橢圓曲線知識(shí)點(diǎn)與講義

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載圓錐曲線一、知識(shí)點(diǎn)講解一、橢圓：（1）橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 , F2 的距離的和等于常數(shù)（大于 | F1 F2| ）的點(diǎn)的軌跡。其中：兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，焦點(diǎn)間的距離叫做焦距。注意： 2a | F1F2|表示橢圓； 2a| F1F2| 表示線段 F1 F2 ； 2a| F1 F2 |沒有軌跡；（ 2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖象及幾何性質(zhì)：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸上中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y 軸上22y2x2標(biāo)準(zhǔn)方程xy1( ab 0)221(ab0)a 2b 2abyyB 2B 2PF2Px圖 形A 1A 1A 2xF1OF2A 2OB 1F1B 1頂 點(diǎn)A1 ( a,0)

2、, A2 (a,0)A1 (b,0), A2 (b,0)B1(0, b), B2 (0, b)B1(0,a), B2 (0, a)對稱軸x 軸， y 軸；短軸為2b ，長軸為 2a焦 點(diǎn)F1 ( c,0), F2 (c,0)F1 (0, c), F2 (0,c)焦 距| F1F2 | 2c(c 0)c 2a 2b2離心率ec (0 e 1) （離心率越大，橢圓越扁）a通 徑2b2a（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線夾在橢圓內(nèi)的線段）3常用結(jié)論：（ 1）橢圓 x 2y21( ab0) 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1 , F2 ，過 F1的直線交橢圓于A, B 兩點(diǎn)，則a 2b2長 =22F1 , F2 ，過 F1

3、且垂直于對稱軸的直線交橢圓于（2）設(shè)橢圓 xy1( ab0) 左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為a 2b 2則 P,Q 的坐標(biāo)分別是|PQ|二、例題講解。例 1、 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P 3，0 ， a3b ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析： 因橢圓的中心在原點(diǎn)，故其標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情況根據(jù)題設(shè)條件，運(yùn)用待定系數(shù)法，求出參數(shù) a 和 b （或 a 2 和 b2 ）的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程ABFP, Q2 的周兩點(diǎn)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載解： 當(dāng)焦點(diǎn)在 x 軸上時(shí)，設(shè)其方程為x2y21 a b0 a2b 2由橢圓過點(diǎn) P 3，0 ，知 901又 a3b ，代入得 b21，a29 ，故橢圓的方程為x2y21 a2b29

4、當(dāng)焦點(diǎn)在 y 軸上時(shí)，設(shè)其方程為y 2x21 a b 0 a2b2由橢圓過點(diǎn) P 3，0 ，知 901 又 a3b，聯(lián)立解得 a281，b29 ，故橢圓的方程為y2x21 a2b2819例 2、ABC 的底邊 BC16， AC 和 AB 兩邊上中線長之和為 30，求此三角形重心 G 的軌跡和頂點(diǎn)A的軌跡分析：（ 1）由已知可得GCGB20 ，再利用橢圓定義求解（ 2）由 G 的軌跡方程G 、 A 坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求A 的軌跡方程解：（ 1 ）以 BC 所在的直線為x 軸， BC 中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系設(shè)G 點(diǎn)坐標(biāo)為x， y，由GCGB 20，知 G 點(diǎn)的軌跡是以 B 、C 為焦點(diǎn)的橢圓

5、， 且除去軸上兩點(diǎn) 因 a 10 ，c8 ，有 b6 ，故其方程為x2y 21001 y 0 36（ 2）設(shè) A x， y ， G x ， y ，則 x 2y 21 y0 10036xx，22由題意有3 代入，得 A 的軌跡方程為xy1 y0 ，其軌跡是橢圓（除去 x 軸上兩yy900 3243點(diǎn)）例 3、 已知 P 點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為4 5和2 5，過 P點(diǎn)作焦33點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程F14525PF1 PF22 5即解： 設(shè)兩焦點(diǎn)為、 F2 ，且 PF13， PF2從橢圓定義知 2a3a5 從 PF1PF2知 PF2 垂直

