補充二、希爾伯特變換及其應用

1、1、連續(xù)時間信號實連續(xù)時間信號 的Hilbert變換 定義為： )( tx)(txttxdtxdtxtx1*)()(1)(1)( tth/1)(00)sgn()(jjjjH補充內(nèi)容2： 希爾伯特（Hilbert）變換及其使用Hilbert變換與解析信號結(jié)論：結(jié)論：Hilbert變換器是幅頻特性為1的全通濾波器。信號x(t)通過Hilbert變換器后，其負頻率成分作+90相移，而正頻率成分作90相移。其幅頻、相頻特性為： Hilbert反變換HilbertHilbert變換與解析信號變換與解析信號)sgn()()sgn()()()()(jjXjjXjHjXjX由時域卷積定理有：tthttxtx1

2、)(,1)()( 由此可得：HilbertHilbert反變換的公式反變換的公式 )()sgn()(jXjjXdtxtxttx)( 1)( *1)(解析信號)( )()(tx jtxtz設 為 的Hilbert變換，定義為信號 的解析信號解析信號(analytic signal)。)( tx)(tx)(txHilbertHilbert變換與解析信號變換與解析信號)()()()()()(jXjjHjXjXjjXjZ00)sgn()(jjjjH又000)(2)(jXjZ()X j()Z j()X j結(jié)論：結(jié)論：由Hilbert變換構(gòu)成的解析信號，只含有正頻率成分，且是原信號正頻率分量的2倍。例Hi

3、lbertHilbert變換與解析信號變換與解析信號設 ，求其Hilbert變換及解析信號)2cos()(0tfAtx解：解：)()(2)()(2)()()(2)(000000AjjjAjXAjX)()()()(0AjXjjXjZ又tfjAetz02)(解析函數(shù)為: )2sin()(0tfAtx可以證明，若 )2cos()(0tfAtx則其Hilbert變換 002 f令)2sin()( 0tfAtx 的Hilbert變換為：)(tx可實現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應可實現(xiàn)系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，其沖激響應 tuthth 00 tth即即:其傅里葉變換其傅里葉變換 j1j21jHH )j (jjej)j

4、 (j XRHH 又又則則 jj)j (XR j1jjj21XR 1jj21XR 1jj2jRX dj21j21jjj XRXR所所以以 dj212jjRX根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等，解得根據(jù)實部與實部相等，虛部與虛部相等，解得 dj1)j ( XR dj1j RX因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)因果系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù) )j ( H的實部與虛部滿足希爾的實部與虛部滿足希爾 伯特變換約束關系。伯特變換約束關系。 伯特變換的約束關系。伯特變換的約束關系。的實部與虛部滿足希爾的實部與虛部滿足希爾，證明，證明已知已知)()()(thFtuethta a 因為因為 a aa ajtueFthFt 1)(即系統(tǒng)函數(shù)即系

5、統(tǒng)函數(shù) a a a aa a jjXjRjjH 2222式中實部式中實部 22 a aa a jR虛部虛部 22 a a jX a a a a a a a a a a d2121122 jjjjjXH現(xiàn)在求現(xiàn)在求 jX的希爾伯特變換的希爾伯特變換 d1 jXjXHad122aaaCjBjA22令可求出各分式系數(shù)可求出各分式系數(shù) 22,21,21a a a a a a CjBjA則則 a a a a a a a a a a d2121122 jjjjjXH a a a aa a d122222 a a a a a aa a d12222222 a a a a a a a aa a lnlnarc

6、tg12222 0022122 a aa a 22a a a a R HilbertHilbert變換與解析信號變換與解析信號離散時間信號00)(jjeHj設Hilbert變換器的單位抽樣響應為h(n)，與連續(xù)信號Hilbert變換器的頻率響應H(j)對應，h(n)的頻率響應H(ej)為：作H(ej)的傅里葉反變換，求得： de jdjedeeHnhnjnjnjj002121)(21)(為奇數(shù)為偶數(shù)nnnnnhn20) 1(1)()( nx)(nx離散時間信號 的Hilbert變換記為：HilbertHilbert變換與解析信號變換與解析信號 的Hilbert變換 為：)( nx)(nxmmm

