小波分析考試題及答案

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考一、敘述小波分析理論發(fā)展的歷史和研究現(xiàn)狀答：傅立葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域和特征和頻域特征聯(lián)系起來(lái)， 能分別從信號(hào)的時(shí)域和頻域觀察， 但不能把二者有機(jī)的結(jié)合起來(lái)。 這是因?yàn)樾盘?hào)的時(shí)域波形中不包含任何頻域信息，而其傅立葉譜是信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性， 從其表達(dá)式中也可以看出，它是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，沒(méi)有局部化分析信號(hào)的功能，完全不具備時(shí)域信息，也就是說(shuō)，對(duì)于傅立葉譜中的某一頻率， 不能夠知道這個(gè)頻率是在什么時(shí)候產(chǎn)生的。這樣在信號(hào)分析中就面臨一對(duì)最基本的矛盾時(shí)域和頻域的局部化矛盾。在實(shí)際的信號(hào)處理過(guò)程中， 尤其是對(duì)非常平穩(wěn)信號(hào)的處理中， 信號(hào)在任一時(shí)刻附近的頻域特征很重要。 如柴油機(jī)

2、缸蓋表明的振動(dòng)信號(hào)就是由撞擊或沖擊產(chǎn)生的，是一瞬變信號(hào)， 單從時(shí)域或頻域上來(lái)分析是不夠的。 這就促使人們?nèi)ふ乙环N新方法，能將時(shí)域和頻域結(jié)合起來(lái)描述觀察信號(hào)的時(shí)頻聯(lián)合特征， 構(gòu)成信號(hào)的時(shí)頻譜，這就是所謂的時(shí)頻分析，亦稱(chēng)為時(shí)頻局部化方法。為了分析和處理非平穩(wěn)信號(hào)， 人們對(duì)傅立葉分析進(jìn)行了推廣乃至根本性的革命，提出并開(kāi)發(fā)了一系列新的信號(hào)分析理論：短時(shí)傅立葉變換、 時(shí)頻分析、 Gabor變換、小波變換Randon-Wigner 變換、分?jǐn)?shù)階傅立葉變換、線形調(diào)頻小波變換、循環(huán)統(tǒng)計(jì)量理論和調(diào)幅調(diào)頻信號(hào)分析等。其中，短時(shí)傅立葉變換和小波變換也是因傳統(tǒng)的傅立葉變換不能夠滿足信號(hào)處理的要求而產(chǎn)生的。短時(shí)傅立葉

3、變換分析的基本思想是： 假定非平穩(wěn)信號(hào)在不同的有限時(shí)間寬度內(nèi)是平穩(wěn)信號(hào)， 從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的功率譜。 但從本質(zhì)上講， 短時(shí)傅立葉變換是一種單一分辨率的信號(hào)分析方法， 因?yàn)樗褂靡粋€(gè)固定的短時(shí)窗函數(shù)， 因而短時(shí)傅立葉變換在信號(hào)分析上還是存在著不可逾越的缺陷。小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間尺度 （時(shí)間頻率） 分析方法， 具有多分辨率分析（ Multi-resolution ）的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，使一種窗口大小固定不變， 但其形狀可改變， 時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。 小波變換在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率。在高頻部分具有較高的時(shí)間

4、分辨率和較低的頻率分辨率， 很適合于探測(cè)正常信號(hào)中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象并展示其成分，所以被譽(yù)為分析信號(hào)的顯微鏡。小波分析最早應(yīng)用在地震數(shù)據(jù)壓縮中 , 以后在圖像處理、 故障診斷等方面取得了傳統(tǒng)方法根本無(wú)法達(dá)到的效果 . 現(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到了自然科學(xué)、 應(yīng)用學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考科學(xué)等方面 , 小波分析已成為國(guó)際研究熱點(diǎn). 無(wú)論是傅里葉分析還是小波分析均以線性變換為基礎(chǔ) , 按非線性傅立葉分析提出了非線性小波變換, 這種非線性小波變換處理非線性問(wèn)題更為有效.二、分析小波的基本定義答：小波 (Wavelet)這一術(shù)語(yǔ)，顧名思義， “小波 ”就是小的波形。所謂 “小”是指它具有衰減性