6、焦點(diǎn)所在的對稱軸，所以在Rt PF2 F1 中， sinPF1F2PF21PF1，2學(xué)習(xí)必備歡迎下載可求出PF1F2， 2cPF1cos25，從而 b2a 2c2106633所求橢圓方程為x23y21或 3x2y21510105例 4、已知橢圓方程x2y2b 0 ，長軸端點(diǎn)為A1， A2，焦點(diǎn)為 F1 ， F2 ， P 是橢圓上一點(diǎn)，a1 a2b2A1PA2，F(xiàn)1 PF2求：F1PF2 的面積（用 a 、 b 、表示）分析：求面積要結(jié)合余弦定理及定義求角的兩鄰邊， 從而利用 S1 ab sin C 求面積2解：如圖，設(shè) P x， y ，由橢圓的對稱性， 不妨設(shè) P x， y，由橢圓的對稱性，

7、不妨設(shè) P2PF12PF22·PF2cos4c2在第一象限由余弦定理知：F1 F22 PF1由橢圓定義知：PF1PF2 2a，則 2 得PF1PF212b2cos故SFPF21 PF1PF2 sin12b2sinb2 tan122 1cos2三、習(xí)題講解。一、選擇題。1. 圓6x2+ y2=6的長軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是A.(-1,0) ?(1,0)B.(-6,0) ?(6,0)C.(-6 ,0)?( 6 ,0)D.(0,-6 )?(0, 6 )2. 橢圓 x2+ 8y2=1 的短軸的端點(diǎn)坐標(biāo)是22A.(0,-4 )、 (0, 4 )B.(-1,0) 、 (1,0)C.(22 ,0)、 (-

8、2 ,0)D.(0,22 )、 (0, 2 2 )3. 橢圓 3x2+2 y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是6666A.(0, 6)、 (0,6 )B.(0,-1) 、 (0,1)C.(-1,0) 、 (1,0)D.(- 6 ,0)、 (6,0)x 2y 214. 橢圓 b 2a 2(a>b>0)的準(zhǔn)線方程是ya2ya 2yb2ya2a2b 2a 2b 2a2b2a2b 2A.B.C.D.x 2y 215.橢圓 94的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是學(xué)習(xí)必備歡迎下載4和99和144和1414A. 555B. 555C. 5555555D. 5x 2y 216. 已知F 、F為橢圓 a 2b 2作橢圓的弦 AB

9、，若( a b 0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過12F 2e3 AF 1B的周長為 16，橢圓離心率2,則橢圓的方程是x 2y 21x 2y21x 2y 2x 2y2A. 4B. 16C. 161D. 1613312437. 離心率為2 ,且過點(diǎn) (2,0)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x 2x 2y 2x2 y 21x2x2y2y21y21x21y2A. 4B. 41D. 411或4C.4或 416x 2y 2x 2y2k8. 橢圓 a 2b 21b 2和 a 2(k>0) 具有A. 相同的離心率B.相同的焦點(diǎn)C.相同的頂點(diǎn)D. 相同的長 ?短軸x2y 29. 點(diǎn)A(a,1)在橢圓 421的內(nèi)部 ,則 a的取值

10、范圍是A.- 2 <a<2B. a<-2 或 a>2C.-2< a<2D.-1< a<1x 2y 2110. 設(shè) F是橢圓 a 2b 2的右焦點(diǎn)， P(x,y)是橢圓上一點(diǎn)，則|FP|等于A. ex aB.ex aC.ax eD.a ex二、填空題1. 橢圓的焦點(diǎn) F 1(0,6),中心到準(zhǔn)線的距離等于10,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.x 2y 213y 3 3 0 距離的最大的值是橢圓 942.上的點(diǎn)到直線 2x.x2y 2?F是橢圓 2513.已知 F9的兩個(gè)焦點(diǎn) ,AB是過焦點(diǎn) F的弦 ,若 AB =8,則 F2A +F2B的值是121A.16

11、B.12C.14D.84.若 A點(diǎn)坐標(biāo)為（1， 1）， F1 是 5x2+9 y2=45 橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn) P是橢圓的動(dòng)點(diǎn)，則|PA|+|PF 1|的最小值是_.學(xué)習(xí)必備歡迎下載2 ,則 m5.直線 y=1-x交橢圓 mx2+ny 2=1于M， N兩點(diǎn)，弦 MN 的中點(diǎn)為 P，若 K OP= 2n _ .6.若橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是_.27.已知橢圓的準(zhǔn)線方程是 y= 9,離心率為 3 ，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 _ .28.到定點(diǎn)（ 1，0）的距離與到定直線 x=8 的距離之比為2 的動(dòng)點(diǎn) P的軌跡方程是.2 29. 已 知 橢 圓 x +2 y =2 的 兩

