2016年1月西城區(qū)高三期末理科數(shù)學(xué)試題及答案..

1、 北京市西城區(qū) 2015 2016 學(xué)年度上學(xué)期期末試卷 高三數(shù)學(xué)（理科） 2016.1 本試卷分第I卷和第n卷兩部分， 第I卷 I至 2 頁，第n卷 3 至 5 頁，共 150 分.考試時(shí)間 120 分鐘.考 生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并回交. 第I卷（選擇題共 40 分） 一、 選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求 的一項(xiàng). 1. 設(shè)集合 A 二 x|x 1 ，集合 B a 2，若AB二.一，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） （A） （:, -1 （ B） （_：:,1 （C） -1,

2、：） （ D） 1,：） 2. 下列函數(shù)中，值域?yàn)?R的偶函數(shù)是（ ） （A） y=x2 1 （ B） y=exd （C） y=lg|x| （ D） y =；漢 1 11 3. 設(shè)命題 p：“若sin ，則 ”，命題 q：“若a . b，則 ，則（ ） 2 6 a b （A ） p q ”為真命題 （B） p q ”為假命題 （C） q ”為假命題 （D）以上都不對 4. 在數(shù)列an中，“對任意的n E N*, a =anan七”是“數(shù)列a.為等比數(shù)列”的（ ） （A ）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D ）既不充分也不必要條件 5. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示

3、，那么這個(gè)幾何體的表面積是（ (C) 20 2 3 (D) 20 2 5 y -xW1, 6. 設(shè)x , y滿足約束條件 x y0. 品在4C的保鮮時(shí)間是 16 小時(shí).已知甲在某日上午 10 時(shí)購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室 外溫度隨時(shí)間變化如圖所示.給出以下四個(gè)結(jié)論: D 該食品在C 的保鮮時(shí)間是 8 小時(shí); 15. (本小題滿分 13 分)已知函數(shù) f(x) =cosx(sinx 亠，3cosx) , x ：= R . 2 (I)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (n)設(shè).0,若函數(shù)g(x)=f(x*)為奇函數(shù)，求：的最小值. 16. (本小題滿分 13 分)甲、 乙兩人

4、進(jìn)行射擊比賽， 各射擊 4 局，每局射擊 10 次，射擊命中目標(biāo)得 1 分, 未命中目標(biāo)得 0 分兩人 4 局的得分情況如下： 甲 6 6 9 9 乙 7 9 x y (I)若從甲的 4 局比賽中，隨機(jī)選取 2 局，求這 2 局的得分恰好相等的概率； (n)如果 x = y =7，從甲、乙兩人的 4 局比賽中隨機(jī)各選取 1 局，記這 2 局的得分和為X，求X的 分布列和數(shù)學(xué)期望； (川)在 4 局比賽中，若甲、乙兩人的平均得分相同， 且乙的發(fā)揮更穩(wěn)定， 寫出x的所有可能取值(結(jié) 論不要求證明)17. (本小題滿分 14 分)如圖，在四棱錐 P _ABCD 中，底面 ABCD 是平行四邊形，.B

5、CD =135 ,側(cè)面PAB _ 底面 ABCD， . BAP=90j AB = AC = PA = 2 , E, F 分別為 BC,AD 的中點(diǎn)，點(diǎn) M 在線段PD上. (I)求證： EF 平面 PAC ; (n)若M為PD的中點(diǎn)，求證：ME /平面PAB ; (川)如果直線 ME與平面 PBC 所成的角和直線 ME與平面 ABCD 所成的角相等，求 PM的值. PD 2 18.(本小題滿分 13 分)已知函數(shù) f (x)二X -1，函數(shù)g(x) = 2t In x，其中t 1 . (I)如果函數(shù)f (x)與g(x)在x 處的切線均為l，求切線l的方程及t的值; (n)如果曲線 y = f

