幾何證明的好方法截長(zhǎng)補(bǔ)短

1、幾何證明的好方法截長(zhǎng)補(bǔ)短有一類(lèi)幾何題其命題主要是證明三條線段長(zhǎng)度的“和”或“差”及其比例關(guān) 系。這一類(lèi)題目一般可以采取“截長(zhǎng)”或“補(bǔ)短”的方法來(lái)進(jìn)行求解。所謂“截 長(zhǎng)”，就是將三者中最長(zhǎng)的那條線段一分為二，使其中的一條線段與已知線段相 等，然后證明其中的另一段與已知的另一段的大小關(guān)系。所謂“補(bǔ)短”，就是將一個(gè)已知的較短的線段延長(zhǎng)至與另一個(gè)已知的較短的長(zhǎng)度相等。然后求出延長(zhǎng)后的線段與最長(zhǎng)的已知線段的關(guān)系。有的是采取截長(zhǎng)補(bǔ)短后，使之構(gòu)成某種特定的 三角形進(jìn)行求解。截長(zhǎng)法：(1) 過(guò)某一點(diǎn)作長(zhǎng)邊的垂線(2) 在長(zhǎng)邊上截取一條與某一短邊相同的線段，再證剩下的線段與另一短邊相等。補(bǔ)短法(1) 延長(zhǎng)短邊。

2、(2) 通過(guò)旋轉(zhuǎn)等方式使兩短邊拼合到一起。幾種截長(zhǎng)補(bǔ)短解題法類(lèi)型我們大致可把截長(zhǎng)補(bǔ)短分為下面幾種類(lèi)型；類(lèi)型a± b=c類(lèi)型a± b=kc類(lèi)型a±bc類(lèi)型c2=a b對(duì)于類(lèi)型，可采取直接截長(zhǎng)或補(bǔ)短，繞后進(jìn)行證明?；蛘呋癁轭?lèi)型證明。對(duì)于，可以將a± b與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，然后證明這個(gè)三角形為特 殊三角形，如等邊三角形，等腰直角三角形，或一個(gè)角為30°的直角三角形等。對(duì)于類(lèi)型，一般將截長(zhǎng)或補(bǔ)短后的 a±b與c構(gòu)建在一個(gè)三角形中，與類(lèi) 型相同。實(shí)際上是求類(lèi)型中的 k值。對(duì)于類(lèi)型，將c2=ab化為-=b的形式，然后通過(guò)相似三角形的比例關(guān)系進(jìn)

3、a c行證明。在證明相似三角形的過(guò)程中，可能會(huì)用到截長(zhǎng)或補(bǔ)短的方法。例：在正方形 ABCDK DE=DF DG CE 交 CA于 G, GH AF,交 AD于 P,交CE延長(zhǎng)線于H,請(qǐng)問(wèn)三條粗線DG GH CH的數(shù)量關(guān)系方法一（好想不好證）方法二（好證不好想）Fr例題不詳解（第2頁(yè)題目答案見(jiàn)第3、4頁(yè)）F(1)正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)F在BC上，EAF=450求證：EF=DE+BF(1)變形a正方形ABCD中，點(diǎn)E在CD延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在BC延長(zhǎng)線上，EAF=450請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、DE BF又有什么數(shù)量關(guān)系？(1)變形bF正方形ABCD中，點(diǎn)E在DC延長(zhǎng)線上，點(diǎn)F在CB延長(zhǎng)線上，EAF=

4、450請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、DE BF又有什么數(shù)量關(guān)系？(1)變形c正三角形 ABC中，E在AB上，F(xiàn)在AC上 EDF=450。DB=DC BDC=120。請(qǐng)問(wèn)現(xiàn)在EF、BE CF又有什么數(shù)量關(guān)系？(1)變形dF正方形 ABCD中，點(diǎn) E 在 CD上，點(diǎn) F 在 BC上,EAD=15， FAB=30。AD=3求AEF的面積(1)解：(簡(jiǎn)單思路)F延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G使得DG=BF連接AG由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=9(JAD=AB又 DG=BF所以 ADG ABF( SASGAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90O = DAF+ FAB =DAF+ GAD= GAF

