第四章計算機控制系統(tǒng)性能指標描述

1、第四章第四章計算機控制性能指標描述計算機控制性能指標描述概 述 控制系統(tǒng)總是要求實際的被控對象，在給定信號的作用下達到穩(wěn)定、快速和準確的性能指標。 計算機控制系統(tǒng)，相對于一般控制系統(tǒng)而言，具有更多的功能可以實現(xiàn)，即系統(tǒng)能實現(xiàn)最佳的性能指標。 本章描述控制系統(tǒng)的基本性能指標，以及這些性能指標與系統(tǒng)的固有參數(shù)和設(shè)計參數(shù)的關(guān)系，從而為分析和設(shè)計控制系統(tǒng)提供了依據(jù)。本章內(nèi)容本章內(nèi)容4.1 計算機控制系統(tǒng)的性能及其指標4.2 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析4.3 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析4.4 線性離散系統(tǒng)的動態(tài)響應分析4.14.1 計算機控制系統(tǒng)的性能及其指標計算機控制系統(tǒng)的性能及其指標性能： 穩(wěn)定性 能控性

2、 能觀測性 穩(wěn)態(tài)特性 動態(tài)特性 性能指標： 穩(wěn)定裕量 穩(wěn)態(tài)指標 動態(tài)指標 綜合指標 4.1.14.1.1工程上對控制系統(tǒng)動態(tài)過程的性能要求工程上對控制系統(tǒng)動態(tài)過程的性能要求定義：通常將系統(tǒng)受到給定值或干擾信號作用后，控制被控量變化的全過程稱為系統(tǒng)的動態(tài)過程。工程上常從穩(wěn)、快、準三個方面來評價控制系統(tǒng)。 穩(wěn)： 指動態(tài)過程的平穩(wěn)性。 快： 指動態(tài)過程的快速性。 準： 指動態(tài)過程的最終精度。穩(wěn)： 指動態(tài)過程的平穩(wěn)性控制系統(tǒng)動態(tài)過程曲線 如上圖所示，系統(tǒng)在外力作用下，輸出逐漸與期望值一致，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，如曲線所示；反之，輸出如曲線所示，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?？欤?指動態(tài)過程的快速性 快速性即動態(tài)過程進行

3、的時間的長短。過程時間越短，說明系統(tǒng)快速性越好，反之說明系統(tǒng)響應遲鈍，如曲線所示。 穩(wěn)和快反映了系統(tǒng)動態(tài)過程性能的好壞。既快又穩(wěn)，表明系統(tǒng)的動態(tài)精度高。準： 指系統(tǒng)在動態(tài)過程結(jié)束后，其被控量（或反饋量）與給定值的偏差，這一偏差稱為穩(wěn)態(tài)誤差，是衡量穩(wěn)態(tài)精度的指標，反映了系統(tǒng)后期穩(wěn)態(tài)的性能。 以上分析的穩(wěn)、快、準三方面的性能指標以上分析的穩(wěn)、快、準三方面的性能指標往往由于被控對象的具體情況不同，各系統(tǒng)要往往由于被控對象的具體情況不同，各系統(tǒng)要求也有所側(cè)重，而且同一個系統(tǒng)的穩(wěn)、快、準求也有所側(cè)重，而且同一個系統(tǒng)的穩(wěn)、快、準的要求是相互制約的。的要求是相互制約的。穩(wěn)定性穩(wěn)定性發(fā)散振蕩發(fā)散振蕩 系統(tǒng)不穩(wěn)

4、定，不允許存在，容易造成嚴重事故。 等幅振蕩等幅振蕩 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，在實際系統(tǒng)中也是不允許的。 衰減振蕩衰減振蕩 當調(diào)節(jié)器參數(shù)選擇合適時，系統(tǒng)可以在比較短的時間內(nèi)，以比較少的振蕩次數(shù)，比較小的振蕩幅度回復到給定值狀態(tài)，得到比較滿意的性能指標。 非周期衰減非周期衰減 當調(diào)節(jié)器參數(shù)選擇合適時，可以使系統(tǒng)既無振蕩，又比較快地結(jié)束過渡過程。穩(wěn)定性結(jié)論穩(wěn)定性結(jié)論 控制系統(tǒng)只有穩(wěn)定，才有可能談得上控制系統(tǒng)性能的好壞或優(yōu)劣 計算機控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性跟連續(xù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性一樣，也是一個重要的概念 穩(wěn)定性分析也是計算機控制理論中的一個重要的內(nèi)容。能控性和能觀測性能控性和能觀測性 控制系統(tǒng)的能控性和能觀測性在多變量