6、(x)與y = g (x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求 t的取值范圍. D 2 2 19.(本小題滿分 14 分)已知橢圓 C二 篤 =A(a b 0)的離心率為-2，點(diǎn) A(1 a b 2 (I)求橢圓 C 的方程； (n)設(shè)動直線I與橢圓 C 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn) o 為圓心的圓，滿足此圓與I相 交兩點(diǎn)P , P2 (兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上)，且使得直線 OP , OP2的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方 程；若不存在，說明理由 20.(本小題滿分 13 分)在數(shù)字 12 川，n(n2)的任意一個(gè)排列 A ：卯a(chǎn)?,川，4中，如果對于i，icj , 有ai aj ,那么就稱(a,

7、aj)為一個(gè)逆序?qū)τ浥帕?A 中逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)為 S(A). 如 n=4 時(shí)，在排列 B: 3, 2, 4, 1 中，逆序?qū)τ?3,2) , (3,1), (2,1) , (4,1)，則 S(B)=4. (I)設(shè)排列 C： 3, 5, 6, 4, 1,2，寫出 S(C)的值； (n)對于數(shù)字 1 , 2,，n的一切排列 A，求所有 S(A)的算術(shù)平均值； (川)如果把排列 A：知 a2jll, an中兩個(gè)數(shù)字aaj(i cj)交換位置，而其余數(shù)字的位置保持不變， 那么就 得到一個(gè)新的排列 A: bn b2,川，bn，求證：S(A) S(A)為奇數(shù).在橢圓 C 上. 北京市西城區(qū) 2015 201

8、6 學(xué)年度第一學(xué)期期末 高三數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn) 2016.12016.1 、選擇題：本大題共 8 8 小題，每小題 1. A 2. C 5. B 6. C 二、填空題：本大題共 6 6 小題， 每小題 9. -1 -3i 1 11. y x 2 12 13. 54 注：第 1111，1212 題第一問 2 2 分，第二問 5 5 分，共 4040 分. . 3 . B 4. B 7. D 8. C 5 5 分 共 3030 分. . 7 10. 9 12. .13-2 9 16 因?yàn)楹瘮?shù)g（x）為奇函數(shù)，且 R ,三、解答題：本大題共 6 6 小題，共 8080 分.其他正確解答過

9、程，請參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分 15.（本小題滿分 13 分） J J3 3 (I) 解：f(x) =cosx(si n x .f3 cosx) - 丁 =sin x cosx f (2cos2 x -1) 1 c 3 c sin 2x cos2x 2 2 所以函數(shù)f（x）的最小正周期 2n =n. 2 由 2kn w2x W2kn , k Z Z , 2 3 2 5 n n 得 k n w x k T+ , 12 12 所以函數(shù)f (x)的單調(diào)遞增區(qū)間為“-石，kn+ , k - Z Z . 5 n n (注：或者寫成單調(diào)遞增區(qū)間為 (kn- kn+ ) , k，Z Z .) 12 12 4 分 6

10、 分 7 分 9 分 解：由題意，得 g(x)二 f (x 叱)二 sin(2x 2： 11 分 n 所以 2.二川_ kn, Z Z , 3 解得k Z，驗(yàn)證知其符合題意. 2 6 又因?yàn)槎? , n 所以:-的最小值為. . 13 分 _ 16. (本小題滿分 13 分) (I)解：記“從甲的 4 局比賽中，隨機(jī)選取 2 局，且這 2 局的得分恰好相等”為事件 A , 2 1 由題意，得P(A)二 C7 =_ , 1 所以從甲的 4 局比賽中，隨機(jī)選取 2 局，且這 2 局得分恰好相等的概率為 -.4 分 (H)解：由題意，X的所有可能取值為 13 , 15 , 16 , 18 , .

