含權(quán)債券定價(jià)方法講解分析

1、含權(quán)債券的定價(jià)含權(quán)債券的定價(jià) Blacks Model 利率二叉樹利率二叉樹 期限結(jié)構(gòu)的藝術(shù)期限結(jié)構(gòu)的藝術(shù)利率模型利率模型 含權(quán)債券的定價(jià)含權(quán)債券的定價(jià) 利率頂與利率底利率頂與利率底 互換選擇權(quán)互換選擇權(quán) 可贖回和可回售債券可贖回和可回售債券 可轉(zhuǎn)換債券可轉(zhuǎn)換債券期權(quán)定價(jià)模型期權(quán)定價(jià)模型 Black-Scholes model BlackScholes(1973) 其中，其中，c為買入期權(quán)的價(jià)格，為買入期權(quán)的價(jià)格，S為標(biāo)的股票的當(dāng)前市價(jià)，為標(biāo)的股票的當(dāng)前市價(jià)，K為買入期權(quán)的執(zhí)行價(jià)，為買入期權(quán)的執(zhí)行價(jià)，T為距離到期日的時(shí)間，為距離到期日的時(shí)間，r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，利率， 為股價(jià)變動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差。

2、為股價(jià)變動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差。)()(21dNKedSNcrTTTrKSd)2/()/ln(21Tdd12B-S公式的比較靜態(tài)分析公式的比較靜態(tài)分析因素Call 的價(jià)格Put 的價(jià)格標(biāo)的證券的價(jià)格執(zhí)行價(jià)格到期時(shí)間利率波動(dòng)率短期利率利息支付上升下降上升上升上升下降下降上升上升上升下降上升例：例：Black-Scholes 模型的問(wèn)題模型的問(wèn)題 給歐式給歐式 call option 定價(jià)：定價(jià)：3年零息債券，年零息債券，行權(quán)價(jià)為行權(quán)價(jià)為$110, 面值為面值為$100。 結(jié)論很明顯，應(yīng)該是結(jié)論很明顯，應(yīng)該是0。 但在下面假設(shè)情況下，但在下面假設(shè)情況下，r = 10% ，4%的年的年價(jià)格波動(dòng)率，用價(jià)格波動(dòng)率，

3、用Black-Scholes 模型計(jì)算模型計(jì)算出來(lái)的價(jià)格為出來(lái)的價(jià)格為7.78!應(yīng)用傳統(tǒng)應(yīng)用傳統(tǒng) Black-Scholes Model給債券定價(jià)的問(wèn)題給債券定價(jià)的問(wèn)題 如果要使用上述公式為債券定價(jià)，我們必須要假如果要使用上述公式為債券定價(jià)，我們必須要假設(shè)債券價(jià)格未來(lái)設(shè)債券價(jià)格未來(lái)3年的演變過(guò)程，可這一過(guò)程異年的演變過(guò)程，可這一過(guò)程異常的復(fù)雜，原因如下：常的復(fù)雜，原因如下： 債券價(jià)格在到期日必須收斂至面值，而股票的隨債券價(jià)格在到期日必須收斂至面值，而股票的隨機(jī)演變過(guò)程不需要這一限制。機(jī)演變過(guò)程不需要這一限制。 隨著到期日的臨近，債券價(jià)格的波動(dòng)率會(huì)下降，隨著到期日的臨近，債券價(jià)格的波動(dòng)率會(huì)下降，

4、B-S公式假定波動(dòng)率為常數(shù)顯然不合適。公式假定波動(dòng)率為常數(shù)顯然不合適。 B-S公式假定短期利率為常數(shù)，而在固定收益證公式假定短期利率為常數(shù)，而在固定收益證券方面，我們又假定了債券價(jià)格隨機(jī)變動(dòng)，明顯券方面，我們又假定了債券價(jià)格隨機(jī)變動(dòng)，明顯矛盾。矛盾。 此外，上述的利率可能為負(fù)值也是一個(gè)問(wèn)題。此外，上述的利率可能為負(fù)值也是一個(gè)問(wèn)題。Blacks Model 盡管存在著以上問(wèn)題，盡管存在著以上問(wèn)題，Black-Scholes 的變形，的變形，即即Blacks Model, 也還經(jīng)常被使用，其條件也還經(jīng)常被使用，其條件是是: a.期權(quán)的盈虧在某一特點(diǎn)時(shí)間只依賴于一個(gè)變量。期權(quán)的盈虧在某一特點(diǎn)時(shí)間只依

5、賴于一個(gè)變量。 b.可以假定在那個(gè)時(shí)點(diǎn)上，那個(gè)變量的分布呈對(duì)數(shù)可以假定在那個(gè)時(shí)點(diǎn)上，那個(gè)變量的分布呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布。正態(tài)分布。 例如，當(dāng)期權(quán)有效的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)短于債券償還期例如，當(dāng)期權(quán)有效的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)短于債券償還期時(shí)，就可以利用時(shí)，就可以利用Blacks Model 利用利用Blacks Model給歐式期權(quán)定價(jià)給歐式期權(quán)定價(jià))()()()(1221dFNdKNePdKNdFNePrTprTcTTKFd2/)/ln(21Tdd12利用利用Blacks Model給歐式期權(quán)定價(jià)給歐式期權(quán)定價(jià) T = 期權(quán)到期日期權(quán)到期日 F = 到期日為到期日為T，價(jià)值為，價(jià)值為V的遠(yuǎn)期價(jià)格的遠(yuǎn)期價(jià)格 K = 執(zhí)行價(jià)格

6、執(zhí)行價(jià)格 r = T期的即期收益率期的即期收益率 (連續(xù)利率連續(xù)利率) = F的波動(dòng)率的波動(dòng)率 N = 累積正態(tài)分布累積正態(tài)分布 Pc = value of call Pp = value of put例例: 應(yīng)用應(yīng)用 Blacks Model 給給10個(gè)月期的歐式期權(quán)定價(jià)：標(biāo)的債券為個(gè)月期的歐式期權(quán)定價(jià)：標(biāo)的債券為9.75 年，面值年，面值 $1,000, 半年利息半年利息 $50 (在在3個(gè)月后和個(gè)月后和9個(gè)月后得到個(gè)月后得到)?已知已知 今天債券價(jià)格今天債券價(jià)格 $960 (包括應(yīng)計(jì)利息包括應(yīng)計(jì)利息) 執(zhí)行價(jià)格執(zhí)行價(jià)格 $1,000 3個(gè)月的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為個(gè)月的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 9% ，9個(gè)月

7、的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為個(gè)月的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為 9.5%，10個(gè)月的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為個(gè)月的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為10% (以年為基礎(chǔ)，以年為基礎(chǔ)，連續(xù)利率連續(xù)利率) 債券價(jià)格的波動(dòng)率為年債券價(jià)格的波動(dòng)率為年9%例例: 應(yīng)用應(yīng)用 Blacks Model求解求解 第一步第一步: 找到遠(yuǎn)期價(jià)格找到遠(yuǎn)期價(jià)格 計(jì)算期權(quán)價(jià)格的參數(shù)為計(jì)算期權(quán)價(jià)格的參數(shù)為:F = 939.68, K=1000, r=0.1, =0.09, T = 10/12=.8333.86.9395050960)8333(.10. 0)75(.09. 0)25(.09. 00FeFeeP例例: 應(yīng)用應(yīng)用 Blacks Model49. 9)(1000)(68.93

8、9218333. 01 . 0dNdNePc8333. 009. 02/8333. 009. 0)1000/68.939ln(21d8333. 009. 012 ddBlacks Model的缺陷的缺陷 盡管盡管Blacks Model通過(guò)假定某個(gè)利率，或債券通過(guò)假定某個(gè)利率，或債券價(jià)格，或其他變量在將來(lái)某個(gè)時(shí)刻的概率分布為價(jià)格，或其他變量在將來(lái)某個(gè)時(shí)刻的概率分布為對(duì)數(shù)正態(tài)，從而在某種程度上改進(jìn)了對(duì)數(shù)正態(tài)，從而在某種程度上改進(jìn)了Black-Scholes Model的缺陷，這也使得這一模型能夠的缺陷，這也使得這一模型能夠被應(yīng)用于對(duì)上限、歐式債券期權(quán)和歐式互換這樣被應(yīng)用于對(duì)上限、歐式債券期權(quán)和歐