5、最優(yōu)控制中是兩個重要的概念。 可觀測性可觀測性反映了由系統(tǒng)的量測來確定系統(tǒng)狀態(tài)的可能性。如果系統(tǒng)的狀態(tài)在有限的時間間隔內(nèi)可由輸出的觀測值來確定，那么稱系統(tǒng)在這樣一個時間段內(nèi)是可觀測的。 可控性可控性是指控制作用對被控系統(tǒng)影響的可能性。如果在一個有限的時間間隔里，可以用一個無約束的控制向量，使得系統(tǒng)由初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終點狀態(tài)，那么系統(tǒng)就稱作在這樣一個時間里是可控的。 如果所研究的系統(tǒng)是不能控的，那么，最優(yōu)控制問題就不存在。 關(guān)于能控性和能觀測性的詳細情況可參閱本書第7章。 性能指標性能指標穩(wěn)態(tài)指標：衡量控制系統(tǒng)精度的指標 穩(wěn)態(tài)誤差 動態(tài)指標：比較直觀地反映控制系統(tǒng)的過渡過程特性 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間

6、峰值時間 衰減比 振蕩次數(shù) 穩(wěn)態(tài)指標穩(wěn)態(tài)誤差ess 穩(wěn)態(tài)誤差是輸出量的穩(wěn)態(tài)值與要求值的差值 表示了控制精度，越小越好。 穩(wěn)態(tài)誤差與控制系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，也與系統(tǒng)的輸入信號形式有關(guān)。 yyess0ess動態(tài)指標超調(diào)量p %100yyymp超調(diào)量： 超調(diào)量通常以百分數(shù)表示 表示了系統(tǒng)過沖的程度 反映了系統(tǒng)動態(tài)過程的平穩(wěn)性。 p動態(tài)指標調(diào)整時間ts =0.02或0.05調(diào)整時間反映了過渡過程時間的長短 它反映了動態(tài)過程進行的快慢，是系統(tǒng)的快速性指標。 ts動態(tài)指標峰值時間tp 過渡過程到達第一個峰值所需要的時間 它反映了系統(tǒng)對輸入信號反應的快速性。 tp動態(tài)指標衰減比 過程過程衰減快慢的程度，定義

7、為過渡過程第一個峰值B1與第二個峰值B2的比值 通常希望衰減比為4:1 B1B221BB動態(tài)指標振蕩次數(shù)N N=3/2=1.5 反映控制系統(tǒng)的阻尼特性，定義為輸出量y(t)進入穩(wěn)態(tài)前，穿越y(tǒng)(t)的穩(wěn)態(tài)值y()的次數(shù)的一半。 綜合指標綜合指標有三種類型：有三種類型： 積分型指標 末值型指標 復合型指標在現(xiàn)代控制理論中，如最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計時，在現(xiàn)代控制理論中，如最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計時，經(jīng)常使用綜合性能指標來衡量控制系統(tǒng)。經(jīng)常使用綜合性能指標來衡量控制系統(tǒng)。1.1.積分型指標積分型指標誤差平方的積分誤差平方的積分 tdtteJ02)(這種性能指標著重權(quán)衡大的誤差，而且數(shù)學上易于處理，可以得到數(shù)學解

8、，因此經(jīng)常使用。 如在宇宙飛船控制系統(tǒng)中按最小設(shè)計，可使動力消耗最小。 tdttteJ02)(這種指標較少考慮大的起始誤差，著重權(quán)衡過渡特性后期出現(xiàn)的誤差，有較好的選擇性。該指標反映了控制系統(tǒng)的快速性和精確性。 1.1.積分型指標積分型指標誤差平方的積分誤差平方的積分 dtururdteqeqdtJtttTT)()()(022221102222110RuuQee式中，加權(quán)矩陣Q和R的選擇是根據(jù)對e和u的各個分量的要求來確定的。它不僅控制了動態(tài)性能指標，而且限制了控制信號的功率。 對于多變量控制系統(tǒng)，可采用 1.1.積分型指標積分型指標誤差平方的積分誤差平方的積分 ),(ffttxSJ 是末值時

9、刻 tf 和末值狀態(tài) x(tf) 的函數(shù)。 如：要求在末值時刻，系統(tǒng)具有最小穩(wěn)態(tài)誤差，最準確的定位或最大射程的末值控制中。 2. 2. 末值型指標末值型指標fttffdtttxFttxSJ0),(),(復合型指標是積分型和末值型指標的復合，是一個更普遍的性能指標形式。 3. 3. 復合型指標復合型指標5.1.2 典型環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應)()(ttr1)(trttr)(典型環(huán)節(jié)： 一階系統(tǒng) 二階系統(tǒng) 高階系統(tǒng)瞬態(tài)輸入信號： 沖擊信號： 階躍信號： 斜坡信號： 一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應11)(TssG慣性時間常數(shù)T越大，系統(tǒng)的響應越慢。二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應2222)(nnn

