第4章 靜電場答案

1、第4章 靜電場4.1 根據(jù)點電荷的場強公式 當(dāng)所考察的點到點電荷的距離r接近于零時，則電場強度趨于無限大，這顯然是沒有意義的。對此應(yīng)作何解釋？答：這是由于時，帶電體已不能再看成是點電荷，點電荷是一種理想的模型，只有在帶電體的線度遠小于源點到場點的距離時才可把帶電體看成是點電荷。本題中，則帶電體要按實際分布計算其場強，而不能用點電荷的場強公式。4.2 在高斯定理 中，問：（1）高斯面上的E是否完全由式中的 q 產(chǎn)生？（2）如果 q = 0 ，是否必定有E = 0 ？（3）如果在高斯面上E 處處為零，是否必定有 q = 0 ？答：（1）高斯面上的場強是由所有的電荷產(chǎn)生的。（2）若，但不一定為零。（

2、3）在高斯面上處處為零，則必定有q=0。4.3 將一個均勻帶電（量值為Q）的球形肥皂泡，由半徑吹至 。則半徑為 R （）的高斯面上任意一點的場強大小由 變至_，電勢由 變至_，通過這個高斯面的E的通量由變至_ 。答：（1）變?yōu)?（高斯面內(nèi)無電荷，且球?qū)ΨQ）；（2）；（3）04.4 電勢為零的地方，電場強度是否一定為零？電場強度為零的地方，電勢是否一定為零？分別舉例說明之。答：電勢為零的地方，電場強度不一定為零（電勢零點可選任一位置）；電場強度為零的地方，電勢也不一定為零。例如導(dǎo)體內(nèi)電場為零，但電勢可以不為零。4.5 將一個帶電物體移近一個導(dǎo)體殼，帶電體單獨在導(dǎo)體空腔內(nèi)激發(fā)的電場是否等于零？靜電

3、屏蔽的效應(yīng)是如何體現(xiàn)的？答：帶電體單獨在導(dǎo)體空腔內(nèi)激發(fā)的電場不為零。靜電屏弊效應(yīng)體現(xiàn)在帶電體的存在使導(dǎo)體腔上的電荷重新分布（自由電子重新分布），從而使得導(dǎo)體空腔內(nèi)的總電場為零。4.6 將一個帶正電的導(dǎo)體 A 移近一個接地的導(dǎo)體 B 時，導(dǎo)體 B是否維持零電勢？其上面是否帶電？答：導(dǎo)體B維持零電勢，其上帶負電。4.7 在同一條電場線上的任意兩點 a、b，其場強大小分別為及，電勢分別為和，則以下結(jié)論正確的是：(1 ) ； (2 ) ； (3) ； (4) 。答：同一條電場線上的兩點，電場強度可以相同，也可以不同，但沿著電場線電勢降低，所以選（4）。4.8 電容器串、并聯(lián)后的等值電容如何決定？在什么

4、情況下宜用串聯(lián)？什么情況下宜用并聯(lián)？解：串： 并：當(dāng)手頭的電容器的電容值比所需要的電容值小，宜用并聯(lián)。當(dāng)手頭的電容器的耐壓值比所需要的小，宜采用電容器串聯(lián)。4.9 兩根長度相同的銅導(dǎo)線和鋁導(dǎo)線，它們兩端加有相等的電壓問銅線中的場強與鋁線中的場強之比是多少？銅線中的電流密度與鋁線中的電流密度之比是多少？（已知）答：電壓V相同和導(dǎo)線長度l相同，則電場強度E相同；由 得：由于銅的電阻率大于鋁的電阻率，所以銅線中的電流小于鋁線中的電流。4.10 電力線(電場線)與電位移線之間有何關(guān)系？當(dāng)電場中有好幾種電介質(zhì)時，電力線是否連續(xù)？為什么？電場線和電位移線都是用來形象描述電場分布的，前者與電場強度相對應(yīng)，后

