大地測量學基礎-7

1、第七章 橢球面上的測量計算 §7-1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系一、地球橢球的基本幾何參數(shù) 地球橢球 參考橢球 具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測元素都應歸算到參考橢球面上，并在該面上進行計算，它是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。 有關(guān)元素：O為橢球中心；NS為旋轉(zhuǎn)軸；a為長半軸；b為短半軸；子午圈（或徑圈或子午橢圓）；平行圈（或緯圈）；赤道。 旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)（元素）來決定的，即： 橢圓的長半軸： a 橢圓的短半軸： b 橢圓的扁率： 橢圓的第一偏心率

2、橢圓的第二偏心率其中：a、b稱為長度元素；扁率 反映了橢球體的扁平程度，如=0時，橢球變?yōu)榍蝮w；=1時，則為平面。 e和e´是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映了橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。 五個參數(shù)中，若知道其中的兩個參數(shù)就可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應已知一個長度元素（如a或b），人們習慣于用a和 表示橢球的形狀和大小，為了便于級數(shù)展開。引入下列符號： 式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點處的子午線曲率半徑）， 兩個常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)，橢球參數(shù)年代長半徑m扁率分母采用國家、地區(qū)海福特19066378283

3、297.8美、阿根廷、比利時、大洋洲克拉索夫斯基19406378245298.3蘇、東歐、中、朝鮮等1975年大地坐標系19756378140298.2571975年國際第三個推薦值WGS-8419846378137298.25722GPS定位系統(tǒng) 我國1954年北京坐標系應用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標系應用的是1975年國際橢球參數(shù)，而GPS應用的是WGS-84系橢球參數(shù)。二、地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系 于是有 關(guān)系式歸納如下§7-2橢球面上的常用坐標系及其相互關(guān)系 通常采用以下四種坐標系：大地坐標系、空間直角坐標系（大地測量中兩種基本坐標系）、子午平面直角坐標系及

4、大地極坐標系。一、各種坐標系的建立 1、大地坐標系 P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點大地經(jīng)度，P點的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的位置用L、B表示。 若點不在橢球面上，還要附加另一參數(shù)大地高H，它與正常高及正高的關(guān)系為：若點在橢球面上，H=0。 大地坐標系是大地測量的基本坐標系，其優(yōu)點為：它是整個橢球體上統(tǒng)一的坐標系，是全世界公用的最方便的坐標系統(tǒng)。它與同一點的天文坐標（天文經(jīng)緯度）比較，可以確定該點的垂線偏差的大小。 2、空間直角坐標系 以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右

5、手坐標系O-XYZ，在該坐標系中，P點的位置用X、Y、Z表示。 3、子午面直角坐標系 設P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x，y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L，x，y表示。4、地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系 如圖7-5所示。設橢球面上P點的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點建立地心緯度坐標系。連接OP，則POx=稱為地心緯度，而0P=稱為P點向徑，在此坐標系中，點的位置用L、表示。 幻燈片11如圖7-6所示，設橢球面上P點的大地經(jīng)度為L，在此子午面上以橢圓中心O為圓心，以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長P2P與輔助圓相交于P1點，則0P1

6、與x軸夾角稱為P點的歸化緯度，用u表示，在此歸化緯度坐標系中P點位置用L，u表示。 在這兩種坐標中，如果點不在橢球面上，那么應先沿法線將該點投影到橢球面上，此時的地心緯度、歸化緯度則是此投影點的緯度值，并且增加坐標的第三量大地高H。 子午面直角坐標系及地心緯度、歸化緯度坐標系主要用于大地測量公式推導和某些特殊的測量計算。 5、大地極坐標系 M為橢圓體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長，A為大地線在M點的大地方位角。以M為極點、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地極坐標系。P點位置用S、A表示。 橢球面上的極坐標（S、A）與大地坐標（L、B）可以互相換算，這種換算

7、叫大地主題解算。二、各種坐標系間的關(guān)系 1子午面直角坐標系同大地坐標系的關(guān)系 這兩個坐標系中，L相同，因此，只需推求x，y同B的關(guān)系。 過P點作法線Pn，與x軸之夾角為B，過P點作子午圈的切線TP，與x軸的夾角為（900+B）。該夾角的正切值為曲線在P點處之斜率，它等于曲線在該點的一階導數(shù)。P點在以O為中心的子午橢圓上，必須滿足：對x求導，得：同(7-11)式比較可得：因此：上式代入(7-12)，且用 乘上式兩邊，得：或由此可得：7-16上式代入(7-14)式得：7-17 (7-16)(7-17)兩式即為子午面直角坐標x、y同大地緯度B的關(guān)系式。2、空間直角坐標系與子午面直角坐標系的關(guān)系 注意

