有限元法發(fā)展綜述及其特點(diǎn)(共9頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上數(shù) 值 分 析 結(jié) 課 論 文有限元的發(fā)展歷程及其特點(diǎn)論文題目：有限元的發(fā)展歷程及其特點(diǎn)學(xué) 院: 專 業(yè)：學(xué) 號(hào)：姓 名：有限元法發(fā)展綜述及其特點(diǎn)摘要：1965年“有限元”這個(gè)名詞第一次出現(xiàn)，到今天有限元在工程上得到廣泛應(yīng)用，經(jīng)歷了三十多年的發(fā)展歷史，理論和算法都已經(jīng)日趨完善。有限元的核心思想是結(jié)構(gòu)的離散化，就是將實(shí)際結(jié)構(gòu)假想地離散為有限數(shù)目的規(guī)則單元組合體，實(shí)際結(jié)構(gòu)的物理性能可以通過對(duì)離散體進(jìn)行分析，得出滿足工程精度的近似結(jié)果來(lái)替代對(duì)實(shí)際結(jié)構(gòu)的分析，這樣可以解決很多實(shí)際工程需要解決而理論分析又無(wú)法解決的復(fù)雜問題。關(guān)鍵詞：有限元，積分法，加權(quán)余值法，邊值，伽遼金(Ga

2、lerkin)法。引言有限元法是一種高效能、常用的計(jì)算方法有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來(lái)的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場(chǎng)中（這類場(chǎng)與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來(lái)，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場(chǎng)中，而不再要求這類物理場(chǎng)和泛函的極值問題有所聯(lián)系 有限元法的孕育過程及誕生和發(fā)展大約在300年前，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運(yùn)算具有整體對(duì)局部的可加性。雖然，積分運(yùn)算與有限元技術(shù)對(duì)定義域的劃分是不同的，前者進(jìn)行

3、無(wú)限劃分而后者進(jìn)行有限劃分，但積分運(yùn)算為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了一個(gè)理論基礎(chǔ)。在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學(xué)家高斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法。這兩項(xiàng)成果的前者被用來(lái)將微分方程改寫為積分表達(dá)式，后者被用來(lái)求解有限元法所得出的代數(shù)方程組。在18世紀(jì)，另一位數(shù)學(xué)家拉格郎日提出泛函分析。泛函分析是將偏微分方程改寫為積分表達(dá)式的另一途經(jīng)。在19世紀(jì)末及20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家瑞雷和里茲首先提出可對(duì)全定義域運(yùn)用展開函數(shù)來(lái)表達(dá)其上的未知函數(shù)。1915年，數(shù)學(xué)家伽遼金提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金法，該方法被廣泛地用于有限元。1943年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽丝稍诙x域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來(lái)表達(dá)其上的

4、未知函數(shù)。這實(shí)際上就是有限元的做法。所以，到這時(shí)為止，實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)的第二個(gè)理論基礎(chǔ)也已確立。20世紀(jì)50年代，飛機(jī)設(shè)計(jì)師們發(fā)現(xiàn)無(wú)法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分析飛機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。波音公司的一個(gè)技術(shù)小組，首先將連續(xù)體的機(jī)翼離散為三角形板塊的集合來(lái)進(jìn)行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得前述的兩個(gè)離散的成功。20世紀(jì)50年代，大型電子計(jì)算機(jī)投入了解算大型代數(shù)方程組的工作，這為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了物質(zhì)條件。1960年前后，美國(guó)的R.W.Clough教授及我國(guó)的馮康教授分別獨(dú)立地在論文中提出了“有限單元”，這樣的名詞。此后，這樣的叫法被大家接受，有限元技術(shù)從此正式誕生。1990年10月美國(guó)波音公司開始在計(jì)算機(jī)

5、上對(duì)新型客機(jī)B777進(jìn)行“無(wú)紙?jiān)O(shè)計(jì)”，僅用了三年半時(shí)間，于1994年4月第一架B777就試飛成功，這是制造技術(shù)史上劃時(shí)代的成就，其中在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和評(píng)判中就大量采用有限元分析這一手段。 在有限元分析的發(fā)展初期，由于其基本思想和原理的“簡(jiǎn)單”和“樸素”，以至于許多學(xué)術(shù)權(quán)威都對(duì)其學(xué)術(shù)價(jià)值有所鄙視，國(guó)際著名刊物Journal of Applied Mechanics 許多年來(lái)都拒絕刊登有關(guān)于有限元分析的文章。然而現(xiàn)在，有限元分析已經(jīng)成為數(shù)值計(jì)算的主流，不但國(guó)際上存在如ANSYS等數(shù)種通用有限元分析軟件，而且涉及到有限元分析的雜志也有幾十種之多。和特點(diǎn)有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的

6、近似性僅限于相對(duì)小的子域中。20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。有限元方法（FEM）的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元

7、內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式 ，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來(lái)隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來(lái)逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計(jì)算方法是由變分