5、者與電位移矢量相對應(yīng)，它們的關(guān)系通過介質(zhì)的性質(zhì)方程相聯(lián)系。當(dāng)電場中有好幾種電介質(zhì)時，電力線是不連續(xù)的，這是由于介質(zhì)極化將在介質(zhì)的表面及兩種介質(zhì)的交界面出現(xiàn)面束縛電荷的原因。4.11 說明帶電系統(tǒng)形成過程中的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系，在此過程中系統(tǒng)獲得的能量儲藏在何處？圖4.22 題4.12圖答：在帶電系統(tǒng)的形成過程中，外力做功使系統(tǒng)的能量增加，系統(tǒng)獲得的能量儲存在電場中成為靜電場能量。4.12 如圖4.22所示，在圖(a)充電后不斷開電源，圖(b)充電后斷開電源的情況下，將相對電容率為的電介質(zhì)填充到電容器中，則電容器儲存的電場能量對圖(a)的情況是_ ，對圖(b)情況是_。 答：（a）當(dāng)充電后不斷開電源（

6、V不變），填充介質(zhì)使電容器儲存的電場能量增大；（b）當(dāng)充電后斷開電源（q不變），填充介質(zhì)使電容器儲存的電場能量減小。* * * * * * * * * *4.13 兩個點電荷所帶電荷量之和為，問它們各帶多少電荷時，相互作用力最大？解：設(shè)一個帶電，則另一個帶電，其相互作用力大小為 得 又 是F的極大值點所以當(dāng)兩電荷的電量相等均為時，其相互作用力最大。4.14 電子以 5.0×10 6 m ·s -1 的速率進入場強為 E =1.0×103 V·m-1的勻強電場中，若電子的初速度與場強方向一致問（1）電子作什么運動？（2）經(jīng)過多少時間停止？（3）這段時間電子

7、的位移是多少？解：（1）由于速度方向和加速度（受力）方向相反 電子作運減速運動。（2）由得從以運動到停止所需時間為（3）這段時間電子的位移為4.15 兩個點電荷和相距為l。若() 兩電荷同號；() 兩電荷異號求它們連線上電場強度為零的點的位置解：（1）若兩電荷同號，電場為零的點在與的連線上，設(shè)距為x處，則有， 由此得整理得 解之得 （舍去了負根）（2）若兩電荷異號，電場為0的點在與的延長線上，且在電量較小的電荷一邊。若設(shè)在外距為x處，則有 即 整理得 解之得若，則在外距為（同上計算） 4.16 粒子快速通過氫分子中心，其軌道垂直于兩核連線中心，問粒子在何處受到的力最大？假定粒子穿過氫分子時，兩

8、核無多大移動，同時忽略分子中電子的電場解：設(shè)兩核間的距離為2，粒子在距兩核中心的距離為r時所受力為最大，其值為由極值條件 得即粒子到兩核中心的距離等于兩核距離的倍時所受之力為最大。4.17 若電荷 q 均勻地分布在長為 L 的細棒上，求證：(1) 在棒的延長線上，離棒中心為 a 處的場為 (2) 在棒的垂直平分線上，離棒 a 處的場強為 證明：選棒的中心為坐標原點，沿棒的方向為x軸方向，垂直于棒的方向為y軸（1）（2）圖4.23 題4.18圖4.18 如圖4.23 所示為一無限大均勻帶電平面中間挖去一個半徑為 R 的圓孔，電荷面密度為，求通過圓孔中心且與平面垂直的線上 P 點的場強設(shè) 點到孔心

