位移法-影響線_14

1、14 多跨連續(xù)梁內(nèi)力影響線的求解靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力影響線的計(jì)算在結(jié)構(gòu)力學(xué)教程中有很多介紹，但超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和反力影響線的計(jì)算由于其復(fù)雜性教程中介紹較少。但是隨著我國公路建設(shè)的迅猛發(fā)展，連續(xù)梁橋大量使用，因此多跨連續(xù)梁內(nèi)力影響線的計(jì)算將越來越重要。求解多跨連續(xù)梁內(nèi)力影響線的方法有力法、撓曲線法、位移法、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度法以及有限元軟件和機(jī)動(dòng)法聯(lián)合求解法等，其中用力法和撓曲線法作超靜定結(jié)構(gòu)的影響線在結(jié)構(gòu)力學(xué)教材中已經(jīng)提及，在此不再贅述。下面詳細(xì)介紹用位移法、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度法以及有限元軟件和機(jī)動(dòng)法聯(lián)合求解法作多跨連續(xù)梁的內(nèi)力影響線。1、位移法基本思路:當(dāng)單位移動(dòng)荷載在多跨連續(xù)梁上移動(dòng)時(shí)，根據(jù)位移法的基本原理，

2、各桿桿端彎矩由固端彎矩和結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角所產(chǎn)生的桿端彎矩組成。固端彎矩見表14-1；通過結(jié)點(diǎn)的彎矩平衡條件可以求得各結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角，然后把結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角回代到各桿的桿端彎矩方程，就可以得到各桿的桿端彎矩影響線。表14-1簡 圖A端固端彎矩B端固端彎矩兩端固定 AFp=1xLx B一端固定一端鉸接 ABFp=1xLx01.1支座截面處彎矩影響線方程以圖14-的三跨連續(xù)梁為例，說明用位移法計(jì)算各桿的桿端彎矩影響線的步驟。該例的基本未知量為和。圖 14-1L  LLEI=常數(shù)ABCD xFp=1（1）當(dāng)在跨移動(dòng)由表1可以求出各桿的固端彎矩如下： ， 列出各

3、桿桿端彎矩如下： 建立力矩平衡方程如下： （14-1） （14-2）聯(lián)立式可以求得和為： ， 分別把、代入各桿桿端彎矩方程，得各桿桿端彎矩的影響線如下：式中：。 (2) 當(dāng)在跨移動(dòng)由表14-1可以求出各桿的固端彎矩如下： ， ， ，列出各桿桿端彎矩如下： 建立力矩平衡方程如下： （14-3） （14-4）聯(lián)立式，可以求得和為： ， 分別把、代入各桿桿端彎矩方程，得各桿桿端彎矩的影響線如 (3) 當(dāng)在跨移動(dòng)時(shí)：由表1可以求出各桿的固端彎矩如下： ， 列出各桿桿端彎矩如下： 建立力矩平衡方程如下： （14-5） （14-6）聯(lián)立式，可以求得和為： ， 分別把、代入各桿桿端彎矩方程，得各桿桿端彎矩的

4、影響線如下：綜合以上三種情況，作出各桿桿端彎矩的位移影響線，見圖14-2。 x (L) MBA (L) A B C D （a） MBA的影響線 x (L) x (L) MBC (L) A B C D （b） MBC的影響線 x (L) x (L) MCD (L) A B C D （d） MCD的影響線 x (L) x (L) MCB (L) A B C D （c） MCB的影響線 x (L) 圖 14-21.2 利用迭加法可求得任一量值的影響線有了支座截面處桿端的彎矩影響線,就可以利用迭加法求出任一量值的影響線。因?yàn)閷?duì)于連續(xù)梁的任一跨，實(shí)際的受力情況相當(dāng)于圖14-3所示的簡支梁，而由平衡條件可

5、得距左支座為a的任一截面K的彎矩和剪力影響線: (a)    L  i-1i aK        Li-1i aK (b) （c）圖14-3        L  i-1i aK Fp=1 Fp=1 （14-7）其中 , ；、為相應(yīng)簡支梁在K截面的彎矩、剪力影響線方程，由下式表示： 左右支座處的反力影響線方程為:式中 , 、為相應(yīng)

6、簡支梁反力的影響線 ,其方程為: （14-8）利用以上方法計(jì)算了圖中截面E、F的彎矩和剪力的影響線以及支座A、B反力的影響線，見圖14-4所示。 x (L) ME (L) A B C D （a） ME的影響線 x (L) x (L) FQE A B C D （b） FQE的影響線 x (L) E x (L) MF (L) A B C D （c） MF的影響線 x (L) E x (L) FQF A B C D （d） FQF的影響線 x (L) F x (L) FRA A B C D （e） FRA的影響線 x (L) x (L) FRB A B C D （f） FRB的影響線 x (L) 圖

