勾股定理的證明

1、勾股定理的證明325242 兩千多年來，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定兩千多年來，人們對(duì)勾股定理的證明頗感興趣，因?yàn)檫@個(gè)定理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來，下至平民百姓，上理太貼近人們的生活實(shí)際，以至于古往今來，下至平民百姓，上至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股至帝王總統(tǒng)都愿意探討和研究它的證明因此不斷出現(xiàn)關(guān)于勾股定理的新證法定理的新證法1 1傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法2 2趙爽弦圖的證法趙爽弦圖的證法4 4美國(guó)第美國(guó)第2020任總統(tǒng)茄菲爾德的證法任總統(tǒng)茄菲爾德的證法3 3劉徽的證法劉徽的證法勾股定理的證明勾股定理的證明5 5其他證法其他證

2、法 這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上這棵樹漂亮嗎？如果在樹上掛上幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小幾串彩色燈泡，再掛上些小鈴鐺、小彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不彩球、小禮盒、小的圣誕老人，是不是更像一棵圣誕樹是更像一棵圣誕樹 也許有人會(huì)問：也許有人會(huì)問：“它與勾股定理它與勾股定理有什么關(guān)系嗎？有什么關(guān)系嗎？”仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹仔細(xì)看看，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，奧妙在樹干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這干和樹枝上，整棵樹都是由下方的這個(gè)基本圖形組成的：個(gè)基本圖形組成的：一個(gè)直角三角形一個(gè)直角三角形以及分別以它的每邊為一邊向外所作以及分別以它的每邊為一邊向外所作的正方形的正方形 這個(gè)圖形有什么作用呢？不要小

3、看它哦！古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)這個(gè)圖形有什么作用呢？不要小看它哦！古希臘的數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就是利用這個(gè)圖形驗(yàn)證了勾股定理哥拉斯就是利用這個(gè)圖形驗(yàn)證了勾股定理 關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的關(guān)于勾股定理的證明，現(xiàn)在人類保存下來的最早的文字資料是歐幾里得（公元前文字資料是歐幾里得（公元前300年左右）所著的年左右）所著的幾幾何原本何原本第一卷中的命題第一卷中的命題47：“直角三角形斜邊上的正直角三角形斜邊上的正方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和方形等于兩直角邊上的兩個(gè)正方形之和”其證明是用其證明是用面積來進(jìn)行的面積來進(jìn)行的傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法已知：如圖，以在已知：

4、如圖，以在RtABC中，中，ACB=90，分別以，分別以a、b、c為邊向外作正方形為邊向外作正方形 求證：求證：a2 +b2=c2 S矩形矩形ADNM2SADC又又正方形正方形ACHK和和ABK同底（同底（AK）、等高（即等高（即平行線平行線AK和和BH間的距離），間的距離）， S正方形正方形ACHK2SABK ADAB，ACAK，CADKAB， ADC ABK 由此可得由此可得S矩形矩形ADNMS正方形正方形ACHK 同理可證同理可證S矩形矩形MNEBS正方形正方形CBFG S矩形矩形ADNMS矩形矩形MNEBS正方形正方形ACHKS正方形正方形CBFG 即即S正方形正方形ADEBS正方形正

5、方形ACHKS正方形正方形CBFG ， 也就是也就是 a2+b2=c2傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法傳說中畢達(dá)哥拉斯的證法證明：從證明：從RtABC的三邊向外各作一個(gè)正方形（如圖），作的三邊向外各作一個(gè)正方形（如圖），作CNDE交交AB于于M，那么正方形，那么正方形ABED被分成兩個(gè)矩形連結(jié)被分成兩個(gè)矩形連結(jié)CD和和KB返回由于矩形由于矩形ADNM和和ADC同同底（底（AD），等高，等高(即平行線即平行線AD和和CN間的距離間的距離)， 我國(guó)對(duì)勾股定理的證明采取的是我國(guó)對(duì)勾股定理的證明采取的是割補(bǔ)法，最早的形式見于公元三、四割補(bǔ)法，最早的形式見于公元三、四世紀(jì)趙爽的世紀(jì)趙爽的勾股圓方圖注勾股圓方圖注在

