求解圓錐曲線離心率“五法”

1、求解圓錐曲線離心率“五法”曾安雄離心率是圓錐曲線的一個重要性質(zhì)，在高考中頻繁出現(xiàn)。下面例析幾種常用求法。一、根據(jù)離心率的范圍，估算e即利用圓錐的離心率的范圍來解題，有時可用橢圓的離心率，雙曲線的離心率，拋物線的離心率來解決。例1. 設(shè)，則二次曲線1的離心率的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 解：由，故有，因此所給的二次曲線是雙曲線。由雙曲線的離心率，應(yīng)排除A、B、C，而選D。二、直接求出a、c，求解e已知圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程或a、c易求時，可利用離心率公式來解決。例2. （2005年全國卷一）已知雙曲線（）的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 解：

2、拋物線的準(zhǔn)線是，即有雙曲線的右準(zhǔn)線，有，解得，則，故選D。例3. （2005年江蘇）點P（3，1）在橢圓（）的左準(zhǔn)線上，過點P且方向為的光線經(jīng)直線反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為（ ）A. B. C. D. 解：由題意知，入射光線為，關(guān)于的反射光線（對稱關(guān)系）為，則P（3，1）在左準(zhǔn)線上，左焦點在反射光線上，有解得知，故選A。三、構(gòu)造a，c齊次式，解出根據(jù)題設(shè)條件關(guān)系式，借助之間的關(guān)系，溝通的關(guān)系（特別是齊二次式），進(jìn)而得到關(guān)于e的一元方程，從而解方程得出離心率e。例4. （2005年福建）已知是雙曲線的兩焦點，以線段為邊作正三角形，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（ ）A

3、. B. C. D. 解：如圖1，的中點為P，則點P的橫坐標(biāo)為。圖1由，焦半徑公式有，即有解得，故選D。例5. （2005年浙江）過雙曲線1的左焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M、N兩點，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于_。解：如圖2，所給的語言可轉(zhuǎn)化為通徑圖2，即得，故 解得或（舍）故填2。點評：本題是運(yùn)用方程的思想求離心率。另外記住一些常用結(jié)論，有助于快速解題，如焦半徑公式，通徑，焦點三角形面積公式、定值結(jié)論等。這里用到雙曲線及橢圓的通徑（即過焦點且垂直于對稱軸的弦），其長度為。四、尋找a與c的關(guān)系式由于離心率是c與a的比值，故不必分別求出a、c的值，可尋找a與c的關(guān)系式，即a用c來表示即可解決。例6. （2005年全國卷三）設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是（ ）A. B. C. D. 解：由題意，得。又由橢圓的定義，得，即，則得，故選D。四、統(tǒng)一定義法由圓錐曲線的統(tǒng)一定義，知離心率e是動點到焦點的距離和動點到準(zhǔn)線的距離之比，特別適用于條件含有焦半徑的圓錐曲線問題，即。例7. 設(shè)橢圓的右焦點為F1，右準(zhǔn)線為，若過F1且垂直于x軸的弦長等于點F1到的距離，則橢圓的離心率是_。解：該題若想通過求出a、c的值，再求離心率e是相當(dāng)麻煩的。而