1-3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系

1、11-3 描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系一、直角坐標(biāo)系一、直角坐標(biāo)系 (rectangular coordinate) 通常采用的直角坐標(biāo)系通常采用的直角坐標(biāo)系屬屬右旋系右旋系, 當(dāng)右手四指由當(dāng)右手四指由x軸軸方向轉(zhuǎn)向方向轉(zhuǎn)向y軸方向時(shí)軸方向時(shí), 伸直的伸直的拇指則指向拇指則指向z軸的正方向。軸的正方向。 在參考系上取一固定點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)在參考系上取一固定點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)O, 過點(diǎn)過點(diǎn)O畫畫三條相互垂直的帶有刻度的坐標(biāo)軸三條相互垂直的帶有刻度的坐標(biāo)軸, 即即x軸、軸、y軸和軸和z軸軸, 就構(gòu)成了就構(gòu)成了直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 O-xyz。 xyzOP(x,y,z)r2kzj yi xr位

2、置矢量可表示為位置矢量可表示為 可用方向余弦來(lái)表示位置矢量方向?？捎梅较蛴嘞襾?lái)表示位置矢量方向。cos,cos,cosxryrzrcoscoscos2221222zyxrr位矢大小位矢大小其中其中 、和、和 分別是分別是x、y和和z方向的單位矢量。方向的單位矢量。ijk3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道參量方程式質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌道參量方程式 寫成分量形式寫成分量形式)()()(tzztyytxxkjikjirvzyxvvvtztytxtddddddddvxtvytvtxydd,dd,ddzz222zyxvvvvv速度表達(dá)式速度表達(dá)式4任何一個(gè)方向的速度和加速度都只與該方向的位置矢量的任何一個(gè)方向的速度和加速度都只與

3、該方向的位置矢量的分量有關(guān)分量有關(guān), 而與其它方向的分量無(wú)關(guān)而與其它方向的分量無(wú)關(guān)。 ktjtyitxktvjtvitvazyx22222ddddddddddddzk+aj+aiazyx加速度的表達(dá)式加速度的表達(dá)式222zyxaaaaa加速度大小加速度大小atxtavtytavttxxyydd,222222vddddddddddzzz5 質(zhì)點(diǎn)任意運(yùn)動(dòng)都可以看作是三個(gè)坐標(biāo)軸方向上質(zhì)點(diǎn)任意運(yùn)動(dòng)都可以看作是三個(gè)坐標(biāo)軸方向上各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)所合成的。各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)所合成的。 如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向(如如x方向方向)上的速度不隨時(shí)上的速度不隨時(shí)間變化間變化, 即質(zhì)點(diǎn)在該方向上

4、的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)即質(zhì)點(diǎn)在該方向上的分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)動(dòng), 則在該方向上的位移可由位移公式求得則在該方向上的位移可由位移公式求得 xxxvttx00() 質(zhì)點(diǎn)的任意運(yùn)動(dòng)都可以分解為在三個(gè)坐標(biāo)軸方質(zhì)點(diǎn)的任意運(yùn)動(dòng)都可以分解為在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)。向上各自獨(dú)立進(jìn)行的直線運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)疊加原理在直角坐標(biāo)系中的表現(xiàn)。運(yùn)動(dòng)疊加原理在直角坐標(biāo)系中的表現(xiàn)。6vvattxxx00()tavvxxx0vva txxx0 xxv ta txx00212)(20202xxavvxxxxxvvtxx002 如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向如果質(zhì)點(diǎn)在某個(gè)方向(如如x方向方向)上的加速度不上的加速度不隨時(shí)間變化隨時(shí)間

5、變化, 該方向上分運(yùn)動(dòng)為該方向上分運(yùn)動(dòng)為勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng), 在在x方向的速度變化可根據(jù)速度公式求得方向的速度變化可根據(jù)速度公式求得: 7 例例1：通過絞車?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊：通過絞車?yán)瓌?dòng)湖中小船拉向岸邊, 如圖。如如圖。如果絞車以恒定的速率果絞車以恒定的速率u拉動(dòng)纖繩拉動(dòng)纖繩, 絞車定滑輪離水面絞車定滑輪離水面的高度為的高度為h, 求小船向岸邊移動(dòng)的速度和加速度。求小船向岸邊移動(dòng)的速度和加速度。 解解：以絞車定滑輪處為坐標(biāo)原點(diǎn)：以絞車定滑輪處為坐標(biāo)原點(diǎn), x 軸水平向軸水平向右右, y 軸豎直向下軸豎直向下, 如圖所示。如圖所示。xlhyoxxlhu8 設(shè)小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為設(shè)