10、sssG無阻尼 =0 欠阻尼 01 二階系統(tǒng)一般設(shè)計為欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼越小，超調(diào)越大，但響應速度越快。 一般選=0.40.8。高階系統(tǒng)高階系統(tǒng)21122111111110)2()()()()()(nllllnjjmiinnnnmmmmsspszsKasasasbsbsbsbsAsBsG零點 多項式極點 多項式增益 系數(shù)零點實數(shù) 極點共軛復數(shù)極點若高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其閉環(huán)極點分布在左半s平面上。 在所有閉環(huán)極點中，離虛軸最近的極點，附近又沒有零點，其它閉環(huán)極點離虛軸比較遠（實部之在5倍以上，對系統(tǒng)響應的影響可以忽略不計），這些閉環(huán)極點項，衰減的比較慢，在動態(tài)過程中起主要作用。稱為閉環(huán)主導極點。

11、 若主導極點是一對其軛復數(shù)極點，則原來的高階系統(tǒng)，可以近似為欠阻尼二階系統(tǒng)。 用用Matlab進行瞬態(tài)響應分析進行瞬態(tài)響應分析格式： 單位階躍響應step(sys) step(sys,t) 單位沖擊響應impulse(sys,t) 例：例：25425)(2sssG求求 的單位階躍響應。的單位階躍響應。解解： 編制Matlab程序如下： num=25; den=1,4,25; g=sys(num,den); step(g) 或 num=25; den=1,4,25; step(num,den) 00.511.522.5300.20.40.60.811.21.4Step ResponseTime

12、(sec)Amplitude求求 當當 時時 的單位沖擊響應。的單位沖擊響應。2222)(nnnsssG0.6,5n解：解： 編制Matlab程序如下： wn=5;zeta=0.6; num=wn.2; den=1,2*zeta*wn, wn.2; impulse(num,den),Grid on; 例：例：典型二階系統(tǒng)的單位沖擊響應曲線典型二階系統(tǒng)的單位沖擊響應曲線00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.500.511.522.5Impulse ResponseTime (sec)Amplitude4.2 線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 在控制系統(tǒng)性能指標中，系統(tǒng)穩(wěn)定是一個先決

13、條件，一個不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)是不能正常工作的，甚至會導致系統(tǒng)的破壞，所以穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的最重要的指標。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一種固有特性，這種固有的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而與系統(tǒng)的初始條件以及外作用無關(guān)。連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法及結(jié)論連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法及結(jié)論特征方程的根，即閉環(huán)極點應具有負實部或分布在左半s平面上。直接判斷困難。 勞斯（Routh）穩(wěn)定性判據(jù)：由特征方程的系數(shù)來判斷。 根軌跡法 頻率響應特性 根據(jù)S平面和Z平面之間的關(guān)系，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以由特征方程 穩(wěn)定 區(qū)域的根在Z平面中的位置來確定 必須位于Z平面中單位圓的內(nèi)部。如果有一個根恰好位于單位圓上則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定，臨界穩(wěn)定

14、在實踐中屬于不穩(wěn)定。 )()(1)()()(00zGGzDzGGzDzHhh0)()(10zGGzDh穩(wěn)定 區(qū)域不穩(wěn)定 區(qū)域臨界 穩(wěn)定4.2.1 Z4.2.1 Z平面的穩(wěn)定性條件平面的穩(wěn)定性條件 例例4.14.1523455 . 036 . 045)(sssssssH運行結(jié)果：已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 試判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解： 根據(jù)題意，運行下列MATLAB程序： num=5 4 1 0.6 3 0.5;den=1 0 0 0 0 0; z,p=tf2zp(num,den) ii=find(abs(p)1);n1=length(ii

15、); if (n10) disp(System is Unstable); else disp(System is Stable);end z = -0.7822 + 0.5660i -0.7822 - 0.5660i 0.4681 + 0.6367i 0.4681 - 0.6367i -0.1718 p = 0 0 0 0 0 System is Stable 通過MATLAB這樣的計算工具可以很容易的求出系統(tǒng)的特征方程的根，但在實際使用時也經(jīng)常采用間接的方法，即不用直接求解特征方程的根，而是根據(jù)特征方程的根與系數(shù)的對應關(guān)系去判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。結(jié)論 4.2.2 朱利(Jury)穩(wěn)定判據(jù) 0)

