集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1、集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘第卷一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1(2013·山東高考)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，則f(1)()A2 B0 C1 D2【解析】當(dāng)x0時(shí)，f(x)x2，f(1)122.f(x)為奇函數(shù)，f(1)f(1)2.【答案】A2(2013·北京高考)“”是“曲線ysin(2x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【解析】當(dāng)

2、時(shí)，ysin(2x)sin(2x)sin 2x，此時(shí)曲線ysin(2x)必過(guò)原點(diǎn)，但曲線ysin(2x)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可以取其他值，如0.因此“”是“曲線ysin(2x)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分而不必要條件【答案】A3(2013·韶關(guān)模擬)設(shè)alog0.32，blog0.33，c20.3，d0.32，則這四個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是()Aabcd BbadcCbacd Ddcab【解析】由函數(shù)ylog0.3x是減函數(shù)知，log0.33log0.320.又20.31,00.321，所以badc.【答案】B4下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(1,2)內(nèi)是增函數(shù)的為()Aycos 2x，xRBylog2|x|

3、，xR且x0Cy，xRDyx31，xR【解析】A中，ycos 2x在(0，)上遞減，A不滿足題意C中函數(shù)為奇函數(shù)，D中函數(shù)非奇非偶對(duì)于B：ylog2|x|(x0)是偶函數(shù)，在(1,2)內(nèi)是增函數(shù)【答案】B5設(shè)f(x)則不等式f(x)2的解集為()A(，)B(，1)2，)C(1,2(，)D(1，)【解析】原不等式等價(jià)于或即或解得2x或x1.【答案】B6(2013·山東高考)函數(shù)yxcos xsin x的圖象大致為()【解析】函數(shù)yxcos xsin x為奇函數(shù)，則排除B；當(dāng)x時(shí)，y10，排除C；當(dāng)x時(shí)，y0，排除A，故選D.【答案】D7(2013·江西高考)若S1x2dx，S

4、2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關(guān)系為()AS1<S2<S3 BS2<S1<S3CS2<S3<S1 DS3<S2<S1【解析】S1x2dxx3×23，S2dxln xln 2，S3exdxexe2ee(e1)，ln 2<ln e1，且<2.5<e(e1)，所以ln 2<<e(e1)，即S2<S1<S3.【答案】B8(2012·重慶高考)設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖1所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()圖1A函數(shù)f(x)有極

5、大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【解析】當(dāng)x2時(shí)，y(1x)f(x)0，得f(x)0；當(dāng)2x1時(shí)，y(1x)f(x)0，得f(x)0；當(dāng)1x2時(shí)，y(1x)f(x)0，得f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，y(1x)f(x)0，得f(x)0，f(x)在(，2)上是增函數(shù)，在(2,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【答案】D第卷二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上)9(20

6、13·煙臺(tái)模擬)已知第一象限的點(diǎn)(a，b)在直線2x3y10上，則代數(shù)式的最小值為_(kāi)【解析】由題意知2a3b1，a0，b0，則(2a3b)4913225，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，即的最小值為25.【答案】2510已知yf(x)x2是奇函數(shù)，且f(1)1，若g(x)f(x)2，則g(1)_.【解析】yf(x)x2是奇函數(shù)，且f(1)1，f(1)(1)2f(1)12，f(1)3.因此g(1)f(1)21.【答案】111設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x3y1的最大值為_(kāi)【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示又z2x3y1可化為yx，結(jié)合圖形可知z2x3y1在點(diǎn)A處取得最大

7、值由得故A(3,1)此時(shí)z2×33×1110.【答案】1012(2013·孝感模擬)已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)則函數(shù)f(x)sgn(ln x)ln2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)【解析】當(dāng)x>1時(shí)，ln x>0，sgn(ln x)1，f(x)1ln2x，令f(x)0，得xe.當(dāng)x1時(shí)，ln x0，sgn(ln x)0，f(x)ln2x，令f(x)0，得x1滿足當(dāng)0<x<1時(shí)，ln x<0，sgn(ln x)1，f(x)1ln2x<0，f(x)0無(wú)解函數(shù)f(x)的零點(diǎn)為x1與xe.【答案】213定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)則f(2 013

8、)_.【解析】當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(x1)f(x2)，f(x1)f(x)f(x1)，f(x1)f(x2)，即f(x3)f(x)，f(x6)f(x)，即當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)的周期是6.又f(2 013)f(335×63)f(3)，由已知得f(1)log221，f(0)0，f(1)f(0)f(1)011，f(2)f(1)f(0)101，f(3)f(2)f(1)1(1)0，f(2 013)0.【答案】014已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)a(x1)(xa)，若f(x)在xa處取得極大值，則a的取值范圍是_【解析】若a0，則f(x)0，函數(shù)f(x)不存在極值；若a1，則f(x)(x1)20，

