàn),結(jié)果這 12 頭牛服用這種藥后均未患病,問此藥是否有效?解 對于這種問題，常有這樣的誤解“因?yàn)榉眠@種藥的牛都未患病,所以此藥有效”.下面我們來分析一下，此藥是否有效.由于患病的牛只占25%左右,這12 頭牛都未患病,未必是藥的作用,分析這個(gè)問題的一個(gè)自然想法是:若藥無效,隨機(jī)抽出 12 頭牛都不患病的可能性有多大,若這件事發(fā)生的概率很小,幾乎不會發(fā)生,那么現(xiàn)在這12頭牛都未患病,應(yīng)該是藥的效

9、果,即藥有效.現(xiàn)假設(shè)藥無效,由于每頭?；疾∨c否是彼此獨(dú)立的,故12 頭牛都不患病的概率為P(0)= 0.032.這個(gè)概率很小,該事件幾乎不會發(fā)生,但現(xiàn)在已確實(shí)發(fā)生了,故藥是有效的,但這個(gè)結(jié)論有3.2 %的可能性是錯誤的.在解決此類問題時(shí)一定要做謹(jǐn)慎的理論分析，不能僅憑主觀臆測貿(mào)然下結(jié)論，否則將會帶來災(zāi)難性的后果.例4 那種賽制對運(yùn)動員更公平？在某次臺球比賽中,運(yùn)動員甲與運(yùn)動員乙相遇,其中每賽一局甲勝的概率為0.45,乙勝的概率為 0.55,若比賽既可采用三局兩勝制,也可以采用五局三勝制,問采用那種賽制對甲更有利?解 (1)采用三局兩勝制:設(shè)A表示事件“甲勝前兩局”;A表示事件“前兩局中二人各勝

10、一局,第三局甲勝”;A表示事件“甲勝”.則 A =AA,而 P(A)=0.45 =0.2025; P(A)=(0.45 ×0.55) ×2 =0.22275.由于A與 A互不相容 ,由加法公式得 P(A) = P(AA)= P(A)+ P(A)= 0.2025 + 0.22275=0.42525.(2)采用五局三勝制:設(shè)B表示事件“甲勝”,B表示事件“前三局甲勝”,B表示事件“前三局中甲勝兩局乙勝一局,第四局甲勝”,B表示事件“前四局兩人各勝兩局 ,第五局甲勝”.則 B =BBB,且B、B、B互不相容.P(B)=0.45=0.091125;P(B)= C×0.45

11、×0.55 ×0.45=0.15035625;P(B)= C×0.45×0.55×0.45=0.165391875;所以，甲勝的概率為 P(B)= P(BBB)= P(B)+P(B)+P(B) = 0.091125 + 0.15035625 +0.165391875 = 0.4069.由于 P(B)=0.4069 < P(A)=0.42525,故采用三局兩勝制對甲更有利.但從公平性而言,因甲勝的概率為 0.45,乙勝的概率為0.55,所以“五局三勝制”比“三局兩勝制”更公平、更合理.2.3 與全概率公式、貝葉斯公式有關(guān)的問題.全概率公式、

12、貝葉斯公式是概率論中的重要公式，它們在日常生活中有廣泛的應(yīng)用.先引入兩個(gè)定理： 定理（全概率公式)設(shè)事件兩兩互斥，且.事件B滿足 則有 定理（貝葉斯公式)設(shè)事件互斥，且事件B滿足 且則對任一，有 例5 保險(xiǎn)公司風(fēng)險(xiǎn)評估.一保險(xiǎn)公司相信人群可分為兩類，一類是容易出事故的，另一類是不容易出事故的.前者在一年內(nèi)出事故的概率是0.4，后者在一年內(nèi)出事故的概率是0.2，前者約占人群的30%.今有一人來投保，問：他在一年內(nèi)出事故的概率有多大？解 設(shè)A表示事件“他在一年內(nèi)出事故”，B表示事件“他是容易出事故的”，表示事件“他是不容易出事故的”.則構(gòu)成一個(gè)劃分.由全概率公式知 .從題意知 0.3，0.4, 0

13、.2，.于是 =0.26.例6 女排贏得世界冠軍的把握有多少？ 在某次世界女排賽中, 中、日、美、古巴四國取得半決賽權(quán),形式如下:中國隊(duì) 中國隊(duì)冠軍古巴隊(duì) 日本隊(duì) 美國隊(duì) 美國隊(duì)現(xiàn)根據(jù)以往的戰(zhàn)績,假定中國隊(duì)?wèi)?zhàn)勝日本隊(duì)、美國隊(duì)的概率分別為0. 9與0. 4, 而日本隊(duì)?wèi)?zhàn)勝美國隊(duì)的概率為0. 5, 試問中國隊(duì)取得冠軍的可能性有多大？解 根據(jù)上述形勢, 未完成的日美半決賽對中國冠軍的影響很大, 若日本隊(duì)勝利, 則中國隊(duì)可有90%的希望奪冠,若美國隊(duì)勝利,則中國隊(duì)奪冠的希望只有40%.在日本隊(duì)和美國隊(duì)未比賽前, 他們誰能取得半決賽權(quán),兩種情況都必須考慮到.記“中國隊(duì)得冠軍”為事件B ,“日本隊(duì)勝美國隊(duì)