8、到圖7-3與圖7-4，空間直角坐標系中的P2P 相當于子午平面直角坐標系中的y， 相當于x，且兩者之經(jīng)度相同，于是可得：3、空間直角坐標系與大地坐標系的關(guān)系將(7-18)(7-20)兩式代入(7-24)式可得： 若將(7-16)(7-17)兩式代入上式，則 若P點不在橢球面上，如圖所示。設大地高為H，P點在橢球面上的投影為 ,則矢量為因為： 且外法線單位矢量因此有： 該式展開即可得到由B、L、H計算X、Y、Z的公式。已知P點的空間直角坐標計算相應的大地坐標，對大地經(jīng)度L有：或 大地緯度B的計算比較復雜，通常采用迭代法進行計算，如圖所示：由圖可知 上式兩端都有B，需進行迭代計算，迭代計算時，B的

9、初值B1由式 確定，用B的初值計算出 N1和sinB1，按(7-32)式進行第二次迭代，直到最后兩次B值之差小于允許誤差為止。 當B已知時，按下式計算大地高： 由于7-32式左右兩端具有不同的三角函數(shù)，這對于迭代很不方便，為克服這一缺陷，建議采用下面的迭代公式：式中： 4、大地緯度B，歸化緯度u，地心緯度之間的關(guān)系 1）B與u之間的關(guān)系 2）u與之間的關(guān)系 3）B與之間的關(guān)系§7-3橢球面上的幾種曲率半徑 為在橢球面上進行控制測量計算，須了解橢球面上有關(guān)曲線的性質(zhì)。過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫做法截面；法截面與橢球面的交線叫法截弧（線）。 包含橢

10、球面一點的法線可作無數(shù)個法截面，相應有無數(shù)個法截弧。橢球面上法截線的曲率半徑不同于球面上的法截線（大園?。┣拾霃剑ǘ嫉扔趫A球的半徑），而是不同方向的法截弧的曲率半徑都不相同。為此先研究子午線及卯酉線的曲率半徑。一、子午圈曲率半徑 在子午橢圓的一部分上取一微分弧長DK=dS，相應地有(子午面直角坐標系)坐標增量dx，點n是微分弧dS的曲率中心，則線段Dn及Kn即是子午圈曲率半徑，用M表示。由平面曲線的曲率半徑定義公式可得： 7-36由微分三角形DKE可得： 7-37（dx取負號，是因為在子午面直角坐標系中，點的橫坐標隨緯度B的增大而縮?。?7-37)式代入(7-36)式，7-38 由(7-1

11、6)式可求得：上式代入(7-39)式得，又則有7-43(7-43)代入(7-38)則曲率半徑為， 7-44化簡得二、卯酉圈曲率半徑 過橢球面上一點的法線，可作無數(shù)個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截所形成的閉合圈稱之為卯酉圈。PEE即為過P點的卯酉圈，半徑用N表示。 過P點作以O為中心的平行圈PHK的切線PT，該切線位于垂直于子午面的平行圈平面內(nèi)。因卯酉圈也垂直于子午面，故PT也是卯酉圈在P點處的切線，即PT垂直于Pn。所以PT是平行圈PHK及卯酉圈在P點處的公切線。 由麥尼爾定理知，假設通過曲面上一點引兩條截弧，一條為法截弧、一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，

12、這時斜截弧在該點的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘于兩截弧平面夾角的余弦。即 平行圈平面與卯酉圈平面之間的夾角即為大地緯度B,平行圈半徑r就等于P點的橫坐標x，即：由此可得卯酉圈半徑為：顧及 則上式又可寫為由圖看出, 也就是說，卯酉圈曲率半徑恰好等于橢球面和短軸之間的一段法線的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位于橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。 上述M和N是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。三、主曲率半徑的計算 P12四、任意法截弧的曲率半徑 子午法截弧是南北方向，其方位角為00或1800；卯酉法截弧是東西方向，其方位角為900或2700，這兩個法截弧在P點上是正交的?，F(xiàn)討論在P點方位角為

13、A的任意法截弧的曲率半徑計算公式。 根據(jù)歐拉公式，由曲面上任意一點主曲率半徑計算該點任意方位角A的法截弧的曲率半徑的公式為： 上式分子分母同除M，并顧及 則有, 上式即為任意方向為A的法截弧的曲率半徑的計算公式。為使用方便，將上式展開級數(shù),實際上，總是用平均曲率半徑R代替N，并代入上式，略去 項得, 上式即為任意方向法截弧曲率半徑的實用公式。從式中可以看出， 不僅與點的緯度B有關(guān)，還與過該點的法截弧的方位角有關(guān)。 五、平均曲率半徑 由于 的數(shù)值隨方位A的變化而變化，給測量帶來不便，在測量工作中，往往根據(jù)一定的精度要求，在一定范圍內(nèi)，把橢球面當作球面來處理，為此，就要推求該球面的曲率半徑-平均曲