9、的距離為 x ，討論 x >> R 和 x << R 兩種情況下，為多少？ 解：本問題可等效為面電荷密度為的均勻無限大帶電面與面電荷密度為-的均勻帶電圓盤（圓孔大?。┑膱龅寞B加。前者在p點產(chǎn)生的場強為后者在P點所產(chǎn)生的電場為P點的電場強度為討論：（1）當(dāng) 即在很遠處，挖掉的圓孔對電場強度影響不大可以忽略。（2）當(dāng)時，即當(dāng)場點無限接近帶電面時，其電場強度只與該處的電荷分布有關(guān)，（該處電荷面密度）4.19 設(shè)均勻電場的場強與半徑為的半球面的軸平行求通過此半球面的電通量解：取半徑為R的平面與半徑面構(gòu)成封閉面，對于該封閉面，由高斯定理便知其閉面通量為零，所以通過半徑面的電通量與

10、垂直于電場方向的平面（半徑R）的電通量大小相同。即圖4.24 題4.20圖 4.20 一均勻帶電線，線電荷密度為，線的形狀如圖4.24所示。設(shè)曲率半徑為R與線的長度相比為足夠小。求O點處的電場強度的大小。解：0點處的電場可看成是由兩個半無限長線和一個圓周電荷產(chǎn)生的電場，而兩半無限長線上的電荷在0點產(chǎn)生的電場和大小相等，方向相反，則0點的電場強度是圓周電賀產(chǎn)生的，即4.21 兩個均勻帶電的同心球面，半徑分別為 0.1 m 和 0. 3 m ，小球面帶電荷為1.0×10 -8 C， 大球面帶電荷 1. 5×10 -8 C，求：離球心為 (1) 5×10 -2 m ；(

11、2) 0. 2 m ；(3) 0.5 m 處的場強。這兩個帶電球面產(chǎn)生的場強是否為離球心距離的連續(xù)函數(shù)。解：（1），處于球面內(nèi)，則以過場點所作的同心球面作為高斯面，其內(nèi)無電荷，利用高斯定理及電場的球?qū)ΨQ分布有 ， 從而（2）過該場點所做之同心球面包括小均勻帶電球面，據(jù)高斯定理及電場的球?qū)ΨQ分布得 由此得 （3）過該場點所做之同心球面包括小均勻帶電球面，也包含大均勻帶電球面，將其作為高斯面，應(yīng)用高斯定理并利用電場的球?qū)ΨQ分布有 由此得 這兩帶電球面產(chǎn)生的場強不是距球心距離r的連續(xù)函數(shù)。4.22 兩個帶有等量異號電荷的無限長同軸圓柱面，半徑分別為 R1 和R2 (R2 > R1)，大圓柱面和

12、小圓柱面單位長度帶電荷分別為 -和 +，求離軸線為 r處的電場強度： (1) r < R1 ；(2) R2 > r >R1 ；(3) r > R2 解：過場點作與帶電無限長圓柱同軸的圓柱面，高為h，將其作為高斯面，利用高斯定理及電場的軸對稱性（柱面上電場沿徑向，且在側(cè)面上大小相等）可計算如下：（1） (2) 由此得 （3） 4.23 如圖4.25所示，一質(zhì)量為 m = 1.0×10 -6 kg 的小球，帶有電荷q = 2.0×10 -11 C ，懸于一絲線下面，線與一塊很大的均勻帶電平面成= 30o 角。求此帶電平面的電荷密度。圖4.25 題4.23

13、圖解：設(shè)帶電平面的電荷密度為，它在平面附近產(chǎn)生的電場大小為，則點電荷q所受水平方向的電場力為由受力平衡可得由（1）/（2）得有 4.24 一個半徑為R 的球體均勻帶電，其電荷體密度為，求空間各點的電勢。解：利用高斯定理并考慮球?qū)ΨQ性得有 由電勢與電場強度關(guān)系的積分形式得在區(qū)域 ，在區(qū)域 即求間各點的電勢分布為4.25 在一點電荷的電場中，把一電荷量為 1.0×10 -9 C 的試探電荷從無限遠處移到離場源電荷為 0.10 m 時，電場力做功為 1.8 ×10 -5 J ，求該點電荷的電荷量。解：設(shè)所求點電荷的電量為q，其電勢分布為試探電荷在其中的電勢能為將其從無限遠移至離q

