(江蘇專用)2017版高考數學一輪復習第二章函數概念與基本初等函數I26對數與對數函數理

1、【步步高】（江蘇專用）2017版高考數學一輪復習 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.6 對數與對數函數 理1對數的概念一般地，如果a (a>0，a1)的b次冪等于N，即abN，那么就稱b是以a為底N的對數，記作logaNb，N叫做真數2對數的性質與運算法則(1)對數的運算法則如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM (nR)；logaM(m，nR，且m0)(2)對數的性質_N_；logaaN_N_(a>0且a1)(3)對數的重要公式換底公式：logbN (a，b均大于零且

2、不等于1)；logab，推廣logab·logbc·logcdlogad.3對數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象性質(1)定義域：(0，)(2)值域：R(3)過定點(1,0)，即x1時，y0(4)當x>1時，y>0當0<x<1時，y<0(5)當x>1時，y<0當0<x<1時，y>0(6)在(0，)上是增函數(7)在(0，)上是減函數4.反函數指數函數yax與對數函數ylogax互為反函數，它們的圖象關于直線_yx_對稱【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“×”)(1)

3、若MN>0，則loga(MN)logaMlogaN.(×)(2)logax·logayloga(xy)(×)(3)函數ylog2x及都是對數函數(×)(4)對數函數ylogax(a>0，且a1)在(0，)上是增函數(×)(5)函數yln與yln(1x)ln(1x)的定義域相同()(6)對數函數ylogax(a>0且a1)的圖象過定點(1,0)，且過點(a,1)，函數圖象只在第一、四象限()1(2015·湖南改編)設函數f(x)ln(1x)ln(1x)，則有關f(x)的性質判斷正確的是_(填序號)奇函數，且在(0,1)

4、上是增函數；奇函數，且在(0,1)上是減函數；偶函數，且在(0,1)上是增函數；偶函數，且在(0,1)上是減函數答案解析易知函數定義域為(1，1)，f(x)ln(1x)ln(1x)f(x)，故函數f(x)為奇函數，又f(x)lnln，由復合函數單調性判斷方法知，f(x)在(0,1)上是增函數2已知則a，b，c的大小關系為_答案a>b>c解析故a>b>c.3函數f(x)lg(|x|1)的大致圖象是_(填圖象序號)答案解析由函數f(x)lg(|x|1)的定義域為(，1)(1，)，值域為R.又當x>1時，函數單調遞增，所以只有正確4(2015·浙江)若alog

5、43，則2a2a_.答案解析.5(教材改編)若loga<1(a>0，且a1)，則實數a的取值范圍是_答案(1，)解析當0<a<1時，loga<logaa1，0<a<；當a>1時，loga<logaa1，a>1.實數a的取值范圍是(1，). 題型一對數式的運算例1 (1)設2a5bm，且2，則m_.(2)lglg的值是_答案(1)(2)1解析(1)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m.(2)原式lglg 101.思維升華在對數運算中，要熟練掌握對數的定義，靈活使用對數的運算性質、換底公式和對數恒

6、等式對式子進行恒等變形，多個對數式要盡量先化成同底的形式再進行運算(1)計算：_.(2)已知loga2m，loga3n，則a2mn_.答案(1)1(2)12解析(1)原式1.(2)loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2·an22×312.題型二對數函數的圖象及應用例2(1)函數y2log4(1x)的圖象大致是_(填序號)(2)當0<x時，4x<logax，則a的取值范圍是_答案(1)(2)(，1)解析(1)函數y2log4(1x)的定義域為(，1)，排除、；又函數y2log4(1x)在定義域內單調遞減，排除.故正確(2)構造函數f(x)4

7、x和g(x)logax，當a>1時不滿足條件，當0<a<1時，畫出兩個函數在上的圖象，可知f<g，即2<loga，則a>，所以a的取值范圍為.思維升華應用對數型函數的圖象可求解的問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數型函數，在求解其單調性(單調區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數形結合思想(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解(1)已知lg alg b0，則函數f(x)ax與函數g(x)logbx的圖象可能是_(2)設方程10x|lg(x)|的兩個根分別為x1，x2，則_x1x2<0 x1x21x