9、式互換這樣的產(chǎn)品定價(jià)，但是，這一模型仍然有局限性。的產(chǎn)品定價(jià)，但是，這一模型仍然有局限性。 這些模型不能夠?qū)嗜绾坞S時(shí)間變化來(lái)提供描這些模型不能夠?qū)嗜绾坞S時(shí)間變化來(lái)提供描述，因此，對(duì)美式互換期權(quán)、可贖回債券或結(jié)構(gòu)述，因此，對(duì)美式互換期權(quán)、可贖回債券或結(jié)構(gòu)性債券產(chǎn)品定價(jià)時(shí)就不再適用了。性債券產(chǎn)品定價(jià)時(shí)就不再適用了。 因此，我們需要將注意力由債券的價(jià)格轉(zhuǎn)移至利因此，我們需要將注意力由債券的價(jià)格轉(zhuǎn)移至利率上來(lái)。率上來(lái)。含權(quán)債券定價(jià)的定價(jià)策略含權(quán)債券定價(jià)的定價(jià)策略 可回購(gòu)債券的價(jià)值可回購(gòu)債券的價(jià)值 =不可回購(gòu)債券價(jià)值不可回購(gòu)債券價(jià)值 -Call Option 的價(jià)值的價(jià)值 可回賣債券的價(jià)值可回賣

10、債券的價(jià)值 =不可回賣債券價(jià)值不可回賣債券價(jià)值 + Put Option的價(jià)值的價(jià)值回購(gòu)債券定價(jià)策略回購(gòu)債券定價(jià)策略:利用利率模型給不可回購(gòu)債券定價(jià)利用利率模型給不可回購(gòu)債券定價(jià)利用利率模型給嵌入的利用利率模型給嵌入的call option定價(jià)定價(jià).利率二叉樹（利率二叉樹（binomial interest rate tree） 前面已經(jīng)提及，當(dāng)我們?yōu)閭暮瑱?quán)證券定價(jià)時(shí)，前面已經(jīng)提及，當(dāng)我們?yōu)閭暮瑱?quán)證券定價(jià)時(shí)，我們需要將注意力轉(zhuǎn)移到利率的演化上來(lái)。我們需要將注意力轉(zhuǎn)移到利率的演化上來(lái)。 假設(shè)假設(shè)6個(gè)月期和個(gè)月期和1年期的即期利率分別為年期的即期利率分別為3.99%和和4.16%。另外，。

11、另外，6個(gè)月后個(gè)月后6個(gè)月的即期利率可能演個(gè)月的即期利率可能演變成變成4%與與4.5%，圖示如下：，圖示如下：利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià) 根據(jù)即期利率目前所呈現(xiàn)的期限結(jié)構(gòu)與根據(jù)即期利率目前所呈現(xiàn)的期限結(jié)構(gòu)與6個(gè)個(gè)月期利率的樹狀圖，我們可以計(jì)算月期利率的樹狀圖，我們可以計(jì)算6個(gè)月期個(gè)月期與與1年期零息債券的價(jià)格。面值年期零息債券的價(jià)格。面值1000美元的美元的6個(gè)月零息債券，其價(jià)格樹狀圖為：個(gè)月零息債券，其價(jià)格樹狀圖為：980.4402=1000/(1+0.0399/2)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià) 面值面值1000美元的美元的1年期零息債券，其價(jià)格樹狀圖年期零

12、息債券，其價(jià)格樹狀圖為：為： 注：在這里，我們按照半年復(fù)利進(jìn)行貼現(xiàn)的。注：在這里，我們按照半年復(fù)利進(jìn)行貼現(xiàn)的。959.6628=1000/(1+0.0416/2)2977.9951=1000/(1+0.045/2)2959.6628=1000/(1+0.04/2)2利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià) 1年期零息債券在年期零息債券在“日期日期1”的期望價(jià)格的期望價(jià)格（expected price）是：）是：0.5*977.9951+0.5*980.3922=979.1937 以當(dāng)時(shí)的以當(dāng)時(shí)的6個(gè)月期即期利率將上述價(jià)格折算個(gè)月期即期利率將上述價(jià)格折算為為“日期日期0”的現(xiàn)值，則期望折現(xiàn)值

13、為：的現(xiàn)值，則期望折現(xiàn)值為：979.1937/(1+0.0399/2)=960.04 這一數(shù)值與前面的這一數(shù)值與前面的959.6628并不相同，為并不相同，為什么？因?yàn)樯鲜銎谕凳怯酗L(fēng)險(xiǎn)的。什么？因?yàn)樯鲜銎谕凳怯酗L(fēng)險(xiǎn)的。利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià) 考慮一個(gè)在考慮一個(gè)在6個(gè)月之后可以以個(gè)月之后可以以978.50美元的美元的價(jià)格買進(jìn)面值為價(jià)格買進(jìn)面值為1000美元的美元的6個(gè)月零息債券個(gè)月零息債券的期權(quán)的價(jià)值。選擇權(quán)價(jià)值的樹狀圖如下：的期權(quán)的價(jià)值。選擇權(quán)價(jià)值的樹狀圖如下：利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià) 無(wú)套利原理為我們提供了一套處理上述問(wèn)題的定無(wú)套利原理為我們提供

14、了一套處理上述問(wèn)題的定價(jià)方法，這一點(diǎn)在上一章中已有所體現(xiàn)。價(jià)方法，這一點(diǎn)在上一章中已有所體現(xiàn)。 我們?cè)谖覀冊(cè)凇叭掌谌掌?”使用使用6個(gè)月期和個(gè)月期和1年期零息債券構(gòu)年期零息債券構(gòu)建一個(gè)當(dāng)利率上升到建一個(gè)當(dāng)利率上升到4.5%時(shí)價(jià)值為時(shí)價(jià)值為0，當(dāng)利率上，當(dāng)利率上升到升到4%時(shí)價(jià)值為時(shí)價(jià)值為1.8922的組合。的組合。 假定假定F0.5和和F1分別表示分別表示6個(gè)月和個(gè)月和1年期債券的面值，年期債券的面值，有有利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià) 解前述方程式得，解前述方程式得， F0.5=-772.0005，F(xiàn)1=789.3705 即需要買進(jìn)面值為即需要買進(jìn)面值為789.3705美元的美

15、元的1年期零息債券，年期零息債券，賣空賣空772.0005美元的美元的6個(gè)月期零息債券。個(gè)月期零息債券。 依據(jù)無(wú)套利原理，選擇權(quán)的價(jià)格應(yīng)當(dāng)為，依據(jù)無(wú)套利原理，選擇權(quán)的價(jià)格應(yīng)當(dāng)為，0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63 而當(dāng)我們直接將選擇權(quán)的樹狀圖中的值加權(quán)并貼現(xiàn)時(shí)，而當(dāng)我們直接將選擇權(quán)的樹狀圖中的值加權(quán)并貼現(xiàn)時(shí)，其價(jià)值等于其價(jià)值等于(0.5*0+0.5*1.8922)/(1+0.0399/2) =0.9276，要大于選擇權(quán)的真實(shí)價(jià)值。，要大于選擇權(quán)的真實(shí)價(jià)值。利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià)利率二叉樹與無(wú)套利定價(jià) 與考察股票期權(quán)的價(jià)值時(shí)不考慮股價(jià)變動(dòng)的概率