14、率半徑（就是過橢球面上一點的一切法截弧(0-2p），當其數(shù)目趨于無窮時，它們的曲率半徑的算術(shù)平均值的極限，用R表示)。其公式為或 即橢球面上任意一點的平均曲率半徑R等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。六、M、N、R的關(guān)系 橢球面上某一點的M、N、R值均是自該點起沿法線向內(nèi)量取，其長度通常是不相等的，由前面公式可知它們有如下關(guān)系，只有在極點上，它們才相等，且均等于極曲率半徑c，即：§7-4橢球面上的弧長計算 在研究與橢球有關(guān)的一些測量計算時，例如研究高斯投影計算，往往要用到子午線弧長及平行圈弧長，現(xiàn)推導其計算公式。一、子午線弧長計算公式 子午橢圓的一半，其端點與極點

15、相重合。而赤道又把子午線分成對稱的兩部分，因此，我們只推導從赤道開始到已知緯度B子午線弧長的計算公式。 積分后得由赤道至子午線上某點的子午弧長公式:二、由子午線弧長求大地緯度 利用子午線弧長反算大地緯度在高斯投影坐標反算公式中要用到，反算公式可以采用迭代法和直接解法。公式參考教材P20。 三、平行圈弧長公式 旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個圓，其半徑就是圓上任意一點的子午面直角坐標x, 如果平行圈上有兩點，其經(jīng)差 ，可寫出平行圈弧長公式：四、子午線弧長和平行圈弧長變化的比較 從表中可以看出，單位緯差的子午線弧長隨B的增大而緩慢地增大；而單位經(jīng)差的平行圈弧長則隨B的增大而急劇縮短。同時還知，子午弧長1&

16、#176;約為110KM，1約為1.8KM，1約為30M；而平行圈弧長僅在赤道附近才與子午線弧長大體相當，隨著B的增大它們的差值愈來愈大。五、橢球面梯形圖幅面積的計算 由兩子午線和兩條平行圈圍成的橢球表面稱為橢球面梯形?，F(xiàn)在我們來討論橢球梯形面積的計算，計算公式如下：地球橢球的全面積：§7-5大地線 一、相對法截線 二、大地線的定義和性質(zhì) 橢球面上兩點間的最短曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義“大地線上每點的密切面（無限接近三個點構(gòu)成的平面）都包含該點的曲線法線”亦即“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間的曲

17、面曲線。 假如在橢球模型表面A、B兩點之間，畫出相對法截線，然后在A、B兩點上各插一個大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細橡皮筋，并設橡皮筋和橢球面之間沒有磨擦力。則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對法截線之間，這就是一條大地線，由于橡皮筋處于拉力之下，故它實際上是兩點的最短線。 不在同一子午圈或不在同一平行圈上的兩點的正反法截線是不重合的，它們之間的夾角 ，在一等三角測量中可達千分之四秒，可見此時是不容忽視的。大地線是兩點間唯一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為 在一等三角測量中， 數(shù)值可達千分之一二秒，可見在一等或相當于一等三角測量精度的工程三角測

18、量中是不可忽視的。 大地線與法截線長度之差只有百萬分之一毫米，所以在實際計算中，這種長度差異可以忽略不計。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)可知，在橢球面上進行測量計算時，應以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等應歸算到相應大地線的方向、距離。三、大地線的微分方程和克萊洛(克萊勞)方程 設P為大地線上任一點，其經(jīng)度為L，緯度為B，大地方位角為A,當大地線增長dS到P1點時，則上述各量相應變化L+dL，B+dB，A+dA。對應于PP1的過P點的平行圈變化為PP2，PP1P2為一橢球面直角三角形，由于該三角形無限小，可視為平面三角形，因 克萊勞方程：或 式中C也叫大地線常數(shù)，該式即為著名的克萊洛方

19、程，也叫克萊洛定理。它表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)?？巳R洛方程在橢球大地測量學中有重要意義，它是經(jīng)典的大地主題解算的基礎。 某一大地線常數(shù)等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時的大地方位角的正弦乘積，或者等于該大地線上具有最大緯度的那一點的平行圈半徑。§7-6將地面觀測的方向值歸算到橢球面 參考橢球面是測量計算的基準面，而野外的各種測量工作都是在地面上進行的，測站點和照準點一般都超過參考橢球面一定高度，觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線間存在著垂線偏差，因此，也就不能直接在地面上處理觀測成果