6、小船到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為l, 任意時(shí)刻小船到任意時(shí)刻小船到岸邊的距離岸邊的距離x總滿足總滿足 x 2 = l 2 h 2 兩邊對(duì)時(shí)間兩邊對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù), 得得 22xxtlltdddd 絞車?yán)瓌?dòng)纖繩的速率絞車?yán)瓌?dòng)纖繩的速率, 纖繩隨時(shí)間在縮纖繩隨時(shí)間在縮短短, 故故 ; 是小船向岸邊移動(dòng)的速率。是小船向岸邊移動(dòng)的速率。ddltu ddlt 0ddxtvuxhxuxlv22 負(fù)號(hào)表示小船速負(fù)號(hào)表示小船速度沿度沿x 軸反方向。軸反方向。 小船向岸邊移小船向岸邊移動(dòng)的加速度為動(dòng)的加速度為 axtvtu hx dddd222239 例例2：拋體運(yùn)動(dòng)。假設(shè)物體以初速度：拋體運(yùn)動(dòng)。假設(shè)物體以初速度v

7、0沿與水平沿與水平方向成角方向成角 方向被拋出方向被拋出, 求物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程、求物體運(yùn)動(dòng)的軌道方程、射程、飛行時(shí)間和物體所能到達(dá)的最大高度。射程、飛行時(shí)間和物體所能到達(dá)的最大高度。0 拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為拋體運(yùn)動(dòng)可以看作為x方向方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和的勻速直線運(yùn)動(dòng)和y方向的勻方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)相疊加。變速直線運(yùn)動(dòng)相疊加。0 xy0vO解解：首先必須：首先必須建立坐標(biāo)系建立坐標(biāo)系, 取拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)取拋射點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O, x 軸水平向右軸水平向右, y 軸豎直向上軸豎直向上, 如圖。如圖。運(yùn)動(dòng)疊加原理是求解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有力工具。運(yùn)動(dòng)疊加原理是求解復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的有力工具。 10 x1 = 0是拋射點(diǎn)

8、的位置是拋射點(diǎn)的位置, 另一個(gè)是射程另一個(gè)是射程 avvxvtxx00000,cos,(cos)2000021)sin(,sin,gttvygtvvgayyyxgvx()(cos)tan000222拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程拋體運(yùn)動(dòng)軌道方程 令令y = 0，得，得 ()(cos)tan0002220 xgvxxvg20202sin11物體的飛行時(shí)間物體的飛行時(shí)間Txvvg200002cossin當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí)當(dāng)物體到達(dá)最大高度時(shí), 必有必有0yvtvg100sin物體達(dá)最大高度的時(shí)間物體達(dá)最大高度的時(shí)間最大高度最大高度Hvg02202sin 實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道曲線，射程和最大高度實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道是彈道

9、曲線，射程和最大高度都比上述值要小。都比上述值要小。 拋射角拋射角 0 = /4時(shí)時(shí),最大射程最大射程gvx20max12*二、平面極坐標(biāo)系二、平面極坐標(biāo)系(planar polar coordinates) 取參考系上一固定點(diǎn)取參考系上一固定點(diǎn)O作為極點(diǎn)作為極點(diǎn), ,過極點(diǎn)所作過極點(diǎn)所作的一條固定射線的一條固定射線OA稱為稱為極軸極軸。用平面極坐標(biāo)系處理圓周運(yùn)動(dòng)一類的平面運(yùn)動(dòng)。用平面極坐標(biāo)系處理圓周運(yùn)動(dòng)一類的平面運(yùn)動(dòng)。 質(zhì)點(diǎn)處于點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)處于點(diǎn)P, 連線連線OP 稱為稱為點(diǎn)點(diǎn)P的的極徑極徑, 用用 表示；自表示；自O(shè)A到到OP轉(zhuǎn)過的角轉(zhuǎn)過的角 稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)P的的極角極角。點(diǎn)點(diǎn)P位置可用位置可用(

