概率論和數理統(tǒng)計起源(共12頁)

1、概率論和數理統(tǒng)計起源（1）從隨機現象談起在自然界和現實生活中，一切事物都是相互聯系和不斷發(fā)展的。在它們彼此間的聯系和發(fā)展中，根據它們是否有必然的因果關系，可以分成截然不同的兩大類：一類是確定性的現象。這類現象是在一定條件下，必定會導致某種確定的結果。舉例來說，在標準大氣壓下，水加熱到100度，就必然會沸騰。又如，把鐵加熱到1530度的時候，必然會熔化成液態(tài)。事物間這種聯系是屬于必然性的。通常的自然科學各學科就是專門研究和認識這種必然性，尋求這類必然現象的因果關系，把握它們之間的數量規(guī)律，以達到認識世界和改造世界的目的。另一類是不確定性的現象。這類現象是在一定條件下，它的結果是不確定的。舉例來說

2、，同一工人在同一車床上加工同一種零件若干個，它們的尺寸總會有些差異。又如，在同樣條件下，進行小麥品種的人工催芽試驗，各顆種子的發(fā)芽情況也不盡相同，有強弱和早晚之別等等。為什么在相同的一定條件下，會出現這種種不確定的結果呢？這是因為，我們說的“相同條件”是指一些主要條件來說的，除了這些主要條件外，還會有許多次要條件和偶然性因素影響著結果。而這些次要的、偶然起作用的因素又是人們無法事先一一能夠掌握的。正因為這樣，我們在這一類現象中，就無法用必然性的因果關系，對個別現象的結果事先作出確定的答案。事物間這種關系是屬于偶然性的，這種現象叫做偶然現象，或者叫做隨機現象。在自然界，在生產、生活中，隨機現象十

3、分普遍，也就是說隨機現象是大量存在著的。比如：拿北京地區(qū)來說，測量每年七月份的天氣平均氣溫，每年都各有差異，不完全相同，而且也不能準確地預測來年七月份的平均氣溫。這樣，“北京七月份平均氣溫”就是隨機現象。又如，同一名工人，用同一臺車床在同一條件下(同材料、同一操作規(guī)程)加工一種標準長度150毫米的零件等現象，也是隨機現象。因此，我們說隨機現象就是：在同樣條件下，多次進行同一試驗或調查同一現象，所得結果不完全一樣，而且無法準確地預測下次所得結果的現象。隨機現象這種結果的不確定性，是由于一些次要的、偶然因素影響所造成的。隨機現象表面上看來，似乎是雜亂無章的、沒有什么規(guī)律的現象。但實踐證明，如果同類

4、的隨機現象大量重復出現，它的總體就呈現出一定的規(guī)律性。舉例采說，擲一枚均勻的五分硬幣，有兩種可能性，一種是“國徽面”朝上，一種是“伍分面”朝上。每擲一次，很難斷定是哪種結果。但是如果多次重復地擲這枚硬幣，就會越來越清楚地發(fā)現“國徽面”朝上的次數和“伍分面”朝上的次數大體相同這樣的規(guī)律性。在同樣條件下，同一名工人加工同一種零件，每一件的長和標準長150毫米都有差異，但是如果檢驗他所加工的許多同一零件的時候，就會發(fā)現這些零件中比標準長150毫米大的件數和比標準長150毫米小的件數大體相同，而且和標準長相比，相差過大的占少數，相差不多的占多數。大量同類隨機現象所呈現的這種規(guī)律性，隨著我們觀察次數增多

5、而愈加明顯。我們把這種由大量同類隨機現象所呈現出來的集體規(guī)律性，叫做統(tǒng)計規(guī)律性。概率論和數理統(tǒng)計就是研究大量同類隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律性的數學學科。（2）概率論的產生和發(fā)展概率論產生于十七世紀，本來是由保險事業(yè)的發(fā)展而產生的，但是來自賭博者的請求，卻是數學家們思考概率論的一些特殊問題的源泉。早在1654年，有一個賭徒梅累向當時的數學家帕斯卡提出一個使他苦惱了很久的問題：“兩個賭徒相約賭若干局，誰先贏局就算獲勝，全部賭本就歸勝者。但是，當其中一個人贏了局，另一個人贏了局的時候，賭博中止。問賭本應當如何分法才合理？”三年后，也就是1657年，荷蘭著名的天文、物理兼數學家惠更斯企圖自己解決這一問題，結果