14、”為事件,有P()= 0. 5 = 50%.“美國隊(duì)勝日本隊(duì)”為事件, P()= 50%.顯然,要么日本隊(duì)勝,要么美國隊(duì)勝,二者必居其一,所以,為一個(gè)劃分,由全概率公式：P (B) = P()P(B|) + P()P(B|) 其中P(B|) ,P(B|)是兩個(gè)條件概率.P (B|)表示在日本隊(duì)勝美國隊(duì)的條件下中國隊(duì)取得冠軍的概率, 由題意可知, P(B|)= 90% ,P(B|)表示在美國隊(duì)勝日本隊(duì)的條件下中國隊(duì)取得冠軍的概率,由題意可知,P(B|)= 40%.所以在日、美未決賽前, 估計(jì)中國隊(duì)取得冠軍的概率為：P (B) = P()P(B|) + P()P(B|)= 50%×90%

15、 +50%×40%= 65%.例7 E-mail回發(fā)事件.甲乙二人之間經(jīng)常用E-mail互相聯(lián)系，他們約定在收到對方信件的當(dāng)天即給回音.由于線路問題，每n份E-mail中會有一份不能在當(dāng)天送達(dá)收件人，甲在某日發(fā)了一份 E-mail給乙，但未在當(dāng)天收到乙的回音，試求乙在當(dāng)天收到了甲發(fā)給他的E-mail的概率.解 在這個(gè)問題中，包含有兩個(gè)不確定的環(huán)節(jié)：一個(gè)是甲發(fā)給乙的信件不一定能在當(dāng)天到達(dá)乙處，二是乙所回的信件不一定能在當(dāng)天到達(dá)甲處.至于乙是否回信件，則完全取決于他是否收到了甲發(fā)給他的信件的概率.我們以A表示“乙在當(dāng)天收到了甲發(fā)給他的E-mail”的事件，以B表示“甲在當(dāng)天收到了乙回給他

16、的E-mail”的事件，則表示“乙在當(dāng)天沒有收到甲發(fā)給他的E-mail”的事件,表示“甲在當(dāng)天沒有收到乙回給他的E-mail”的事件，要來求條件概率P(A/).顯然A和構(gòu)成了對的一個(gè)分劃.由題中條件知P(A)= ，,P(|)=1.所以,依貝葉斯公式有 = =.在這個(gè)例題中，甲在當(dāng)天沒有收到乙回給他的E-mail,那么他 當(dāng)然會想，究竟是什么原因呢？是乙沒有收到他的E-mail呢?還是他沒有收到乙回給他的E-mail呢？通過計(jì)算明白了：乙收到了他的E-mail的可能性為.換句話說，一大半可能是乙沒有收到他的E-mail,因此沒有給他回E-mail.類似的利用全概率公式、貝葉斯公式求解的案例有許多

17、，比如工廠有多條流水線，求故障發(fā)生概率利用全概率公式求解，而已知故障發(fā)生的概率，追究不同的流水線應(yīng)承擔(dān)的責(zé)任，利用的就是貝葉斯公式.在利用全概率公式、貝葉斯公式求解實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是對問題的合理劃分，考慮所有可能導(dǎo)致問題發(fā)生的情況.3 總結(jié) 我們的日常生活中有很多問題與概率密切相關(guān),科學(xué)的概率不僅應(yīng)當(dāng)服務(wù)于科學(xué),更重要的是能夠服務(wù)于概率應(yīng)用、服務(wù)于社會實(shí)踐,只有這樣,概率才是有生命的概率.作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)重要分支,它的定義、公理、定理是確定的,不存在任何隨機(jī)性;隨機(jī)現(xiàn)象的范圍很大,不可能也不必要在全部范圍內(nèi)進(jìn)行試驗(yàn)觀測和調(diào)查,經(jīng)常采用的是“由部分推斷全體”的研究方法;隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)性,是相對

18、于試驗(yàn)、調(diào)查之前而說的,真正做了試驗(yàn)之后,對每次試驗(yàn)來說,它得到的是不確定結(jié)果中的某一個(gè)確定結(jié)果.我們在研究隨機(jī)現(xiàn)象的時(shí)候,尤其應(yīng)該注意在試驗(yàn)以前尋找現(xiàn)象本身的內(nèi)在規(guī)律.而通過文章中這幾個(gè)實(shí)際問題的解決，我們就會發(fā)現(xiàn)：(1)解決概率問題時(shí)，一定要先根據(jù)有關(guān)的概念，判斷該問題是數(shù)學(xué)模型中的什么事件，以便選擇正確的計(jì)算方法，同時(shí)應(yīng)注意上述各類事件往往不孤立，要全面考慮.(2)解題過程中，要明確條件中“恰好有一個(gè)發(fā)生” 、“至少有一個(gè)發(fā)生” 、“都發(fā)生” 、“都不發(fā)生” 、“不都發(fā)生”等詞語的意義，以及它們概率之間的關(guān)系和計(jì)算公式.(3)直接計(jì)算符合條件的事件個(gè)數(shù)較復(fù)雜時(shí)，可先計(jì)算其對立事件的概率，再求符合條件的事件的概率，同時(shí)要注意事件發(fā)生的前提條件，即“在什么條件下該事件發(fā)生的概率”.掌握了這幾點(diǎn)，我們在解決實(shí)際生活中的一些概率問