二重積分的計(jì)算

1、一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分的計(jì)算上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁如果D是X型區(qū)域: D=(x, y)|j1(x)yj2(x), axb, 則 v在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算注: 由 x, y 取定值的平行直線網(wǎng)劃分積分區(qū)域, 面積元素 .ddxdy=21( )( )( , )( , )bxaxDf x y df x y dy dxjj= xyOddxdy=( , )Df x y dxdy上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分v坐標(biāo)變換公式cossinxy=( , )P x yOyxv面積元素提示: 用從極點(diǎn) O 出發(fā)的一族射線與以極點(diǎn)

2、為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域 D 劃分. 小區(qū)域 i 的面積iiiiddd =上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁jjdfdddfD=)()(21)sin,cos()sin,cos( ddfdyxfDD)sin,cos(),(=. v在極坐標(biāo)系下的二重積分v在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 如果積分區(qū)域可表示為 D: j1()j2(), , 則jjdfdddfD=)()(21)sin,cos()sin,cos(. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁提示: jdfdddfD=)(020)sin,cos()sin,cos(. 討論: 區(qū)域如下圖, 如何確定積分限?(1)(2)(2) jdfdddfD=)(020)sin,co

3、s()sin,cos(1) jdfdddfD=)(0)sin,cos()sin,cos(jdfdddfD=)(0)sin,cos()sin,cos(. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2: 02, 12.Dyxxx 解 積分區(qū)域如圖示, 表示為 型區(qū)域: 0,4D1x =222xyx=22yxx=22 cos=2提示: xyOsec2cos 例1 化 為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中( , )Df x y d122yxx=cos1=sec=2cos=( , )Df x y d2cos40sec( cos ,sin )dfd =上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁xyO222xy=xy=2:2, 01.Dyxyy 解 積分

4、區(qū)域如圖示, tan sec2 例2 化 為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中( , )Df x y d240tan sec( cos ,sin )dfd =表示為 型區(qū)域: 0,4Dxy=22sincos=提示: 2yx=tan sec=( , )Df x y d上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 解 積分區(qū)域如圖示, 表示為 型區(qū)域:2xy=2xy=xyO2212( , )yydyf x y dx 例3 化 為極坐標(biāo)形式的二次積分.:,42D2y =cos2sin=2cossin=提示: 2xy=sin2=2csc=22csccossin212( , )yydyf x y dx1/22csc/42(cossi

5、n )( cos ,sin )dfd =上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁2: 02, 01.Dyxxx 解 積分區(qū)域如圖示, 表示為 型區(qū)域, 分兩部分: 例4 化 為極坐標(biāo)形式的二次積分,其中22()Df xydxdy22yxx=xyO11: 0,4D0sec ;2:,42D02cos .22()Df xydxdy/4sec200()dfd =/22cos2/40()dfd 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 利用上述結(jié)果可以計(jì)算廣義積分dxex20 . 解 例 5 計(jì)算Dyxdxdye22, 其中 D 是由中心在原點(diǎn)、半徑 為a的圓周所圍成的閉區(qū)域. 在極坐標(biāo)系中, 閉區(qū)域D可表示為: 0a , 02 . 于是

6、 =DDyxddedxdye222=DDyxddedxdye222 deddeaa02020021 22 =deddeaa02020021 22 =)1 ()1 (212220aaede=)1 ()1 (212220aaede=. 注: 同濟(jì)五版P89-90 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁02acos , 2 0. 例6 求球體x2y2z24a2被圓柱面x2y2=2ax所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積. 解 由對(duì)稱性, 立體體積為第一卦限部分的四倍. =DdxdyyxaV22244, 其中 D 為半圓周22xaxy=及 x 軸所圍成的閉區(qū)域. 在極坐標(biāo)系中D可表示為 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例6 求球體x2y2z24a2被圓柱面x2y2=2ax所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積. 解 由對(duì)稱性, 立體體積為第一卦限部分的四倍. 在極坐標(biāo)系中D可表示為 )322(332)sin1 (33222032=ada)322(332)sin1 (33222032=ada. 于是 =20cos2022224444aDdadddaV=20cos2022224444aDdadddaV 02aco