16、(0111azazazazDnnnn設(shè)離散控制系統(tǒng)的特征方程為 其中a0， a1， a2， an為實數(shù)，以及an 0。 按多項式的系數(shù)，構(gòu)造朱利陣列如表51所示。 表表4.1 4.1 朱利陣列格式朱利陣列格式2 , 1 , 0,2, 1 , 0,1, 1 , 0,31301100irrrrsnjbbbbcnkaaaabiijnjnjknknk表的構(gòu)成方法朱利穩(wěn)定性判據(jù)朱利穩(wěn)定性判據(jù) 例4.2 請參見教材68頁。特征多項式的根全部都位于單位圓內(nèi)的充要條件是下列不等式成立：123)(234zzzzzD例例4.24.2解：解：根據(jù)題意，運行下列MATLAB程序： num=1;den=3 1 -1 -

17、2 1; z,p=tf2zp(num,den) ii=find(abs(p)1);n1=length(ii); if (n10) disp(System is Unstable); else disp(System is Stable);end z = Empty matrix: 0-by-1 p = -0.7357 + 0.6859i -0.7357 - 0.6859i 0.5690 + 0.0753i 0.5690 - 0.0753i System is Unstable 運行結(jié)果：例4.2 的直接求解結(jié)果4.2.3 4.2.3 雙線性變換的勞斯（雙線性變換的勞斯（RouthRouth）穩(wěn)

18、）穩(wěn)定判據(jù)定判據(jù) 在連續(xù)系統(tǒng)中應用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的極點是否分布在平面的左半平面。 在線性離散系統(tǒng)中也可以通過S平面與Z平面之間的映射關(guān)系，利用勞斯判據(jù)來判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 Z-WZ-W變換變換wwz11引入Z-W變換， jz令22222222112111zzjwz則S平面與W平面是相似的。 Z-W變換是線性變換，映射是一一對應的關(guān)系。 經(jīng)過Z-W變換，可得到代數(shù)方程 0)(0111AzAzAzAzDnnnn對上式施用勞斯判據(jù)便可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 00111awawawannnn離散系統(tǒng)的特征方程 Z-WZ-W變換變換勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 00111awawawannnn特征方程（2）若勞斯

19、行列表第一列各元素均為正，則所有特征根均分布在左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。 （3）若勞斯行列表第一列出現(xiàn)負數(shù)，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列元素符號變化的次數(shù)，表示右半平面上特征根的個數(shù)。 ;1;1;1;1;1;1;1;1;1414113313112212111417113315112213111716115141231211ccbbcdccbbcdccbbcdbbaabcbbaabcbbaabcaaaaabaaaaabaaaaabnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（1）若系數(shù)an， an-1 ， a1 ，a0的符號不相同，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若符號相同，建立勞斯行列表。例：例：386. 0368. 126

20、4. 0368. 0)()1 ()(210zzzKssGZzzG特征方程為 作Z-W變換得 0386. 0264. 0)368. 1368. 0(2KzKz0632. 0)528. 0264. 1 ()104. 0736. 2(2wKwK設(shè)線性離散系統(tǒng)如圖所示，設(shè)線性離散系統(tǒng)如圖所示，T=1s，試求系統(tǒng)的臨界放大倍數(shù)，試求系統(tǒng)的臨界放大倍數(shù)K。解：解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為建立勞斯行列表 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯行列表的第一列中的各元素均為正。所以系統(tǒng)的臨界放大倍數(shù)Kc=2.4 可選用放大倍數(shù)0K2.4穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的重要指標，它衡量了一個控制系統(tǒng)的控制精度。 穩(wěn)態(tài)誤差定義：當給定信號作

21、用后，在時間 t 趨于無窮大（實際上是一定時間）時被控對象的要求值r(t)與輸出信號y(t)之差，即4.3 離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 )()(lim)(limtytrtettssess穩(wěn)態(tài)誤差的傳遞函數(shù)計算表達式 )()(1)() 1(lim)() 1(lim)(lim1zGzDzRzzEzneezntss由此可見，離散控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與連續(xù)控制系統(tǒng)的一樣，與輸入信號及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有關(guān)。 由Z變換的終值定理知，在圖5.6所示的單位反饋離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)在輸入信號的作用下誤差的變換式為不同的輸入信號不同的輸入信號1)(zzzR2) 1()(zTzzR32) 1(2) 1()(zzzTzRssR1)(2

