振動線性微分方程模型

1、振動線性微分方程模型數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)10漢本 *摘要：振動是日常生活和工程技術(shù)中常見的一種運(yùn)動形式。例如，單擺，彈簧的振動，RLC電路的電磁振蕩等。在一定條件下振動問題可歸結(jié)為二階線性常 系數(shù)微分方程的問題來討論。這篇文章中以彈簧振動為具體的微分方程模型，利用常系數(shù)線性微分方程的理論討論有關(guān)振動的問題并通過對其解的分析，闡明有關(guān)的物理現(xiàn)象。關(guān)鍵詞:線性 臨界值特征方程共振線性振動的彈簧振動模型質(zhì)量為m的指點(diǎn)固定在彈簧上沿水平軸振動，平衡位置 x = 0。由受力分析 可知水平方向上質(zhì)點(diǎn)受彈簧彈力與介質(zhì)阻力（例如與水平面及空氣的摩擦力）。由胡克定律F-kx知質(zhì)點(diǎn)所受彈力為-kx，其中k為

2、彈簧系數(shù)。又由介質(zhì)阻力dxdx與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動速度dt成正比，阻力為_ad?，由牛頓第二定律有d2xdt2dx-k-adtf(t)(1)其中f（t）為外力。（1）即為線性振動的數(shù)學(xué)模型。1.簡諧（無阻尼運(yùn)動）-aS當(dāng)外力f（t）二0，阻力 dt，則（1）寫為d 2xm 2 亠 kx = 0 dt2即mx 也=0這時(shí)的振動稱之為簡諧振動,（1）化為 x+w2x 二 0，其中 w2 = k m，解特征方程2 w0解得 一 -wi可知（1 ）的通解為x(t)二 G coswt C2 sin wt 二 Asin(wtJ A = . G2 C；i）對于給定的彈簧，k為常數(shù) w .為一固定常數(shù)，則余弦函數(shù)的周期

3、T =蘭w此時(shí)，彈簧的振動是穩(wěn)定的，運(yùn)動的位置與速度都隨時(shí)間t周期性變化ii) k增大(彈力F增大)或質(zhì)點(diǎn)m減小時(shí)？增大，T減小，這與我們高中時(shí) 所學(xué)的知識是相符的2. 衰減振動(有阻尼自由振動)dx當(dāng)外力f (t) = 0但阻力 _a - 0時(shí)，(1)寫成 mx ax kx = 0 這時(shí)dt的振動稱為衰減振動，方程化為xx = 0，記a = 2、： ， = w2m mmm特征方程九2 + 2&扎+ w2 = 0解得鮎,2=-6 土 J§2-w2討論：對于固定彈簧i) 當(dāng) ；2 w2特征方程有兩個(gè)不同的負(fù)實(shí)根，這時(shí)方程的通解為x(t) =Ge +C2e 更可以看出對于位移X，

4、tT臨時(shí)，XT 0，振動迅速衰減，振動速度衰減， 并趨于0而停止，振動也停止，運(yùn)動不再具有振動性質(zhì)ii) 當(dāng)62vw2特征方程有兩個(gè)不同復(fù)根，記打,2=。土內(nèi)，其中:-二，方程通解為 x(ttC1 cos t C2sin t ，此時(shí)隨著tT處 振幅x減小，XT 0，運(yùn)動趨于停止，存在T為一常數(shù) 但它并不是嚴(yán)格意義上的周期函數(shù)，只是從一個(gè)最大振幅便到另一個(gè)最大 振幅所用的時(shí)間相等為Tiii) 當(dāng)、；2 = w2特征方程有實(shí)重根八2 一 f這時(shí)方程的通解為x(t) =(Gt «2)帶當(dāng)t 時(shí)，位移X與速度均趨于0而停止，運(yùn)動不再具有振動性質(zhì)，而：二w稱為衰減運(yùn)動的臨界值。3. 受迫振動當(dāng)

5、外力f (t) = 0，阻力-玄魚=0時(shí)(1)寫為x 旦x x =丄(2)dtm m m是一 個(gè)二階常系數(shù)線性微分方程，這時(shí)的振動受到外力的作用，稱為受迫 振動。設(shè)外力為f(t)二F°cospt，其中F。為一常數(shù)，P為外力頻率a 1 kf方程變?yōu)閤+x+ x =-°cospt可知其通解是i)， li)， iii)中m mm的某一個(gè)通解加上一個(gè)特解在這里，我們以無阻尼受迫振動，即広=0的情況為例分析dt記=w2，則（2）變?yōu)?x w2x = Fo cos pt （2.1）mm對應(yīng)其次方程通解為x（t）=Asin（wt ）現(xiàn)求（2.1 ）一個(gè)特解i）當(dāng) p = w 時(shí)，設(shè)為 x

6、 = M cos pt N sin ptx 二-Mpsin pt Npcospt2 2x = -Mp cospt-Np sin pt對比同類項(xiàng)系數(shù)得N =0F。m(w2 _ p2)所以（2.1 ）通解為 x（t） =Asin（wt ）F2 cos ptm（w + p ）解的前半部分為簡諧振動的解，它代表固有振動，后半部分代表由外力引 起的強(qiáng)迫振動ii）當(dāng)P > w時(shí)，則強(qiáng)迫振動的振幅越來越大iii) 當(dāng) p =w 時(shí)， 則(2.1 )有形如 t(M cos pt N sin pt)的解,求導(dǎo)并帶入（2.1 ）后，比較同類項(xiàng)系數(shù)得 M =0N= F02mw（2.1 ）的通解為x（t）二As

7、in（wt ） 電sin pt，這時(shí)振幅最大2mw這時(shí)的振動稱為共振發(fā)生共振現(xiàn)象時(shí)，會產(chǎn)生很大的振幅，引起破壞性效果。如 1940年11 月7日，華盛頓市的塔科馬大橋在氣流作用下發(fā)生共振，振幅達(dá)到 28英尺而 使該橋坍塌。因而，生活中很多時(shí)候要避免共振的發(fā)生。但只要我們掌握共 振 的規(guī)律，我們也可以在生活中利用它，例如樂器的構(gòu)造便是利用了共振原理。另一方面，由特解 x的系數(shù)可知，外力頻率P越大（p 1），振幅越小。例如，小轎車在并不平坦的路面上高速行駛， 車輪受凹凸不平的 路面顛簸，P很大，車身反而很穩(wěn)。這種現(xiàn)象稱之為 消振。小結(jié)：文中只是介紹了具有代表性的彈簧振動模型，實(shí)際上在反映客觀現(xiàn)實(shí)世 界運(yùn)動過程的量與量之間的關(guān)系的可建立的數(shù)學(xué)模型中有各種各樣的常微分方 程模型，有線性的也有非線性的，常系數(shù)非及非常系數(shù)的