16、與考察股票期權(quán)的價(jià)值時(shí)不考慮股價(jià)變動(dòng)的概率相似，我們?cè)谟?jì)算上述選擇權(quán)價(jià)值時(shí)，并未考慮相似，我們?cè)谟?jì)算上述選擇權(quán)價(jià)值時(shí)，并未考慮利率發(fā)生變動(dòng)的機(jī)率。利率發(fā)生變動(dòng)的機(jī)率。 這里給出的解釋與股票期權(quán)的解釋相同，即無(wú)論這里給出的解釋與股票期權(quán)的解釋相同，即無(wú)論利率上升的機(jī)率是利率上升的機(jī)率是0.1還是還是0.9，我們組合的成分，我們組合的成分均不變。均不變。 這可能會(huì)引發(fā)人們的疑問(wèn)，即各種狀況出現(xiàn)的這可能會(huì)引發(fā)人們的疑問(wèn)，即各種狀況出現(xiàn)的“機(jī)率機(jī)率”扮演的是什么角色？利率上升和下降的扮演的是什么角色？利率上升和下降的機(jī)率實(shí)際上已經(jīng)反映在債券的價(jià)格之中了，因而機(jī)率實(shí)際上已經(jīng)反映在債券的價(jià)格之中了，因而已

17、經(jīng)通過(guò)這一渠道影響了選擇權(quán)的價(jià)值。已經(jīng)通過(guò)這一渠道影響了選擇權(quán)的價(jià)值。利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 在前面，我們利用無(wú)套利原理，通過(guò)構(gòu)建投資組合的方法在前面，我們利用無(wú)套利原理，通過(guò)構(gòu)建投資組合的方法得到了選擇權(quán)的價(jià)值，但這一方法并不簡(jiǎn)便，我們可以借得到了選擇權(quán)的價(jià)值，但這一方法并不簡(jiǎn)便，我們可以借用上一章提出了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理來(lái)為利率期權(quán)定價(jià)，具用上一章提出了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理來(lái)為利率期權(quán)定價(jià)，具體如下：體如下： 在前面，我們已經(jīng)說(shuō)明了，未來(lái)的期望值的現(xiàn)值并不等于在前面，我們已經(jīng)說(shuō)明了，未來(lái)的期望值的現(xiàn)值并不等于該債券的價(jià)格，但某一虛擬的機(jī)率可以做到這一點(diǎn)。該債券的價(jià)格，但某一

18、虛擬的機(jī)率可以做到這一點(diǎn)。利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià) 假定假定P為為“上行狀況上行狀況”的機(jī)率，的機(jī)率，(1-P)為為“下行狀況下行狀況”的機(jī)率，依據(jù)下述方程式有，的機(jī)率，依據(jù)下述方程式有，P等于等于0.661，并不是我們假定的實(shí)際機(jī)率，并不是我們假定的實(shí)際機(jī)率0.5。 讓我們?cè)俅慰紤]選擇權(quán)價(jià)格的樹狀圖，讓我們?cè)俅慰紤]選擇權(quán)價(jià)格的樹狀圖，利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)當(dāng)我們使用上述的當(dāng)我們使用上述的“虛擬機(jī)率虛擬機(jī)率”（風(fēng)險(xiǎn)中性概率）對(duì)選擇權(quán)的（風(fēng)險(xiǎn)中性概率）對(duì)選擇權(quán)的價(jià)值求期望并貼現(xiàn)時(shí)有，價(jià)值求期望并貼現(xiàn)時(shí)有，可以看出，這一結(jié)果與前面使用復(fù)制的投資組合的方法得

19、出的可以看出，這一結(jié)果與前面使用復(fù)制的投資組合的方法得出的結(jié)論完全一致。結(jié)論完全一致。這就是上一章已經(jīng)提及的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。作為現(xiàn)代金融學(xué)中最這就是上一章已經(jīng)提及的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。作為現(xiàn)代金融學(xué)中最為微妙的概念，我們將風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)在利率期權(quán)中的應(yīng)用步驟為微妙的概念，我們將風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)在利率期權(quán)中的應(yīng)用步驟總結(jié)如下：總結(jié)如下：求取虛擬機(jī)率而使根本證券（求取虛擬機(jī)率而使根本證券（underlying securities）的價(jià)格）的價(jià)格等于其未來(lái)期望值的現(xiàn)值。然后，根據(jù)虛擬機(jī)率來(lái)計(jì)算利率期等于其未來(lái)期望值的現(xiàn)值。然后，根據(jù)虛擬機(jī)率來(lái)計(jì)算利率期權(quán)的期望價(jià)值的現(xiàn)值。權(quán)的期望價(jià)值的現(xiàn)值。利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定

20、價(jià)利率期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)具體邏輯如下：具體邏輯如下：首先：在一個(gè)既定的零息債券價(jià)格樹狀圖之下，一種證券根據(jù)首先：在一個(gè)既定的零息債券價(jià)格樹狀圖之下，一種證券根據(jù)套利方式所定的價(jià)格并不取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。既然人人套利方式所定的價(jià)格并不取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好。既然人人都同意復(fù)制的投資組合的價(jià)值，他們也應(yīng)當(dāng)會(huì)同意期權(quán)合約的都同意復(fù)制的投資組合的價(jià)值，他們也應(yīng)當(dāng)會(huì)同意期權(quán)合約的價(jià)值。價(jià)值。其次，設(shè)想一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系，它的當(dāng)時(shí)債券價(jià)格與其次，設(shè)想一個(gè)經(jīng)濟(jì)體系，它的當(dāng)時(shí)債券價(jià)格與6個(gè)月期的利個(gè)月期的利率演變和我們的經(jīng)濟(jì)體系相同。在這一經(jīng)濟(jì)體中，每個(gè)人都具率演變和我們的經(jīng)濟(jì)體系相同。在這一經(jīng)濟(jì)體中，每個(gè)人都

21、具有中性的風(fēng)險(xiǎn)偏好，且通過(guò)組合的現(xiàn)金流得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率。有中性的風(fēng)險(xiǎn)偏好，且通過(guò)組合的現(xiàn)金流得到風(fēng)險(xiǎn)中性概率。再次，在中性風(fēng)險(xiǎn)偏好的經(jīng)濟(jì)體內(nèi)，選擇權(quán)的定價(jià)是將現(xiàn)金流再次，在中性風(fēng)險(xiǎn)偏好的經(jīng)濟(jì)體內(nèi)，選擇權(quán)的定價(jià)是將現(xiàn)金流的期望值折現(xiàn)為現(xiàn)值。的期望值折現(xiàn)為現(xiàn)值。最后，由于中性風(fēng)險(xiǎn)偏好的經(jīng)濟(jì)體的價(jià)格和利率演變與我們的最后，由于中性風(fēng)險(xiǎn)偏好的經(jīng)濟(jì)體的價(jià)格和利率演變與我們的完全相同，因此，我們的經(jīng)濟(jì)體和風(fēng)險(xiǎn)中性經(jīng)濟(jì)體內(nèi)選擇權(quán)的完全相同，因此，我們的經(jīng)濟(jì)體和風(fēng)險(xiǎn)中性經(jīng)濟(jì)體內(nèi)選擇權(quán)的價(jià)值相等。價(jià)值相等。股票定價(jià)不能使用套利定價(jià)的原因股票定價(jià)不能使用套利定價(jià)的原因 沒(méi)有任何的組合能夠復(fù)制未來(lái)個(gè)股價(jià)格的沒(méi)有任何

22、的組合能夠復(fù)制未來(lái)個(gè)股價(jià)格的波動(dòng)。波動(dòng)。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 前面的分析都是在兩期框架下進(jìn)行的，從這里開前面的分析都是在兩期框架下進(jìn)行的，從這里開始，我們開始討論三期框架下的情形。假定當(dāng)時(shí)始，我們開始討論三期框架下的情形。假定當(dāng)時(shí)1.5年期的即期利率為年期的即期利率為4.33%。 我們?nèi)匀患俣ㄎ覀內(nèi)匀患俣?個(gè)月期利率只有兩種演變可能，個(gè)月期利率只有兩種演變可能，即上行和下行。但是，即上行和下行。但是，“上行上行-下行下行”與與“下行下行-上行上行”并不一定相等，即如下圖。并不一定相等，即如下圖。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 這種樹狀圖一般被稱為這種樹狀圖一般被稱為“非結(jié)

