三元一次方程及其解法

1、三元一次方程及其解法三元一次方程組及其解法1.三元一次方程的定義：含有三個未知數(shù)的一次整式方程2。三元一次方程組：由三個一次方程（一元、二元或三元）組成并含有三個未知 數(shù)的方程組叫做三元一次方程組3 .三元一次方程組的解：能使三個方程左右兩邊都成立的三個未知數(shù)的值解題思路：利用消元思想使三元變二元，再變一元4 .三元一次方程組的解法：用代入法或加減法消元，即通過消元將三元一次方程 組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程.例題解析一、三元一次方程組之特殊型x+y + Z = 12例1:解方程組x + 2y + 5z = 22x = 4），分析：方程是關(guān)于X的表達(dá)式，通過分人芳元片可直接轉(zhuǎn)化

2、為二元一次方 程組，因此確定“消X”的目標(biāo).解法1：代入法,消X。把分別代入、得5y + z = 2 6y+ 5z = 22 解得、=2,z = 2.1 / 1把y=2代入，得x=8。.y = 2,是原方程組的解。 z = 2.根據(jù)方槎組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為：類型一:有表達(dá)式，用代入法型.針對上例進(jìn)而分析，方程組中的方程里缺Z,因此利用、消Z,也能達(dá) 到消元構(gòu)成二元一次方程組的目的。解法2:消z。X5 得 5x+5y+5z=60 一得4x+3y=38由、得x = 4y 4x + 3y = 38 解得b = 2.把x=8, y=2代人得Z二2。x = 8,.)，= 2,是原方程組的解.z

3、 = 2.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可歸納出此類方程組為：類型二：缺某元，消某元型。2x + y + z = 15例2:解方程組 x + 2y + z = 16x + y + 2z = l 分析：通過觀察發(fā)現(xiàn)每個方程未知項的系數(shù)和相等：每一個未知數(shù)的系數(shù) 之和也相等，即系數(shù)和相等。具備這種特征的方程組，我們給它定義為“輪換方 程組”，可采取求和作差的方法較簡潔地求出此類方程組的解。解：由+得4x+4y+4z=48,即 x+y+z=12 o -得x=3,一得y=4,-得z二5,x = 3,.), =4,是原方程組的解。z = 5.x+y = 20,典型例題舉例：解方程組(y + z = 19,x + z

4、 = 21.解：由+得2 (x+y+z) =60 ,即 x+y+z=30 o -得z=10,一得y=11,一得x二9,三元一次方程及其解法x = 9,A y = 11,是原方程組的解。 z = 10.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為：類型三：輪換方程組，求和作差型。例3:解方程組)'：Z = 1：2：7®2x-y + 3z = 2分析1:觀察此方程組的特點(diǎn)是未知項間存在著比例關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)臉, 看見比例式就會想把比例式化成關(guān)系式求解，即由x:y=1:2得y=2x;由x:z=1:7 得z=7x.從而從形式上轉(zhuǎn)化為三元一次方程組的一般形式，即 >1=2x,&l

5、t;Z = 7x,，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，可選用“有表達(dá)式，用代入法”求2x - y + 3z = 21.(3)解.解法1：由得y=2x, z=7x ,并代入，得x=1.把 x=1,代入 y=2x,得 y=2;把 x= 1,代入 z=7x,得 z=7.x = 1, 是原方程組的解。Z = 7.分析2:由以往知識可知遇比例式時，可設(shè)一份為參數(shù)k,因此由方程x: y:z=1: 2： 7,可設(shè)為x=k,y=2k, z=7k.從而也達(dá)到了消元的目的，并把三元通 過設(shè)參數(shù)的形式轉(zhuǎn)化為一元，可謂一舉多得。解法2:由設(shè)x=k, y=2k, z=7k,并代入，得k=1。把k=1,代入x=k,得x=1;把 k= 1

6、,代入 y=2k,得 y=2;把 k=1,代入 z=7k,得 z=7ox = 1,.)，=2,是原方程組的解。z = 7.x + y + Z = 111 典型例題舉例：解方程組（），：x = 3:2y : Z = 5:4分析1:觀察此方程組的特點(diǎn)是方程、中未知項間存在著比例關(guān)系，由 例3的解題經(jīng)臉，易選擇將比例式化成關(guān)系式求解，即由得y：由得 34z二），.從而利用代入法求解。5，解法1:略。分析2:受例3解法2的啟發(fā)，想使用設(shè)參數(shù)的方法求解，但如何將、轉(zhuǎn) 化為x: y:z的形式呢？通過觀察發(fā)現(xiàn)、中都有y項，所以把它作為橋梁， 先確定未知項y比值的最小公倍數(shù)為15,由X5得y:x=15:10