8、1x2>1 0<x1x2<1答案(1)(2)解析(1)lg alg b0，ab1，g(x)logbx的定義域是(0，)，故排除.若a>1，則0<b<1，此時f(x)ax是增函數，g(x)logbx是增函數，符合，排除.若0<a<1，則b>1，g(x)logbx是減函數，排除，故填.(2)構造函數y10x與y|lg(x)|，并作出它們的圖象，如圖所示因為x1，x2是10x|lg(x)|的兩個根，則兩個函數圖象交點的橫坐標分別為x1，x2，不妨設x2<1，1<x1<0，則因此因為所以lg(x1x2)<0，即0<x1

9、x2<1，正確題型三對數函數的性質及應用命題點1比較對數值的大小例3設alog36，blog510，clog714，則a，b，c的大小關系為_答案a>b>c解析由對數運算法則得alog361log32，b1log52，c1log72，由對數函數圖象得log32>log52>log72，所以a>b>c.命題點2解對數不等式例4若loga(a21)<loga2a<0，則a的取值范圍是_答案(，1)解析由題意得a>0，故必有a21>2a，又loga(a21)<loga2a<0，所以0<a<1，同時2a>1

10、，所以a>.綜上，a(，1)命題點3和對數函數有關的復合函數例5已知函數f(x)loga(3ax)(1)當x0,2時，函數f(x)恒有意義，求實數a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間1,2上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由解(1)a>0且a1，設t(x)3ax，則t(x)3ax為減函數，x0,2時，t(x)的最小值為32a，當x0,2時，f(x)恒有意義，即x0,2時，3ax>0恒成立32a>0.a<.又a>0且a1，a(0,1).(2)t(x)3ax，a>0，函數t(x)為減函數f(

11、x)在區(qū)間1,2上為減函數，ylogat為增函數，a>1，x1,2時，t(x)最小值為32a，f(x)最大值為f(1)loga(3a)，即故不存在這樣的實數a，使得函數f(x)在區(qū)間1,2上為減函數，并且最大值為1.思維升華在解決與對數函數相關的比較大小或解不等式問題時，要優(yōu)先考慮利用對數函數的單調性來求解在利用單調性時，一定要明確底數a的取值對函數增減性的影響，及真數必須為正的限制條件(1)設alog32，blog52，clog23，則a，b，c的大小關系為_(2)若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上遞減，則a的取值范圍為_(3)設函數f(x)若f(a)>f(a)，則實

12、數a的取值范圍是_答案(1)c>a>b(2)1,2)(3)(1,0)(1，)解析(1)<2<3,1<2<，3>2，log3<log32<log33，log51<log52<log5，log23>log22，<a<1,0<b<，c>1，c>a>b.(2)令函數g(x)x22ax1a(xa)21aa2，對稱軸為xa，要使函數在(，1上遞減，則有即解得1a<2，即a1,2)(3)由題意可得或解得a>1或1<a<0.2比較指數式、對數式的大小典例(1)設a0.50.

13、5，b0.30.5，clog0.30.2，則a，b，c的大小關系是_(2)設alog2， c2，則a，b，c的大小關系為_(3)已知則a，b，c大小關系為_思維點撥(1)可根據冪函數yx0.5的單調性或比商法確定a，b的大小關系，然后利用中間值比較a，c大小(2)a，b均為對數式，可化為同底，再利用中間變量和c比較(3)化為同底的指數式解析(1)根據冪函數yx0.5的單調性，可得0.30.5<0.50.5<10.51，即b<a<1；根據對數函數ylog0.3x的單調性，可得log0.30.2>log0.30.31，即c>1.所以b<a<c.(2)

14、alog2>log221，bloglog2<log210,0<c<1，b<c<a.(3)方法一在同一坐標系中分別作出函數ylog2x，ylog3x，ylog4x的圖象，如圖所示由圖象知：log23.4>log3>log43.6.方法二log3>log331，且<3.4，log3<log33.4<log23.4.log43.6<log441，log3>1，log43.6<log3.log23.4>log3>log43.6.由于y5x為增函數，即故a>c>b.答案(1)b<a&l