23、合性樹狀圖非結(jié)合性樹狀圖”（non-recombining tree）。從經(jīng)濟(jì)的角度來(lái)看，這一設(shè)定）。從經(jīng)濟(jì)的角度來(lái)看，這一設(shè)定非常合理，但是在實(shí)務(wù)中，這一設(shè)定非常難于處理，非常合理，但是在實(shí)務(wù)中，這一設(shè)定非常難于處理，甚至無(wú)法處理。當(dāng)我們處理一個(gè)二十年期的債券時(shí)，甚至無(wú)法處理。當(dāng)我們處理一個(gè)二十年期的債券時(shí)，最后一期的節(jié)點(diǎn)數(shù)將超過(guò)最后一期的節(jié)點(diǎn)數(shù)將超過(guò)5000億個(gè)。因此，我們一億個(gè)。因此，我們一般設(shè)定結(jié)合性的樹狀圖，我們?cè)O(shè)定一個(gè)般設(shè)定結(jié)合性的樹狀圖，我們?cè)O(shè)定一個(gè)1.5年期的樹年期的樹狀圖如下。狀圖如下。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 當(dāng)樹狀圖的階段增加時(shí)，我們需要設(shè)計(jì)某種方法當(dāng)樹狀圖的

24、階段增加時(shí)，我們需要設(shè)計(jì)某種方法來(lái)表示節(jié)點(diǎn)的位置。一種常用的方法是，以來(lái)表示節(jié)點(diǎn)的位置。一種常用的方法是，以“日日期期”表示樹狀圖的表示樹狀圖的“列列”，起始點(diǎn)為，起始點(diǎn)為0，從左忘，從左忘右計(jì)數(shù)。以右計(jì)數(shù)。以“狀況狀況”來(lái)表示樹狀圖的來(lái)表示樹狀圖的“行行”，起，起始點(diǎn)為始點(diǎn)為0，由下往上計(jì)算。我們很容易構(gòu)建，由下往上計(jì)算。我們很容易構(gòu)建1.5年年期零息債券的價(jià)格樹狀圖，如下。期零息債券的價(jià)格樹狀圖，如下。937.7641=1000/(1+0.0433/2)3風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 在上圖中，在上圖中，Pu和和Pd是表示是表示1.5年期債券在經(jīng)過(guò)了年期債券在經(jīng)過(guò)了0.5年之后的價(jià)

25、格，它當(dāng)時(shí)是年之后的價(jià)格，它當(dāng)時(shí)是1年期的零息債券，年期的零息債券，這兩個(gè)價(jià)格是未知的。我們很自然就想到使用風(fēng)這兩個(gè)價(jià)格是未知的。我們很自然就想到使用風(fēng)險(xiǎn)中性概率求取債券的期望值，并將其折算為市險(xiǎn)中性概率求取債券的期望值，并將其折算為市場(chǎng)價(jià)格。具體的樹狀圖如下。場(chǎng)價(jià)格。具體的樹狀圖如下。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的偏好，我們有依據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的偏好，我們有 解之得，解之得，q=0.632。風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 此時(shí)，此時(shí)，1.5年期零息債券價(jià)格的樹狀圖變?yōu)椋耗昶诹阆瘍r(jià)格的樹狀圖變?yōu)椋猴L(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 此時(shí)，我們可以使用此時(shí)，我

26、們可以使用“日期日期0”和和“日期日期1”兩組風(fēng)兩組風(fēng)險(xiǎn)中性概率，和利率的樹狀圖為含權(quán)債券定價(jià)了。險(xiǎn)中性概率，和利率的樹狀圖為含權(quán)債券定價(jià)了。例如，某例如，某1年期證券的到期價(jià)值有三種可能的結(jié)年期證券的到期價(jià)值有三種可能的結(jié)果：果：500、100、-10，該證券未來(lái)一年的樹狀圖，該證券未來(lái)一年的樹狀圖為，為，風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 “日期日期1-狀況狀況1”的價(jià)格為的價(jià)格為 “日期日期1-狀況狀況0”的價(jià)格為的價(jià)格為 “日期日期0”的價(jià)格為的價(jià)格為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)的擴(kuò)展 既然我們可以將風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型由既然我們可以將風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)模型由2期擴(kuò)展到期擴(kuò)展到3期，那么我們

27、應(yīng)當(dāng)可以將其擴(kuò)展至任何日期。計(jì)期，那么我們應(yīng)當(dāng)可以將其擴(kuò)展至任何日期。計(jì)算算(n+1)個(gè)半年期債券價(jià)格的步驟如下：個(gè)半年期債券價(jià)格的步驟如下： (1)取得當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu)，即取得當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu)，即r(0.5),r(1),r(1.5), r(2)r(n/2+0.5)；(2)設(shè)定設(shè)定6個(gè)月期利率在未來(lái)個(gè)月期利率在未來(lái)n期期的演變圖，換言之，就是的演變圖，換言之，就是“日期日期0”到到“日期日期n-1”之間的利率樹狀圖；之間的利率樹狀圖；(3)分別計(jì)算分別計(jì)算1年期、年期、1.5年年期期（n/2+0.5）年期零息債券價(jià)格的樹狀圖，以）年期零息債券價(jià)格的樹狀圖，以及所有相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率；及所有

28、相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率；(4)計(jì)算計(jì)算(n+1)個(gè)半個(gè)半年期的債券價(jià)格：由債券的到期價(jià)值依次往前推年期的債券價(jià)格：由債券的到期價(jià)值依次往前推算，其依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性概率。最終得到第算，其依據(jù)是風(fēng)險(xiǎn)中性概率。最終得到第0期的期的價(jià)格。價(jià)格。一年期即期利率的樹狀圖一年期即期利率的樹狀圖 根據(jù)前面所討論的根據(jù)前面所討論的1.5年期零息債券價(jià)格樹狀圖，我年期零息債券價(jià)格樹狀圖，我們可以計(jì)算們可以計(jì)算6個(gè)月之后所可能發(fā)生的兩個(gè)個(gè)月之后所可能發(fā)生的兩個(gè)1年期即期利年期即期利率。在率。在6個(gè)月之后，個(gè)月之后，1.5年期的債券將成為年期的債券將成為1年期的零年期的零息債券，它有兩個(gè)可能的價(jià)格：息債券，它有兩個(gè)可能的價(jià)

29、格：955.6376與與960.4493。這兩個(gè)價(jià)格蘊(yùn)含的。這兩個(gè)價(jià)格蘊(yùn)含的1年期利率為年期利率為4.59%與與4.08%，由于我們假定當(dāng)時(shí)的，由于我們假定當(dāng)時(shí)的1年期利率為年期利率為4.16%，因，因此，此，1年期利率的樹狀圖如下：年期利率的樹狀圖如下：?jiǎn)我灰蜃幽Ｐ偷娜毕輪我灰蜃幽Ｐ偷娜毕?實(shí)質(zhì)上，上述實(shí)質(zhì)上，上述6個(gè)月之后個(gè)月之后1年期即期利率之所以能年期即期利率之所以能夠推算出來(lái)，是因?yàn)楫?dāng)我們確定了夠推算出來(lái)，是因?yàn)楫?dāng)我們確定了6個(gè)月期利率個(gè)月期利率的樹狀圖之后，已經(jīng)隱含的假定所有固定收益證的樹狀圖之后，已經(jīng)隱含的假定所有固定收益證券的價(jià)格都可以由券的價(jià)格都可以由6個(gè)月期利率的演變所決定

30、。個(gè)月期利率的演變所決定。也就是說(shuō)，我們假定的每種可能狀況都完全取決也就是說(shuō)，我們假定的每種可能狀況都完全取決于該狀況的于該狀況的6個(gè)月期利率。個(gè)月期利率。 在多重因子模型在多重因子模型(multi-factor)中，我們可以假定中，我們可以假定所有證券的價(jià)格是取決于數(shù)種而不是一種隨機(jī)變所有證券的價(jià)格是取決于數(shù)種而不是一種隨機(jī)變量。例如，在量。例如，在Longstaff and Schwartz(1992)的的模型中，可能的狀況由短期利率水平及其波動(dòng)率模型中，可能的狀況由短期利率水平及其波動(dòng)率共同決定。共同決定。單一因子模型的缺陷單一因子模型的缺陷 單一因子模型的重大缺陷在于，由于單一因子單一