6、寫成了論機會游戲的計算一書，這就是最早的概率論著作。近幾十年來，隨著科技的蓬勃發(fā)展，概率論大量應用到國民經濟、農業(yè)生產及各學科領域。許多興起的應用數學，如信息論、對策論、排隊論、控制論等，都是以概率論作為基礎的。概率論和數理統(tǒng)計可以算作一門隨機數學分支，它們是聯系密切的同類學科，我們現在就是把它們合起來作為一門分支進行介紹的。但是，應該指出，概率論、數理統(tǒng)計、統(tǒng)計方法又各有它們自己所包含的不同內容。概率論 是根據大量同類隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律，對隨機現象出現某一結果的可能性作出一種客觀的科學定義，對這種出現的可能性大小作出數量上的描述；比較這些可能性的大小，研究它們之間的聯系，從而形成一整套數學理

7、論和方法。數理統(tǒng)計 是應用概率的理論來研究大量隨機現象的規(guī)律性，對通過科學安排的一定數量的試驗所得到的統(tǒng)計方法給出嚴格的理論論證，并判定各種方法應用的條件以及方法、公式、結論的可靠程度和局限性。使我們能從一組樣本來判定是否能以相當大的概率保證某一判斷是正確的，并可以控制發(fā)生錯誤的概率。統(tǒng)計方法 是以上提供的方法在各種具體問題中的具體應用，它不去注意這些方法的理論根據、數學論證。因而就有象森林統(tǒng)計學、紡織工業(yè)統(tǒng)計、教育統(tǒng)計、生物統(tǒng)計、天氣預報的統(tǒng)計方法等等。由于隨機現象在人類的實際活動中大量存在，概率統(tǒng)計隨著現代工農業(yè)、近代科技的發(fā)展而不斷發(fā)展，因而形成了許多重要分支。如：隨機過程(其中重要的有

8、“馬爾可夫過程”和“平衡過程”)、信息論、極限理論、試驗設計、多元分析等。概率統(tǒng)計的應用，在國民經濟、自然科學各具體領域中又是非常廣泛的。如現代物理對微觀世界的研究、無線電通訊和導航、生產過程的質量控制、氣象水文地震的預報、企業(yè)事業(yè)的管理、教育質量的統(tǒng)計、地理、物理、化學、生物的研究都離不了這個方法。應當指出，概率統(tǒng)計在研究方法上也有它的特殊性，和其他學科不同的主要特點有下列幾點：第一，由于隨機現象的統(tǒng)計規(guī)律是一種集體規(guī)律，必須在大量同類隨機現象中才能呈現出來，所以，進行觀察、試驗、調查就是概率統(tǒng)計這門學科研究方法的基石。但是，要注意它作為數學學科的一個分支，也是具有本學科的定義、公理、定理的

9、。而這些定義、公理、定理也是確定的，不存在任何隨機性。只不過這些定義、公理、定理是來源于自然界的隨機現象罷了。第二，在研究概率統(tǒng)計中，使用的是“由部分推斷全體”的統(tǒng)計推斷方法。這是因為它研究的對象隨機現象的范圍是很大的，在進行試驗、觀測和調查的時候，不可能也不必要全部進行，只能取其一部分(就是樣本)進行試驗、觀測。但是由這一部分資料所得出的一些結論，要去推斷在全體范圍(就是總體)內這些結論的可靠性。第三，要特別指出，隨機現象的隨機性，是指試驗、調查之前來說的。就是說，隨機觀象是對于某一試驗、調查之前，我們說它可能出現不確定的結果。而真正做了試驗之后，那么對于每一次試驗來說，它只能得到這些不確定

10、的結果中的某一個確定結果。我們研究這一現象的時候，應當注意在試驗以前能不能對這一現象找出它本身的內在規(guī)律。（3）概率論的內容 概率論作為一門數學分支，它所研究的內容一般包括隨機事件的概率、統(tǒng)計獨立性和條件概率、隨機變量、概率分布、正態(tài)分布和方差等等。至于概率論的一些分支，這里就不介紹了。現在我們先介紹概率論最基本的一些概念和符號。隨機事件一般用大寫字母、等來表示，叫做事件、事件等。必然發(fā)生的事件，叫做必然事件，用符號表示。不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件，用符號表示。事件之間的相互關系，一般也用符號表示。比如，“+”表示事件和事件至少發(fā)生其中一件的事件?！?#183;”表示事件和事件同時發(fā)生的