22、1)(ssR31)(ssR1)(trttr)(2)(2ttr單位斜坡(速度)信號 單位拋物線(加速度)輸入單位階躍(位置)輸入不同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不同的系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 由于積分環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)為 所以上述定義也可理解為 z = 1 的極點的個數(shù)。1111zzz1111limzz按系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)D(z)G(z)中含有的積分環(huán)節(jié)的個數(shù)分為0型、型、型等系統(tǒng)。 （1 1）單位階躍）單位階躍( (位置位置) )輸入時輸入時 1)(zzzR式中 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。 pzzssKzGzDzzzGzDze11)()(11lim1)()(11) 1(lim11)()(lim1zGzDKzp 0型系統(tǒng)) 1 ()

23、 1 ( GDKp) 1 () 1 (11GDesspK0ssepK0sse（有限值） I型系統(tǒng) II型系統(tǒng)單位階躍(位置)輸入時穩(wěn)態(tài)誤差為：（2 2）. .單位斜坡單位斜坡( (速度速度) )信號信號 穩(wěn)態(tài)誤差為式中 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。 0sse2) 1()(zTzzRvzzssKzGzDzTzTzzGzDze1)()() 1(1lim) 1()()(11) 1(lim121)()() 1(lim11zGzDzTKzv0vKsse) 1 () 1 (1GDTKv（有限值） TGDess) 1 () 1 (vK單位斜坡(速度)信號 0型系統(tǒng) I型系統(tǒng) II型系統(tǒng)（3 3）. .單位拋物線單

24、位拋物線( (加速度加速度) )輸入輸入 穩(wěn)態(tài)誤差為 稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。 32) 1(2) 1()(zzzTzRazzssKzGzDzTzzzTzGzDe1)()() 1(1lim) 1(2) 1()()(11lim212321)()() 1(lim1212zGzDzTKza0aKsse0aK2) 1 () 1 (TGDKa) 1 () 1 (2GDTess（有限值）sse單位斜坡(速度)信號 0型系統(tǒng) I型系統(tǒng) II型系統(tǒng)表表4-2 4-2 不同輸入時各類系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差不同輸入時各類系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 從表中可以看出，在離散控制系統(tǒng)中，當?shù)湫洼斎胄盘柡拖到y(tǒng)結(jié)構(gòu)不同時關(guān)于穩(wěn)態(tài)誤差的結(jié)論和連續(xù)系統(tǒng)

25、中的相應結(jié)論是相同的，但線性離散時間系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差還和采樣周期T的大小有關(guān)，縮短采樣周期T可以減小穩(wěn)態(tài)誤差。已知采樣離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣周期已知采樣離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示，采樣周期T=0.2sT=0.2s，輸入信號輸入信號 ，試用靜態(tài)誤差系數(shù)法，求該系，試用靜態(tài)誤差系數(shù)法，求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。思考：系統(tǒng)是否穩(wěn)定？例例4.44.4：2211)(tttr23305101) 15 . 0(101)(ssZzzssZzzzG將T=0.2s代入上式并整理得 20) 1(8 . 02 . 1)(zzzG這是一個二階系統(tǒng)，可以證明該采樣控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 解：解：系統(tǒng)的開環(huán)脈沖

26、傳遞函數(shù)為在輸入信號 的作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 2211)(tttr對二型系統(tǒng)， avpssKKKe1111pKvK1 . 01assKe因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 10) 1(8 . 02 . 1) 1(lim2 . 01)() 1(lim122120212zzzzGzTKzza例例4.44.4：由表4.3可知，只有三型系統(tǒng)在加速度信號的作用下其穩(wěn)態(tài)誤差才能為零。 故需在原系統(tǒng)上串聯(lián)一比例加積分補償裝置思考：怎樣才能使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零？思考：怎樣才能使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零？pKzTzKzD1)(1串聯(lián)數(shù)字補償裝置后，加速度誤差系數(shù)為pzaKzTzKzzzK1) 1(8 . 02 . 1) 1(

27、lim2 . 011221201assKe因此，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 控制器例：例：已知一單位負反饋系統(tǒng)，其開環(huán)零極點增益模型為 試分析在單位階躍及斜坡信號作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。利用利用Matlab進行穩(wěn)態(tài)誤差分析進行穩(wěn)態(tài)誤差分析) 1)(2() 12(3)(sssssG單位階躍信號單位階躍信號t=0.1;k=6;z=-0.5;p=-2 1 0; n1,d1=zp2tf(z,p,k); s=tf(n1,d1); sys=feedback(s,1); roots(sys.den1)ans = -0.1084 + 1.9541i -0.1084 - 1.9541i -0.7832 系統(tǒng)穩(wěn)定（a）系統(tǒng)穩(wěn)