10、 , )來(lái)表示來(lái)表示, 這兩這兩個(gè)量就稱為點(diǎn)個(gè)量就稱為點(diǎn)P的的極坐標(biāo)極坐標(biāo)。A ),(OP13P的位置矢量表示為的位置矢量表示為 )()()(tttrttttvdddddd)()(式中式中 是單位矢量是單位矢量 的方向隨時(shí)間的變化率。的方向隨時(shí)間的變化率。 dd t 是極徑方向的單位矢量是極徑方向的單位矢量, 長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為1, 沿沿 增大的增大的方向。隨著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。隨著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng), 點(diǎn)點(diǎn)P的極角在改變的極角在改變, 方向也方向也相應(yīng)改變相應(yīng)改變, 所以所以 的方向是時(shí)間的函數(shù)的方向是時(shí)間的函數(shù), 寫為寫為 。 ( ) t ( ) t 14LOBA 在在 時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi), 質(zhì)點(diǎn)沿任意平面曲線

11、質(zhì)點(diǎn)沿任意平面曲線L由點(diǎn)由點(diǎn)A到到達(dá)點(diǎn)達(dá)點(diǎn)B, 極角的增量為極角的增量為 。 t( )() ttt1)( t)( tt)(tt)(tO A B )( tt)( t 等腰三角形等腰三角形 O A B , 當(dāng)當(dāng) t0時(shí)時(shí), 底邊趨于與腰底邊趨于與腰垂直垂直, 的方向趨于極角增大的方向的方向趨于極角增大的方向, 引入該方向引入該方向的單位矢量的單位矢量 。 15ddddlimlim tttttt00ttvdddd第一項(xiàng)是速度的徑向分量第一項(xiàng)是速度的徑向分量, , 稱為徑向速度稱為徑向速度, , 第二項(xiàng)是速度的橫向分量第二項(xiàng)是速度的橫向分量, , 稱為橫向速度。稱為橫向速度。 vvvvtvtdddd,

12、vvvtt2222()()dddd速度大小速度大小16質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)時(shí), 取該直線為極徑，極角為常量取該直線為極徑，極角為常量, vtvdd,0vvt0 ,dd質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)時(shí), 極徑是圓周的半徑極徑是圓周的半徑, 為常量為常量vddt圓周運(yùn)動(dòng)角速度圓周運(yùn)動(dòng)角速度vttstv dddddd橫向速度是質(zhì)點(diǎn)橫向速度是質(zhì)點(diǎn)沿圓周切向速度沿圓周切向速度17質(zhì)點(diǎn)加速度質(zhì)點(diǎn)加速度:ttttttttvvttvadddddddddd(dddddd)(dddd2222OB A ( ) t() tt OLAB( ) t() tt 等腰等腰 O A B ,當(dāng)當(dāng) t0時(shí)時(shí), 趨于與趨于與 垂直

13、垂直, 即即指向指向 的方向的方向, 大小大小 118于是有于是有ddddlimlim tttttt 00dddd2dd)dd(dd22222tttttaaaaddddttddddtt將將和和代入代入ttttttttadddddddddd(dddddd222219分別稱為分別稱為徑向加速度徑向加速度和和橫向加速度橫向加速度。 質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng), 極徑極徑 是圓周半徑是圓周半徑, 為常量為常量, 有有 attatttdddddddddd222222() , 質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng), 取該直線為極徑，極角為常量：取該直線為極徑，極角為常量： atadd220,atat () ,dddd2

14、2220繼續(xù)推算繼續(xù)推算 前一項(xiàng)是圓周運(yùn)動(dòng)的前一項(xiàng)是圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度向心加速度, , 負(fù)號(hào)表示負(fù)號(hào)表示此加速度的方向指向極點(diǎn)此加速度的方向指向極點(diǎn), , 即圓心；后一項(xiàng)稱即圓心；后一項(xiàng)稱為為切向加速度切向加速度, , 沿圓周的切線方向。沿圓周的切線方向。 attv ()()dddd2221atttvt dddddddd22()引入角加速度引入角加速度, 定義為定義為 22ddddttaa 2,21例例3：細(xì)棒以恒定角速度：細(xì)棒以恒定角速度 繞其端點(diǎn)繞其端點(diǎn)O 旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn), 棒上棒上套一小球套一小球, 小球以恒定速度小球以恒定速度u沿棒向外滑動(dòng)。初始沿棒向外滑動(dòng)。初始時(shí)刻小球處于點(diǎn)時(shí)刻小球處于