5、所以 GAE= GAF- EAF =90o -45 0 =45oGAE= FAE=4S又 AG=AFAE=AE所以 EAG EAF( SASEF=GE=GD+DE=BF+DE變形a解：（簡(jiǎn)單思路）EF= BF-DE在BC上截取BG使得BG=DF連接AG 由四邊形ABCD是正方形得ADE= ABG=90AD=AB又 DE=BG所以 ADE ABG( SASEAD= GABAE=AG由四邊形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GABDAG+ EAD= GAE所以 GAF= GAE- EAF =90° -45 0 =45°GAF= EAF=4弓又 AG=AEAF=AF

6、所以 EAF GAF( SAS ef=gf=bf-bg=bf-de變形b解：（簡(jiǎn)單思路）GEF=DE-BF在DC上截取DG使得DG=BF連接AG 由四邊形ABCD是正方形得ADG= ABF=9(JAD=AB又 DG=BF所以 ADG ABF( SASGAD= FABAG=AF由四邊形ABCD是正方形得DAB=90 = DAG+ GAB=BAF+ GAB= GAF 所以 GAE= GAF- EAF=90° -45 0 =45°GAE= FAE=45°又 AG=AFAE=AE 所以 EAG EAF( SAS EF=EG=ED-GD=DE-BF變形c解：（簡(jiǎn)單思路）DE

7、F=BE+FC延長(zhǎng)AC到點(diǎn)G使得CG=BE連接DG 由ABC是正三角形得ABC= ACB=60又 DB=DC BDC=120所以 DBC= DCB=30DBE= ABC+ DBC=60+3O°=9O°ACD= ACB+ DCB=60+3O°=9O°所以 GCD=180 - ACD=90DBE= DCG=90又 DB=DC BE=CG 所以 DBE DCG( SASEDB= GDCDE=DG又 DBC=120= EDB+ EDC=GDC+ EDC= EDG 所以 GDF= EDG- EDF=120o -60 0 =60oGDF= EDF=60又 DG=DE

8、DF=DF所以 GDF EDF（ SAS EF=GF=CG+FC=BE+FC延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G使得DG=BF連接AG過(guò)E作EH AG前面如（1）所證，ADG ABF, EAG EAFGAD= FAB=3（0 , S EAG=S EAF在 Rt ADG中GAD=3（, AD=3AGD=6（, AG=2設(shè) EH=x在 Rt EGH中和 Rt EHA中AGD=6（， HAE=45HG=2x, AH=x3廠AG=2=HG+aH=x+x,EH=x=3- 33S EAF=S EAG=EHAG 2=3- 3.（第5頁(yè)題目答案見(jiàn)第6頁(yè)）（2）正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于0,點(diǎn)E在BD上, AE平分 求證

9、：AC/2=AD-EODAC(2)加強(qiáng)版DNIM(2)解：(簡(jiǎn)單思路)過(guò)E作EG AD于G因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形正方形ABCDK M在CD上, N在DA延長(zhǎng)線上，CM=AN點(diǎn) E在BD上, NE平分 請(qǐng)問(wèn)MN AD EF有什么數(shù)量關(guān)系？ADC=90，BD平分 ADC AC BD所以 ADB= ADC/2=4$因?yàn)?AE平分 DAC EO AC，EG AD 所以 EAO= EAGDGE= AOE= AGE=90 又 AE=AE 所以 AEO AEG( AAS所以 AG=AO EO=EG又 ADB=45， DGE=90所以DGE為等腰直角三角形DG=EG=EOAD-DG=AD-EO=AG=AO

10、=AC/2(2)加強(qiáng)版解：(簡(jiǎn)單思路)NMN/2=AD-EF過(guò) E 作 EG AD于 G,作 EQ AB于 Q, 過(guò) B 做 BP MN于 P按照(2)的解法，可求證，GNE FNE( AASDGE為等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，ABC= GAQ= BCM=90BD平分 ABC BC=BAABD= ABC/2=45o，又 EQB=90EQB為等腰Rt三角形，BEQ=45因?yàn)?GAQ= EGA= EQA=90所以四邊形AGE助矩形，EQ=AG=AD-EFEQ/AGQEN= ENG又 ENG= ENF 所以 QEN= ENF由 BC=BA BCM= BAN=

11、90，CM=AN所以 BCM BAN( SASBM=BN CBM= ABNABC=90= ABM+ CBM= ABM+ ABN= MBN 又 BM=BN所以MBN為等腰Rt三角形，又BP斜邊MNT P,所以NPB為等腰Rt三角形。BP=MN/2 PNB=45。BNE= ENF+ PNBBEN= QEN+ QEB又 QEN= ENF PNB= QEB=45所以 BNE= BENBN=BE又 PNB= QEB=45 = NBP= EBQ所以 BEQ BNP( SASEQ=BP因?yàn)?EQ=AG=AD-EFBP=MN/2所以 AD-EF=MN/2綜合題體中的截長(zhǎng)補(bǔ)短1、如圖，在O O中，C是Ab的中點(diǎn)

