中考專題復(fù)習(xí)第15講輔助線

1、幾何輔助線（圖）作法探討一、構(gòu)造基本圖形：每個(gè)幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后面把它們單獨(dú)表述。典型例題：例1.如圖，【 】A. B. C. D.例2.已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若ACBD，且ACBD，則四邊形EFGH的形狀是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ）例3.如圖，線段AC=n+1（其

2、中n為正整數(shù)），點(diǎn)B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到AME當(dāng)AB=1時(shí)，AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時(shí)，AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，AME的面積記為S3；當(dāng)AB=n時(shí)，AME的面積記為Sn當(dāng)n2時(shí)，SnSn1= 例4.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在BC邊上，且GDF=ADF。（1）求證：ADEBFE；（2）連接EG，判斷EG與DF的位置關(guān)系，并說明理由。例5.如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，

3、CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；（2）如圖2，當(dāng)AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長二、構(gòu)造等腰（邊）三角形：當(dāng)問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰（邊）三角形；出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。通過構(gòu)造等腰（邊）三角形，應(yīng)用等腰（邊）三角形的性質(zhì)得到一些邊角相等關(guān)系，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. 如圖，在等腰ABC中，ABAC，BAC50°BAC的平分線與AB的中垂線交于點(diǎn)O，點(diǎn)C沿EF折

4、疊后與點(diǎn)O重合，則CEF的度數(shù)是 例2.如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、F分別在線段BC、AB上，EFB=60°，DC=EF（1）求證：四邊形EFCD是平行四邊形；（2）若BF=EF，求證：AE=AD例3.如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC，過點(diǎn)D作DEBC，垂足為E，并延長DE至F，使EFDE聯(lián)結(jié)BF、CD、AC（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形； （2）如果DE2BE·CE，求證四邊形ABFC是矩形 三、構(gòu)造直角三角形：通過構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)得到一些邊角關(guān)系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數(shù)），達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1.

5、已知：在ABC中，AC=a，AB與BC所在直線成45°角，AC與BC所在直線形成的夾角的余弦值為 （即cosC=），則AC邊上的中線長是 例2. 如圖，在矩形ABCD中，ADAB，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為MN，連結(jié)CN若CDN的面積與CMN的面積比為14，則 的值為【 】A2 B4 C D例3.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點(diǎn)E，BAC=900，CED=450，DCE=900， DE=，BE=2求CD的長和四邊形ABCD的面積四、構(gòu)造全等三角形：通過構(gòu)造全等三角形，應(yīng)用全等三角形對應(yīng)邊、角相等的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. 如圖，在

6、矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，將ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)B處，又將CEF沿EF折疊，使點(diǎn)C落在EB與AD的交點(diǎn)C處則BC：AB的值為 。例2. 如圖，ABCD，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，若AB=5，CD=3，則EF的長是【 】A4B3C2D1例4. （2011廣西南寧3分）如圖，在ABC中，ACB90º，A15º，AB8，則AC·BC的值為【 】A14 B16 C4 D16例5. （2011山東濟(jì)南3分）如圖，在ABC中，ACB90º，ACBC，分別以AB、BC、CA為一邊向ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG，連

7、接EF、GM、ND，設(shè)AEF、BND、CGM的面積分別為S1、S2、S3，則下列結(jié)論正確的是【 】AS1S2S3 BS1S2S3CS1S3S2 DS2S3S1例6. （2011山東德州8分）如圖 AB=AC，CDAB于D，BEAC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O（1）求證AD=AE；（2）連接OA，BC，試判斷直線OA，BC的關(guān)系并說明理由例3.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH（1）求證：APB=BPH；（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，PDH的周長是

8、否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由五、構(gòu)造相似三角形：通過構(gòu)造相似三角形，應(yīng)用相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1.如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，則EF= 例3.如圖，ABC中，AB=AC，D是AB上的一點(diǎn)，且AD=AB，DFBC，E為BD的中點(diǎn)若EFAC，BC=6，則四邊形DBCF的面積為 例4. （2011山東淄博4分）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)M，N分別在CD，

9、HE上，CM=DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點(diǎn)P，則tanNPH的值為 例2.已知一個(gè)矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），點(diǎn)B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），經(jīng)過點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B和折痕OP設(shè)BP=t（）如圖，當(dāng)BOP=300時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（）如圖，經(jīng)過點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB上，得點(diǎn)C和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；（）在（）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）六、構(gòu)造特殊四邊形：通過構(gòu)造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應(yīng)用它們邊、角

10、、對角線、中位線的性質(zhì)，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例1. 如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將ABE沿BE折疊后得到GBE，延長BG交CD于F點(diǎn)，若CF=1，F(xiàn)D=2，則BC的長為【 】A B C D例2. 如圖，點(diǎn)D是ABC的邊AB的延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合）.以BD、BF為鄰邊作平行四邊形BDEF，又APBE（點(diǎn)P、E在直線AB的同側(cè)），如果，那么PBC的面積與ABC面積之比為【 】A. B. C. D.例3.如圖，P是矩形ABCD內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，設(shè)它們的面積分別是S1、S2、S3、S4，給

11、出如下結(jié)論：S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3 若S3=2 S1，則S4=2 S2 若S1= S2，則P點(diǎn)在矩形的對角線上其中正確的結(jié)論的序號是 （把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）.例4.如圖，在ABCD中，延長CD到E，使DECD，連接BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G。（1）求證：AFDF；（2）若BC2AB，DE1，ABC60°，求FG的長。例5.如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，對角線AC的中點(diǎn)為O，過點(diǎn)O作AC的垂直平分線分別與AD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF。求證：AE=AF。例6.（2012海南省11分）如圖（1），在矩形ABCD中，把B、D分別翻折，