31、因子模型的重大缺陷在于，由于單一因子的隨機(jī)演變將決定所有證券的價(jià)格，所以各種的隨機(jī)演變將決定所有證券的價(jià)格，所以各種證券的報(bào)酬率之間具有完美的相關(guān)性。證券的報(bào)酬率之間具有完美的相關(guān)性。 就技術(shù)上而言，不同到期日的債券報(bào)酬率之間就技術(shù)上而言，不同到期日的債券報(bào)酬率之間雖然存在正向關(guān)聯(lián)，但并不完美。多因子模型雖然存在正向關(guān)聯(lián)，但并不完美。多因子模型就能夠做到這一點(diǎn)。然而，盡管多因子模型比就能夠做到這一點(diǎn)。然而，盡管多因子模型比較符合實(shí)際情況，但模型本身非常難以處理。較符合實(shí)際情況，但模型本身非常難以處理。因此，我們僅僅介紹比較單純的單一因子模型。因此，我們僅僅介紹比較單純的單一因子模型。時(shí)間階段的

32、縮短時(shí)間階段的縮短 將間隔時(shí)間縮短至將間隔時(shí)間縮短至6個(gè)月以下，在建構(gòu)利率個(gè)月以下，在建構(gòu)利率樹狀圖時(shí)，僅僅涉及技術(shù)性而不是觀念性樹狀圖時(shí)，僅僅涉及技術(shù)性而不是觀念性的調(diào)整。的調(diào)整。 首先，利率期限結(jié)構(gòu)的資料必須對(duì)應(yīng)于模首先，利率期限結(jié)構(gòu)的資料必須對(duì)應(yīng)于模型所選定的時(shí)間階段。型所選定的時(shí)間階段。 其次，利率樹狀圖中所演變的利率也必須其次，利率樹狀圖中所演變的利率也必須對(duì)應(yīng)階段的時(shí)間。對(duì)應(yīng)階段的時(shí)間。時(shí)間階段的選擇時(shí)間階段的選擇 這必然導(dǎo)致另一個(gè)問(wèn)題，即時(shí)間階段如何這必然導(dǎo)致另一個(gè)問(wèn)題，即時(shí)間階段如何選擇？選擇？ 第一，時(shí)間階段越短，耗時(shí)越長(zhǎng)；第一，時(shí)間階段越短，耗時(shí)越長(zhǎng)； 第二，計(jì)算證券涉及的

33、步驟越多，數(shù)據(jù)上第二，計(jì)算證券涉及的步驟越多，數(shù)據(jù)上的處理越需要留意，例如：四舍五入。的處理越需要留意，例如：四舍五入。 最理想的時(shí)間階段取決于所處理的問(wèn)題。最理想的時(shí)間階段取決于所處理的問(wèn)題。 比較精密的模型，允許樹狀圖有數(shù)種時(shí)間比較精密的模型，允許樹狀圖有數(shù)種時(shí)間階段，以便在精密性與方便性之間取得最階段，以便在精密性與方便性之間取得最佳的均衡。佳的均衡。期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)利率模型利率模型 到目前為止，我們已經(jīng)知道，根據(jù)當(dāng)時(shí)的到目前為止，我們已經(jīng)知道，根據(jù)當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu)，并假設(shè)短期利率的演變過(guò)利率期限結(jié)構(gòu)，并假設(shè)短期利率的演變過(guò)程，我們就可以為利率期權(quán)定價(jià)了。程，我們就

34、可以為利率期權(quán)定價(jià)了。 這一方法的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相互協(xié)調(diào)而不矛盾，這一方法的內(nèi)部結(jié)構(gòu)相互協(xié)調(diào)而不矛盾，但價(jià)格的精確性則取決于利率模型的假設(shè)。但價(jià)格的精確性則取決于利率模型的假設(shè)。而如何假設(shè)短期利率的演變過(guò)程則更像是而如何假設(shè)短期利率的演變過(guò)程則更像是一門藝術(shù)。一門藝術(shù)。 從這里開始，我們將介紹業(yè)內(nèi)人士如何擬從這里開始，我們將介紹業(yè)內(nèi)人士如何擬定假設(shè)，借以創(chuàng)造可靠的期限結(jié)構(gòu)。定假設(shè)，借以創(chuàng)造可靠的期限結(jié)構(gòu)。期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)期限結(jié)構(gòu)模型的藝術(shù)利率模型利率模型 利率模型分為兩類：無(wú)套利模型利率模型分為兩類：無(wú)套利模型(arbitrage-free model)和均衡模型和均衡模型(equilibrium

35、 model)。 前者是指利用當(dāng)前的債券市場(chǎng)價(jià)格推導(dǎo)出短期利率的演前者是指利用當(dāng)前的債券市場(chǎng)價(jià)格推導(dǎo)出短期利率的演變過(guò)程，因此，無(wú)套利機(jī)會(huì)模型推導(dǎo)出的結(jié)果必須符合變過(guò)程，因此，無(wú)套利機(jī)會(huì)模型推導(dǎo)出的結(jié)果必須符合當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu)。當(dāng)時(shí)的利率期限結(jié)構(gòu)。 后者則不同，它并不認(rèn)為債券的市場(chǎng)價(jià)格必然合理。從后者則不同，它并不認(rèn)為債券的市場(chǎng)價(jià)格必然合理。從基本方面來(lái)說(shuō)，均衡模型是根據(jù)當(dāng)時(shí)的期限結(jié)構(gòu)來(lái)推導(dǎo)基本方面來(lái)說(shuō)，均衡模型是根據(jù)當(dāng)時(shí)的期限結(jié)構(gòu)來(lái)推導(dǎo)出期望報(bào)酬所具有的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。均衡模型一般先對(duì)經(jīng)濟(jì)出期望報(bào)酬所具有的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。均衡模型一般先對(duì)經(jīng)濟(jì)變量做假設(shè)，并推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于短期利率的演變過(guò)程，變量做假設(shè)，

36、并推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于短期利率的演變過(guò)程，然后再得出對(duì)債券價(jià)格與期權(quán)價(jià)格的影響。然后再得出對(duì)債券價(jià)格與期權(quán)價(jià)格的影響。 簡(jiǎn)而言之，在均衡模型中，利率的演變過(guò)程是模型輸出簡(jiǎn)而言之，在均衡模型中，利率的演變過(guò)程是模型輸出的結(jié)果；在無(wú)套利模型中，今天的利率期限結(jié)構(gòu)是作為的結(jié)果；在無(wú)套利模型中，今天的利率期限結(jié)構(gòu)是作為輸入值來(lái)使用的。輸入值來(lái)使用的。利率模型利率模型無(wú)套利模型無(wú)套利模型 從上一章可以看出，股票價(jià)格變動(dòng)參數(shù)的設(shè)定決從上一章可以看出，股票價(jià)格變動(dòng)參數(shù)的設(shè)定決定了股票期權(quán)二叉樹中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，同理，定了股票期權(quán)二叉樹中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率，同理，短期利率的演變過(guò)程參數(shù)的設(shè)定也將決定利率二短期利率的演變

37、過(guò)程參數(shù)的設(shè)定也將決定利率二叉樹中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。叉樹中的風(fēng)險(xiǎn)中性概率。 通常情況下，我們會(huì)假定利率變化服從某一分布通常情況下，我們會(huì)假定利率變化服從某一分布過(guò)程，然后，通過(guò)無(wú)套利的方法來(lái)確定這一分布過(guò)程，然后，通過(guò)無(wú)套利的方法來(lái)確定這一分布過(guò)程中的參數(shù)。過(guò)程中的參數(shù)。 注意到，我們可以通過(guò)將風(fēng)險(xiǎn)中性概率設(shè)為注意到，我們可以通過(guò)將風(fēng)險(xiǎn)中性概率設(shè)為0.5，從而方便我們后來(lái)的計(jì)算，但此時(shí)隨機(jī)游走過(guò)程從而方便我們后來(lái)的計(jì)算，但此時(shí)隨機(jī)游走過(guò)程中的參數(shù)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。這些參數(shù)必須滿中的參數(shù)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。這些參數(shù)必須滿足均值和方差的要求。足均值和方差的要求。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子一個(gè)簡(jiǎn)單的例子r0r1

