174一元二次方程根與系數(shù)的關系

1、 17.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系韋達韋達一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式：x=aacbb242(b2-4ac0)（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0341271-3- 4- 4-1-22123（3）3x2-4x+1=03134311方程兩根兩根和X1+x2兩根積x1x2x1x2x2-7x+12=0 x2+3x-4=03x2-4x+1=02x2+3x-2=0-341271-3- 4

2、- 4-1-221233134311若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的兩根為x1、x2, 則 21xx . 21xx . abacaacbbx2421aacbbx2422X1+x2=aacbb242aacbb242+=ab22=ab-X1x2=aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ac證明：證明：設ax2+bx+c=0(a0)的兩根為x1、x2,則一元二次方程的根與系數(shù)的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的兩個根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 = ab-ac注：能用公式的前提條件為=b2-4ac0在使用根與系數(shù)

3、的關系時，應注意：在使用根與系數(shù)的關系時，應注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 時，時， 注意注意“ ”不要漏寫。不要漏寫。ab如果方程x2+px+q=0的兩根是X1 ，X2，那么X1+X2= , X1X2= .Pq 一元二次方程一元二次方程根與系數(shù)的關系根與系數(shù)的關系是是法國數(shù)學家法國數(shù)學家“韋達韋達”發(fā)現(xiàn)的發(fā)現(xiàn)的,所以我們又所以我們又稱之為稱之為韋達定理韋達定理.說出下列各方程的說出下列各方程的兩根之和兩根之和與與兩根之積兩根之積：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 = 4(2) 2x2 - 3

4、x + =021x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是的一個根是2 , 求它的另一個根及求它的另一個根及k的值的值.解法一解法一：設方程的另一個根為設方程的另一個根為x2.由根與系數(shù)的關系，得由根與系數(shù)的關系，得2 x2 = k+12 x2 = 3k解這方程組，得解這方程組，得x2 =3 k =2答：方程的另一個根是答：方程的另一個根是3 , k的值是的值是2.例例1、已知方程、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個根是的一個根是2 , 求它的另

5、一個根及求它的另一個根及k的值。的值。解法二解法二：設方程的另一個根為設方程的另一個根為x2.把把x=2代入方程，得代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解這方程，得解這方程，得 k= - 2由根與系數(shù)的關系，得由根與系數(shù)的關系，得2 x23k即即2 x26 x2 3答：方程的另一個根是答：方程的另一個根是3 , k的值是的值是2.例例2、方程、方程2x2-3x+1=0的兩根記作的兩根記作x1,x2， 不解方程，求：不解方程，求： （1） ; （2) ;(3) ; (4) .2221xx 2111xx) 1)(1(21xx21xx 另外幾種常見的求值另外幾種常見的求值:2111. 1xx21

6、21xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 2xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 4xx221)(xx 212214)(xxxx1、已知方程、已知方程3x219x+m=0的一個根是的一個根是1，求它的另一個根及求它的另一個根及m的值。的值。2、設、設x1,x2是方程是方程2x24x3=0的兩個根，求的兩個根，求(x1+1)(x2+1)的值的值.解：設方程的另一個根為解：設方程的另一個根為x2,319則x2+1= , x2= ,316又x21= ,3m m= 3x2 = 16 解：解：由根與系數(shù)的關系由根與系數(shù)的關系,得得x1+x2

7、= - 2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=2325212 xx21xx411412，xx，xx的兩個根為方程設014. 3221則：則：21xx2221xx221)(xx221)(xx221)(xx 214 xx 求與方程的根有關的代數(shù)式的值時求與方程的根有關的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式兩根之積的形式,再整體代入再整體代入. 4. 4.已已知方程的兩個實數(shù)根知方程的兩個實數(shù)根 是是且且 ， 求求k k的值的值. . 解：由根與系數(shù)的關系得解：由根

8、與系數(shù)的關系得 x x1 1+x+x2 2=-k=-k， x x1 1x x2 2=k+2=k+2 又又 x x1 12+ x x2 2 2 = 4 = 4 即即( (x x1 1+ x x2 2)2 -2-2x x1 1x x2 2=4 =4 K K2 2- 2(k+2- 2(k+2）=4=4 K K2 2-2k-8=0 -2k-8=0 = = K K2 2-4k-8-4k-8當當k=4k=4時，時， =-8=-80 0k=4(k=4(舍去）舍去）當當k=-2k=-2時，時， =4=40 0 k=-2 k=-2解得：解得：k=4 或或k=2022kkxx2, 1xx42221 xx6.已知關