5、；而稱(chēng)之為 “波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅正負(fù)相間的震蕩形式。與 Fourier 變換相比， 小波變換是時(shí)間 (空間 )頻率的局部化分析， 它通過(guò)伸縮平移運(yùn)算對(duì)信號(hào) (函數(shù) )逐步進(jìn)行多尺度細(xì)化，最終達(dá)到高頻處時(shí)間細(xì)分，低頻處頻率細(xì)分，能自動(dòng)適應(yīng)時(shí)頻信號(hào)分析的要求，從而可聚焦到信號(hào)的任意細(xì)節(jié)，解決了Fourier 變換的困難問(wèn)題，成為繼 Fourier 變換以來(lái)在科學(xué)方法上的重大突破。有人把小波變換稱(chēng)為“數(shù)學(xué)顯微鏡” 。小波分析方法是一種窗口大小 （即窗口面積） 固定但其形狀可改變， 時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部化分析方法， 即在低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時(shí)間分辨率，在高頻部分具

6、有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率。正是這種特性，是小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。小波分析被看成調(diào)和分析這一數(shù)學(xué)領(lǐng)域半個(gè)世紀(jì)以來(lái)的工作結(jié)晶， 已經(jīng)和必將廣泛地應(yīng)用于信號(hào)處理、圖像處理、量子場(chǎng)論、地震勘探、語(yǔ)音識(shí)別與合成、音樂(lè)、雷達(dá)、 CT 成像、彩色復(fù)印、流體湍流、天體識(shí)別、機(jī)器視覺(jué)、機(jī)械故障診斷與監(jiān)控、 分形以及數(shù)字電視等科技領(lǐng)域。 原則上講， 傳統(tǒng)上使用傅立葉分析的地方，都可以用小波分析取代。 小波分析優(yōu)于傅立葉變換的地方是， 它在時(shí)域和頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)。設(shè) t L2 R （ L2 R 表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間） ，其傅立葉變換為。滿足允許條件（ Admi

7、ssible Condition ）：2C Rd時(shí)，我們稱(chēng)t 為一個(gè)基本小波或母小波（ Mother Wavelet）。將母函數(shù)t 經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一個(gè)小波序列。學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考對(duì)于連續(xù)的情況，小波序列為1t ba, ba.b R; a 0aa其中， a 為伸縮因子， b 為平移因子。對(duì)于離散的情況，小波序列為j , k 2 j / 22 j t kj , k Z對(duì)于任意的函數(shù) f tL2 R 的連續(xù)小波變換為Wfa,bf ,a ,baR f ttb dt1 / 2a其逆變換為f t1RR12 W fa, bt bdadbCtaa小波變換的時(shí)頻窗口特性與短時(shí)傅立葉

8、的時(shí)頻窗口不一樣。其窗口形狀為兩個(gè)矩形 ba,ba0/ a,0/ a ，窗口中心為b,0 / a ，時(shí)窗寬和頻窗寬分別為 a 和 / a 。其中 b 僅僅影響窗口在相平面時(shí)間軸上的位置，而 a 不僅影響窗口在頻率軸上的位置，也影響窗口的形狀。這樣小波變換對(duì)不同的頻率在時(shí)域上的取樣步長(zhǎng)是調(diào)節(jié)性的： 在低頻時(shí)小波變換的時(shí)間分辨率較差，而頻率分辨率較高； 在高頻時(shí)小波變換的時(shí)間分辨率較高， 而頻率分辨率較低，這正符合低頻信號(hào)變化緩慢而高頻信號(hào)變換迅速的特點(diǎn)。 這便是它優(yōu)于經(jīng)典的傅立葉變換與短時(shí)傅立葉變換的地方。 從總體上來(lái)說(shuō)， 小波變換比短時(shí)傅立葉變換具有更好的時(shí)頻窗口特性。三、小波分析是傅立葉分析

9、思想方法的發(fā)展與延拓，二者相輔相成，試對(duì)小波分析和傅立葉變換進(jìn)行比較答：小波分析是傅立葉分析思想的發(fā)展與延拓，它自產(chǎn)生以來(lái)，就一直與傅立葉分析密切相關(guān)，他的存在性證明，小波基的構(gòu)造以及結(jié)果分析都依賴(lài)于傅立葉分析，二者是相輔相成的，兩者主要的不同點(diǎn)：學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考1、傅立葉變換實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t) 分解到以 exp(jt)為正交基的空間上去；小波變換的實(shí)質(zhì)是把能量有限信號(hào)f(t)分解到 W-j 和 V-j 所構(gòu)成的空間上去的。2、傅立葉變換用到的基本函數(shù)只有sin( t),cos(t),exp(j，具有t)唯一性；小波分析用到的函數(shù)（即小波函數(shù)）則具有多樣性，同一個(gè)

