2016年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案

1、2016 年南昌市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案（注意：題號(hào)后凡標(biāo)有“高一”的，為高一學(xué)生解答題；凡標(biāo)有“高二”的，為高二學(xué)生解 答題；凡未作以上標(biāo)志的，則為高一、高二學(xué)生共同解答題）一、填空題（每題 1010 分，共 8080 分）1答案：丄.22 2 2解：13 .48 = 2、31 4、3 = 12、3 ,5 - 1 2、3 =4-2、.3 =3-1 ,（亦+1）2心6+血2丿、， 2 2（高二）設(shè)ab =0，若函數(shù)f1x = x - 2ax 4b與f2x = x 4ax 2b具有相同的最小值u，函數(shù)f3x - -x22bx 4a與f4- -x24bx 2a具有相同的最大值v,則u v =.答案

2、：0.2 2 2 2 2 2解：t x = x a 4b - a_ 4b - a , f2x = x 2a 2b - 4a _ 2b - 4a ,故由4ba2二u =2b-4a2，得-2b =3a2.22 2*2 2 2f3x二-xb4a b 4a b , f4x二- x2b2a 4b 2a 4b ,故由4a b2=v =2a 4b2，得2a =3b2.2 22由得，2b，ai = 3b-a ,所以b，a=0.，或者b-a .322、2若ba二一，由，2 i b -= 3b2，即3b1 3 = 0，矛盾！3I 3丿故只有b a= =0 0，此時(shí)，2 u v = 6b - 5a26a 5b2二a

3、 b 55a 6=0.2.2.（高一）若k個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和為2016，則k的最大值是.答案：63.解：設(shè)2016二n 1 i亠in 2 III n k二kn1 1，貝 U U21.1.（高一）化簡(jiǎn)3, 5 -13亠.48的結(jié)果k 2n k 1二4032,注意4032 =26327，且k 2n k 1,為使k值最大，當(dāng)選取k, n使得4032的較小因子盡可能去取得最大，由于4032=63 64，可令k =63,2nkJ=64（此時(shí)對(duì)應(yīng)于n=0）.2 2（高二）P是橢圓 y1上位于第一象限的一點(diǎn)，若P與兩焦點(diǎn)的連線互相垂直,259則點(diǎn)p的坐標(biāo)為.答案：隨丁I4 4丿解：橢圓兩焦點(diǎn)為R -4,0 ,

4、F24,0，若點(diǎn)P坐標(biāo)為P x,y ,x 0, y 0，則3.3.（高一） 三角形的邊長(zhǎng)為正整數(shù)，周長(zhǎng)為 2424,這種三角形共有個(gè).答案：1212 個(gè).解：設(shè)三角形的三條邊長(zhǎng)為a,b,c，且a_b_c,a b 24，則a_8,再由b c a, 得2a : a b c = 24，所以a : 12,即a _ 11，于是8 _a _ 11,在a =11時(shí)，b c =13，于是b,c = 11,2 , 10,3 , 9,4 , 8,5 , 7,6;在a =10時(shí)，b c =14，有b,c二10,4 , 9,5 , 8,6 , 7,7；在a =9時(shí)，b c=15，有b,c二9,6 , 8,7；在a=8

5、時(shí)，b =16，有b,ci=.8,8;共計(jì) 1212 種情形.（高二）銳角三角形ABC中，tan9A tan9B tan9C的最小值是.答案：243、.3.解：記tanA =x, ta n B = y,ta n C=z，貝Ux y z = xy z, xyz = x y z丄33xy z,兩邊立方，得xyz_3.3，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z = -.3,x9+y9+z9啟= 3（xyz j =243/3.4a+ 45a_154.4.（高一）若 二為銳角，使得sin,cos，則a-.6a+16a + 1答案：24.24.解：據(jù)1 =sin2rcos2r二5aT5，得5a 26 - a = 240，解得

6、（6a+1丿l6a+1丿yx 4-1，解得x=乞74a =2及24，若a =2，則COST: 0,不合題意，故只有a =24.（高二）單位正方體（各棱長(zhǎng)皆為1 1 的正方體）中，將每一對(duì)相鄰的中心連接，得到一個(gè)具有六個(gè)頂點(diǎn)的多面體T，其體積是.1答案：丄.6解：如圖，E,F分別是GA及C,B的中點(diǎn)，貝y EF=A,B2,自E作平行于BCCQ22的平面，將多面體分成兩個(gè)全等的四棱錐，其底面面積為VT=2 -S2-33 2CaJ的每一項(xiàng)皆是由1,2,3,4,5排成的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則ai00 -.答案：51342.解：1,2,3,4,5總共可排出 120120 個(gè)數(shù)，其中 5 5 開頭的有