38、,Lr1,Hr2,HHr3,HLLr3,HHLr2,LLr3,HHHr2,HLr3,LLL一個(gè)簡(jiǎn)單的例子一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 表示整個(gè)期間內(nèi)表示整個(gè)期間內(nèi)1年期利率波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差；年期利率波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差； r1,H表示在第表示在第1年底較高的年底較高的1年期即期利率；年期即期利率； r1,L表示在第表示在第1年底較低的年底較低的1年期即期利率；年期即期利率； 由于我們假設(shè)了利率的變化服從對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走過(guò)程，由于我們假設(shè)了利率的變化服從對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走過(guò)程，這兩者的關(guān)系就是：這兩者的關(guān)系就是： r1,H=r1,Le2 同理有同理有 r2,HH=r2,LLe4; r2,HL=r2,LLe2 r3,HHH=

39、r3,LLLe6; r3,HHL=r3,LLLe4; r3,HLL=r3,LLLe2 因此，我們?cè)诿恳浑A段只需要計(jì)算出最低利率即可。因此，我們?cè)诿恳浑A段只需要計(jì)算出最低利率即可。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 假定市場(chǎng)上存在四種債券，四種債券都是按照面假定市場(chǎng)上存在四種債券，四種債券都是按照面值銷售，因此債券的到期收益率等于其票面利率。值銷售，因此債券的到期收益率等于其票面利率。同時(shí)假設(shè)這兩種債券是按年付息，同時(shí)假設(shè)這兩種債券是按年付息，=10%。有關(guān)。有關(guān)信息如下表信息如下表期限到期收益率市場(chǎng)價(jià)格即期利率13.51003.500024.21004.214734.71004.734545.210

40、05.2707一個(gè)簡(jiǎn)單的例子一個(gè)簡(jiǎn)單的例子1003.5%VL4.2VH4.21004.21004.21004.2一個(gè)簡(jiǎn)單的例子一個(gè)簡(jiǎn)單的例子 VH=(100+4.2)/(1+r1e2) VL=(100+4.2)/(1+r1) 100=1/2*(VH+4.2)/(1+r0)+(VL+4.2)/(1+r0) 解之得，解之得，r1=4.4448% 重復(fù)上面的步驟，我們可以得到重復(fù)上面的步驟，我們可以得到r2,r3,r4rt。“Ho-Lee”模型模型 Ho and Lee(1986)第一次提出了關(guān)于期限結(jié)構(gòu)的第一次提出了關(guān)于期限結(jié)構(gòu)的無(wú)套利模型，在該模型中，短期利率的二項(xiàng)式變無(wú)套利模型，在該模型中，短

41、期利率的二項(xiàng)式變動(dòng)如下：動(dòng)如下： 也就是說(shuō)，新的短期利率是前一期的短期利率，也就是說(shuō)，新的短期利率是前一期的短期利率，加上某常數(shù)乘以時(shí)間階段，再加上或減去某一個(gè)加上某常數(shù)乘以時(shí)間階段，再加上或減去某一個(gè)常數(shù)乘以時(shí)間階段的平方根。前者稱之為趨勢(shì)變常數(shù)乘以時(shí)間階段的平方根。前者稱之為趨勢(shì)變量量(drift)，后者稱之為隨機(jī)偏離，后者稱之為隨機(jī)偏離(random deviation)?！癏o-Lee”模型模型 在這里波動(dòng)率和利率都是以基點(diǎn)的形式表在這里波動(dòng)率和利率都是以基點(diǎn)的形式表示的，所以波動(dòng)率示的，所以波動(dòng)率()也稱為基點(diǎn)波動(dòng)率。也稱為基點(diǎn)波動(dòng)率。“Ho-Lee”模型模型 剩下的工作就如前面的那

42、個(gè)簡(jiǎn)單例子一樣剩下的工作就如前面的那個(gè)簡(jiǎn)單例子一樣了，即確定參數(shù)了，即確定參數(shù)m和和的數(shù)值。的數(shù)值。 波動(dòng)率闡述波動(dòng)率闡述是用來(lái)取得期權(quán)的是用來(lái)取得期權(quán)的“理想理想”價(jià)價(jià)格，它的數(shù)值可以根據(jù)利率波動(dòng)率的某種格，它的數(shù)值可以根據(jù)利率波動(dòng)率的某種看法、歷史資料或某種隱含的方法來(lái)設(shè)定?？捶?、歷史資料或某種隱含的方法來(lái)設(shè)定。 下面我將簡(jiǎn)單的介紹一下如何使用歷史資下面我將簡(jiǎn)單的介紹一下如何使用歷史資料來(lái)確定波動(dòng)率的方法。料來(lái)確定波動(dòng)率的方法。波動(dòng)率波動(dòng)率 波動(dòng)率是利率模型的關(guān)鍵因素，我們可以用波動(dòng)率是利率模型的關(guān)鍵因素，我們可以用標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示波動(dòng)率。標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示波動(dòng)率。 用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)波動(dòng)率用歷史數(shù)據(jù)估

43、計(jì)波動(dòng)率 a) 選擇到期收益率的歷史數(shù)據(jù)（每天）選擇到期收益率的歷史數(shù)據(jù)（每天） b) 計(jì)算到期收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算到期收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差 c) 乘以乘以 365 (或或 250 )，得到年的波動(dòng)率，得到年的波動(dòng)率TtttTrErVar121)(“Ho-Lee”模型模型 讓我們重新用回前面的半年期債券的例子。假定讓我們重新用回前面的半年期債券的例子。假定等于等于0.45%，那么，那么6個(gè)月期（一個(gè)階段）的波動(dòng)率個(gè)月期（一個(gè)階段）的波動(dòng)率為，為， 6個(gè)月期和個(gè)月期和1年期的即期利率分別為年期的即期利率分別為3.99%、4.16%，因此，因此，1年期零息債券的樹狀圖應(yīng)當(dāng)為，年期零息債券的樹狀圖應(yīng)

44、當(dāng)為，“Ho-Lee”模型模型 此時(shí)，使用利率二叉樹模型估計(jì)出的價(jià)格必須等此時(shí)，使用利率二叉樹模型估計(jì)出的價(jià)格必須等于于1年期零息債券的價(jià)格，因此有年期零息債券的價(jià)格，因此有 解之得，解之得，m=0.342089%。將這一數(shù)值代入到利率。將這一數(shù)值代入到利率樹狀圖中，可得樹狀圖中，可得20399. 012%318198.2/%99. 3115 . 02%318198. 02/%99. 3115 . 0959663. 0mm“Ho-Lee”模型模型 同樣的，我們將利率樹狀圖延伸一期，同樣的，我們將利率樹狀圖延伸一期，Ho-Lee模型假定了波動(dòng)率保持不變，因此有模型假定了波動(dòng)率保持不變，因此有“H

45、o-Lee”模型模型 依據(jù)先前推演的數(shù)據(jù)，我們可以得到下圖依據(jù)先前推演的數(shù)據(jù)，我們可以得到下圖 假定假定1.5年期零息債券的即期利率為年期零息債券的即期利率為4.33%，1.5年期零息年期零息債券的價(jià)格為債券的價(jià)格為0.937764，那么，那么1.5年期零息債券的價(jià)格樹年期零息債券的價(jià)格樹狀圖應(yīng)當(dāng)為如下。狀圖應(yīng)當(dāng)為如下。“Ho-Lee”模型模型“Ho-Lee”模型模型 對(duì)于一個(gè)對(duì)于一個(gè)1.5年期的零息債券來(lái)說(shuō)，模型的定價(jià)必須等于年期的零息債券來(lái)說(shuō)，模型的定價(jià)必須等于市場(chǎng)價(jià)格，因此有市場(chǎng)價(jià)格，因此有 解之得，解之得，m=1.36176%，帶入，帶入6個(gè)月期的利率樹狀圖可得個(gè)月期的利率樹狀圖可得“

