自動控制原理-第三章-時域分析法

1、第三章 時域分析法時域分析法 主要內(nèi)容主要內(nèi)容3.1 3.1 時域分析基礎(chǔ)時域分析基礎(chǔ)3.2 3.2 一、二階系統(tǒng)分析與計算一、二階系統(tǒng)分析與計算3.3 3.3 高階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)及簡化分析高階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)及簡化分析3.4 3.4 控制控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及其代數(shù)判據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析及其代數(shù)判據(jù)3.5 3.5 穩(wěn)態(tài)誤差分析計算穩(wěn)態(tài)誤差分析計算單位斜坡響應(yīng)單位斜坡響應(yīng) 系統(tǒng)在單位斜坡輸入r(t)=t1(t)作用下的響應(yīng)，常用 ct（t）表示。單位脈沖響應(yīng)單位脈沖響應(yīng)定義：系統(tǒng)在單位脈沖輸入 r(t)=(t)作用下的響應(yīng)，常用k(t)表示。三種響應(yīng)之間的關(guān)系三種響應(yīng)之間的關(guān)系相應(yīng)的時域表達式為相應(yīng)的

2、時域表達式為1.峰值時間峰值時間tp：指：指h(t)曲線中超過其穩(wěn)態(tài)值而達到第一個曲線中超過其穩(wěn)態(tài)值而達到第一個峰值所需的時間。峰值所需的時間。2.超調(diào)量超調(diào)量 ：指：指h(t)中對穩(wěn)態(tài)值的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值中對穩(wěn)態(tài)值的最大超出量與穩(wěn)態(tài)值之比。之比。3.調(diào)節(jié)時間調(diào)節(jié)時間ts：指響應(yīng)曲線中，：指響應(yīng)曲線中，h(t)進入穩(wěn)態(tài)值附近進入穩(wěn)態(tài)值附近 5%h( )或或 2%h( )誤差帶，而不再超出的最小時間。誤差帶，而不再超出的最小時間。4.上升時間上升時間tr：響應(yīng)曲線從：響應(yīng)曲線從0開始第一次到達穩(wěn)態(tài)值所經(jīng)開始第一次到達穩(wěn)態(tài)值所經(jīng)歷的時間。歷的時間。5. 振蕩次數(shù)，振蕩周期，衰減率振蕩次數(shù)，振蕩周

3、期，衰減率%,ssssssteet注：及三項指標是針對階躍響應(yīng)而言的，對于非階躍輸入，則只有穩(wěn)態(tài)誤差而沒有 和 。3 32 2 一、二階系統(tǒng)分析與計算一、二階系統(tǒng)分析與計算1.一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)微分方程：微分方程：動態(tài)結(jié)構(gòu)圖：動態(tài)結(jié)構(gòu)圖：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：輸入：輸入：輸出：輸出：初始斜率初始斜率：性能指標1. 平穩(wěn)性平穩(wěn)性 ：非周期、無振蕩，非周期、無振蕩， 02. 快速性快速性ts：3. 準確性準確性 ess：s100)(sR)(sCHK)(sE)(sB100sHK二、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)二、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及單位階躍響應(yīng)由二階微

4、分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)二階系統(tǒng)的微分方程的一般式為二階系統(tǒng)的微分方程的一般式為22d( )d ( )2( )( )dd22nnnc tc tc tr ttt(0)n阻尼比開環(huán)傳遞函數(shù)：開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)傳遞函數(shù)：二階系統(tǒng)的特征方程為：二階系統(tǒng)的特征方程為：解方程求得特征根：解方程求得特征根：s1,s2完全取決于完全取決于， n兩個參數(shù)。兩個參數(shù)。當輸入為階躍信號時，則微分方程解的形式為：當輸入為階躍信號時，則微分方程解的形式為：(1).lim ( )( )0sster tc t穩(wěn)態(tài)誤差(2).=0響應(yīng)沒有振蕩 2.欠阻尼欠阻尼 二階系統(tǒng)的

5、單位階躍二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)響應(yīng)(01)拉氏逆變換得：拉氏逆變換得：下圖為二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線。下圖為二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的通用曲線。下面根據(jù)上圖來分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)下面根據(jù)上圖來分析系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù) 、 對階對階躍響應(yīng)的影響。躍響應(yīng)的影響。n結(jié)論：結(jié)論： 越大，越大，d越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩越小，幅值也越小，響應(yīng)的振蕩傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之，傾向越弱，超調(diào)越小，平穩(wěn)性越好。反之， 越小，越小， d 越大，振蕩越嚴重，平穩(wěn)性越差。越大，振蕩越嚴重，平穩(wěn)性越差。當當 0時，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為時，為零阻尼響應(yīng)，具有頻率為 的的不衰減（等幅）振蕩。不衰減（等幅）振

6、蕩。n阻尼比和超調(diào)量的關(guān)系曲線如下圖所示阻尼比和超調(diào)量的關(guān)系曲線如下圖所示21dndn結(jié)論：對于二階欠阻尼系統(tǒng)而言，結(jié)論：對于二階欠阻尼系統(tǒng)而言， 大，大， 小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。小，系統(tǒng)響應(yīng)的平穩(wěn)性好。n從圖中看出，對于從圖中看出，對于5誤誤差帶，當差帶，當 時，調(diào)時，調(diào)節(jié)時間最短，即快速性最節(jié)時間最短，即快速性最好。同時，其超調(diào)量好。同時，其超調(diào)量5，平穩(wěn)性也較好，故稱，平穩(wěn)性也較好，故稱 為最佳阻尼比。為最佳阻尼比。0.7070.707總結(jié)：總結(jié)： 越大，調(diào)節(jié)時間越大，調(diào)節(jié)時間 越短；當越短；當 一定時，一定時， 越大，快速性越好。越大，快速性越好。 nstn21( )1esin(ar