7、nxnhnxnx) 12() 12(2)(*)()( 0)(0)()()()(jjjjjejXejXeHeXeX求得 后，即可構(gòu)成 的解析信號 )( nx)( )()(nx jnxnz)(nx使用DFT求信號的Hilbert變換步驟：Step 1. 對 做 DFT, 得：( )x n( ),0,1X kkNStep 2. 令1,2012, 2 , 1)(20)()(NNkNkkXkkXkZStep 3. 對 做逆 DFT, 得( )Z k( )z nStep 4. 由( )IDFT( ( )( )x nj Z kX k得)()()( nxnzjnx實連續(xù)信號的包絡、瞬時相位、瞬時頻率)( )(

8、)(tx jtxtz)()(| )(|)(22txtxtzte)()( arctan)(txtxt dttdt)()(X（t）的包絡,瞬時振幅X（t）的瞬時相位X（t）的瞬時頻率實離散信號的包絡、瞬時相位、瞬時頻率)( )()(nx jnxnz)()(| )(|)(22nxnxnzne)()( arctan)(nxnxn X（n）的包絡X（n）的瞬時相位18 help hilbert HILBERT Discrete-time analytic signal via Hilbert transform. X = HILBERT(Xr) computes the so-called discre

9、te-time analytic signal X = Xr + i*Xi such that Xi is the Hilbert transform of real vector Xr. If the input Xr is complex, then only the real part is used: Xr=real(Xr). If Xr is a matrix, then HILBERT operates along the columns of Xr.19 n=0:1:50; dt=0.001; a=0.1; x=exp(-a.*n).*sin(2*pi*0.4375.*n) su

10、bplot(2,2,1); plot(x); y=hilbert(x); rx=real(y); Ix=image(y);20z=sqrt(rx.*rx+ix.*ix);%求信號x的包絡%z=sqrt(abs(x).2+abs(y).2);subplot(222);plot(z);thet=atan(ix./rx);%求信號x的瞬時相位subplot(223);plot(thet);real(z) 實部函數(shù)imag(z) 虛部函數(shù)abs(z)求復數(shù)z的模angle(z)求復數(shù)z的輻角，其范圍是（ ， conj(z) 求復數(shù)z的共軛復數(shù)0204060-1-0.500.51020406000.51

11、1.50204060-2-1012單道地震信號數(shù)值模擬單道地震信號數(shù)值模擬實際地震記錄信號瞬時屬性提取合成記錄瞬時屬性提取分析瞬時屬性的分辨率及地質(zhì)意義實際地震記錄信號瞬時屬性提取實際地震記錄信號瞬時屬性提取三條同相軸，最上一條和中間一條間距小，在瞬時振幅曲線上未分辨出來，中間一條和最下一條間距相對較遠，在瞬時振幅曲線上可以分辨出來，但也不明顯。 600ms461700ms單道地震信號數(shù)值模擬單道地震信號數(shù)值模擬合成記錄瞬時屬性提取合成記錄瞬時屬性提取合成地震記錄參數(shù)：30Hz的Ricker子波，三個反射層位且相距較遠 ，瞬時振幅可以很清晰的分辨出三個層位 -30-20-100102030-1

12、01the Ricker wavelet050100150200250300-0.500.5the reflection coefficient050100150200250300-0.500.5the synthetic seismograms050100150200250300-0.500.5time/msamplitudepart of the original signal 05010015020025030000.20.40.60.8time/msamplitudethe instantaneous amplitude of the synthetic seismograms單道地震

13、信號數(shù)值模擬單道地震信號數(shù)值模擬單道地震信號數(shù)值模擬單道地震信號數(shù)值模擬合成記錄瞬時屬性提取合成記錄瞬時屬性提取 合成地震記錄參數(shù)：100Hz的Ricker子波，四個反射層位，其中第二個和第三個相距較近，合成地震信號有明顯的四個層位，但是Hilbert變換只能清晰的辨別三個層位，這說明Hilbert變換提取瞬時振幅的分辨率是有限的，特別是對于薄層、薄互層。 -30-20-100102030-101timeamplituethe riker wavelet of 100Hz050100150200250300-0.500.5timeamplitudethe reflection coeffici

14、ent050100150200250300-0.500.5timeampthe synthetic seismogram050100150200250300-0.500.5timeamplitudethe synthetic seismograms501001502002503000.20.40.60.8timeamplitudethe instantaneous amplitude of the synthetic seismograms單道地震信號數(shù)值模擬單道地震信號數(shù)值模擬瞬時屬性的分辨率及地質(zhì)意義瞬時屬性的分辨率及地質(zhì)意義 通過單道信號的瞬時屬性的分析，可知利用瞬時屬性可以反映同相軸的