46、Ho-Lee”模型模型 依次類推，我們得到任何利率期間的樹狀圖。但依次類推，我們得到任何利率期間的樹狀圖。但該模型也存在一些缺點(diǎn)。該模型也存在一些缺點(diǎn)。 第一個(gè)缺點(diǎn)就是該模型的正態(tài)分布假設(shè)，這將導(dǎo)第一個(gè)缺點(diǎn)就是該模型的正態(tài)分布假設(shè)，這將導(dǎo)致利率可能為負(fù)值：當(dāng)負(fù)值的隨機(jī)沖擊相當(dāng)大時(shí)，致利率可能為負(fù)值：當(dāng)負(fù)值的隨機(jī)沖擊相當(dāng)大時(shí)，利率可能為負(fù)值。某些業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為這是一個(gè)嚴(yán)利率可能為負(fù)值。某些業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為這是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤，但另一些人則認(rèn)為，只要模型能夠理重的錯(cuò)誤，但另一些人則認(rèn)為，只要模型能夠理想的定價(jià)，不需過(guò)分在意這一點(diǎn)。想的定價(jià)，不需過(guò)分在意這一點(diǎn)。 第二個(gè)缺點(diǎn)是短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率不受利率水第

47、二個(gè)缺點(diǎn)是短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率不受利率水平的影響。而業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為，當(dāng)利率水平比較高平的影響。而業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為，當(dāng)利率水平比較高時(shí)，短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率應(yīng)該比較大。但這也時(shí)，短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率應(yīng)該比較大。但這也不是一個(gè)公認(rèn)的現(xiàn)象。不是一個(gè)公認(rèn)的現(xiàn)象。所羅門兄弟模型所羅門兄弟模型 所羅門兄弟模型彌補(bǔ)了所羅門兄弟模型彌補(bǔ)了Ho-Lee模型的一些缺陷，如使用模型的一些缺陷，如使用對(duì)數(shù)正態(tài)分布取代了正態(tài)分布，這保證了利率值不可能為對(duì)數(shù)正態(tài)分布取代了正態(tài)分布，這保證了利率值不可能為負(fù)；同時(shí)，短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率將與利率水平成比例，負(fù)；同時(shí)，短期利率的基點(diǎn)波動(dòng)率將與利率水平成比例，也就是說(shuō)基點(diǎn)波動(dòng)率等于比例

48、波動(dòng)率乘以利率。短期利率也就是說(shuō)基點(diǎn)波動(dòng)率等于比例波動(dòng)率乘以利率。短期利率的演變過(guò)程如下：的演變過(guò)程如下：所羅門兄弟模型所羅門兄弟模型 如果對(duì)樹狀圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)取自然對(duì)數(shù)，則有如果對(duì)樹狀圖中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)取自然對(duì)數(shù)，則有 換言之，短期利率的自然對(duì)數(shù)呈正態(tài)分布。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，換言之，短期利率的自然對(duì)數(shù)呈正態(tài)分布。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，某種隨機(jī)變量的自然對(duì)數(shù)呈現(xiàn)正態(tài)分布，該隨機(jī)變量本身某種隨機(jī)變量的自然對(duì)數(shù)呈現(xiàn)正態(tài)分布，該隨機(jī)變量本身呈現(xiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布。呈現(xiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布。所羅門兄弟模型所羅門兄弟模型 我們使用與前面完全相同的計(jì)算方法可以得到模型的參數(shù)，我們使用與前面完全相同的計(jì)算方法可以得到模型的參數(shù)，進(jìn)而得到各時(shí)

49、間段的短期利率的演變過(guò)程。但是這一模型進(jìn)而得到各時(shí)間段的短期利率的演變過(guò)程。但是這一模型同樣具有缺陷。同樣具有缺陷。 與與Ho-Lee模型一樣，原始的所羅門兄弟模型對(duì)短期利率模型一樣，原始的所羅門兄弟模型對(duì)短期利率波動(dòng)率也提出的假設(shè)，只不過(guò)這一假設(shè)是隱含的而已。如波動(dòng)率也提出的假設(shè)，只不過(guò)這一假設(shè)是隱含的而已。如果果6個(gè)月期利率的比例波動(dòng)率為個(gè)月期利率的比例波動(dòng)率為12%，則使用所羅門模型，則使用所羅門模型所隱含的波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)計(jì)算得到的所隱含的波動(dòng)率期限結(jié)構(gòu)計(jì)算得到的30年期利率的波動(dòng)率年期利率的波動(dòng)率將降至將降至10.5%。就實(shí)際觀察而言，波動(dòng)率的期限結(jié)構(gòu)，期。就實(shí)際觀察而言，波動(dòng)率的期限

50、結(jié)構(gòu)，期斜率確實(shí)是下降的，但下降的速度快于所羅門兄弟模型所斜率確實(shí)是下降的，但下降的速度快于所羅門兄弟模型所蘊(yùn)含的速度。蘊(yùn)含的速度。Black-Derman-Toy模型模型 和所羅門兄弟模型相比，這一模型的最主和所羅門兄弟模型相比，這一模型的最主要的優(yōu)點(diǎn)是可以反映利率期限結(jié)構(gòu)的實(shí)際要的優(yōu)點(diǎn)是可以反映利率期限結(jié)構(gòu)的實(shí)際波動(dòng)情況。這是因?yàn)?，它假設(shè)短期利率波波動(dòng)情況。這是因?yàn)?，它假設(shè)短期利率波動(dòng)率動(dòng)率隨時(shí)間而變動(dòng)，且利率的趨勢(shì)變量隨時(shí)間而變動(dòng)，且利率的趨勢(shì)變量m將受到利率水準(zhǔn)的影響。將受到利率水準(zhǔn)的影響。 業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為，利率水平偏高時(shí)，它的趨業(yè)內(nèi)人士認(rèn)為，利率水平偏高時(shí)，它的趨勢(shì)變量相對(duì)較小，甚至為

51、負(fù)值，而當(dāng)利率勢(shì)變量相對(duì)較小，甚至為負(fù)值，而當(dāng)利率水平偏低時(shí)，趨勢(shì)變量相對(duì)較大。也就是水平偏低時(shí)，趨勢(shì)變量相對(duì)較大。也就是說(shuō)具有所謂的均值復(fù)歸現(xiàn)象。說(shuō)具有所謂的均值復(fù)歸現(xiàn)象。Black-Derman-Toy模型模型 BDT模型具有如下的結(jié)構(gòu)：模型具有如下的結(jié)構(gòu)： 為了保證樹狀圖時(shí)結(jié)合的，我們一般假定為了保證樹狀圖時(shí)結(jié)合的，我們一般假定 這相當(dāng)于假定，這相當(dāng)于假定，其他的利率模型其他的利率模型 同樣的是，同樣的是，BDT模型也并非是完美無(wú)缺的，它也模型也并非是完美無(wú)缺的，它也存在很多缺陷，后續(xù)的模型也對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。存在很多缺陷，后續(xù)的模型也對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。無(wú)套利的利率模型還有，無(wú)套利的利率模型

52、還有， Black and Karasinski(1990)模型模型 Hull and White(1990)模型模型 等等 利率模型中的均衡模型有利率模型中的均衡模型有 Vasicek(1977)模型模型 Rendleman and Bartter(1980)模型模型 Cox, Ingersoll and Ross(1985)模型模型 等等無(wú)套利模型和均衡模型的比較無(wú)套利模型和均衡模型的比較 取得模型所需要的資料取得模型所需要的資料 無(wú)套利模型需要即期利率期限結(jié)構(gòu)的資料，相無(wú)套利模型需要即期利率期限結(jié)構(gòu)的資料，相對(duì)容易取得；均衡模型需要以某種方法來(lái)衡量對(duì)容易取得；均衡模型需要以某種方法來(lái)衡量