11、事件。事件和事件不能同時發(fā)生，叫做互斥事件。如果事件是必然事件，而且和互斥，就把（或）叫做(或)的對立事件，并用符號表示成或如果個事件能夠滿足這樣的條件：彼此互斥，是必然事件，就是，那么，就把這個事件叫做完全事件系。概率是隨機事件發(fā)生的可能性的數量指標。什么叫做概率呢？這里還要介紹其他幾個概念。如果隨機事件在次獨立重復的隨機試驗中出現了次，那么，叫做事件在次試驗中的頻數，叫做頻率。人們通過長期試驗，發(fā)現如果試驗次數很大，頻率雖然仍有微小的波動，但是比較明顯地穩(wěn)定在某一個固定的常數附近。這樣就得到結論：事件發(fā)生的頻率將穩(wěn)定在一個常數附近。我們就把常數叫做事件的概率。一般用符號表示成很明顯，必然事

12、件的概率是不可能事件的概率是也可以斷定，對于任何一件事件的概率一定介于0與1之間，也就是在實際中，有一類隨機現象，具有兩個特點：第一，只有有限個可能的結果(比如個)；第二，各個結果發(fā)生的可能性是相等的。具有這兩個特點的隨機現象，叫做“古典概型”。對于古典概型，用不著做大量試驗，只要確定事件包含了多少個可能的結果，比如是個，那么就可以得出下面的公式：如果事件和事件不可能同時出現，它們就叫互斥事件，互斥事件的概率有以下的公式：在計算基一事件的概率比較復雜的時候，可以間接地通過先計算它的對立事件的概率而求出事件的概率。這是因為相互對立的事件和事件顯然是互斥的，并且（）是必然事件。因此，那么，又可以得

13、到如果事件的發(fā)生或不發(fā)生并不影響事件的發(fā)生，反過來，事件的發(fā)生或不發(fā)生也不影響事件的發(fā)生，就把事件和事件叫做相互獨立事件。獨立事件的概率有下公式：在實際工作中，往往有一些更為復雜的問題，比如，在某一事件已經發(fā)生的條件下，要求事件發(fā)生的概率。這種概率就叫做條件概率。一般用符號記成。要求這條件概率，只要知道和就可以了。因為根據這個公式，顯然有另一條件概率公式一般地，就有公式在某些情況下，給出了條件概率要求計算無條件概率，這時候就要用到全概率公式。比如，有個基本事件組成一個完全事件系，那么，對于任何事件，都有這就是全概率公式。如果把全概率公式代入條件概率公式：再把其中的用代換，就可得這個公式叫做貝葉

14、斯公式。它應用廣泛，在解決一些復雜問題的時候，常常要用到它。還有一類問題的特點和其他問題不同，它在每一次試驗中不受其他各次試驗的影響，它的結果也不依賴其他各次試驗的結果，也就是各次試驗是獨立的，另外，事件和對立事件在同一次試驗中，總要出現而且只能出現其中一件。遇到這類問題，如果知道事件在一次試驗中發(fā)生的概率是，一般就用貝努利公式可以求得在次試驗中事件出現次的概率。貝努利公式是在客觀世界中，存在大量隨機現象，隨機現象產生的結果構成了隨機事件，這些前面已經敘述了。那么，隨機現象的各個結果能不能用變量來描述呢？實踐證明，能夠用變量來描述，這就產生了新的概念，叫做隨機變量。隨機變量有“有限”和“無限”

15、的區(qū)分，一般又根據變量的取值情況分成離散型隨機變量和非離散型隨機變量等。一切可能的取值能夠按一定次序一一列舉，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。如果可能的取值充滿了一個區(qū)間，無法按次序一一列舉，這種隨機變量就叫做非離散型隨機變量。怎樣全面描述離散型隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律呢？這就要研究概率的分布。如果有隨機變量，它可能取的值是，而且取每一個值的概率分別是，列成表就是 概率 其中，這就是概率分布。在離散型隨機變量的概率分布中，比較簡單而應用廣泛的是二項式分布。二項式分布只適用于是一個確定的試驗次數，如果重復試驗次數，而且(一個常數)的時候，就不能用二項式分布了，在概率論中有一種分布，叫做泊松分布，泊松