28、定性判斷sysd=c2d(sys,t) step(sys); t1=0:t:300; y=step(sysd,t1); subplot(121),plot(t1,y),grid; subplot(122),ess=1-y; plot(t1,ess),grid ess(length(ess)階躍響應及穩(wěn)態(tài)誤差階躍響應及穩(wěn)態(tài)誤差0100200300-0.500.511.522.5ty(t)0100200300-1.5-1-0.500.511.5tess0102030-1.5-1-0.500.511.5tess0102030-0.500.511.522.5ty(t)ans = -8.5931e-01

29、4系統(tǒng)為一型系統(tǒng)，其Kp=，即ess=0。 t=0.1;k=6;z=-0.5;p=-2 1 0; n1,d1=zp2tf(z,p,k);s=tf(n1,d1); sys=feedback(s,1); num=sys.num1;den=sys.den1,0; sys=tf(num,den); sysd=c2d(sys,t) step(sys); t1=0:t:50; y=step(sysd,t1); subplot(121),plot(t1,t1,y),grid; subplot(122),ess=t1-y; plot(t1,ess),grid ess(length(ess)斜坡響應及穩(wěn)態(tài)誤差斜

30、坡響應及穩(wěn)態(tài)誤差02040600102030405060ty(t)0204060-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6tess05101520-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.6tess051015200510152025ty(t)系統(tǒng)為一型系統(tǒng)，其Kv=C，即ess=C。 ans = -0.6678離散系統(tǒng)的增益離散系統(tǒng)的增益ssHsY1)()(增益定義為0)(sdcsHK階躍輸入幅值穩(wěn)態(tài)輸出值在線性離散系統(tǒng)中，在幅值為R的階躍信號的作用下，系統(tǒng)的輸出為1)()(zRzzHzY增益定義為11)()(zzdczHRRzHK階躍輸入幅值穩(wěn)態(tài)輸

31、出值RzHzRzzHzyzz11)(1)(1lim)()(lim)(lim0ssFtfst在線性連續(xù)系統(tǒng)中，在階躍信號的作用下，系統(tǒng)的輸出為4.44.4 線性離散系統(tǒng)的動態(tài)響應分析線性離散系統(tǒng)的動態(tài)響應分析 )()()(zRzYzH)()()(zRzHzY)()()(1zRzHZkTy實際上利用Matlab時域響應函數(shù)很容易獲得系統(tǒng)的輸出響應，并可得到其性能參數(shù)。例：例：)(1()1 () 1()()1 ()(01aTaTaTaTezzaTeezaTeKssGZzzG632. 0264. 0368. 0)(1)()(2zzzzGzGzH設(shè)線性離散系統(tǒng)如圖所示，且設(shè)線性離散系統(tǒng)如圖所示，且a=1

32、，K=1，T=1s，輸入，輸入為單位階躍序列。試分析系統(tǒng)的過渡過程。為單位階躍序列。試分析系統(tǒng)的過渡過程。解解：被控對象Z傳遞函數(shù)編制Matlab程序如下： num=0.368 0.264; den=1 -1 0.632; t=0:1:25; dstep(num,den,t)或y,x=dstep(num,den,t) .997. 0973. 0961. 0981. 0032. 1081. 1077. 1993. 0868. 0802. 0895. 0147. 14 . 14 . 1368. 0632. 0632. 12264. 0368. 0)()()(16151413121110987654

33、321232zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzRzHzY程序運行結(jié)果：y = 0 0.3680 1.0000 1.3994 1.3994 1.1470 0.8946 0.8017 0.8683 0.9937 1.0769 1.0809 1.0323 0.9812 0.9608 0.9727 0.9975 1.0147 1.0163 1.0070 0.9967 0.9923 0.9943 0.9992 1.0028 1.0033 x = 調(diào)整時間ts=12s（12個采樣周期），超調(diào)量p=40，峰值時間tp=3s ，振蕩次數(shù)N=1.5次，衰減比=5:1 ，穩(wěn)態(tài)誤差ess=0。 在連續(xù)控制

34、系統(tǒng)中，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應由閉環(huán)系統(tǒng)的零、極點來決定。離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應 21122111111110)2()()()()()(nllllnjjmiinnnnmmmmsspszsKasasasbsbsbsbsAsBsG離散系統(tǒng)的瞬態(tài)響應1)()()()(1)()()()()(2121 zzpzpzpzzzzzzzKzzzAzBzRzHzYnmniiipzAzAzAzzBzzY101)() 1()()() 1 () 1 (0ABA ipziizAzzBpzA)() 1()()(nikiiniiipAkApzzAzzAZky10101)()( 11)(零點 多項式極點 多項式零點極點