7、14-41.3 有側(cè)移結(jié)構(gòu)內(nèi)力影響線的計(jì)算位移法不但適合無側(cè)移超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的影響線的計(jì)算，也適合有側(cè)移結(jié)構(gòu)內(nèi)力影響線的計(jì)算。以圖5所示有側(cè)移剛架為例，在段移動(dòng)，求和的影響線。該例的基本未知量為和。   ABCD圖 14-5Fp=1xLxLxLEI=常數(shù)（1）當(dāng)在段移動(dòng) ， 列出各桿桿端彎矩如下：考慮結(jié)點(diǎn)的彎矩平衡得： （14-9）切斷柱頂端，考慮柱頂以上橫梁部分水平方向力的平衡：再考慮柱的平衡： 故： （14-10）聯(lián)立式，可以求得和為：把、代入各桿桿端彎矩方程，得各桿桿端彎矩的影響線如下：（2）當(dāng)在段移動(dòng)利用以上相同的方法，得各桿桿端彎矩的影響線如下：綜合以上

8、兩種情況，作出各桿桿端彎矩的位移影響線，見圖14-6。 x (L) MBA (L) A B C （a） MBA的影響線 x (L) x (L) MBC (L) A B C （b） MBC的影響線 x (L) x (L) MBD (L) A B C （c） MBD的影響線 x (L) x (L) MBD (L) A B C （d） MBD的影響線 x (L) 圖 14-62 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度法連續(xù)梁的影響線, 特別是支座彎矩影響線中的支座轉(zhuǎn)角、各跨撓度均與連續(xù)梁的桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度有關(guān)。本方法用連續(xù)梁的桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分析了支座彎矩影響線中的支座轉(zhuǎn)角和各跨撓度的關(guān)系，建立了用轉(zhuǎn)動(dòng)剛度表達(dá)的撓度函數(shù)公式，適用于求解

9、任意連續(xù)梁的各種影響線。（1）連續(xù)梁的桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度 把單跨梁的桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度擴(kuò)展到如圖14-7( a) 所示的n跨連續(xù)梁, 圖中Sn.0 表示以 0 支座為遠(yuǎn)端的n 跨連續(xù)梁在n 端的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度； Sn-1,0 表示去掉第n跨后的n-1 跨連續(xù)梁的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度。根據(jù)以上定義得： （14-11）連續(xù)梁的第 n 跨n-1支座處的桿端為： 由上式可得 （14-12）上式是的一個(gè)遞推公式，表示相鄰支座轉(zhuǎn)動(dòng)的傳遞關(guān)系。把式(14-12) 代入式(14-11)得 （14-13）上式是求的一個(gè)遞推公式。012n-1n  ( a )     

10、60;      0n( b )k1j-1j x   j-1j P=1  x( c )圖14-7 用轉(zhuǎn)動(dòng)剛度分析位移曲線示意圖 （2） 支座轉(zhuǎn)角的分配與傳遞關(guān)系設(shè)在K 支座處截面發(fā)生單位的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)（如圖14-7( b ) 所示）,則可表示為: （14-14）由K 結(jié)點(diǎn)的力矩平衡得有: （14-15）用轉(zhuǎn)動(dòng)剛度表示上式中的 , ： ， 把上兩式代入式（14-15）得： （14-16）聯(lián)立式（14-14）、式（14-16）得： （14-17） （14-18）式(14-17 ) 、式(14-

11、18) 表示 K 截面的單位相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角分配給左、右兩側(cè)截面的轉(zhuǎn)角的分配關(guān)系。再利用式(14-12) 可以分別計(jì)算左、右兩部分上各支座轉(zhuǎn)角。（3） 撓度與支座轉(zhuǎn)角的關(guān)系把圖14-7(c) 所示平衡力系在圖14-7(b) 所示位移體系上作虛功， 據(jù)功的互等原理有： 式中： , 。對(duì)上式進(jìn)行整理可得： （14-19）式(14-19) 就是連續(xù)梁位移第K個(gè)支座處的彎矩在第j跨的影響線，yj(x) 在橫坐標(biāo)上方為正。（4）應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)剛度法求解連續(xù)梁的影響線仍以圖14-1中三跨連續(xù)梁為例，求支座彎矩MB、 MC 影響線，EI 為常數(shù)。解: 先求支座彎矩 MB 的影響線（ a ）令 B 支座兩側(cè)產(chǎn)生單位相對(duì)轉(zhuǎn)