6、這在這篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的篇短文中，趙爽畫了一張他所謂的“弦圖弦圖”，其中每一個(gè)直角三角形稱，其中每一個(gè)直角三角形稱為為“朱實(shí)朱實(shí)”，中間的一個(gè)正方形稱為，中間的一個(gè)正方形稱為“中黃實(shí)中黃實(shí)”，以弦為邊的大正方形叫，以弦為邊的大正方形叫“弦實(shí)弦實(shí)”，所以，如果以，所以，如果以a、b、c分別分別表示勾、股、弦之長(zhǎng)，表示勾、股、弦之長(zhǎng)，那么：那么： 趙爽弦圖的證法趙爽弦圖的證法224()2abcba 得：得： c2 =a2+ b2返回 劉徽在劉徽在九章算術(shù)九章算術(shù)中對(duì)勾股定理的證明：中對(duì)勾股定理的證明：勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補(bǔ)，各從

7、其類，因就其余不移動(dòng)也合成弦方之冪，開從其類，因就其余不移動(dòng)也合成弦方之冪，開方除之，即弦也方除之，即弦也令正方形令正方形ABCD為朱方，正方為朱方，正方形形BEFG為青方在為青方在BG間取一點(diǎn)間取一點(diǎn)H，使使AH=BG，裁下，裁下ADH，移至，移至CDI，裁下，裁下HGF，移至，移至IEF，是為是為“出入相補(bǔ)，各從其類出入相補(bǔ)，各從其類”，其，其余不動(dòng)，則形成弦方正方形余不動(dòng)，則形成弦方正方形DHFI勾股定理由此得證勾股定理由此得證 劉徽的證法劉徽的證法返回學(xué)過幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣學(xué)過幾何的人都知道勾股定理它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛迄

8、今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有泛迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有500余種其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽余種其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者？答案是總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛好者？答案是否定的事情的經(jīng)過是這樣的：否定的事情的經(jīng)過是這樣的：1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突欣賞黃昏

9、的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)神地談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)論，時(shí)而小聲探討由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角小孩到底在干什么只見一個(gè)小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個(gè)直角三角形于是伽菲爾德便問他們?cè)诟墒裁矗恐灰娔莻€(gè)小男孩頭也不抬地說：形于是伽菲爾德便問他們?cè)诟墒裁?？只見那個(gè)小男孩頭也不抬地說

10、：“請(qǐng)問先生，請(qǐng)問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：伽菲爾德答到：“是是5呀呀”小男孩又問道：小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為如果兩條直角邊分別為5和和7，那么這個(gè)直角三角形的，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于那斜邊的平方一定等于5的平方的平方加上加上7的平方的平方”小男孩又說道：小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)伽菲爾德一時(shí)語塞，無法解釋了

11、，心理很不是滋味語塞，無法解釋了，心理很不是滋味 于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理美國(guó)第二十任美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)伽菲爾德總統(tǒng)巧證勾股定理總統(tǒng)巧證勾股定理aabbccADCBE返回向常春的證明方法向常春的證明方法2111()()222ABCDSabbabaab 梯梯形形22211()22111222EBCAECDABCDSSScab bcabb 四四邊邊形形梯梯形形2221111122222aabcabb 222:abc 從從而而得得到到 注注:這一方法是向常春這一方法是向常春于于1994年年3月月20日構(gòu)想發(fā)日構(gòu)想發(fā)現(xiàn)的新法現(xiàn)的新法abcba-bADCBEc 我們用拼圖的方法來說明我們用拼圖的方法來說明勾股定理是正確的勾股定理是正確的試試 一一 試試證明證明:上面的大