53、投資者承擔(dān)利率風(fēng)險(xiǎn)所需要的報(bào)酬，難以取得。投資者承擔(dān)利率風(fēng)險(xiǎn)所需要的報(bào)酬，難以取得。 對(duì)資料瑕疵的敏感程度對(duì)資料瑕疵的敏感程度 無(wú)套利機(jī)構(gòu)模型將利率期限結(jié)構(gòu)視為合理，但無(wú)套利機(jī)構(gòu)模型將利率期限結(jié)構(gòu)視為合理，但事實(shí)上，市場(chǎng)報(bào)價(jià)并不必然合理，這可能是由事實(shí)上，市場(chǎng)報(bào)價(jià)并不必然合理，這可能是由于計(jì)算上的錯(cuò)誤、流動(dòng)性限制或其他特殊因素于計(jì)算上的錯(cuò)誤、流動(dòng)性限制或其他特殊因素所造成。均衡模型則能剔除這類有問(wèn)題的價(jià)格。所造成。均衡模型則能剔除這類有問(wèn)題的價(jià)格。無(wú)套利模型和均衡模型的比較無(wú)套利模型和均衡模型的比較 運(yùn)用模型來(lái)交易現(xiàn)金流量固定的債券運(yùn)用模型來(lái)交易現(xiàn)金流量固定的債券 無(wú)套利模型認(rèn)為所有債券的價(jià)格

54、都是正確的，因此認(rèn)無(wú)套利模型認(rèn)為所有債券的價(jià)格都是正確的，因此認(rèn)為任何策略都無(wú)利可圖；而均衡模型并不認(rèn)為現(xiàn)有債為任何策略都無(wú)利可圖；而均衡模型并不認(rèn)為現(xiàn)有債券價(jià)格必然合理，因此可以被應(yīng)用。券價(jià)格必然合理，因此可以被應(yīng)用。 運(yùn)用模型來(lái)交易衍生性合約運(yùn)用模型來(lái)交易衍生性合約 指買進(jìn)或賣出衍生性合約，同時(shí)運(yùn)用根本正貨或其他指買進(jìn)或賣出衍生性合約，同時(shí)運(yùn)用根本正貨或其他衍生性合約來(lái)規(guī)避頭寸的風(fēng)險(xiǎn)。這種策略的獲利只需衍生性合約來(lái)規(guī)避頭寸的風(fēng)險(xiǎn)。這種策略的獲利只需要知道相對(duì)定價(jià)錯(cuò)誤即可。而無(wú)套利模型可以很好的要知道相對(duì)定價(jià)錯(cuò)誤即可。而無(wú)套利模型可以很好的滿足這一需求，但均衡模型則需要同時(shí)計(jì)算兩種策略滿足這

55、一需求，但均衡模型則需要同時(shí)計(jì)算兩種策略的值，因此相對(duì)不合理。的值，因此相對(duì)不合理。無(wú)套利模型和均衡模型的比較無(wú)套利模型和均衡模型的比較 模型的持續(xù)性模型的持續(xù)性 每當(dāng)運(yùn)用的時(shí)候，無(wú)套利機(jī)會(huì)模型需要假設(shè)趨每當(dāng)運(yùn)用的時(shí)候，無(wú)套利機(jī)會(huì)模型需要假設(shè)趨勢(shì)變量、波動(dòng)率與利率回歸均值的行為。但是勢(shì)變量、波動(dòng)率與利率回歸均值的行為。但是不同的運(yùn)用日期，模型的參數(shù)都需要相應(yīng)的變不同的運(yùn)用日期，模型的參數(shù)都需要相應(yīng)的變化。而均衡模型是根據(jù)歷史資料或某種堅(jiān)定的化。而均衡模型是根據(jù)歷史資料或某種堅(jiān)定的信念來(lái)設(shè)定參數(shù)，所以模型的參數(shù)不會(huì)發(fā)生變信念來(lái)設(shè)定參數(shù)，所以模型的參數(shù)不會(huì)發(fā)生變化。均有內(nèi)部的一致性。化。均有內(nèi)部的

56、一致性。無(wú)套利模型和均衡模型的比較無(wú)套利模型和均衡模型的比較給頂、底、互換選擇權(quán)和可轉(zhuǎn)換債給頂、底、互換選擇權(quán)和可轉(zhuǎn)換債券定價(jià)券定價(jià) 我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了利率二叉樹的風(fēng)險(xiǎn)中我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了利率二叉樹的風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理，也理解了利率二叉樹的構(gòu)建性定價(jià)原理，也理解了利率二叉樹的構(gòu)建過(guò)程。從這里開始，我們可以給各種利率過(guò)程。從這里開始，我們可以給各種利率期權(quán)定價(jià)了，下面的內(nèi)容包括：期權(quán)定價(jià)了，下面的內(nèi)容包括： 頂與底頂與底 互換選擇權(quán)互換選擇權(quán) 可轉(zhuǎn)換債券可轉(zhuǎn)換債券頂與底頂與底 利率的頂是一個(gè)選擇權(quán)，它限制住了浮動(dòng)利率負(fù)利率的頂是一個(gè)選擇權(quán)，它限制住了浮動(dòng)利率負(fù)債所支付的最高利率水平。債所支付的最高

57、利率水平。 利率的底是一個(gè)選擇權(quán)，它限制住了浮動(dòng)利率負(fù)利率的底是一個(gè)選擇權(quán)，它限制住了浮動(dòng)利率負(fù)債所支付的最低利率水平。債所支付的最低利率水平。 頂和底可以：頂和底可以： 脫離貸款本身，可以通過(guò)單獨(dú)交易來(lái)獲得。脫離貸款本身，可以通過(guò)單獨(dú)交易來(lái)獲得。 與證券相連，其價(jià)格體現(xiàn)在了證券的利率當(dāng)中與證券相連，其價(jià)格體現(xiàn)在了證券的利率當(dāng)中。頂與底頂與底 一個(gè)頂可以被理解為關(guān)于浮動(dòng)利率一個(gè)頂可以被理解為關(guān)于浮動(dòng)利率R的一串的一串call options。 一個(gè)底可以被理解為關(guān)于浮動(dòng)利率一個(gè)底可以被理解為關(guān)于浮動(dòng)利率R的一串的一串put options。 頂和底被分離出來(lái)的部分被稱為頂和底被分離出來(lái)的部分被

58、稱為 “caplets”, “floorlets” 頂?shù)挠濏數(shù)挠?= 本金本金 期限期限 maxRt - Rk, 0 Rt = t 期的利率期的利率 Rk = cap rate 注意是你購(gòu)買了頂，給你帶來(lái)的利益，而不是實(shí)際支注意是你購(gòu)買了頂，給你帶來(lái)的利益，而不是實(shí)際支付的利率！付的利率！例例: 給給Cap定價(jià)定價(jià) Cap rate 5.2%, 名義數(shù)量名義數(shù)量:$10,000,000, 支付支付頻率頻率:年年 利率變化利率變化r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.531

59、2%rudd=6.1660%rddd=5.0483%例例: Value of the year 1 caplet 22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%) 11,058=0.5(22,890+0)/1.03511,058r0=3.5%22,890ru=5.4289%0rd=4.4448%例例: Value of the year 2 caplet66,009r0=3.5%111,008ru=5.4289%0rdd=4.6958%53,540rud=5.7354%180,530ruu=7.0053%25,631rd=4.4448%例例: Value of the year

60、3 caplet150,214r0=3.5%214,217ru=5.4289%96,726rd=4.4448%295,775ruu=7.0053%155,918rud=5.7354%46,134rdd=4.6958%399,870ruuu=9.1987%233,120ruud=7.5312%96,600rudd=6.1660%0rddd=5.0483%例例: Value of Cap Value of cap = value of caplet 1+ value of caplet 2 + value of caplet =11,058+66,009+150,214 =227,281例例: 給