8、法和加權(quán)余量法發(fā)展而來(lái)的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來(lái)說(shuō)，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來(lái)劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形 網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來(lái)劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合 同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最小；在配置法中，先在計(jì)算域 內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置

9、點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無(wú)因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無(wú)因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長(zhǎng)度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來(lái)四邊形等參元的應(yīng)用也越來(lái)越廣。對(duì)于二維三

10、角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。對(duì)于有限元方法，其解題步驟可歸納為 ： 1.建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。   2.區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還

11、需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。 3.確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元 具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 4.單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將 近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn) 的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。5.總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。 6.邊界條件的處理：一般

12、邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。  7.解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。三、有限元的應(yīng)用及其發(fā)展趨勢(shì)有限元的應(yīng)用范圍也是相當(dāng)?shù)膹V的。它涉及到工程結(jié)構(gòu)、傳熱、流體運(yùn)動(dòng)、電磁等連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)分析中，并在氣象、地球物理、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到應(yīng)用和發(fā)展。電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展是有限元法在許多

13、實(shí)際問題中的應(yīng)用變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)，并具有廣闊的前景。國(guó)際上早20世紀(jì)在50年代末、60年代初就投入大量的人力和物力開發(fā)具有強(qiáng)大功能的有限元分析程序。其中最為著名的是由美國(guó)國(guó)家宇航局(NASA)在1965年委托美國(guó)計(jì)算科學(xué)公司和貝爾航空系統(tǒng)公司開發(fā)的NASTRAN有限元分析系統(tǒng)。該系統(tǒng)發(fā)展至今已有幾十個(gè)版本,是目前世界上規(guī)模最大、功能最強(qiáng)的有限元分析系統(tǒng)。從那時(shí)到現(xiàn)在,世界各地的研究機(jī)構(gòu)和大學(xué)也發(fā)展了一批規(guī)模較小但使用靈活、價(jià)格較低的專用或通用有限元分析軟件,主要有德國(guó)的ASKA、英國(guó)的PAFEC、法國(guó)的SYSTUS、美國(guó)的ABQUS、ADINA、ANSYS、BERSAFE、BOSOR、COSMOS、E

14、LAS、MARC和STARDYNE等公司的產(chǎn)品。當(dāng)今國(guó)際上FEA方法和軟件發(fā)展呈現(xiàn)出以下一些趨勢(shì)特征: 1.從單純的結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算發(fā)展到求解許多物理場(chǎng)問題 有限元分析方法最早是從結(jié)構(gòu)化矩陣分析發(fā)展而來(lái),逐步推廣到板、殼和實(shí)體等連續(xù)體固體力學(xué)分析,實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法。而且從理論上也已經(jīng)證明,只要用于離散求解對(duì)象的單元足夠小,所得的解就可足夠逼近于精確值。所以近年來(lái)有限元方法已發(fā)展到流體力學(xué)、溫度場(chǎng)、電傳導(dǎo)、磁場(chǎng)、滲流和聲場(chǎng)等問題的求解計(jì)算,最近又發(fā)展到求解幾個(gè)交叉學(xué)科的問題。例如當(dāng)氣流流過一個(gè)很高的鐵塔時(shí)就會(huì)使鐵塔產(chǎn)生變形,而塔的變形又反過來(lái)影響到氣流的流動(dòng)這就需要用固體力學(xué)和

15、流體動(dòng)力學(xué)的有限元分析結(jié)果交叉迭代求解,即所謂"流固耦合"的問題。 2. 由求解線性工程問題進(jìn)展到分析非線性問題 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,線性理論已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足設(shè)計(jì)的要求。例如建筑行業(yè)中的高層建筑和大跨度懸索橋的出現(xiàn),就要求考慮結(jié)構(gòu)的大位移和大應(yīng)變等幾何非線性問題;航天和動(dòng)力工程的高溫部件存在熱變形和熱應(yīng)力,也要考慮材料的非線性問題;諸如塑料、橡膠和復(fù)合材料等各種新材料的出現(xiàn),僅靠線性計(jì)算理論就不足以解決遇到的問題,只有采用非線性有限元算法才能解決。眾所周知,非線性的數(shù)值計(jì)算是很復(fù)雜的,它涉及到很多專門的數(shù)學(xué)問題和運(yùn)算技巧,很難為一般工程技術(shù)人員所掌握。為此近年來(lái)國(guó)外一些公司

16、花費(fèi)了大量的人力和投資開發(fā)諸如MARC、ABQUS和ADINA 等專長(zhǎng)于求解非線性問題的有限元分析軟件,并廣泛應(yīng)用于工程實(shí)踐。這些軟件的共同特點(diǎn)是具有高效的非線性求解器以及豐富和實(shí)用的非線性材料庫(kù)。3. 增強(qiáng)可視化的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理功能 早期有限元分析軟件的研究重點(diǎn)在于推導(dǎo)新的高效率求解方法和高精度的單元。隨著數(shù)值分析方法的逐步完善,尤其是計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度的飛速發(fā)展,整個(gè)計(jì)算系統(tǒng)用于求解運(yùn)算的時(shí)間越來(lái)越少,而數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和運(yùn)算結(jié)果的表現(xiàn)問題卻日益突出。在現(xiàn)在的工程工作站上,求解一個(gè)包含10萬(wàn)個(gè)方程的有限元模型只需要用幾十分鐘。但是如果用手工方式來(lái)建立這個(gè)模型,然后再處理大量的計(jì)算結(jié)果則需用幾周