12、角；（ b ）利用式（14-13）計(jì)算相關(guān)桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，（ c ）利用式（14-17）（14-18）對(duì) B 支座兩側(cè)截面轉(zhuǎn)角進(jìn)行分配 ， （ d ）利用式（14-12）計(jì)算各支座處的轉(zhuǎn)角 ， ， （ e ）利用式（14-19）求MB 影響線方程 再求支座彎矩MC的影響線：（ a ）令 B 支座兩側(cè)產(chǎn)生單位相對(duì)轉(zhuǎn)角；（ b ）利用式（14-13）計(jì)算相關(guān)桿端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度， ， （ c ）利用式（14-17）（14-18）對(duì) B 支座兩側(cè)截面轉(zhuǎn)角進(jìn)行分配 , （ d ）利用式（14-12）計(jì)算各支座處的轉(zhuǎn)角， ， （ e ）利用式（14-19）求MC 的影響線方程與用位移法計(jì)算的影響線方程比較可知,兩

13、種方法的計(jì)算結(jié)果相同。（5） 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度法方法小結(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度法求解連續(xù)梁的影響線是采用轉(zhuǎn)動(dòng)剛度來分析表示影響量值的撓度圖，建立了一個(gè)與轉(zhuǎn)動(dòng)剛度有關(guān)的撓度函數(shù)公式。不但簡化了機(jī)動(dòng)法作影響線時(shí)求撓度函數(shù)的繁瑣過程, 而且保留了機(jī)動(dòng)法作影響線時(shí)的清晰的概念, 便于理解和應(yīng)用。本文雖然只討論了支座彎矩的影響線, 但如果采用疊加法也可以求出其它內(nèi)力或反力的影響線, 所以該方法仍具有普遍適用性。3、有限元軟件和機(jī)動(dòng)法聯(lián)合求解機(jī)動(dòng)法法作影響線的方法是：首先去掉所求反力或內(nèi)力相應(yīng)的聯(lián)系，然后使所得體系沿的正方向發(fā)生單位位移，所得的豎向位移圖就是該量值的影響線。對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，所得豎向位移圖是由直線段組成，其數(shù)值可按

14、比例求得；對(duì)于超靜定結(jié)構(gòu)，所得豎向位移圖則是所求多余未知力作用下的彈性曲線，其數(shù)值必須求解超靜定結(jié)構(gòu)才能得到，過程是非常復(fù)雜的。為了方便的采用機(jī)動(dòng)法繪制超靜定結(jié)構(gòu)的影響線，可以借助有限元軟件ANSYS進(jìn)行分析。基本思路是：單位位移是由所求反力或內(nèi)力產(chǎn)生的，只要能求出的數(shù)值，將該數(shù)值再加載于去掉與相應(yīng)的聯(lián)系后所得體系上，所得豎向位移圖就是作用下的彈性曲線，也就是反力或內(nèi)力的影響線。對(duì)于多跨連續(xù)梁，通?？衫糜邢拊浖惹蟪鰡挝欢嘤辔粗ψ饔孟碌奈灰?，再求其倒數(shù)即為產(chǎn)生單位位移時(shí)的多余未知力數(shù)值。仍以圖14-1中三跨連續(xù)梁為例,求支座彎矩MB, MC 影響線，其中令，。單元?jiǎng)澐旨敖Y(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖14

15、-8（a）、（b）所示。圖14-8 作彎矩影響線的單元?jiǎng)澐旨敖Y(jié)點(diǎn)編號(hào)       把將和分別作用圖14-8（a）（b）的B、C點(diǎn)，利用有限元軟件ANSYS計(jì)算出各結(jié)點(diǎn)的位移，然后再求其倒數(shù)就得到MB, MC 的影響線在各結(jié)點(diǎn)的數(shù)值（如表14-1所示）。為便于對(duì)比，表中還給出了按位移法得到的MB, MC 影響線在各結(jié)點(diǎn)的數(shù)值。通過對(duì)比可以看出，對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)相差甚微，最大誤差不到。表14-1 、的影響線數(shù)值 （x）（x）結(jié)點(diǎn)位置本文方法位移法誤差本文方法理論解誤差10000002-0.06315-0.06251.04%0.016140.01563.46%3-0.10105-0.11.04%0.0258240.0253.30%4-0.08842-0.08751.05%0.0225960.02193.18%5、6000.00%0007-0.07228-0.07190.52%-0.04