35、式中穩(wěn)態(tài) 輸出瞬態(tài) 響應不同極點分布時的瞬態(tài)響應不同極點分布時的瞬態(tài)響應 ipziizAzzBpzA)() 1()()(nikiipAky1)()()sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrApA其瞬態(tài)響應為對應于極點分析：分析： )sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrApAki iAr當ri1時，為發(fā)散序列。 1. 當pi為正實數(shù)極點時， i =0，瞬態(tài)響應為cos()ki iArk分析：分析： )sin(cosiiijiijrerpi)sin(cos)(iikiikiikjkrApA當ri1時，為發(fā)散振

36、蕩。 T2. 當pi為負實數(shù)極點時， i =180 ，瞬態(tài)響應為 是振蕩的，振蕩頻率最高，可以證明為 3. 當pi為復數(shù)極點時，必為一對共扼復數(shù)極點， 瞬態(tài)響應為 其中 和 也是共軛的，因此瞬態(tài)響應是振蕩的。ijiierpijiierpiijkkiijkkiierAerA0180i iAiA2cos()iiiijjkjjkkkiiiikiiiiA er eA er eA rk當ri1 時，振蕩是發(fā)散的。 當ri=1時，等幅振蕩。 當ri1時，振蕩的衰減速率取決于ri的大小， ri越小，衰減越快；振蕩頻率與i有關(guān)， i越大，振蕩頻率越高，可以證明為 Ti分析：分析： 結(jié)論：結(jié)論： 閉環(huán)極點分布對

37、系統(tǒng)瞬態(tài)響應的影響：當極點分布在Z平面的單位圓上或單位圓外時，對應的輸出分量是等幅的或發(fā)散的序列，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 當極點分布在Z平面的單位圓內(nèi)時，對應的輸出分量是衰減序列，而且極點越接近Z平面的原點，輸出衰減越快，系統(tǒng)的動態(tài)響應越快。反之，極點越接近于單位圓周，輸出衰減越慢，系統(tǒng)過渡過程時間越長。 當極點分布在單位圓內(nèi)左半平面時，雖然輸出分量是衰減的，但是由于交替變號，過渡特性不好。 因此設(shè)計線性離散系統(tǒng)時，應該盡量選擇極點在Z平面上右半圓內(nèi)，而且盡量靠近原點，與實軸的夾角要適中。 連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)瞬態(tài)響應的比較連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)瞬態(tài)響應的比較在離散控制系統(tǒng)中，也能像連續(xù)控制系統(tǒng)那樣采用以傳遞

38、函數(shù)為基礎(chǔ)的頻率法和根軌跡法，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的信息來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及動態(tài)性能。 經(jīng)過雙線性變換以后，凡是適用于連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，都可以用于離散控制系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)的其它分析法離散控制系統(tǒng)的其它分析法 4.5線性離散系統(tǒng)的根軌跡分析法根軌跡法主要研究當系統(tǒng)的某一參數(shù)發(fā)生變化時，如何根據(jù)系統(tǒng)已知的開環(huán)傳遞函數(shù)的零極點，來確定系統(tǒng)的閉環(huán)特征根的移動軌跡。 下面我們可以結(jié)合具體的例子來說明根軌跡的含義 。w1.1.根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念 設(shè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖)2()(ssKsG1)(sH圖中圖中，w 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：)2()(

39、)(ssKsHsGK其中，其中，為開環(huán)傳遞函數(shù)零極點形式的放大系數(shù)，為開環(huán)傳遞函數(shù)零極點形式的放大系數(shù)，也稱為根也稱為根軌跡增益。軌跡增益。1） 連續(xù)系統(tǒng)根軌跡的含義閉環(huán)特征方程為 ：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為： KssKsRsC2)()(2022Kss解出該方程的根為：解出該方程的根為： Ks111Ks1121s2sK可見，可見，、是隨參數(shù)是隨參數(shù)的變化而變化的的變化而變化的 。 改變 值時，特征根 、 的變化值如下表所示，在 平面上的軌跡變化如圖所示。K1s2ssw 表KS1S200-20.5-0.29-1.7071-1-12-1+j-1-j-1+j-1-j 系統(tǒng)單位階躍響應的一般表達