11、5 分 所以X的分布列為: X 13 15 16 18 P 3 1 3 1 8 8 8 8 3 13 1 所以 E(X) =13 工巴+15 疋丄+16 工 2+18 疋丄=15. 8 8 8 8 (川)解：X的可能取值為6 , 7 , 8. 17. (本小題滿分 14 分) (I)證明：在平行四邊形 ABCD 中，因?yàn)?AB =AC , BCD =13引, 所以 AB _ AC . 由E,F分別為BC, AD的中點(diǎn)，得 EF/AB , 所以 EF _AC 因?yàn)閭?cè)面 PAB 底面 ABCD，且 BAP =90 , 所以 PA _底面 ABCD . 又因?yàn)镋F 底面 ABCD , 又因?yàn)?PAf

12、 AAC =A , PA 二平面 PAC , AC 二平面 PAC , 所以EF _平面 PAC . 且 P(X T3) 1 P(X 胡 5)飛， 3 P(X “6)託， 1 P(X =18)飛， 10 分 13 分 所以 g(0) =0，即 sin(2：. (川)解：因?yàn)?PA_底面 ABCD , AB _AC，所以AP, AB, AC兩兩垂直，故以 AB, AC, AP 分別為x軸、y軸和z軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), P(0,0,2), D(2,0), E(1,1,0)， T I T 所以 PB =(2,0, -2), P

13、D=(-2,2, 2) , BC =(-2,2,0) , . 10 分 PM 4 設(shè)伙=,(,.0,1)，貝 y P(-2 ,2 ,-2 ), PD 所以 M(2,2，,2-2), ME =(1 2，,12, ,2，2), 易得平面 ABCD 的法向量 m m =(0,0,1). . 11 分 設(shè)平面 PBC 的法向量為 n n =(x, y, z), 由 n BC=0, n PB=0，得 _2x 2y =0, gx 2z =0, 令 x =1,得 n n =(1,1,1). . 12 分 因?yàn)橹本€ME與平面 PBC 所成的角和此直線與平面 ABCD 所成的角相等， 所以 |cos：ME, m

14、 m 冃 cos： ME, n n |，即 型 F m 丨二均 F n 丨, . 13 分 |ME| | m m | |ME| |n n | . 2 九 所以|2 -2 円1， 解得.3，或.3 (舍). . 14 分 2 2 18. (本小題滿分 13 分) 2t (H)證明：因?yàn)镸為 PD 的中點(diǎn)，F(xiàn) 分別為 AD 的中點(diǎn)， 所以 ME/平面 PAB. . 9 分 D (I)解：求導(dǎo)，得 f (x) =2x , g(X)=2t , (x .0) . . 2 分 x 由題意，得切線 I的斜率 k=f(1)=g(1)，即k=2t=2，解得t =1. . 3 分 又切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以切線

15、 I的方程為2x y2=0 . . 4 分 (n)解：設(shè)函數(shù) h(x) = f (x) -g(x) =x2 一1 -2tln x , x (0, ；). . 5 分 曲線y = f (x)與y =g(x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)于函數(shù) 個(gè)零點(diǎn)”. 2t 2 x2 _ 2t 求導(dǎo)，得h(x) =2x 一三二 x x 當(dāng) t 0 時(shí)， 由 x (0,：)，得h (x) 0 ,所以h(x)在(0,；)單調(diào)遞增. 又因?yàn)?h(1)=0，所以y =h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 1，符合題意. 當(dāng)t =1時(shí)， 當(dāng)x變化時(shí)，h(x)與h(x)的變化情況如下表所示: x (0,1) 1 (1,畑) f(x) 0

16、+ h(x) / 所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,；)上單調(diào)遞增, 所以當(dāng) x =1 時(shí)，h(X)min = h(1) = 0 , 故y =h(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) 1，符合題意. . 10 分 當(dāng) 0 : t ：1 時(shí)， 令 h (x) = 0，解得 = . t . 當(dāng)x變化時(shí)，h (x)與 h(x)的變化情況如下表所示： x (0, Jt) h(x) 0 + h(x) / 所以 h(x)在(0, t)上單調(diào)遞減，在 c.t,；)上單調(diào)遞增， 所以當(dāng) x = .,t 時(shí)，h(x)min二h(t) . . 11 分 y = h(x)有且僅有 因?yàn)?h=0 , .t ：1，且 h(x