20、，而應將地面觀測元素（方向和距離）歸算至橢球面上。 在歸算中有兩條基本要求：（1）以橢球面的法線為基準；（2）將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。一、將地面觀測的水平方向歸算至橢球面-三差改正 將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習慣上稱此三項為三差改正。 1.垂線偏差改正 地面上所有水平方向的觀測都是以垂線為根據(jù)的，而在橢球面上則要求以該點的法線為依據(jù)。因此在每三角點上，把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應加的改正定義為垂線偏差改正。 垂線偏差的計算公式為：2.標高差改正 標高差改正又稱由照準點高度引起的改正。我們知道，不在

21、同一子午面或不在同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。因此，當進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢球面某一高度，則照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏差的改正稱標高差改正以 表示。 A為測站點，若測站點觀測值已加垂線偏差改正，則可認為垂線與法線一致。這時測站點在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對水平方向是沒有影響的。這是因為測站點法線不變，則通過某一照準點只能有一個法截面，為此我們設A在橢球面上。標高差改正的計算公式為： 式中B2為照準點大地緯度，A1為測站點至照準點的大地方位角；H2為照準點高出橢球面的高程，它由三部分組成： H常為照準點標石中心的正常高，為高程異常，a

22、為照準點的覘標高。其中 是照準點緯度B2相應的子午圈曲率半徑。實用中為計算方便，設則(7-163)式變?yōu)椋篕1在測量計算用表集（之一）中有表列數(shù)值，以照準點的高程H2（單位米）和照準點緯度B2為引數(shù)查取。由上可知，標高差改正主要與照準點的高程有關(guān)。經(jīng)此項改正后，便將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應的法截弧方向。3.截面差改正 在橢球面上，緯度不同的兩點由于其法線不共面，所以在對向觀測時相對法截弧不重合，應當用兩點間的大地線代替相對法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應加的改正叫截面差改正，用 表示。 截面差改正計算公式為式中S為AB間大地線長度， 為測站點緯度B1相對應的卯酉圈曲率半徑

23、。4.三差改正的計算 為了在內(nèi)業(yè)計算時不影響外業(yè)觀測精度，各等三角測量在歸算時對取位的要求是不同的。按作業(yè)中的有關(guān)規(guī)定：一等需算至0.001/；二等為0.01/；三等和四等為0.1/。 在一般情況下，一等三角測量應加三差改正；二等三角測量應加垂線偏差改正和標高改正，而不加截面差改正；三等和四等三角測量可不加三差改正，但當 或H>2000m時，則應分別考慮加垂線偏差改正和標高差改正。即對特殊情況應依測區(qū)實際情況具體分析，然后再確定是否加入三差改正。經(jīng)過三差改正后，最后得到橢球面上相應的各大地線的方向值。二、將天文方位角歸化為大地方位角-起始方位角 將天文方位角歸化為大地方位角的計算公式是：

24、式中A為測站點到照準點的大地方位角，為測站點處相應方向的天文方位角；L為測站點的大地經(jīng)度； 為測站點的天文經(jīng)度； 為測站點的天文緯度； 為垂線偏差改正數(shù)。當照準點目標高度不大時，天頂距Z接近于900時， 可勿略不計，因此上式可寫為： 該式又稱為拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角點上觀測天文經(jīng)度、天文緯度時，該點叫拉普拉斯點。三、觀測天頂距受垂線偏差影響的改正 用三角高程方法測定相鄰三角點的大地高差時，在三角點P1和P2上必須進行天頂距的觀測， §7-7 將地面觀測的長度歸算到橢球面 根據(jù)測邊使用儀器的不同，地面長度的歸算可分為兩種：一是基線尺量距的歸算；二是電磁波測

25、距的歸算，現(xiàn)分別進行研究。一、基線尺量距的歸算 將基線尺測量求得的長度加入尺段傾斜改正后，可認為它是基線平均水準面上的長度值，用S0 表示。而我們所求的是橢球面上的大地線的長度S，因此產(chǎn)生了長度歸算問題。 1. 垂線偏差對長度歸算的影響 由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不一致，水準面不平行于橢球面。為此在長度歸算中應首先消除這種影響。假設垂線偏差沿基線是線性變化的，則垂線偏差u對長度歸算的影響式是： 2. 高程對長度歸算的影響 二、電磁波測距的歸算 此式即為電磁波測距的歸算公式。式中大地高H由兩項組成：一是正常高，一是高程異常。為保證S的計算精度不低于 10-6級，當D<10KM時，高差h=H2-H1 的精度必須達0.1m；當D>10KM時，必須達1m。大地高H本身的精度應達5m級，而平均曲率半徑RA達1公里即可?，F(xiàn)對上式進一步簡化如下式中 顯然，上式右端第二項是由于控制點之高差引起的傾斜改正的主項。經(jīng)過此項改正，測線已變成平距；第三項是由于平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)過此項改正后，測線已變?yōu)橄揖€；第四項則是由弦長改化為弧長的改正項。(7-