7、ccos )1ntdh tt 從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時間從上式可看出，瞬態(tài)分量隨時間t的增長衰減到零，的增長衰減到零，而穩(wěn)態(tài)分量等于而穩(wěn)態(tài)分量等于1，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單，因此，上述欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差為零。211esin(arccos )11ntdtarccosrdt根據(jù)極值定理有：根據(jù)極值定理有：取取n=1得得:21pdnt21( )1esin(arccos )1ntdh tt 2 / 1()( )%100%e100%( )ph thh寫出調(diào)節(jié)時間的表達式相當困難。在分析設(shè)寫出調(diào)節(jié)時間的表達式相當困難。在分析設(shè)計系統(tǒng)時，經(jīng)常采用下列近似公式

8、。計系統(tǒng)時，經(jīng)常采用下列近似公式。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)10005 .341000)(2sss與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得與標準的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)對照得75005 .3415005)(2 sss 5 .675 .345 .67)(2sssc(t)c(t)1 10 0t tK KA A=1500=1500K KA A=200=200K KA A=13.5=13.53.3 高階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)及簡化分析高階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)及簡化分析主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：設(shè)系統(tǒng)的微分方程（或增量化線性方程）為：設(shè)系統(tǒng)的微分方程（或增量化線性方程）為：對上式進行拉氏變換得：對上式進行拉氏變換得： 化簡整理化簡整

9、理：其中：其中：D(s)為系統(tǒng)閉環(huán)特征式，也稱輸出端算子為系統(tǒng)閉環(huán)特征式，也稱輸出端算子式；式；M(s)稱為輸入端算子式。稱為輸入端算子式。R(s)為輸入，為輸入，C(s)為輸出，為輸出，M0(s)是是與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)的多項式，與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)的多項式， M0(s)M02(s)- M01(s)。整理上式：整理上式：將C(s)等式右邊的兩項分別展成部分分式，可得：再進行拉氏逆變換，得：系統(tǒng)去掉擾動后的恢復(fù)能力，應(yīng)由瞬態(tài)系統(tǒng)去掉擾動后的恢復(fù)能力，應(yīng)由瞬態(tài)分量決定。此時，系統(tǒng)的輸入為零。分量決定。此時，系統(tǒng)的輸入為零。故穩(wěn)定性定義可故穩(wěn)定性定義可轉(zhuǎn)化為：轉(zhuǎn)化為： 式中：式中：Ai，Ci均為常

10、值，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅均為常值，因此，系統(tǒng)的穩(wěn)定性僅取決于特征根取決于特征根si的性質(zhì)，設(shè)的性質(zhì)，設(shè)l當當si為共軛復(fù)根時，即為共軛復(fù)根時，即si，i+1 i ji系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有負實部，或者說系統(tǒng)的特征方程的所有根都具有負實部，或者說都位于都位于s平面的虛軸之左。平面的虛軸之左。（頂頂重要）?。旐斨匾?！注：拉氏變換性質(zhì)中的終值定理的適用條件：注：拉氏變換性質(zhì)中的終值定理的適用條件： sE(s)在在s平面的右半平面解析，就是上面穩(wěn)定條件的另一種表示，平面的右半平面解析，就是上面穩(wěn)定條件的另一種表示，即特征方程的所有根即特征方程的所有根si位于位于s平面的虛軸之左。平面的虛軸之

11、左。赫爾維茨赫爾維茨（Hurwitz)穩(wěn)定判據(jù)，林納德穩(wěn)定判據(jù)，林納德 奇帕特奇帕特（Lienard-Chipard)判據(jù)，勞斯判據(jù)，勞斯-侯維智穩(wěn)侯維智穩(wěn)定判據(jù)等。定判據(jù)等。由前面的講述可知，判定系統(tǒng)穩(wěn)定的最直接由前面的講述可知，判定系統(tǒng)穩(wěn)定的最直接方法是求出系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，根據(jù)特征根方法是求出系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，根據(jù)特征根的位置判斷，但有時候這種計算不方便。代的位置判斷，但有時候這種計算不方便。代數(shù)判據(jù)的目的是不直接求特征根，通過間接數(shù)判據(jù)的目的是不直接求特征根，通過間接的方法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。的方法判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。主要學(xué)習一下勞斯判據(jù)主要學(xué)習一下勞斯判據(jù)系統(tǒng)特征方程的一般形式為：系統(tǒng)特征方程的一般形式為：可以由可以由1+G0（s）=0求出，其中求出，其中G0（s）=G（s）+H（s）為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)）為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。勞斯穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)的必要條件（即首先滿足的條勞斯穩(wěn)定判據(jù)判穩(wěn)的必要條件（即首先滿足的條件）：系統(tǒng)特征方程的系數(shù)均大于件）：系統(tǒng)特征方程的系數(shù)均大于0或小于或小于0.*若有以下情況：系數(shù)符號不同