9、函數(shù)f(x)不存在極值；若a0，當(dāng)x(1，a)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在xa處取得極小值；若1a0，當(dāng)x(1，a)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在xa處取得極大值；若a1，當(dāng)x(，a)時(shí)，f(x)0，當(dāng)x(a，1)時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，所以a(1,0)【答案】(1,0)三、解答題(本大題共6小題，共80分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)15(本小題滿分12分)已知集合Ay|y2(a2a1)ya(a21)0，By|yx2x，0x3(1)若AB，求a的取值范圍；(2)當(dāng)a取使不等式x21ax恒

10、成立的a的最小值時(shí)，求(RA)B.【解】Ay|ya或ya21，By|2y4(1)當(dāng)AB時(shí)，a2或a.a的取值范圍是(，2(2)由x21ax，得x2ax10，依題意a240，2a2.a的最小值為2.當(dāng)a2時(shí)，Ay|y2或y5RAy|2y5(RA)By|2y416(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)2xk·2x，kR.(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；(2)若對(duì)任意的x0，)都有f(x)2x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解】(1)f(x)2xk·2x是奇函數(shù)，f(x)f(x)，xR，即2xk·2x(2xk·2x)，(1k)(k1)·22x0對(duì)

11、一切xR恒成立，k1.(2)x0，)，均有f(x)2x，即2xk·2x2x成立，1k22x對(duì)x0恒成立，1k(22x)min，y22x在0，)上單調(diào)遞增，(22x)min1，k0.實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0，)17(本小題滿分14分)(2013·北京高考)設(shè)L為曲線C：y在點(diǎn)(1,0)處的切線(1)求L的方程；(2)證明：除切點(diǎn)(1,0)之外，曲線C在直線L的下方【解】(1)設(shè)f(x)，則f(x).所以f(1)1，所以L的方程為yx1.(2)證明：令g(x)x1f(x)，則除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方等價(jià)于g(x)>0(x>0，x1)g(x)滿足g(1)0，且g

12、(x)1f(x).當(dāng)0<x<1時(shí)，x21<0，ln x<0，所以g(x)<0，故g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，x21>0，ln x>0，所以g(x)>0，故g(x)單調(diào)遞增所以，g(x)>g(1)0(x>0，x1)所以除切點(diǎn)之外，曲線C在直線L的下方18(本小題滿分14分)(2013·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)ax3(a2)xc的圖象如圖2所示圖2(1)求函數(shù)yf(x)的解析式；(2)若g(x)2ln x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【解】(1)f(x)ax2a2，由圖可知函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,3)，且

13、f(1)0.得即f(x)x3x3.(2)g(x)2ln xkx2ln x，g(x)k.函數(shù)yg(x)的定義域?yàn)?0，)，若函數(shù)yg(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，則函數(shù)g(x)0在(0，)上恒成立，即kx2k2x0在區(qū)間(0，)上恒成立即k在區(qū)間(0，)上恒成立令h(x)，x(0，)，則h(x)1(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))k1.實(shí)數(shù)k的取值范圍是1，)19(本小題滿分14分)(2013·煙臺(tái)模擬)某幼兒園準(zhǔn)備建一個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)的外圍是一個(gè)周長(zhǎng)為k米的圓在這個(gè)圓上安裝座位，且每個(gè)座位和圓心處的支點(diǎn)都有一根直的鋼管相連經(jīng)預(yù)算，轉(zhuǎn)盤(pán)上的每個(gè)座位與支點(diǎn)相連的鋼管的費(fèi)用為3k元/根，且當(dāng)兩相鄰的座

14、位之間的圓弧長(zhǎng)為x米時(shí)，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個(gè)座位的總費(fèi)用為k元假設(shè)座位等距分布，且至少有兩個(gè)座位，所有座位都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記轉(zhuǎn)盤(pán)的總造價(jià)為y元(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；(2)當(dāng)k50米時(shí)，試確定座位的個(gè)數(shù)，使得總造價(jià)最低？【解】(1)設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)上總共有n個(gè)座位，則x即n，y，定義域.(2)yf(x)k2，yk2，令y0得x.當(dāng)x時(shí)，f(x)0，即f(x)在x上單調(diào)遞減，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，即f(x)在x上單調(diào)遞增，y的最小值在x時(shí)取到，此時(shí)座位個(gè)數(shù)為32個(gè)20(本小題滿分14分)(2013·鄂州模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax1.(1)求x1時(shí)，

15、f(x)取得極值，求a的值；(2)求f(x)在0,1上的最小值；(3)若對(duì)任意mR，直線yxm都不是曲線yf(x)的切線，求a的取值范圍【解】(1)因?yàn)閒(x)x2a，當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極值，所以f(1)1a0，a1.又當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)0，x(1，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在x1處取得極小值，即a1符合題意(2)當(dāng)a0時(shí)，f(x)0對(duì)x(0,1)成立，所以f(x)在0,1上單調(diào)遞增，f(x)在x0處取最小值f(0)1，當(dāng)a0時(shí)，令f(x)x2a0，x1，x2，當(dāng)0a1時(shí)，1，x(0，)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減，x(，1)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在x處取得最小值f()1.當(dāng)a1