15、點(diǎn)O, 求求t 時(shí)刻小球的速度和加速度。時(shí)刻小球的速度和加速度。 解：取棒端點(diǎn)解：取棒端點(diǎn)O為極點(diǎn)為極點(diǎn), 在細(xì)在細(xì)棒旋轉(zhuǎn)的平面內(nèi)建立極坐標(biāo)棒旋轉(zhuǎn)的平面內(nèi)建立極坐標(biāo)系系, 初始時(shí)刻棒位置為極軸。初始時(shí)刻棒位置為極軸。在此坐標(biāo)系中在此坐標(biāo)系中, 小球的位置可小球的位置可用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)( , , )表示表示。 utt,其中其中O),(vv22 可見小球的徑向速度就是它沿棒滑動(dòng)的速度可見小球的徑向速度就是它沿棒滑動(dòng)的速度, 橫向速度則是橫向速度則是t 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。 由上式可以看到由上式可以看到, 徑向加速度是時(shí)間的線性函徑向加速度是時(shí)間的線性函數(shù)數(shù), 橫向加速度則為常量。橫向加速度則為

16、常量。 求得小球的速度求得小球的速度 v vuut 小球的加速度可表示為小球的加速度可表示為 ：a a 22utu a a() dddddddddd222222ttttt 根據(jù)根據(jù)23三、自然坐標(biāo)系三、自然坐標(biāo)系 (natural coordinates) 沿著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道所建立的坐標(biāo)系。沿著質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道所建立的坐標(biāo)系。 取軌道上一固定點(diǎn)為原點(diǎn)取軌道上一固定點(diǎn)為原點(diǎn), 規(guī)定兩個(gè)隨質(zhì)點(diǎn)位置規(guī)定兩個(gè)隨質(zhì)點(diǎn)位置變化而改變方向的單位矢量變化而改變方向的單位矢量, 一個(gè)是指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)是指向質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向的方向的切向單位矢量切向單位矢量, 用用 表示表示, 另一個(gè)是垂直于另一個(gè)是垂直于切向并指向軌道

17、凹側(cè)的切向并指向軌道凹側(cè)的法向單位矢量法向單位矢量, 用用n表示。表示。 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度總是沿著軌道的切向因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度總是沿著軌道的切向, 所以在自然坐標(biāo)系中所以在自然坐標(biāo)系中, 速度矢量可表示為速度矢量可表示為 )()()(ttvtv24 第二項(xiàng)是由速度方向變化所引起的加速度分量，第二項(xiàng)是由速度方向變化所引起的加速度分量，為為法向加速度法向加速度(normal acceleration) 第一項(xiàng)表示由于速度大小變化所引起的加速第一項(xiàng)表示由于速度大小變化所引起的加速度分量度分量, , 大小等于速率變化率大小等于速率變化率, , 方向沿軌道切方向沿軌道切向向, , 稱稱切向加速度切向加

18、速度(tangential acceleration)加速度矢量為加速度矢量為 tvtvvttvadddd)(ddddtvaddtntvaddn25LBA (t) (t+ t) 當(dāng)當(dāng) t0時(shí)時(shí), 點(diǎn)點(diǎn)B 趨近于點(diǎn)趨近于點(diǎn)A,等腰等腰 O A B 頂角頂角 0。 O (t) (t+ t) B A 極限方向必定垂直于極限方向必定垂直于 , 指向軌道凹側(cè)指向軌道凹側(cè), 與法向單位矢量與法向單位矢量n一致，并且一致，并且 ( ) tlimlimttttt00 dd26一般情況下一般情況下, 質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量應(yīng)表示為質(zhì)點(diǎn)的加速度矢量應(yīng)表示為 如果軌道在點(diǎn)如果軌道在點(diǎn)A 的內(nèi)切圓的曲率半徑為的內(nèi)切圓的曲率半徑為 , nvntvntva2nddddnvtvnaaa2ntddtvaddt27 解解：質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度分別：質(zhì)點(diǎn)的切向加速度和法向加速度分別為為 這就是所要求的速率與時(shí)間的關(guān)系。這就是所要求的速率與時(shí)間的關(guān)系。 例例4: 質(zhì)點(diǎn)以初速質(zhì)點(diǎn)以初速 沿半徑為沿半徑為R 的圓周運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng), 其其加速度方向與速度方向