7、2424 個(gè)，它們中最小的數(shù)51234是倒 數(shù)第 2 24 4個(gè)數(shù)，即全體這種五位數(shù)的自小到大第9797 個(gè)數(shù)，5 5 開頭的數(shù)后四位均由1,2,3,4排成，這四個(gè)數(shù)碼排成的數(shù)自小到大順次是1234,1243,1324，所以a100= 51342.6 6 從1,3,川,13?中取出k個(gè)不同的數(shù)，使得取出的數(shù)中，任兩個(gè)數(shù)的差，既不等于5 5,也不等于 8 8,則k的最大值是.答案：6 6.解：將1,2川|,13排列于一個(gè)圓上，使得每相鄰兩數(shù)之差，或者為 5 5,或者為 8 8,然后選取 一組互不相鄰的數(shù)，至多能取到六個(gè)數(shù)，例如取1,4,7,10,13,3.（若取 7 7 個(gè)數(shù)，則必有兩數(shù)在圓周上

8、相鄰），因此kmax=6.1，高為25 5 如果一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列百0111j7 7 滿足的正整數(shù)解x, y的組數(shù)為.x y 2016答案：165.165.解：由條件得x2016 y-2016 =2016 =10103472，由于2103472有10 1 4 1 21;=165個(gè)正因子，對(duì)于每個(gè)正因子d，由x-2016 = d可以得到一個(gè)x的值，而當(dāng)x的值確定后，y的值便隨之確定，于是共有165165 組解.8 8 集合M是集合A二”1,2, |,1001的子集，且M中至少含有一個(gè)平方數(shù)或者立方數(shù)，則這 種子集M的個(gè)數(shù)是.答案：288212-1 .解：集合A1,2,|H，100中的平方數(shù)或立方數(shù)

9、構(gòu)成集合B=1,4,8,9,16,25,27,36,49,64,81 ,100，其中有 1212 個(gè)元素，從A中挖去集合B后剩下 的元素構(gòu)成集合C，則C中含有88個(gè)元素，由于C的子集有288個(gè)，B的非空子集有212-1個(gè)，集M可表示為M二B。U C。形式，其中B。是B的任一非空子集，C。是C的任一子集， 因此M的個(gè)數(shù)為288（2121 ）.二、解答題9.9. （2020 分）集合A與B分別由滿足如下條件的所有五位數(shù)組成：對(duì)于集合A的每個(gè)元素x,其各位數(shù)碼之和加 1 1 或減 1 1 之后是 5 5 的倍數(shù)；對(duì)于集合B的每個(gè)元素y，其各位數(shù)碼之和 或者是 5 5 的倍數(shù)，或者減 2 2 之后是

10、5 5 的倍數(shù)證明：A = B .（即這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等）證：對(duì)于任一五位數(shù)aa2a3a4a5，其中1二 6 二9,0二aj三9, j =2,3, 4,5,a的各位數(shù)碼之和記為S a；對(duì)于集合A中的任意一數(shù)x!x2x3x4x5，令x與五為數(shù)二224丫5相對(duì)應(yīng)，其中每個(gè)yj滿足等式：% y1=10, Xjyj=9, j =2,3, 4,5.則1 y9, y9, j= 2,3, 4,5，且S x S y =46,據(jù)此可知，若5| S x -1,則5| S y，若5| S x 1,則5| S y -2, 于是當(dāng)x，A時(shí)，必有y，B，并且不同的x對(duì)應(yīng)于不同的y反過來也是如此，即這種對(duì)應(yīng)是一一對(duì)應(yīng)

11、，從而這兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相等.10.10. （2525 分）四邊形ABCD內(nèi)接于以AC為直徑的圓，M,N分別是邊AB,CD上的點(diǎn)，且DM _AC,BN _AC證明：AC,BD,MN三線共點(diǎn).證：設(shè)DM , BN分別交AC于E,F，對(duì)角線AC, BD交于P，只要證M , N,P三點(diǎn)共線.連MP,NP，由PDEPBF，得匹二圧. BF PF所以， MPE =/NPF，故M ,N, P三點(diǎn)共線，從而11.11.如果實(shí)數(shù)集合A的全體元素可以排成一個(gè)等比數(shù)列，就稱A是一個(gè)幾何集，例如無窮集合A3,-、15,5,|匸就是一個(gè)幾何集試確定，是否存在7 7 個(gè)幾何集A,A2,|I（,A7，使得它們的并集元素中，包含有前 5050 個(gè)正整數(shù)，即MAUA2UU A7，其中M 1,2,1 H,50l證明你的結(jié)論.解：不存在.首先證明，任一個(gè)幾何集之中至多含有兩個(gè)質(zhì)數(shù).反證法，假若某個(gè)幾何集G的元素中含有三個(gè)質(zhì)數(shù)x, y, z,其中x y z,若其首項(xiàng)為a,公比為q，記x = aqm, y二aqn,z = aqk,其中正整數(shù)m n：k.kn又由AME BCF, DAE s CNF,得MEAECFBFAl二史，相乘得NF CFME _ DENF - BF將相乘得，ME