拉普拉斯(Laplace)定理

1、2021/8/1412021/8/1422021/8/143一、一、k 級子式與余子式、代數(shù)余子式級子式與余子式、代數(shù)余子式定義定義在一個在一個 n 級行列式級行列式 D 中任意選定中任意選定 k 行行 k 列列按照原來次序組成一個按照原來次序組成一個 k 級行列式級行列式 M，稱為行列，稱為行列 ( ) )，位于這些行和列的交叉點上的，位于這些行和列的交叉點上的 個元素個元素kn 2k式式 D 的一個的一個 k 級子式級子式；在；在 D 中劃去這中劃去這 k 行行 k 列后列后 式式 ，稱為，稱為 k 級子式級子式 M 的的余子式余子式； M 余下的元素按照原來的次序組成的余下的元素按照原來

2、的次序組成的 級級 行列行列 nk 2021/8/144若若 k 級子式級子式 M 在在 D 中所在的行、列指標分別是中所在的行、列指標分別是 ，則在，則在 M 的余子式前的余子式前1212,;,kki iijjjM 后稱之為后稱之為 M 的的代數(shù)代數(shù)1212( 1)kkiiijjj 加上符號加上符號余子式余子式，記為，記為 . 1212( 1)kkiiijjjAM 注：注： k 級子式不是唯一的級子式不是唯一的.（任一（任一 n 級行列式有級行列式有 個個 k 級子式）級子式） kknnC C時，時，D本身為一個本身為一個n級子式級子式kn 時，時，D中每個元素都是一個中每個元素都是一個1級

3、子式；級子式；1k 2021/8/145二、拉普拉斯二、拉普拉斯(Laplace)定理定理引理引理行列式行列式 D 的任一子式的任一子式 M 與它的代數(shù)余子式與它的代數(shù)余子式 A的乘積中的每一項都是行列式的乘積中的每一項都是行列式 D 的展開式中的展開式中的一項，而且符號也一致的一項，而且符號也一致2021/8/146Laplace 定理定理由這由這 k 行元素所組成的一切行元素所組成的一切k級子式與它們的級子式與它們的設(shè)在行列式設(shè)在行列式 D 中任意取中任意取 k ( )行，行，11kn 代數(shù)余子式的乘積和等于代數(shù)余子式的乘積和等于 D即即若若 D 中取定中取定 k 行后，由這行后，由這 k

4、 行得到的行得到的 k 級子式級子式則則 .1122.ttDM AM AM A 12,tA AA，它們對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為，它們對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為12,tMMM為為2021/8/14711111111111111110000*kkrkkkrkkkrrrrrraaaabbaaDbbaabbbb 時，時，1122ttDM AM AM A 1k 即為行列式即為行列式 D 按某行展開；按某行展開； 注：注：為行列式為行列式 D 取定前取定前 k 行運用行運用Laplace 定理結(jié)果定理結(jié)果 2021/8/14812 1 401 2 110 1 30 13 1D 例例1：計算行列式：計算行列式 解

5、解： 11 22,1 0M 21 10,1 1M 31 41,1 3M 52 46,0 3M 42 12,0 1M 61 411 3M 它們的代數(shù)余子式為它們的代數(shù)余子式為2021/8/1491 3 1 2101( 1)00 1A 1 3 2 421 1( 1)21 1A ,1 3 2 331 2( 1)51 3A 1 3 1 240 1( 1)00 1A ,4 1 1 350 2( 1)00 3A 1 3 1 2601( 1)00 1A ,.( 2) 10 ( 2)( 1) 52 06 0( 1) 07D 2021/8/1410三、行列式乘法法則三、行列式乘法法則設(shè)有兩個設(shè)有兩個n 級行列式

6、級行列式11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb 其中其中1 122ijijijinnjca ba ba b 11121212221212nnnnnnccccccD Dccc 則則1,nikkjka b ,1,2,i jn 2021/8/1411證：證：作一個作一個2n級的行列式級的行列式11111111000011nnnnnnnnaaaaDbbbb 11111111nnijijnnnnnnaabbDabaabb 由拉普拉斯定理由拉普拉斯定理 2021/8/1412又對又對D作初等行變換：作初等行變換：11222,1

7、,2, .iinininnra ra ra rin 可得可得11111111000011nnnnnnnnccccDbbbb 這里這里1 122,1,2, .ijijijinnjca ba ba bi jn 2021/8/14131 2(1)2( 1)( 1)nnnnijijDcc 1 122,1,2, .ijijijinnjca ba ba bi jn 從而從而 ,ijijijabc 2021/8/1414例例2：證明齊次性方程組：證明齊次性方程組12341234123412340000axbxcxdxbxaxdxcxcxdxaxbxdxcxbxax 只有零解其中只有零解其中 不全為不全為0, , ,a b c d2021/8/1415證：證：abcdbadcDcdabdcba 系數(shù)行列式系數(shù)行列式 2abcd abcdbadc badcDDDcdab cdabdcba dcba 2222222222222222000000000000abcdabcdabcdab