14、為電場力所做的功為有4.26 一個半徑為 R 的均勻帶電球面，面電荷密度為求距離球心為 r 處的 P點的電勢，設(shè) (1) r < R；(2) r = R；(3) r > R解：由高斯定理易得均勻帶電球面的電場強度分布為由電勢與電場強度的積分關(guān)系得球面外球面內(nèi) 即電勢分布為 4.27 兩共軸長直圓柱面 ( R1 = 3×10-2m，R2 = 0.1m )帶有等量異號電荷，兩柱面的電勢差為 450V ，求圓柱面單位長度所帶的電荷量。解：設(shè)內(nèi)外兩圓柱面單位長度所帶電勢分別為和，選與柱面同軸，長為的圓柱面作為高斯面，由高斯定理并考慮軸對稱性易得電場強度在兩柱面內(nèi)的分布則兩柱面間的

15、電勢差由此得 4.28 一圓盤均勻帶電，圓盤的半徑為 R = 8.0×10 -2 m ，電荷面密度為=2×10 -5 C·m-2 ，求：(1) 軸線上任一點的電勢；(2) 從場強與電勢的關(guān)系，求軸線上一點的場強； (3) 離盤 0.1m 處的電勢和場強。解：（1）利用點電荷電勢公式及電勢的疊加原理可得軸線上任一點的電勢為 （2）由電荷分布的對稱性質(zhì)，軸線上的電場沿軸線，即沿x軸方向，所以有 （3）時 圖4.26 題4.29圖4.29 如圖4.26所示，三塊平行的金屬板A、B 和 C 面積都是200cm2 。A、B相距4.0 mm，A、C相距2.0 mm，B、C兩點

16、都接地，如果使 A 板帶正電 3.0×10-7C，并略去邊緣效應(yīng)，問：(1) B 板和 C 板上感應(yīng)電荷各是多少？(2)以地的電勢為零，問 A 板的電勢為多少？解：（1）若設(shè)A板左右面帶電分別為和，則C、A之間和A、B之間的電場為， （1）又C板與B板電位相等（均為0），則有： 即利用（1）便得： （2）又 （3）（2）、（3）聯(lián)立解之得：由上分析便知，C板上感應(yīng)電荷 ；B板上感應(yīng)電荷 （2）A板電勢為4.30 電量為q 的點電荷處在導(dǎo)體球殼的中心，球殼的內(nèi)、外半徑分別為和，求場強和電勢的分布。解：根據(jù)靜平衡條件知，在導(dǎo)體內(nèi)，在球殼層內(nèi)的任意封閉面的電通量為0，利用高斯定理便知球殼內(nèi)

17、表面所帶電荷大小與球心的點電荷q相等，相差負號。由電荷守恒定律可知球殼外表面所帶電荷為q，顯然電荷分布具有球?qū)ΨQ性。由高斯定理易得空間的場強分布由 得電勢分布：4.31 設(shè)有1、2 兩個電容器，C1= 3F ，C2= 6F ，電容器 1充電后帶電量Q = 9×10-4 C，將其與未充電的電容器 2并聯(lián)連接。問：(1) 電容器 1的電勢差和電量有何變化？(2) 電容器 2上所帶的電量是多少？其電勢差多大？解：已知，兩電容器并聯(lián)并聯(lián)后電容器的電壓由此可見：（1）電容器1的電勢差減少了200V；（2）電容器2所帶電荷為，其電勢差為4.32 兩電容器的電容分別為C1= 10F，C2= 20F