16、分布的公式還附有數值表可以在計算時參考使用。如果隨機變量是連續(xù)的，那么對于每一個連續(xù)隨機變量，都有一個分布曲線，實踐和理論都已證明：有一種特殊而常用的分布，它的分布曲線是有規(guī)律的，這就是正態(tài)分布。如下圖所示，正態(tài)分布曲線的特征是：可以表示成一條鐘，曲線 圖95有一個最高點，在這點兩邊對稱地下降。分布曲線取決于這個隨機變量的一些表征數，其中最重要的是平均值和差異度。平均值也叫做數學期望，差異度也就是標準方差。一般地，如果用表示隨機變量，它的概率分布是它的平均值就是那么，就是偏離的平方的總和，這個“偏離的平方總和的平均值”就叫做方差，記成這個式子的平方根就叫做標準方差。方差或者標準方差都刻畫了隨機

17、變量取值和平均值的接近程度，所以也叫做離散度。方差越小，說明隨機變量取值的差異越小，它的平均值代表性越強。（4）數理統(tǒng)計的內容數理統(tǒng)計包括抽樣、適線問題、假設檢驗、方差分析、相關分析等方面的內容。我們對一個研究對象進行調查或者試驗的時候，雖然全面調查是最完善的，但是有很多研究對象不允許這樣做，有時候這樣做也是不必要的，特別是有許多調查和試驗是帶有破壞性的，全面調查和試驗就更不可能了。比如，工業(yè)上要檢查燈泡的耐用時間，就要把燈泡燒掉，如果全面試驗就要把所生產的燈泡都燒掉。又比如，農業(yè)上要在小麥沒有成熟前估計產量，就要把小麥收來對它的株數、穗數、粒數、粒重進行計算，如果全面調查，就要把小麥全收割下

18、來。這些都是不允許的。因此，調查只能用“抽查一部分”進行試驗的方法。在數理統(tǒng)計中這種方法就叫做抽樣，抽出的部分叫做子樣或者叫做樣本。被檢查對象的全體相對于子樣來說就叫做母體，也叫做總體。抽樣檢查是要通過對子樣的調查，來推斷總體的全面情況。究竟抽多少合適，這是十分重要的。抽多了會浪費物資、人力和時間，抽少了代表性又不大。因此，在抽樣檢查中就生產了“小子樣”理論，這是一種在子樣很小的情況下，進行分析判斷的理論。適線問題也叫做曲線擬合。在實際中，有些問題需要根據積累的一些經驗數據來求出理論分布曲線，從而對整個問題得到了解。這樣就要遇到：根據什么原則求出理論分布曲線？有時候同一問題中可以求出幾種不同的

19、曲線，如何比較各種曲線的優(yōu)劣？如果選配好曲線以后，又怎樣判斷它和理論分布的真值相差多少呢？這些問題，就屬于數理統(tǒng)計中的適線問題。假設檢驗是指在用數理統(tǒng)計方法檢驗產品的時候，先作出一種假設，這個假設是我們初步希望了解的數值，叫做原假設。再根據抽樣觀察的結果在一定可靠程度上對原假設來作出判斷，是接受或者拒絕原假設。這種方法就叫做假設檢驗。方差分析也叫做離差分析。在工農業(yè)生產中，會遇到生產過程不穩(wěn)定，但是找不出原因的情況，這樣就需要進行試驗來判斷哪些因素在起作用?；蛘吒淖兩a條件的時候，判斷對產量質量影響比較大的是哪些因素。方差分析就是用方差的概念去分析由少數試驗就可以作出的判斷。根據觀察某些現象所

20、得的一組資料，運用數學方法，確定現象的某些量之間相關程度的大小以及用怎樣的函數關系相聯系，叫做相關分析。我們知道方差分析可以指出哪些因素有比較大的影響，哪些因素沒有影響，但是不能指出某一因素的影響程度。相關分析的理論解決了這個問題，它不僅可以定性地指出哪些因素有密切的關系，而且可以定量地指出這些因素之間量的變化關系。十二、現代數學的某些特點現代數學，指的是本世紀40年代以后發(fā)展起來的數學。在這里只舉出一些比較明顯的特點，不作全面的論述。這些特點簡單地說是：計算機科學的形成，應用數學出現眾多的新分支，純粹數學有若干重大的突破。純粹數學或基礎理論和應用數學從來就沒有嚴格的界限，大體上說，純粹數學是