7、,由X3得y: z=15:12,于是得到x:y: z=10: 15:12,轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程組形式，就能解決了。解法2:由、得x: y: z=10: 15: 12o設(shè) x=10k,y= 15k, z= 12k,并代入，得 k=3.把"3,代入 x=10k,得 x=30:把 k=3,代入 y= 15k，得 y=45;把 k=3,代入 z=12k,得 z=36ox = 30,），=45,是原方程組的解.Z = 36.根據(jù)方程組的特點(diǎn)，由學(xué)生歸納出此類方程組為: 類型四：遇比例式找關(guān)系式，遇比設(shè)元型.二、三元一次方程組之一般型3x-y + z = 4,例4:解方程如 < x + y

8、 + z = 6,2x + 3y-z = 12.分析：對于一般形式的三元一次方程組的求解，應(yīng)該認(rèn)清兩點(diǎn)：一是確立消 元目標(biāo)消哪個未知項；二是在消元的過程中三個方程式如何正確的使用，怎 么才能做到“目標(biāo)明確，消元不亂”，為此歸納出:（一）消元的選擇1o選擇同一個未知項系數(shù)相同或互為相反數(shù)的那個未知數(shù)消元:2.選擇同一個未知項系數(shù)最小公倍數(shù)最小的那個未知數(shù)消元。（二）方程式的選擇 采取用不同符號標(biāo)明所用方程，體現(xiàn)出兩次消元的過程選擇。3x-y + 4 = 4 v解：,x+y+&=62x + 3y - 4 = 12 v （明確消z,并在方程組中體現(xiàn)出來畫線）+得5x+2y=16,（體現(xiàn)第一次

9、使用在后做記號V）+ 得3x+4y=18,（體現(xiàn)第二次使用在后做不同記號）由、喳莖;:I解得廠=2，=3.把x=2 ,y=3代人，得z=1ox = 2,y = 3,是原方程組的解.z = 1.2x + 4y+ 3z = 9,典型例題舉例：解方程組卜x-2 + 5z = ll, 5x-6y + 7z = 13. 分析：通過比較發(fā)現(xiàn)未知項y的系數(shù)的最小公倍數(shù)最小，因此確定消y,以方 程作為橋梁使用，達(dá)到消元求解的目的。解：X2 得 6x-4y+10z=22, 2x +4y+ 3z=9, + 得8x +13z=31 .X3 得 9x-6y+15z=33 ,5x-6y+7z =13, 一得 4x +8

10、z =20 .x +2z=5 .由、得8x + 13z = 31, x + 2z =5.解得x = -l, z = 3.把x=-1 , z=3代人，得1J=2x = -l,.1), = 1,是原方程組的解.2z = 3.在此需要說明的是，每一個三元一次方程組的求解方法都不是唯一的，需要 進(jìn)一步的觀察，但是學(xué)生只要掌握了最基本的解方程組思想和策略，就可以以不 變應(yīng)萬變，就可以很容易的學(xué)會三元一次方程組的解法。課堂練習(xí)1.解下列方程組x-2 = 01 1) < x + y = 0 y-z = O2 .解下列方程組'z = x + y(1) x+y + z = 6 x-y = 3x+y

11、 = 6(2) ( >, + z = 8X+Z = 10x+y + Z = 17(2) < 2x-y-2z = 13x + y - 4z = 31 /13.有這樣一個數(shù)學(xué)題：在等式y(tǒng) = ar+" + c中，當(dāng)x=1時，y=1 ；當(dāng)y=3時,y=9,當(dāng) x=5 時,y=5.(1)請你列出關(guān)于a, b, c的方程組.這是一個三元三次方程組嗎？(2)你能求出a, b, c的值嗎？4x+y + z = 44 .解方程組< 2x-y + 2z = S x + 2y-z = -53x + 2y + 4z = 85 .解方程組 (2x + 3y + 4z = 85x+5y +

12、6z = 222x + y - z = 1a + b = 37.解方程組0+ c = 4,a + c = 5*6.解方程組 , x + 2y+ 3z = 14 3x+y + z = S三元一次方程及其解法同步題庫四三元一次方程組一、選擇迎（請將正確答案前的字母填在括號肉）1 .下列各方程組不是三元一次方程組的是（） = 5x十>=7xA-y 4-z = 6Z+=3(B)y+ z = 4 z + x = 27 + 3- z = 1(C)2x-? + z = 33z+y - 2z = 5-fjp - z = 7(Dw = l/-37 =41/1x + 2 y + 3z = 262方程組,2+

13、3j+z = 34的解是().3x+2j+z = 391-41-41 9 4 . = =X JJ JXJ2 =一 4c 1c 3x = 9-x = 9-cx = 9 44437 = 4-(C)<(D>1 = J 4J32 = 2 2 = 2 2 = 2 444*3x+7 + 2z = 104.已知下列兩個方程組什y+z= 6學(xué)2x +?-N = 9(A)1>3,c=2(B)戶12=-36=2(C)戶第=| ,c=24（D）以上結(jié)論均3.已知 4x-3y-3r=0,x-3y+z=0(x0ly0=：0),A w：z 為().(A)4:3:9(B)437 (C)l 2:7:9(D)