15、t;c(2)a>c>b(3)a>c>b溫馨提醒(1)比較指數式和對數式的大小，可以利用函數的單調性，引入中間量；有時也可用數形結合的方法(2)解題時要根據實際情況來構造相應的函數，利用函數單調性進行比較，如果指數相同，而底數不同則構造冪函數，若底數相同而指數不同則構造指數函數，若引入中間量，一般選0或1.方法與技巧1對數值取正、負值的規(guī)律當a>1且b>1或0<a<1且0<b<1時，logab>0；當a>1且0<b<1或0<a<1且b>1時，logab<0.2對數函數的定義域及單調性在對數

16、式中，真數必須是大于0的，所以對數函數ylogax的定義域應為(0，)對數函數的單調性和a的值有關，因而，在研究對數函數的單調性時，要按0<a<1和a>1進行分類討論3比較冪、對數大小有兩種常用方法：(1)數形結合；(2)找中間量結合函數單調性4多個對數函數圖象比較底數大小的問題，可通過比較圖象與直線y1交點的橫坐標進行判定失誤與防范1在運算性質logaMlogaM中，要特別注意條件，在無M0的條件下應為logaMloga|M|(N*，且為偶數)2解決與對數函數有關的問題時需注意兩點：(1)務必先研究函數的定義域；(2)注意對數底數的取值范圍A組專項基礎訓練 (時間：40分鐘

17、)1.若函數ylogax(a>0，且a1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確的是_(填序號)答案解析由題圖可知ylogax的圖象過點(3,1)，loga31，即a3.中，y3x()x在R上為減函數，錯誤；中，yx3符合；中，y(x)3x3在R上為減函數，錯誤；中，ylog3(x)在(，0)上為減函數，錯誤2已知xln ，ylog52，則x，y，z的大小關系為_答案y<z<x解析xln >ln e，x>1.ylog52<log5，0<y<.z>，<z<1.綜上可得，y<z<x.3若函數f(x)則f(log23)_.答案

18、解析1<log23<log242，3log23(4,5)，f(log23)f(log231)f(log232)f(log233)f(log224)4設f(x)lg是奇函數，則使f(x)<0的x的取值范圍是_答案(1,0)解析由f(x)是奇函數可得a1，f(x)lg，定義域為(1,1)由f(x)<0，可得0<<1，1<x<0.5定義在R上的函數f(x)滿足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)時，f(x)2x，則f(log220)_.答案1解析由f(x2)f(x2)，得f(x)f(x4)，因為4log2205，所以f(log220)

19、f(log2204)f(4log220)f(log2)6函數f(x)log2·log(2x)的最小值為_答案解析顯然x>0，f(x)log2·log(2x)log2x·log2(4x2)log2x·(log242log2x)log2x(log2x)22.當且僅當x時，有f(x)min.7設函數f(x)滿足f(x)1f()log2x，則f(2)_.答案解析由已知得f()1f()·log22，則f()，則f(x)1·log2x，故f(2)1·log22.8(2015·福建)若函數f(x)(a0，且a1)的值域是4

20、，)，則實數a的取值范圍是_答案(1,2解析由題意f(x)的圖象如右圖，則1a2.9已知函數在區(qū)間(，)上是增函數，求a的取值范圍解函數是由函數和tx2axa復合而成因為函數在區(qū)間(0，)上單調遞減，而函數tx2axa在區(qū)間(，)上單調遞減，又因為函數在區(qū)間(，)上是增函數，所以解得即2a2(1)10設f(x)loga(1x)loga(3x)(a>0，a1)，且f(1)2.(1)求a的值及f(x)的定義域；(2)求f(x)在區(qū)間0，上的最大值解(1)f(1)2，loga42(a>0，a1)，a2.由得x(1,3)，函數f(x)的定義域為(1,3)(2)f(x)log2(1x)log2(3x)log2(1x)(3x)log2(x1)24，當x(1,1時，f(x)是增函數；當x(1,3)時，f(x)是減函數，故函數f(x)在0，上的最大值是f(1)log242.B組專項能力提升(時間：20分鐘)11(2015·陜西改編)設f(x)ln x,0ab，若pf()，qf，r(f(a)f(b)，則p、q、r的大小關系是_答案pr<q解析0ab，又f(x)ln x在(0，)上為增函數，ff()，即qp.又r(f(a)f(b)(ln aln b)ln