10、工程問(wèn)題用不同的小波函數(shù)進(jìn)行分析有時(shí)結(jié)果相差甚遠(yuǎn)。小波函數(shù)的選用是小波分析運(yùn)用到實(shí)際中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題（也是小波分析研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題），目前往往是通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或不斷地試驗(yàn)（對(duì)結(jié)果進(jìn)行對(duì)照分析）來(lái)選擇小波函數(shù)。3、在頻域分析中，傅立葉變換具有良好的局部化能力，特別是對(duì)于那些頻率成分比較簡(jiǎn)單的確定性信號(hào)，傅立葉變換很容易把信號(hào)表示成各頻率成分的疊加和的形式，如sin( 1t)+0.345sin(2t)+4.23cos(，3t)但在時(shí)域中傅立葉變換沒(méi)有局部化能力，即無(wú)法從 f(t)的傅立葉變換中看出 f(t)在任一時(shí)間點(diǎn)附近的性態(tài)。 事實(shí)上，F(xiàn)(w)dw 是關(guān)于頻率為 w 的諧波分量的振幅 ，在傅立葉展

11、開(kāi)式中 ，它是由 f(t) 的整體性態(tài)所決定的。4、在小波分析中，尺度a 的值越大相當(dāng)于傅立葉變換中w 的值越小。5、在短時(shí)傅立葉變換中 ，變換系數(shù) S(，)主要依賴(lài)于信號(hào)在 -，+片段中的情況，時(shí)間寬度是 2（因?yàn)?是由窗函數(shù) g(t) 唯一確定的，所以 2是一個(gè)定值）。在小波變換中，變換系數(shù) Wf（a,b ）主要依賴(lài)于信號(hào)在 b- a，b+a）片斷中的情況，時(shí) -間寬度是 2a，該時(shí)間的寬度是隨尺度 a 變化而變化的，所以小波變換具有時(shí)間局部分析能力。6、若用信號(hào)通過(guò)濾波器來(lái)解釋?zhuān)〔ㄗ儞Q與短時(shí)傅立葉變換不容之處學(xué)習(xí)資料學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考在于：對(duì)短時(shí)傅立葉變換來(lái)說(shuō) ，帶通濾波器的

12、帶寬f與中心頻率 f 無(wú)關(guān)；相反小波變換帶通濾波器的帶寬f則正比于中心頻率f。四、闡述多分辨分析的思想并給出MALLAT 算法的表達(dá)式答： Meyer 于 1986 年創(chuàng)造性地構(gòu)造出具有一定衰減性的光滑函數(shù)，其二進(jìn)制伸縮與平移構(gòu)成 L2 R 的規(guī)范正交基，才使小波得到真正的發(fā)展。1988 年 S.Mallat在構(gòu)造正交小波基時(shí)提出了多分辨分析（Multi-Resolution Analysis ）的概念，從空間的概念上形象地說(shuō)明了小波的多分辨率特性，將此之前的所有正交小波基的構(gòu)造法統(tǒng)一起來(lái)， 給出了正交小波的構(gòu)造方法以及正交小波變化的快速算法，即Mallat 算法。 Mallat 算法在小波分析中的地位相當(dāng)于快速傅立葉變換算法在經(jīng)典傅立葉分析中的地位。定義：空間2( )2( R) 滿足如下性質(zhì)的一個(gè)空間序列LR 中的多分辨分析是指LV j j Z ：（ 1）調(diào)一致性： VjV j 1 ，對(duì)任意 jZ（ 2）漸進(jìn)完全性：I V j， close U V jL2 (R)j ZjZ（ 3）伸縮完全性： f (t)Vjf ( 2t )V j 1（ 4）平移不變性：kZ ,(2 j/ 2 t ) Vjj (2j / 2 tk)V j（ 5） Riesz 基存在性：存在(t )V0 ，使得