40、式為 )()(1111110sRasasasbsbsbsbsCnnnnmmmmspszsKnjjmii1)()(11njjjpsAsA10式中，式中， 為閉環(huán)零點，為閉環(huán)零點， 為閉環(huán)極點。待定系數(shù)為閉環(huán)極點。待定系數(shù)求法如下求法如下izjpjAjpsjjijpspsszsA)()()(2） 閉環(huán)極點的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系2） 閉環(huán)極點的位置與系統(tǒng)性能的關(guān)系單位階躍響應為01( )jnp tjjc tAA e可見，輸出響應的各項系數(shù)由閉環(huán)零、極點決定。但由于系數(shù)只決定了輸出響應的初值，影響相對較弱。而輸出響應的形式卻完全由閉環(huán)極點左右，因此閉環(huán)極點是決定系統(tǒng)性能的主要因素。我們知道，當系統(tǒng)所有

41、的閉環(huán)極點均位于 左半平面時，系統(tǒng)才是穩(wěn)定的，當極點為負實數(shù)時，它離虛軸越遠，對應分量 衰減越快，系統(tǒng)的過渡時間就越短，響應越快。 sjp tew對復數(shù)極點可做如下分析對復數(shù)極點可做如下分析設(shè)一系統(tǒng)的共軛復數(shù)極點分布如圖設(shè)一系統(tǒng)的共軛復數(shù)極點分布如圖 共軛復數(shù)極點在平面上的分布共軛復數(shù)極點在平面上的分布22, 11nnjsw由時域分析法知由時域分析法知 nnnss)1 ()(22221nncoscosacrw復數(shù)極點的參數(shù)與系統(tǒng)階躍響應及性能指標之間的關(guān)系為復數(shù)極點的參數(shù)與系統(tǒng)階躍響應及性能指標之間的關(guān)系為 )1sin(11)(22tetcntn%21 enst3 （1）閉環(huán)極點的實部（ ）反

42、映了系統(tǒng)的過渡過程的長短；（2）閉環(huán)極點的虛部（ ）反映了系統(tǒng)振蕩頻率的快慢；（3）閉環(huán)極點與坐標原點的距離即為系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率；（4）閉環(huán)極點與負實軸的夾角 決定了系統(tǒng)阻尼比 ，進而影響系統(tǒng)超調(diào)量的大小。n21nw閉環(huán)極點的位置與系統(tǒng)性能指標之間的關(guān)系：閉環(huán)極點的位置與系統(tǒng)性能指標之間的關(guān)系：w 當系統(tǒng)有多個閉環(huán)極點時，可利用主導極點的概念降低系統(tǒng)的階次，簡化系統(tǒng)分析。w 系統(tǒng)中的主導極點離虛軸最近，對系統(tǒng)暫態(tài)性能的影響最大。w 若主導極點到虛軸的距離遠遠小于其它極點到虛軸的距離，且它附近沒有閉環(huán)零點，這時其它極點對系統(tǒng)性能的影響可忽略不計。2.2. 線性離散系統(tǒng)的根軌跡分析法 在

43、線性連續(xù)系統(tǒng)中可以用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能，同樣，在線性離散系統(tǒng)中，也能像連續(xù)系統(tǒng)那樣采用Z平面上的根軌跡法，根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的信息來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及動態(tài)性能。 所謂根軌跡法是從已知系統(tǒng)的開環(huán)極、零點的位置，以開環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益或其他參數(shù)為變量，來求取閉環(huán)極點分布的方法。根的映像（軌跡）稱為根軌跡圖。當開環(huán)軌跡增益或其他參數(shù)改變時，對應的閉環(huán)極點，可在根軌跡圖上一一確定。w 設(shè)典型的線性離散系統(tǒng)如圖5.11所示，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)()()()(zFzGzGzRzYzH)()()(0zFzGzG式中，為開環(huán)傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的特征方程為0)(1)()(10zGzFzGw開環(huán)開環(huán)傳

44、遞函數(shù)傳遞函數(shù)一般可寫為如下形式一般可寫為如下形式)(0zG)()()()()(21210nmpzpzpzzzzzzzKzG式中，式中，mzzz,21線性離散系統(tǒng)的開環(huán)零點；nppp,21線性離散系統(tǒng)的開環(huán)極點；K線性離散系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)。由開環(huán)傳遞函數(shù))(0zG確定線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)極點，需要求解特征方程0)(10zG1)(0zG由于是復數(shù)變量，所以)(0zG是復變函數(shù)幅值和相角表示為：1)(0zG, 2 , 1 , 0,360180)(0iizG 上述兩個方程方程是在平面上根據(jù)開環(huán)零、極點繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡的條件。w幅值條件幅值條件w相角條件相角條件 平面上根軌跡的繪制方法與連續(xù)系統(tǒng)在S平面上繪制根軌跡的方法類似，繪制連續(xù)系統(tǒng)根軌跡的基本規(guī)則在此也可使用。 采用計算機繪制根軌跡圖最為便捷。Matlab提供了函數(shù)rlocus