常系數(shù)非齊次線性微分方程

1、編輯課件常系數(shù)非齊次線性微分方程 第八節(jié)第八節(jié)型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、 第七章 編輯課件)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程對應(yīng)齊次方程對應(yīng)齊次方程, 0 qyypy通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu)*,yYy 常見類型常見類型( )( ),xmf xPx e 難點：難點：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系數(shù)法待定系數(shù)法.( )( )cos( )sinxlnf xeP xxP xx 編輯課件設(shè)非齊方程特解為設(shè)非齊方程特解為*( )xyQ x e 代入原方程代入原方程)()()()()2()(2xPxQqpxQpxQ

2、m 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xQxQm 可可設(shè)設(shè)是特征方程的單根，是特征方程的單根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxQxQm 可可設(shè)設(shè)*( );xmyQx e *( );xmyxQx e 一、 型)()(xPexfmx )(xfqyypy 編輯課件是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xQxxQm 可設(shè)可設(shè)綜上討論綜上討論*( ) ,kxmyx e Qx 設(shè) 是重根是重根是單根是單根不是根不是根2,10k注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性階常系

3、數(shù)非齊次線性微分方程（微分方程（k是重根次數(shù)）是重根次數(shù)）.*2( ).xmyx Qx e 編輯課件特別地特別地xAeqyypy 2*2,22xxxAepqAyxepAx e 單不是特征方程的根是特征方程的根是特征方程的重根編輯課件例1.求方程的一個特解2331yyyx 解解: : 本題而特征方程為,0322 rr不是特征方程的根 .設(shè)所求特解為,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比較系數(shù), 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解為.31*xy0,0編輯課件.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解特征方程特征方程,

4、0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececY 是單根，是單根，2 ,)(2xeBAxxy 設(shè)設(shè)代入方程代入方程, 得得xABAx 22,121 BA*21(1)2xyxxe 于是原方程通解為原方程通解為.)121(2221xxxexxeCeCy 例例編輯課件例例225521.yyx 求方程的通解編輯課件例. 求解定解問題求解定解問題 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: : 本題特征方程為, 02323rrr其根為設(shè)非齊次方程特解為,*xby代入方程得, 12b故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故對應(yīng)齊次方程通解為1CY xeC2

5、xeC23原方程通解為x211Cy xeC2xeC23由初始條件得0432CC,0編輯課件于是所求解為xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC編輯課件型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ixixixixxlneeeeePPi ()()()()2222ixixlnlnPPPPeeii()()( )( ),ixixP x eP x e ()( ),ixypyqyP x e 設(shè)*()1,kixmyx Q e 利用歐拉公式利用歐拉公式編輯課件()( ),ixypyqyP x e 設(shè)*()1,kix

6、myx Q e *kxixixmmyx eQ eQ e ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexmmxk 次多項式，次多項式，是是其中其中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max 0,1iki 單不是根是根注意注意上述結(jié)論可推廣到上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程階常系數(shù)非齊次線性微分方程.編輯課件cos2.yyxx 個例4求方程的一特解解解對應(yīng)齊次方程特征方程對應(yīng)齊次方程特征方程210r 2,i 不是特征方程的根*()cos2()sin2 ,yaxbxcxdx 設(shè)代入方程得代入方程得3134030340abccda 140,0,39abcd ，*14cos2s

7、in2 .39yxxx ri 特征根( 334 )cos2(334 )sin2cos2axbcxcxdaxxx 編輯課件25sin2.xyyyex求方程的通解解解對應(yīng)齊次方程通解對應(yīng)齊次方程通解12cos2sin2 ,xxYe Cxe Cx 12,i 單是根*( cos2sin2 ),xyxeaxbx 故代入上式代入上式4 cos2( 4 )sin2 sin2xxebxaxex 所求非齊方程特解為所求非齊方程特解為*1cos2 ,4xyxex 原方程通解為原方程通解為121(cos2sin2 )cos2 .4xxyeCxCxxex例例5 510,4ba 編輯課件例例6 6cos.xyyex 求

8、方程的通解編輯課件.tan的的通通解解求求方方程程xyy 解解對應(yīng)齊方通解對應(yīng)齊方通解,sincos21xCxCY 用常數(shù)變易法求非齊方程通解用常數(shù)變易法求非齊方程通解,sin)(cos)(21xxcxxcy 設(shè)設(shè), 1)( xw,cos)(tanseclnsin)(2211 CxxcCxxxxc原方程通解為原方程通解為.tanseclncossincos21xxxxCxCy 例例7 7編輯課件例8.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以設(shè)非齊次方程特解為(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024

9、rr0)1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為)(*2baxxyxce )sincos(xkxdx設(shè)下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式:編輯課件三、小結(jié)三、小結(jié)可以是復(fù)數(shù)）可以是復(fù)數(shù)） (),()()1(xPexfmx );(xQexymxk ,sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk (待定系數(shù)法待定系數(shù)法)只含上式一項解法：只含上式一項解法：作輔助方程作輔助方程,求特解求特解, 取取特解的實部或虛部特解的實部或虛部, 得原非齊方程特

10、解得原非齊方程特解.編輯課件思考題思考題寫出微分方程寫出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 編輯課件思考題解答思考題解答設(shè)設(shè) 的特解為的特解為2644xyyy *1yxeyyy2844 設(shè)設(shè) 的特解為的特解為*2y*2y *1*yy 則所求特解為則所求特解為0442 rr特征根特征根22, 1 rCBxAxy 2*1xeDxy22*2 （重根）（重根）*2y *1*yy CBxAx 2.22xeDx 編輯課件思考與練習(xí)時可設(shè)特解為 xxxfcos)() 1當xexxxf22cos)()2當xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(x

11、ek2)(xfyy 時可設(shè)特解為 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 設(shè)sin)(cos)(xxRxxRmm編輯課件2. 求微分方程求微分方程xeyyy 44的通解 (其中為實數(shù) ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr對應(yīng)齊次方程通解:xexCCY221)(2時,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解為xexCCy221)(xe2)2(12時,2xexBy令代入原方程得,21B故原方程通解為xexCCy221)(xex221編輯課件3. 已知二階常微分方程已知二階常微分方程xecyb

12、yay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 將特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比較系數(shù)得01baca 201ba0a1b2c故原方程為xeyy2 對應(yīng)齊次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解為xxeCeCy21xex編輯課件一一、 求求下下列列微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、xeyay 2；2 2、xxeyyy 323；3 3、xxyycos4 ；4 4、xyy2sin . .二二、 求求下下列列各各微微分分方方程程滿滿足足已已給給初初始始條條件件的的特特解解: :1 1、0,1,5400 xxyyyy；2

13、 2、xxexeyyy 2, , 1,111 xxyy；3 3、)2cos(214xxyy , , 0,000 xxyy. .練練 習(xí)習(xí) 題題編輯課件三、三、 含含源源在在CLR,串聯(lián)電路中串聯(lián)電路中, ,電動電動E勢為勢為的電源對的電源對電電充充電電容容器器 C. .已已20 E知知伏伏, ,微微法法2 . 0 C, ,亨亨1 . 0 L, ,歐歐1000 R, ,試求合上開試求合上開后后關(guān)關(guān) K的電的電及及流流)(ti)(tuc電壓電壓 . .四、四、 設(shè)設(shè))(x 函函數(shù)數(shù)連續(xù)連續(xù), ,且滿足且滿足 xxxdttxdtttex00)()()( , , )(x 求求. .編輯課件練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、2211sincosaeaxCaxCyx ； 2 2、)323(2221xxeeCeCyxxx ； 3 3、xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 ； 4 4、212cos10121 x