12、 個(gè) 焦 點(diǎn) 為 F 1 和 F 2 ， B 為 短 軸 的 一 個(gè) 端 點(diǎn) ， 則 BF1 F2 的 外 接 圓 方 程 是_ .22上的一點(diǎn)， P 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦AP的長度最大時(shí)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是10. 已知點(diǎn) A(0， 1) 是橢圓 x +4y=4_.三、簡答題。1、 已知?jiǎng)訄A P 過定點(diǎn) A3，0，且在定圓 B：x 3 2y264 的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心P 的軌跡方程2、已知橢圓4x2y 21及直線 yxm（ 1）當(dāng) m 為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（ 2）若直線被橢圓截得的弦長為2 10 ，求直線的方程5學(xué)習(xí)必備歡迎下載x2y20 上一點(diǎn) M 作橢圓，要使所作橢圓的長軸最

13、短，3 以橢圓1 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)， 過直線 l： x y 912 3點(diǎn) M 應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程4 已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在 x 軸上的橢圓， 過它對的左焦點(diǎn)F1 作傾斜解為的直線交橢圓于A ，B 兩點(diǎn)，求弦AB 的長3x2y211 ： D2 ： A3. A4. B5. C6. DD8. A9. A10. D2460213. B7.1.2.21x2y 24214. 62 5.26. 27. 141818.x22 y212 x620 9.x2y 2110. (±3,3 )1、 分析： 關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點(diǎn)P 滿足的關(guān)系式解： 如圖所示，設(shè)動(dòng)圓P 和定圓 B 內(nèi)切于點(diǎn)

14、 M 動(dòng)點(diǎn) P 到兩定點(diǎn)，學(xué)習(xí)必備歡迎下載即定點(diǎn) A3，0 和定圓圓心B 3，0 距離之和恰好等于定圓半徑，即 PAPB PM PBBM8點(diǎn) P 的軌跡是以A ， B 為兩焦點(diǎn)，半長軸為4，半短軸長為 b42327 的橢圓的方程：x2y21167說明： 本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法2、解：（ 1）把直線方程y xm 代入橢圓方程4 x2y21得4x2xm 21，即 5x22mxm2 10 2m 245m2116m2200， 解 得5m522（ 2）設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1 ， x2 ，由（ 1）得 x1

15、x22mm215， x1x252m2m21210 解得 m根據(jù)弦長公式得： 11240 方程為 yx 555說明： 處理有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系問題及有關(guān)弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別這里解決直線與橢圓的交點(diǎn)問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應(yīng)用弦長公式用弦長公式，若能合理運(yùn)用韋達(dá)定理（即根與系數(shù)的關(guān)系），可大大簡化運(yùn)算過程3 分析： 橢圓的焦點(diǎn)容易求出，按照橢圓的定義，本題實(shí)際上就是要在已知直線上找一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線同側(cè)的兩已知點(diǎn)（即兩焦點(diǎn)）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決x2y2解： 如圖所示，橢圓121 的焦點(diǎn)為 F1 3，0 ， F2 3，0 3點(diǎn) F1 關(guān)于直

16、線 l ： xy90 的對稱點(diǎn) F 的坐標(biāo)為（9， 6），直線 FF 2的方程為 x 2 y30 x 2 y 3 05， 4）此時(shí) MF1MF2解方程組x y9得交點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（最小0所求橢圓的長軸：2a MF1MF2FF265 ，a 3 5，又c 3， b2a 2c222x2y23536因此，所求橢圓的方程為134536學(xué)習(xí)必備歡迎下載為 x2y211554 分析： 可以利用弦長公式AB1k 2 x1 x2(1k 2 )( x1 x2 )24 x1x2 求得，也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點(diǎn)半徑來求解： (法 1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解AB1 k2x1 x2(1k 2 )( x1 x2 ) 24x1x2 因?yàn)?a6 ， b3 ，所以 c3 3 因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x軸上，所以橢圓方程為x2y21，左焦點(diǎn) F (3 3 , 0) ，從而直線方程為 y3x 9 369由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13 x2723x3680 設(shè) x1 ，x2 為方程兩根， 所以 x1x2723，13x1 x236 8， k3 ，從而 AB1 k 2x1x2(1 k 2 )( x1x2 ) 24x1x2 481313(法 2)利用橢圓的定義及余弦定理求解由題意