9、于已知關于x的方程的方程x2+(2m-1)x+m2=0有兩有兩個實數(shù)根個實數(shù)根x1、x2.（1）求實數(shù)）求實數(shù)m的取值范圍；的取值范圍；（2）當）當x12-x22=0時，求時，求m的值的值.6.（2013荊州）已知：關于荊州）已知：關于x的方程的方程 kx2(3k1)x+2(k1)=0（1）求證：無論）求證：無論k為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；為何實數(shù)，方程總有實數(shù)根；（2）若此方程有兩個實數(shù)根）若此方程有兩個實數(shù)根x1，x2, 且且x1x2=2,求求k的值的值.2、熟練掌握根與系數(shù)的關系；熟練掌握根與系數(shù)的關系；3、靈活運用根與系數(shù)關系解決問題、靈活運用根與系數(shù)關系解決問題.1.一元二次方程根與

10、系數(shù)的關系？一元二次方程根與系數(shù)的關系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0則有的兩根分別是如果小結：小結：下列方程的兩根的和與兩根的積下列方程的兩根的和與兩根的積各是多少？各是多少？ .X.X2 23X+1=0 3X+1=0 .3X.3X2 22X=22X=2 .2X.2X2 2+3X=0 +3X=0 .3X.3X2 2=1=1 3).1 (21xx121xx32).2(21xx23).3(21xx0).4(21xx3221xx3121xx021xx基本知識基本知識在使用根與系數(shù)的關系時，應在使用根與系數(shù)的關系時，應注意注意：不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要

11、先化成一般式；在使用在使用X1+X2= 時，時， 注意注意“ ”不要漏寫不要漏寫.ab練習練習1已知關于已知關于x的方程的方程012) 1(2mxmx當當m= 時時,此方程的兩根互為相反數(shù)此方程的兩根互為相反數(shù).當當m= 時時,此方程的兩根互為倒數(shù)此方程的兩根互為倒數(shù).11分析分析:1.0121mxx2.11221 mxx練習練習2(1)設設 的兩個實數(shù)根的兩個實數(shù)根 為為 則則: 的值為的值為( )A. 1 B. 1 C. D.012xx21,xx2111xx555A以以 為兩根的一元二次方程為兩根的一元二次方程(二次項系數(shù)為二次項系數(shù)為1)為為:0)(21212xxxxxx2,1xx二、二

12、、已知兩根求作新的方程已知兩根求作新的方程題題5 5 以方程以方程X X2 2+3X-5=0+3X-5=0的兩個根的相反數(shù)為根的的兩個根的相反數(shù)為根的方程是（方程是（ ）A、y y2 23y-5=0 B3y-5=0 B、 y y2 23y-5=0 3y-5=0 C、y y2 23y3y5=0 D5=0 D、 y y2 23y3y5=05=0B分析分析:設原方程兩根為設原方程兩根為 則則:21,xx5, 32121xxxx新方程的兩根之和為新方程的兩根之和為3)()(21xx新方程的兩根之積為新方程的兩根之積為5)()(21xx 求作新的一元二次方程時求作新的一元二次方程時:1.先求原方程的兩根

13、和與兩根積先求原方程的兩根和與兩根積.2.利用新方程的兩根與原方程的兩根之利用新方程的兩根與原方程的兩根之 間的關系間的關系,求新方程的兩根和與兩根積求新方程的兩根和與兩根積. (或由已知求新方程的兩根和與兩根積或由已知求新方程的兩根和與兩根積)3.利用新方程的兩根和與兩根積利用新方程的兩根和與兩根積, 求作新的一元二次方程求作新的一元二次方程. 練習練習:1.以以2和和 為根的一元二次方程為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為）為：（二次項系數(shù)為）為：062xx題6 已知兩個數(shù)的和是1，積是-2，則兩 個數(shù)是 。2和-1解法(一):設兩數(shù)分別為x,y則:1 yx2 yx解得:x=2y=1或 1y=

14、2解法(二):設兩數(shù)分別為一個一元二次方程的兩根則:022aa求得1, 221aa兩數(shù)為2,三已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)三已知兩個數(shù)的和與積，求兩數(shù)題題7 如果如果1是方程是方程 的一個根，則另一個根是的一個根，則另一個根是_=_。（還有其他解法嗎？)022mxx-3四求方程中的待定系數(shù)四求方程中的待定系數(shù)小結：小結： 1、熟練掌握根與系數(shù)的關系；、熟練掌握根與系數(shù)的關系； 2、靈活運用根與系數(shù)關系解決問題；、靈活運用根與系數(shù)關系解決問題； 3、探索解題思路，歸納解題思想方法。、探索解題思路，歸納解題思想方法。8、已知關于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m0) (1)此方程有實數(shù)根

15、嗎？ （2）如果這個方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=m，求m的值。題題9 9 方程方程 有一個正根，一個負根，求有一個正根，一個負根，求mm的取值范圍。的取值范圍。解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx一正根，一負根一正根，一負根0X1X20兩個正根兩個正根0X1X20X1+X20兩個負根兩個負根0X1X20X1+X20請閱讀下列材料：問題：已知方程x 2x10，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍解：設所求方程的根為y，則y2x，所以x 把x 代入已知方程，得( )2 10化簡，得y 22y40故所求方程為y 22y40這種利用方程根的代換求新方程的方法