17、的時(shí)間?？梢院敛豢鋸埖卣f(shuō),工程師在分析計(jì)算一個(gè)工程問題時(shí)有80%以上的精力都花在數(shù)據(jù)準(zhǔn)備和結(jié)果分析上。因此目前幾乎所有的商業(yè)化有限元程序系統(tǒng)都有功能很強(qiáng)的前置建模和后置數(shù)據(jù)處理模塊。在強(qiáng)調(diào)"可視化"的今天,很多程序都建立了對(duì)用戶非常友好的GUI(Graphics User Interface),使用戶能以可視圖形方式直觀快速地進(jìn)行網(wǎng)格自動(dòng)劃分,生成有限元分析所需數(shù)據(jù),并按要求將大量的計(jì)算結(jié)果整理成變形圖、等值分布云圖,便于極值搜索和所需數(shù)據(jù)的列表輸出。4. 與CAD軟件的無(wú)縫集成當(dāng)今有限元分析系統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是與通用CAD軟件的集成使用,即在用CAD軟件完成部件和零件的造型

18、設(shè)計(jì)后,自動(dòng)生成有限元網(wǎng)格并進(jìn)行計(jì)算,如果分析的結(jié)果不符合設(shè)計(jì)要求則重新進(jìn)行造型和計(jì)算,直到滿意為止,從而極大地提高了設(shè)計(jì)水平和效率。今天,工程師可以在集成的CAD和FEA軟件環(huán)境中快捷地解決一個(gè)在以前無(wú)法應(yīng)付的復(fù)雜工程分析問題。所以當(dāng)今所有的商業(yè)化有限元系統(tǒng)商都開發(fā)了和著名的CAD軟件(例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、SolidWorks、IDEAS、Bentley和AutoCAD等)的接口。 5. 在Wintel平臺(tái)上的發(fā)展早期的有限元分析軟件基本上都是在大中型計(jì)算機(jī) (主要是Mainframe) 上開發(fā)和運(yùn)行的,后來(lái)又發(fā)展到以工程工作站(EWS,

19、Engineering WorkStation )為平臺(tái),它們的共同特點(diǎn)都是采用UNIX操作系統(tǒng)。PC機(jī)的出現(xiàn)使計(jì)算機(jī)的應(yīng)用發(fā)生了根本性的變化,工程師渴望在辦公桌上完成復(fù)雜工程分析的夢(mèng)想成為現(xiàn)實(shí)。但是早期的PC機(jī)采用16位CPU和DOS操作系統(tǒng),內(nèi)存中的公共數(shù)據(jù)塊受到限制,因此當(dāng)時(shí)計(jì)算模型的規(guī)模不能超過1萬(wàn)階方程。Microsoft Windows操作系統(tǒng)和32位的Intel Pentium 處理器的推出為將PC機(jī)用于有限元分析提供了必需的軟件和硬件支撐平臺(tái)。因此當(dāng)前國(guó)際上著名的有限元程序研究和發(fā)展機(jī)構(gòu)都紛紛將他們的軟件移植到Wintel平臺(tái)上。下表列出了用ADINA V7.3 版在PC機(jī)的W

20、indows NT環(huán)境和SGI工作站上同時(shí)計(jì)算4個(gè)工程實(shí)例所需要的求解時(shí)間。從中可以看出最新高檔PC機(jī)的求解能力已和中低擋的EWS不相上下。為了將在大中型計(jì)算機(jī)和EWS上開發(fā)的有限元程序移植到PC機(jī)上,常常需要采用Hummingbird公司的一個(gè)仿真軟件Exceed。這樣做的結(jié)果比較麻煩,而且不能充分利用PC機(jī)的軟硬件資源。所以最近有些公司,例如IDEAS、ADINA和R&D開始在Windows平臺(tái)上開發(fā)有限元程序,稱作"Native Windows"版本,同時(shí)還有在PC機(jī)上的Linux操作系統(tǒng)環(huán)境中開發(fā)的有限元程序包。 在大力推廣CAD技術(shù)的今天，從自行車到航天飛機(jī)，所有的設(shè)計(jì)制造都離不開有限元分析計(jì)算，有限元法在工程設(shè)計(jì)和分析中將得到越來(lái)越廣泛的重視。目前以分析、優(yōu)化和仿真為特征的CAE(Computer aided Engineering CAE)技術(shù)在世界范圍內(nèi)蓬勃發(fā)展