18、 ，分別帶電= 5 ×10-4C，= 4×10-4 C ，將C1和C2并聯(lián)，電容器所帶電量各變?yōu)槎嗌?？電能改變多少？解?，電能改變則并聯(lián)系統(tǒng)總電能的改變圖4.27 題4.33圖即體系的電能減少了4.33 將大地看成均勻的導(dǎo)電介質(zhì)，并設(shè)大地的電阻率為。將半徑為a的球形電極的一半埋于地下，如圖4.27所示，求該電極的接地電阻。解：按電阻串聯(lián)得： 4.34 一蓄電池，在充電時通過的電流為 2.0 A，此時蓄電池兩極間的電勢差為 4.6 V，當(dāng)它放電時，通過的電流為 3.0 A，兩極間的電勢差為5.1 V。求蓄電池的電動勢和內(nèi)阻。解：充電時 （1） 放電時（2）（1）、（2）聯(lián)立

19、求解得 4.35 利用安培計和伏特計來測量電阻，(已知安培計的內(nèi)阻為 RA=0.03，伏特計的內(nèi)阻為RV =1000)，測量時有兩種接法，如圖4.28 所示(1) 按圖 (a) 的接法，安培計的讀數(shù)為 = 0.32 A ，伏特計的讀數(shù)為= 9.60 V ，求由于在計算電阻時未考慮安培計內(nèi)阻而造成的相對誤差(2) 按圖(b)的接法，安培計的讀數(shù)為I2 =2.40A，伏特計的讀數(shù)為V2=7.20 V，求由于在計算電阻時未考慮伏特計內(nèi)阻而造成的相對誤差圖4.28 題4.35圖 解（1）內(nèi)安法：未考慮安培計內(nèi)阻 而實際電阻相對誤差%（2）外安法 而實際電阻滿足 由此解得： 相當(dāng)誤差為 %4.36 一半

20、徑為R的電介質(zhì)實心球體均勻地帶正電，單位體積所帶電荷為，球體的介電常數(shù)為，球體外充滿介電常數(shù)為的無限大均勻電介質(zhì)。求球體內(nèi)、外任一點的場強和電勢。解：選過場點以介質(zhì)球心為心的球面作為高斯面，利用有介質(zhì)時的高斯定理及球?qū)ΨQ性可得，在介質(zhì)內(nèi) ， 在介質(zhì)內(nèi) 由此得 ， 即球內(nèi)外的電場分布為 進一步由 可得電勢的分布4.37 平行板電容器的兩極板上分別帶有等量異號電荷，其面密度為9.0×10-6 C·m-2 。在兩極板間充滿介電常數(shù)為3.5×10-11 C2·N -1·m-2 的電介質(zhì)。求：(1) 自由電荷所產(chǎn)生的場強；(2) 電介質(zhì)內(nèi)的場強；(3)

21、電介質(zhì)上束縛電荷的面密度；(4) 由束縛電荷產(chǎn)生的場強。解：（1）（2） （3） 與自由電荷符號相反。（4）束縛電荷產(chǎn)生的電場 4.38 設(shè)半徑都是r的兩條平行的“無限長”直導(dǎo)線 A、B，其間相距為 d (d >> r)，且充滿介電常數(shù)為的電介質(zhì)。求單位長度導(dǎo)線的電容。解：設(shè)每條導(dǎo)線單位長度所帶電量為，符號相反，在兩導(dǎo)線所在平面上的導(dǎo)線間區(qū)域，它們產(chǎn)生的電場方向相同，且對兩導(dǎo)線間的電勢差的貢獻相等。所以兩導(dǎo)線間的電壓為：由電容的定義便可得單位長度導(dǎo)線的電容為：4.39 如圖4.29所示，平行板電容器的兩極板間充滿三種相對介電常數(shù)分別為的電介質(zhì)，極板間距為d，三種電介質(zhì)與極板接觸的面積分別為。設(shè)極板間電壓為U，忽略邊緣效應(yīng)，求：圖4.29 題4.39圖(1) 三種電介質(zhì)內(nèi)的場強；(2) 極板上的帶電量；(3) 電容器的電容。解：（1）（2）， 同樣： （3）可看成三電容器并聯(lián)同樣 ，而 4.40 一平行板電容器的極板面