15、局部或細微變換，但其分辨率也是有限的，而且不同瞬時屬性反映的信息也不同。屬性類別 物理意義 主要地質(zhì)意義 瞬時振幅 地震反射波強度的量度 反映巖性、不整合、斷層、流體及儲集層的孔隙率變化，識別河流和湖泊相砂體、局部斷層、薄層、縫（洞）等。瞬時相位 同相軸連續(xù)性的量度反映巖性、地層層序變化，識別河流和湖泊相砂體、不整合斷層、縫（洞）等。瞬時頻率 相位的時間變化率反映巖性、地層層序變化，識別沖積扇和三角洲砂體、異常衰減和薄層調(diào)諧變化、縫（洞）等。瞬時地震屬性提取方法綜述瞬時地震屬性提取方法綜述“？”表示尚無文獻有相關方面研究由上框圖可知，不論小波分解還是經(jīng)驗模態(tài)分解，最后的分量信號依然要利用Hil

16、bert變換處理提取瞬時屬性。瞬時地震屬性提取算法研究瞬時地震屬性提取算法研究頻率域頻率域Hilbert變換算法實現(xiàn)變換算法實現(xiàn))()()(1)()()()()()()(Hsjhshjsss jsS00)(jjh0002)(H)()()(ts jtstS瞬時地震屬性提取算法研究瞬時地震屬性提取算法研究頻率域頻率域Hilbert變換算法實現(xiàn)變換算法實現(xiàn)頻率域希氏變換流程圖頻率域希氏變換流程圖瞬時地震屬性提取算法研究瞬時地震屬性提取算法研究瞬時地震屬性提取算法研究瞬時地震屬性提取算法研究Hilbert變換提取瞬時地震屬性的算法驗證變換提取瞬時地震屬性的算法驗證1、單道信號驗證、單道信號驗證0200

17、4006008001000120014001600-202x 104the original signal02004006008001000120014001600012x 104the intantaneous amplitude calculated by the matlab02004006008001000120014001600012x 104the instantaneous amplitude calculated by the C program瞬時地震屬性提取算法研究瞬時地震屬性提取算法研究 Hilbert變換提取瞬時地震屬性的算法驗證變換提取瞬時地震屬性的算法驗證2、瞬時振

18、幅剖面驗證、瞬時振幅剖面驗證瞬時地震屬性應用瞬時地震屬性應用圈定火成巖侵入煤層范圍1. 天然氣水合物BSR空間展布瞬時地震屬性應用瞬時地震屬性應用圈定火成巖侵入煤層范圍圈定火成巖侵入煤層范圍 克拉美麗氣田發(fā)現(xiàn)層系屬石炭系火山巖，氣藏地質(zhì)條件復雜，火山巖巖性與分布的識別是制約火山巖勘探的一個“瓶頸”難題。此次數(shù)值試驗取用克拉美麗氣田資料，嘗試利用瞬時屬性進行火層巖侵入煤田范圍。 瞬時地震屬性應用瞬時地震屬性應用1 7 0 4線疊后剖面線疊后剖面瞬時地震屬性應用1704線瞬時振幅剖面線瞬時振幅剖面瞬時地震屬性應用瞬時地震屬性應用1 7 0 4線瞬時相位剖面線瞬時相位剖面瞬時地震屬性應用瞬時地震屬性應用 結(jié)果分析：地震剖面顯示火成巖侵入煤層，上部煤層有錯斷。在瞬時振幅剖面上可以明顯的顯示出錯斷發(fā)生的位置，而且火成巖侵入?yún)^(qū)域瞬時振幅雜亂無章，可以定性的解釋火成巖侵入，但對于劃分火成巖侵入范圍效果不理想。在瞬時相位剖面上，可以明顯的顯示出錯斷發(fā)生的位置，而且可以清晰的劃分斷層線，火成巖侵入的區(qū)域，瞬時相位同相軸雜亂無章，但煤層和巖層同相軸更加清晰，因此可以較為精確的劃分出火成巖侵入的邊界范圍。 瞬時地震屬性應用瞬時地震屬性應用天然氣水合物似海底反射層天然氣水合物似海底反射層 (BSR)空間展布空間展布BSR是海底存在天然氣水