21、數學的這一部分，它暫時不考慮對其他知識領域或生產實踐上的直接應用當然這并不意味著它沒有用。它象一棵樹的根，在長期的生長中發(fā)揮著巨大的作用。它間接地推動有關學科的發(fā)展或者在若干年后才發(fā)現其直接應用，這在歷史上是屢見不鮮的。而應用數學，可以說是純粹數學與科學技術之間的橋梁。40年代以后，涌現出大量新的應用數學科目，內容的豐富，應用的廣泛，名目的繁多，都是史無前例的，這是現代數學一個很顯著的特點。下面舉一些例子。對策論 由于戰(zhàn)爭與軍事的需要，形成了對策論。對策論是關于斗爭的數學，它主要是用數學方法研究在競爭(包括戰(zhàn)爭、競技、比賽，也包括人與自然的斗爭)中是否存在制勝對方的最優(yōu)策略以及如何找到這些策略

22、等問題。對策論的始祖可以說是我國戰(zhàn)國時代的遜臏。但真正形成一門獨立的學科，應以1944年馮·諾伊曼、摩根斯特恩合著的對策論與經濟行為的奠基性工作為標志。馮·諾伊曼是原籍匈牙利的美國人，在點集論、算子理論、連續(xù)群論以及第一臺電子計算機的設計與核武器的研制等方面都有重要貢獻。規(guī)劃論 由于物資運輸的需要，產生了規(guī)劃論。它主要研究計劃管理工作中有關安排和估值的問題。包括線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃等分支，1939年蘇聯康特洛維奇的生產組織與計劃中的數學方法是這方面的早期著作。西方最早的系統(tǒng)著作有查恩斯、庫伯、漢特遜的線性規(guī)劃概論。排隊論 排隊論也叫隨機服務系統(tǒng)理論或公用事業(yè)理論中

23、的數學方法。公用事業(yè)經常出現排隊的現象，如等公共汽車、等買東西、等打電話等。服務機構太多會造成浪費，太少不能滿足要求。在滿足要求的條件下使服務機構花費最少，這是排隊論研究的目的。最早起源于愛爾朗對電話系統(tǒng)的研究。以后有波拉切克、辛欣、巴姆等人的工作。最優(yōu)化方法 最優(yōu)化問題大量出現在工程技術、國防科學、社會科學以及工商業(yè)貿易等部門中。怎樣在給定的條件下，充分利用現有的人力物力，使得完成某一項工作最快最省或質量最好，這都是最優(yōu)化問題。它的產生，以約翰1948年的文章以不等式作附加條件的極值問題為起點。優(yōu)選法和統(tǒng)籌法是最優(yōu)化方法的一部分，近年來在華羅庚教授的倡導下曾在國內推廣統(tǒng)籌法的推廣。從1964

24、年開始，優(yōu)選法從1970年開始，取得很大的成績。優(yōu)選法中的0618法是美國的基弗在1953年提出的。統(tǒng)籌法原來叫做“關鍵路線法”，又叫做“計劃評審法”。后來我國統(tǒng)稱統(tǒng)籌法。運籌學 二次大戰(zhàn)期間，英、美都發(fā)明了一些新武器如雷達等，但武器的使用卻落后于武器的制造，特別在反法西斯?jié)撏Ш涂諔?zhàn)中，當時集中了許多科學家研究了這些問題，取得一定的成果，以后定名為運籌學。它包括前面提到的對策論、規(guī)劃論、排隊論、最優(yōu)化方法，還有質量控制、抽樣檢查等分支。它現在還在不斷地發(fā)展，所以很難劃定它的范圍。1957年，在英國牛津成立了國際運籌學會，會員已有好幾萬。我國“運籌學”的名稱，是1964年才確定的，“運籌”一詞，出自“運籌策帷幄之中，決勝于千里之外。信息論 所謂“信息”，是指對接受者來說是預先不知道的報道或情報，利用數學方法研究信息的計量、傳送、變換和儲存等，就是信息論。謝農是信息論的先驅者。他在貝爾電話研究所工作，1948年開始提出相當完善的信息論，以后得到迅速的發(fā)展?？刂普?二次大戰(zhàn)開始時，維納和當時哈佛大學