12、，直線CD丄AB于點(diǎn)E, AB = BE, PB、PA 組成的。O的一條折弦，C是劣弧Ab的中點(diǎn)，直線CD丄PA于點(diǎn)E,則AE =PE+PB，請(qǐng)證明你的結(jié)論。分析：本題要證明AE = PE+PB，可以將AE分為兩段，使其中一段長(zhǎng)度等于PE， 然后另一段長(zhǎng)度關(guān)于PB。反之亦。證明 AHC BPC。然后再證明PB =PE,那么 AE = PE+PBo證明：在 AE上截取AH = PB，連接AC、CH、BC、CP。c是Ab的中點(diǎn) Ac = Be二 AC = BC Cp = Cp/A = / B在厶CAH與厶CBP中CA=CB/ A= / BAH=BP CAHCBP (SAS)CH = CPCE丄 H

13、P PE= EH AE = PE+PB2、 如圖，O O為厶ABC的外接圓，弦 CP平分 ABC的外角/ BCQ,/ ACB =120。，求 B-AC 的值。PC分析：要求BC AC的值，可用截長(zhǎng)的方法來(lái)做，即可在 AB上截取BE= AC,PC使厶PBEA PACo即可求出BC AC的值。PC解：連接PA、PB，在BC上截取BE，使BE = AC，連接PEvZ QCP+Z PCA = 1804又/ PCA+Z PBA = 120 Z QCP=Z PBAv ?B = Pb Z PCB=Z PAB 又 vZ QCP=Z PBA Z PBA = Z PAB pa= pb， Pb = Pa 在厶PBE

14、與厶PAC中PB=PAZ PBC= Z QAPBE=AC PBEA PAC (SAS)PC=PE Z PEC=Z BCP = 30°坐二3PC.BC ACPC3、如圖，O O為厶ABC的外接圓，弦CP平分 ABC的外角/ ACQ,/ ACB求證：?A = ?B AC BC = ,2 PC分析：要證明AC BC = 2 PC,可使用截長(zhǎng)的方法，即在AC上截取AH = BC,HC = AC-BC,然后將HC與PC構(gòu)建一個(gè)等腰直角三角形，且 HC為斜邊，PC為直角邊。通過(guò)求解厶APHCBP。即可證明AC BC = 2 PC。Q證明：連接PA、PB，在AC上截取AH = BC。v CP 平分

15、/ ACQ, / ACQ = 90°/ PCA=Z QCP= 45°v四邊形APCB為圓的內(nèi)接四邊形/ PAB+/ PCB= 180°=/ PCQ=Z PCB Pa = ?b PA= PBv Pc = Pc/ CBP=/ PAC 在厶APH與厶CBP中AH=CB./ CBP= / PACv AP=BP APHCBP PH = PCv/ PCH = 45°又：厶PHC為等腰直角三角形 AC AH = AC CB = HC= .2 PC AC BC = . 2 PC4、 如圖，O O為厶ABC的外接圓，弦 CD平分/ ACB，/ ACB = 120°

16、;,求 CA CB的值。CD分析：要求CA CB，我們的思路是將CB延長(zhǎng)至并與CD構(gòu)建在一個(gè)三角形內(nèi)，CD然后解三角形并證明延長(zhǎng)線與 CA相等。我們將 CB延長(zhǎng)至H，作 CH=CA+CB，然后將CH和CD構(gòu)建在一個(gè)三角形內(nèi)，即過(guò)點(diǎn)D作/ CDH =60°延長(zhǎng)CB，交DH于點(diǎn)H,即可證 CADHBD，再可求出CA CBCD 的值。解：過(guò)點(diǎn)D作/ CDH = 60°延長(zhǎng)CB，交DH于點(diǎn)H，連接AD、BD，vZ ADB = CDH = 60°/ BDH = Z ADCvZ DCH = 60°=Z H = Z ACD DH = DC在厶CAD與厶HBD中了 Z

