逆矩陣公式和矩陣的秩PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1逆矩陣公式和矩陣的秩逆矩陣公式和矩陣的秩定理2.5 設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*,則EAAAAA*證明 因?yàn)?IAAAA|000|000|212221212111212222111211 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaa IAAAA|000|000|212222111211212221212111 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAAAAAAAAAIAAAA|000|000|212221212111212222111211 nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaaIAAAA|000|000|2122221112112122212

2、12111 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAAAAAAAAAEAEA第1頁(yè)/共17頁(yè)定理定理2.60AAn 可逆當(dāng)且僅當(dāng)階方陣證明：證明：11,AAA 且且.的的伴伴隨隨矩矩陣陣為為矩矩陣陣其其中中AA 01)(1111 AAAAAEAAAA因此，因此，兩邊取行列式，得兩邊取行列式，得，使，使可逆，則有可逆，則有第2頁(yè)/共17頁(yè) AAAEAAAAAAEAAAAEAAAEAAAAEAAA1)()()(0)(0)(1，所以，所以所以所以，時(shí)，有時(shí)，有，當(dāng)，當(dāng)又因?yàn)橛忠驗(yàn)?，時(shí)，有時(shí)，有，當(dāng)，當(dāng)因?yàn)橐驗(yàn)槎ɡ矶ɡ?.60AAn 可逆當(dāng)且僅當(dāng)階方陣11,AAA 且且.的的伴伴隨隨矩矩陣陣為為矩

3、矩陣陣其其中中AA 證明:第3頁(yè)/共17頁(yè).1nnn2n12n22121n21111的的代代數(shù)數(shù)余余子子式式中中元元素素為為行行列列式式的的伴伴隨隨矩矩陣陣，為為其其中中，其其中中ijijaAAAAAAAAAAAAAAAAA dcbaA特特別別地地，對(duì)對(duì)二二階階方方陣陣逆矩陣的求法二：伴隨矩陣法逆矩陣的求法二：伴隨矩陣法AAAbcadA101時(shí)時(shí)，有有當(dāng)當(dāng)acbdbcad1第4頁(yè)/共17頁(yè)下頁(yè) 例 1 求矩陣523012101A的逆矩陣 解 解 因?yàn)?2523012101|A 所以A可逆 又因?yàn)?222 332313322212312111*AAAAAAAAAA222 332313322212

4、312111*AAAAAAAAAA222 332313322212312111*AAAAAAAAAA 5211022721所以 127221012521|1*1AAA2/ 112/71152/ 112/5127221012521|1*1AAA2/ 112/71152/ 112/5127221012521|1*1AAA2/ 112/71152/ 112/5 第5頁(yè)/共17頁(yè)01A11AAAA11212111AAAA,)(AA221)(11123221AAA827233A)( AA221)(1A例例2 2 設(shè)設(shè)A A為三階矩陣為三階矩陣, ,求求解解: : AAA11A知知可逆可逆, ,且且, ,

5、所以所以又又 , ,于是于是 第6頁(yè)/共17頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例如 已知210253143212A 定義24(k階子式) 設(shè)A是mn矩陣 從A中任取k行k列(kmin(m, n) 位于這些行和列的交叉處的元素 保持它們?cè)瓉?lái)的相對(duì)位置所構(gòu)成的k階行列式 稱(chēng)為矩陣A的一個(gè)k階子式 選定第一三兩行及第二四兩列 得 2 階子式選定第一三兩行及第二四兩列 得 2 階子式 2031 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第7頁(yè)/共17頁(yè)定義25(矩陣的秩) 設(shè)A為mn矩陣 如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r 即存在r階子式不為零 而任何r1階子式皆為零 則稱(chēng)r為矩陣A的秩 記作秩(A)r或r(A)r 當(dāng)AO時(shí) 規(guī)定

6、r(A)0 矩陣的秩的簡(jiǎn)單性質(zhì) (1)r(A)r(AT) (2)對(duì)于mn矩陣A 有0r(A)min(m, n) 當(dāng)r(A)min(m, n)時(shí) 稱(chēng)矩陣A為滿(mǎn)秩矩陣 下頁(yè)第8頁(yè)/共17頁(yè)定義212(矩陣的秩) 設(shè)A為mn矩陣 如果A中不為零的子式最高階數(shù)為r 即存在r階子式不為零 而任何r1階子式皆為零 則稱(chēng)r為矩陣A的秩 記作秩(A)r或r(A)r 當(dāng)AO時(shí) 規(guī)定r(A)0 例如 已知010010100321A 因?yàn)?又如001021B r(B)2 上述矩陣都是滿(mǎn)秩矩陣 010010100321A 因?yàn)?1100010321 所以r(A)3 01100010321 所以r(A)3 001021

7、B r(B)2 r(B)2 100010011C r(C)3 100010011C r(C)3 下頁(yè)第9頁(yè)/共17頁(yè)1541401310211001A定理27 矩陣經(jīng)初等變換后 其秩不變 解 由定理25知 A的秩等于經(jīng)初等變換后所求出的最后一矩陣的秩 而最后一矩陣的秩顯然等于3 故r(A)3 思考 A的秩與最后一個(gè)階梯形矩陣的非零行有什么關(guān)系？ 下頁(yè) 例 1 求矩陣1541401310211001A的秩 1541401310211001A054010102020100105401010202010010000450010101001 第10頁(yè)/共17頁(yè)121123322111A 階梯形矩陣的秩

8、等于非零行的行數(shù) 解 103021502111 最后一矩陣為階梯形矩陣 有三個(gè)非零行 故r(A)3 103021502111130025102111 下頁(yè) 例 2 求矩陣121123322111A的秩 121123322111A112021502111 第11頁(yè)/共17頁(yè) 階梯形矩陣的秩等于非零行的行數(shù) 解 最后一矩陣為階梯形矩陣 有兩個(gè)非零行 故r(A)2 下頁(yè) 例 3 求矩陣5341112332122131A的秩 5341112332122131A5341112332122131A747074707470213174707470747021310000000074702131 第12頁(yè)/共

9、17頁(yè) 例4 設(shè)B為n階非奇異矩陣 A為mn矩陣 試證 A與B之積的秩等于A的秩 即r(AB)r(A) （P60/2.18） 因?yàn)锽非奇異 故可表示成若干初等矩陣P1 P2 Ps之積 B P1P2 Ps 于是 ABAP1P2 Ps 這表示AB是A經(jīng)s次初等變換后得出的 因而r(AB)r(A) 證結(jié)束-作為定理來(lái)用第13頁(yè)/共17頁(yè)幾個(gè)常用性質(zhì)：P60nBrArABBrArABrBrArBArBrArBArBrAr)()(, 0)8()(),(min)()7()()()()6()()(),()(),(max)5(則若第14頁(yè)/共17頁(yè)例例5 設(shè)設(shè) 是是n階矩陣階矩陣 的伴隨矩陣，的伴隨矩陣，A 2,n A證明：證明：,()1,0,nr A 若若( );r An 若若( )1;r An若若( )1.r An P60/ 2.19證證： (1) 若若( ),r An 則則0.A ,AAA E ,nA AA 0,A ().r An 第15頁(yè)/共17頁(yè)(2) 若若( )1,r An 則則 中至少有一個(gè)中至少有一個(gè)n1階子式不為階子式不為0，而，而 中元素都是中元素都是AA A的的n1階子式，所以階子式，所以 中至少有一個(gè)元素不為中至少有一個(gè)元素不為0，A 則則()1.r A 又由又由