12、使點(diǎn)B、D分別落在對角線BC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為CM、AN.（1）求證：ANDCBM.（2）請連接MF、NE，證明四邊形MFNE是平行四邊形，四邊形MFNE是菱形嗎？請說明理由？（3）P、Q是矩形的邊CD、AB上的兩點(diǎn)，連結(jié)PQ、CQ、MN，如圖（2）所示，若PQ=CQ，PQMN。且AB=4，BC=3，求PC的長度.七、構(gòu)造圓的特殊圖形：通過構(gòu)造圓的特殊圖形，應(yīng)用圓周角定理、垂徑定理、切線與過切點(diǎn)的半（直）徑的關(guān)系、兩圓相切公切線的性質(zhì)、兩圓相交公共弦的性質(zhì)等，達(dá)到求證（解）的目的。典型例題：例3.如圖，過A、C 、D三點(diǎn)的圓的圓心為E，過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D，如果A=63

13、76;，那么= 來源例4.如下圖OA=OB=OC且ACB=30°，則AOB的大小是【 】 A.40°B.50°C.60°D.70°例5.如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，以頂點(diǎn)C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)F，則EF的長為 例6.如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，NMB的度數(shù)是 .八、基本輔助線：基本輔助線包括連接兩點(diǎn)的線段、平行線、垂直線、角平分線等，如連接直角三角形直角頂點(diǎn)與斜邊的中點(diǎn)構(gòu)成斜邊上的中線；過三角形一邊的中點(diǎn)作另一邊的平行線構(gòu)成三角形的中位線；過三角形一頂點(diǎn)作對

14、邊的垂直線構(gòu)成直角三角形；連接圓上一點(diǎn)和直徑的兩端點(diǎn)構(gòu)成直角三角形；等等。典型例題：例2.如圖，已知AB=DC，DB=AC（1）求證：ABD=DCA，注：證明過程要求給出每一步結(jié)論成立的依據(jù)（2）在（1）的證明過程中，需要作輔助線，它的意圖是什么？例3.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AB的垂直平分線DE交于BC的延長線于F，若F=30°，DE=1，則EF的長是【 】A3 B2 C D1例5.如圖，在四邊形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，點(diǎn)E、F分別為ABAD的中點(diǎn)，則AEF與多邊形BCDFE的面積之比為【 】A B C D例6.若一個(gè)正六邊形

15、的周長為24，則該正六邊形的面積為 例8.如圖，CD是O的直徑，AB是弦（不是直徑），ABCD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是【 】A AEBE B B CD=AEC DADECBE例9.在O中，直徑ABCD于點(diǎn)E，連接CO并延長交AD于點(diǎn)F,且CFAD.則D的度數(shù)是【 】.例7.（2012福建廈門10分）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在邊AD上，過點(diǎn)P分別作PEAC、PFBD，垂足分別為E、F，PEPF（1）如圖，若PE，EO1，求EPF的度數(shù)；（2）若點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DO的中點(diǎn)，BF BC34，求BC的長九、截取和延長變換：在一個(gè)平面幾何圖形內(nèi)，延長或截取某一條線段，使條

16、件和問題相對集中 ,達(dá)到化隱為現(xiàn)的目的，常常使線段所在的三角形與平面內(nèi)某一三角形成為全等三角形。證明兩條線段的和差，80%的情況都要用截長補(bǔ)短法。典型例題：例1.（2012江蘇南京2分）如圖，菱形紙片ABCD中，A=600，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在A、D處，且AD經(jīng)過B，EF為折痕，當(dāng)DFCD時(shí)，的值為【 】A. B. C. D. 例2.（2012黑龍江牡丹江3分）如圖，菱形ABCD中，AB=AC，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AG于點(diǎn)O則下列結(jié)論ABFCAE，AHC=1200，AH+CH=DH，AD 2=OD·DH中，正確的是

17、【 】A. B. C. D. 例3.（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田3分）如圖，ABC為等邊三角形，點(diǎn)E在BA的延長線上，點(diǎn)D在BC邊上，且ED=EC若ABC的邊長為4，AE=2，則BD的長為【 】A2 B3 C D例4.（2012山東棗莊8分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，ABC90°，CDAD，AD2CD22AB2 （1）求證：ABBC；（2）當(dāng)BEAD于E時(shí)，試證明：BEAECD例5.（2012重慶市10分）已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，DF與對角線AC交于點(diǎn)M，過M作MECD于點(diǎn)E，1=2（1）若CE=1，求BC的長；（2）求證：AM=DF+ME十

18、、平移變換：平移變換是幾何變換中的基本變換之一，平移變換是使圖形上的點(diǎn)沿同一方向平移同一距離得到新的圖形。平移變換前后的圖形具有如下性質(zhì)：（1）對應(yīng)線段平行且相等；（2）對應(yīng)角的兩邊平行且方向一致。典型例題：例1. （2012海南省3分）如圖，APB=300，圓心在邊PB上的O半徑為1cm，OP=3cm，若O沿BP方向移動(dòng)，當(dāng)O與PA相切時(shí)，圓心O移動(dòng)的距離為 cm.例2.（2012江西南昌3分）如圖，有a、b、c三戶家用電路接入電表，相鄰電路的電線等距排列，則三戶所用電線【 】Aa戶最長 Bb戶最長 Cc戶最長 D三戶一樣長例3. （2011湖北黃岡、鄂州3分）如圖：矩形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長之和為 例4.