17、)在上單調(diào)遞增， 所以 h(、f) ：h(1)=0. 1 1 1 1 1 又因?yàn)榇嬖?(0,1) ，h(e 枕)=e 耳-1 -2tl ne 頁二 0， 所以存在 x (0,1)使得九滄)=0 , 所以函數(shù)y =h(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)x0 , 1，與題意不符 綜上，曲線y=f(x)與y=g(x)有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，t的范圍是t|t0,或 t =1 . 13 分 19. (本小題滿分 14 分) (I)解：由題意，得 =七3 , a2二b2 c2, . 2分 a 2 又因?yàn)辄c(diǎn)“1,二)在橢圓 C 上， 2 所以丄 2 =1 , . 3分 a2 4b2 解得 a =2 , b =1 , c = 3

18、 , 2 所以橢圓 C 的方程為y2 =1. . 5 分 4 (H)結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為 x2 y2 =5. . 6 分 證明如下： 假設(shè)存在符合條件的圓，并設(shè)此圓的方程為 x2 yr2(r 0). 當(dāng)直線 l 的斜率存在時(shí)，設(shè) I的方程為y = kx m . . 7 分 y 二 kx m, 由方程組 x2 2 得(4k2 1)x2 8kmx 4m2 -4 =0, 8 分 u y =1, 因?yàn)橹本€ I與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以 1 =(8km)2 _4(4k2 1)(4m2 -4) =0，即 m2 =4k2 1 . . 9 分 y =kx m, 2 2 2 2 由方程

19、組 2 2 2 得(k 1)x 2kmx m -r =0 , . 10 分 x +y =r , 則 2 =(2km)2 _4(k2 1)(m2 _r2) 0. 設(shè)直線 OR , OP 的斜率分別為k1 , k2, 2 2 所以當(dāng)圓的方程為 x y -5 時(shí)，圓與 I的交點(diǎn) 13 分 當(dāng)直線 I的斜率不存在時(shí)，由題意知 I的方程為 x = 2， 1 此時(shí)，圓 x2+y2=5 與 I的交點(diǎn) R,P2也滿足 k1k2=. 4 1 綜上，當(dāng)圓的方程為 x2 y5 時(shí)，圓與 I的交點(diǎn) R,P2滿足斜率之積 k!k2為定值 . 4 . 14 分 20. (本小題滿分 13 分) (I)解：S(C) =10

20、 ； (H)解：考察排列 D： a, d2, IH, dn,dn 與排列 D1： dn, 山，d2, a, 因?yàn)閿?shù)對(di,dj)與(dj,di)中必有一個(gè)為逆序?qū)?其中 1wi ：j n ), 且排列 D 中數(shù)對(di,dj)共有C：二葺衛(wèi)個(gè)， 所以 S(D) S(DJ；T). 所以排列 D 與 D1的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為 n(n T) 4 設(shè) P(Xi,yJ , 卩2(% y)，則 Xi - X2 -2 km k2 1 2 2 m -r x2 2 k 1 11 分 2 2 y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k x1x2 km(x1 x2) m 所以補(bǔ)2 x1x2 x1x2 NX

21、2 2 2 ,2 m -r k 廠 k2 1 2 2 m -r k2 1 km 學(xué) m2 k2 +1 2 2 2 m -r k 2 2 ， m r 12 分 2 2 將 m =4k 1 代入上式，得 k1 k2 2 2 (4 -r )k 1 2 2 4k (1 r ) 要使得 Kk2為定值，則 土丄 4 1 2 1 -r ，即 r2 ，驗(yàn)1 R,P2滿足k1k2為定值 2 而對于數(shù)字 1,2,，n的任意一個(gè)排列 A： ai, a?,川，an，都可以構(gòu)造排列 Ai： an, a2, a , 且這兩個(gè)排列的逆序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)的算術(shù)平均值為 血卻. 4 所以所有 S(A)的算術(shù)平均值為 12衛(wèi). . 7 分 4 (川)證明：當(dāng)j -i 1，即厲，引相鄰時(shí)， 不妨設(shè) a, : a, i，則排列 A