14、以上結(jié)論均不對22ax + 2by + -cz = 63以十九y+3 ；gz = 6有相同的解則必b、c的值分別為（）.4” 物+ 2四=9不對5 .已知jzr2+bi+e,當(dāng)xi時=幺當(dāng)x2時j=20,當(dāng)x=l時j則關(guān)于字母么汰e的方程中正確的 是（）-9 = -a-b + c(A)，- 20 = -4a + 26 + c-4=a+b+e9 = a-b+e(C)卜如= 4 + 2b+c-4=a+b+c-9 = -a+b + c(B)< 20 = -4a + 26 + c-4 = d+b +(?-9 = a-b + c(D)卜 20 = 4”-2b + c-4=+b+c，十 z-3x =

15、 2a6 .關(guān)于X、/、乙的方程緝z + x-3y = 2b的解為（）,= 2。j= ；2以+b+c) / =:【十2十c)(B"x =，2a-b + c) J = 1(«-26 + c) z = gg-&+ 2c)x = 一 ； (2a -b-c')J = 一；Q-2b-c) z = - (2a-b-2c)(DPr = ；3 +b+c)y = 十 26 + c) Az = -，(2a + b+2c)二、填空題1 .在方程 5x-2y+z=3 中，若 r1 j=2,則 z=.2 .已知單項式-8戶為女陽舊與I /產(chǎn)即%6是同類項，則片 片若3 .若已知 |工

16、一1|4<+ 1)2+(3z+2)2=01IJ 2i寸e.4 .已知廠區(qū)-射生口，那么與工學(xué)的值等于.豺 2y -7z=Dr+57 +7三、解下列方程組7 + 2z = 11.，2"3P -42 = -33x-2z= 5 y 2一=一2" 10 52彳+ ?=447十 j =83,v + 2=6，并求探尹亞-z1劇二10中的就值. z + x = 4同步題庫四一、l.D; 2,D;3C;4.C;5,D;6.D.二、1.4;2.2,3; 3.1 V ； 4.1(提示:由方程組得出A攵片處.代入式中曾：)7 = 72,b=102=5L7 = 33.卜二5,代入等式中求出m

17、=1.2= 1三元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用EG01:某車間有60人,生產(chǎn)甲乙丙三種零件，每人每小時能生產(chǎn)甲24個,z=+ 2c)或乙20個，或丙16個，現(xiàn)用零件甲9個，乙15個，丙12個，裝配成某機(jī)件, 如何安排勞動力，才能使每小時生產(chǎn)的零件恰好成套？共有多少套？解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種零件各有x人，y人，z人。根據(jù)題意得x+y+z=60三元一次方程及其解法初一的學(xué)生數(shù)比初二的學(xué)生數(shù)多5%。求三個年級各有多少人？ AW: 1 式子：3x+7y+z=31.5 4x+10y+z=42 x+y+z=10o 5答案：？ ? ?這題有問題，多解的（只要符合x+3y=10.5）就行，真不知樓上怎么 算出來的。

18、.2:去時上坡x平路y下坡zx+y+z=142 x/28+y/30+z/35=4. 5 z/28+y/30+x/35=4o 7 答案：x=42 y=30 z=70 3:初一：x 初二：y 初三：zx+y+z=651 y=1. 1 z x=1.05y 答案：x=231 y=220 z=200訓(xùn)練集中營1.現(xiàn)有1角，5南，1元硬幣各10枚.從中取出15枚，共值7元, 1角，5角，1元各取幾枚？2o甲地到乙地全稱是3. 3KM, 一段上坡，一段平路，一段下坡，如果保持上坡每 小時行3KM,平路每小時行4KM,下坡每小時行5KM,那么，從甲地到乙地需行 51分，從乙地到甲地需行53. 4分，求從甲地到

19、乙地時的上坡。平路。下坡的路程 各是多少？3.水費(fèi)價格：不超過6立方米部分，每立方米2元。超過6立方米至10立方米 部分，每立方米4元.超過10立方米部分，每立方米8元。某居民三月和四月共 用水15立方米，交水費(fèi)44元，（四月用水量多于三月用水量），求三月和四月用 水量？如果某居民某月用水量是13.5立方米，則他需要交水費(fèi)多少元？4o某足球聯(lián)賽一個賽季共進(jìn)行26場比賽（即每隊均賽26場），其中勝一場得三 分，平一場得一分，負(fù)一場得。分。某隊在這個賽季中平局的場數(shù)比負(fù)的場數(shù)多 7場，結(jié)果共得34分.這個隊在這個賽季中勝，平，負(fù)各多少場？5o學(xué)校的籃球數(shù)比排球數(shù)的2倍少3個，足球數(shù)與排球數(shù)的比是2:3,三種球共 41個，求三種球各有多少6o 一個水池裝有甲、乙進(jìn)水管和丙出水管，若打開甲管4小時，乙管2小時和丙 管2小時，則