17、H= Z ACD< DH=DCJ Z BDH= Z APC CAD HBD (ASA) CA = BH二 CB+BA = CDCA CBCD5、如圖，P是等邊 ABC外接圓?C上任意一點(diǎn)，求證：PA= PB+PC分析：要證明PA= PB+PC，可用截長(zhǎng)的方法，即在PA上截取AG = CP，然后證明PG=BP即可。證明：在AP上截取AG = CP ABC為等邊三角形二 AB = BCv bp = BpZ BAG = Z PCB在厶ABG與厶CBP中/ AG=CP2 / BAG= / PCB:AB=BC ABG CBP (SAS) BP= BG,Z ABG = / PBC/ GBP = 60

18、°, BP= PG PA= PB+PC6、如圖，RTAABC中，AD為斜邊BC的高，P為AD的中點(diǎn)，BP交AC于N ,NM 丄 BC 于 M。求證：MN2=AN NC。分析：要證明MN2= AN NC,可將此式化為MN = _NCAN _ mN然后利用相似三角形的比例關(guān)系進(jìn)行求解。證明：延長(zhǎng)BA、MN，交于點(diǎn)E。 ABC是等腰直角三角形/ EAN = / MNC = 90° vZ ANE = / MNCi/ C =Z E AEMMNCv AD / MNZ CNM =Z CADZ CMN = Z CDAvZ C=ZC CNMCAD MN _ _NC_AN MN MN2_AN

19、NC7、 如圖， ABC內(nèi)接于。O，AB是。O的直徑，CD平分Z ACB交。O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)F,弦AE丄CD于H，連接CE、OH。求證：OH丄AC。D分析：要證明OH丄AC,可用補(bǔ)短的方法，即延長(zhǎng) CB、AE，交于點(diǎn)M，即可 證OH / AC。即可證明OH丄AC。證明：延長(zhǎng)CB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M。 AB為O O的直徑/ ACM = 90° AM 丄CD,且 CD 平分/ ACB AH = HM , OA = OBv OH是厶ACE的中位線OH / CM又 v/ ACM = 90° OH 丄 AC8、以厶ABC的邊AB為直徑作O O, OO與BC邊的交點(diǎn)D恰好為BC的中

20、點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)D作DE丄AC于E, DE為O O的切線。求 匹 的值。DC分析：要求匹的值，可用補(bǔ)短的方法，即延長(zhǎng) BA，過(guò)C作CM丄BA的延長(zhǎng)DC線交于點(diǎn)M，即可求出匹的值。DC解：延長(zhǎng)DA至M，作CM丄BM于M。v點(diǎn)D為BC中點(diǎn) AD 平分/ BAC / DAE = 60°, AD = AD DE= AD2AE2 =-AD2v O與D分別為AB、BC的中點(diǎn) AC = AB = 2ADv/ CAM = 180° 120°= 60° AC = 2AD CM = AC = 3 AD21 AM = AC = AD2 OC= . OM2 CM2 = 7 AD匹 _

21、 牙 ad 72?DC ；2AD 49、如圖,MB、求證:分析解：直徑 AB、CD互相垂直，點(diǎn) M是Ac上一動(dòng)點(diǎn)，連接 AM、MC、MD。2 2MD虬為定值。MAgMBMD 2 MC 2:要證明叱為定值，可用補(bǔ)短的方法，即延長(zhǎng) MD，過(guò)A作MAgMBAQ丄AM,BH丄MB,交AD的延長(zhǎng)線于 H。連接BC、AC、AD，作BH丄MB交AD的延長(zhǎng)線于Hv CD為O O的直徑 CBD、 CAD為等腰直角三角形v/ CBD = / MBH = 90°/ CBM =/ DBHv/ BDH+ / MPB = / MCB+ / MDC = 180/ BDH = / MCBCB = DBMCB與厶BD

22、H中/ CBM= / DBHCB=DB/ BDH= / MCB MCB BDH.DH = MC.BM = BH MBH為等腰直角三角.MH = MD+DH = MD+MC = . 2 MB同理可得：MD MC = . 2 MA.MD2 MC2 (MD MC)2 2MAg2MB oMAgMBMAgMB MAgMB.MD2 MC2 = 2MAgMB全等三角形中的截長(zhǎng)補(bǔ)短板塊一、截長(zhǎng)補(bǔ)短【例1】 已知 ABC中， A 60°, BD、CE分別平分 ABC和.ACB, BD、CE交于點(diǎn) O,試判斷BE、CD、BC的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.【例2】 如圖，點(diǎn) M為正三角形 ABD的邊AB所在直線上的任意一點(diǎn) （點(diǎn)B