三角函數(shù)典型例題分析

1、0。360。間的三角函數(shù)典型例題分析2弧度制典型例題分析3任意角的三角函數(shù)-典型例題分析一5任意角的三角函數(shù)典型例題精析二8同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式-典型例題分析誘導(dǎo)公式-典型例題分析用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值-典型例題分析 三角公式總表正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)典型例題分析3函數(shù)y=Asin(wx+j)的圖象典型例題分析正切函數(shù)、余切函數(shù)的圖象和性質(zhì)典型例題分析已知三角函數(shù)值求角典型例題分析全章小結(jié)高考真題選講于是可得；z =-r, y = 因此，sin1 = - = 7, 22r 2第yx=, tgC = = -1, ctgC = = -12xy0°360。間的三角函數(shù)典

2、型例題分析例1 已知角a的終邊經(jīng)過點P(3a, -4a) (a<0, 0° < Q W3600 ),求解Q的四個三角函數(shù).解 如圖 2-2： Vx=3at y=-4a, a<0r = /(3a)2 + (-4a)2 = -5a. y 4x 3sm. = = - , cos r5r5y4x3tg a, ctg a = 一 =k3y4例2 求315°的四個三角函數(shù).解 如圖2-3,在315°角的終邊上取一點P(x, y)設(shè)0P=r,作PV垂直于X軸，垂足是M,可見NP0M=45°注：對于確定的角a,三角函數(shù)值的大小與P點在角。的終邊上的位置

3、無關(guān)，如在 315°的角的終邊上取點Q(l, T),計算出的結(jié)果是一樣的.瓠度制典型例題分析例1將112。30,化為鉞度；(2)將肅弧度化為度.1乙肝解：T =防弧度LoUK5冗.1.112° 30/=再義112.5弧度=方弧度.1EU61 QQ弧度二()。 冗= -75°5%e占 54 180 。 二有弧度=-(而x)° 1212%角度與瓠度的換算要熟練掌握，見下表.角度0°15°30°45°60°75°90"120°135°150°弧度0加127167

4、147135雷12兀22方33n45 716角度180 B210°225 02400270 °3000315°330 B360 °弧度7冗5九4九3n5-n117t2 n643234T例2 將下列各角化成2k“ + a (k£Z, OWa V2ir)的形式，并確定其所在的象限。詈;U解(1):獸二2兀十二, 667r,學(xué)與子的終邊相同。 8 o7冗而二是第三象限的角，U當(dāng)是笫三象限的角. 0二耳兀=_6兀+與，§兀與終的終邊相同， 03bb它是第二象限的角.注意：用弧度制表示終邊相同角2kn + a (k£Z)時，是又的偶數(shù)

5、倍,而不是五的整數(shù) 倍.例3已知CL =,則點P(Sina, tg所在的象限是oA.第一象限 B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解 v<a=<x/6sin a >0, tg a <0因此點P(sina, tga)在第四象限,故選D.例4集合M=w二期+ ：, 乙IN = z|x=# + J, k.E Z),則有I乙A. M=NB. MdNC. McND. MnN = 0解 M集合是表示終邊在第一、二、三、四象限的角平分線上的角的集合.N集合是表示終邊在坐標(biāo)軸(四個位置)上和在第一、二、三、四象限的角平分線上的角 的集合./.McN5 故選 C.任意角的三角函數(shù)典型例題

6、分析一例1 已知角a的終邊上一點P(-15q , 8a ) (a GR,且a WO),求a的各三角函數(shù)值.分析根據(jù)三角函數(shù)定義來解解y = 8a, .1.r = 7(15a)2 -n(8a)2 = 17| Cl |, (O#0)Q15若a>0,貝= 于是sinQ 二cosCi =-7J tga=-81517 門 n會3 ctga = -5 seca , cscO =.1J6J J6o5若 a<0,貝 ijf = -17a,于是 sin a = -5 cosCl = , tgCL =-815 1717不j ctga = , seca = , CScCt.1JO1Jo例2當(dāng)a為第二象限

7、角時，回回-產(chǎn)的值是 since |cosa|A. 1B. 0C. 2D. -2解當(dāng)Q為笫二象限時，&nQ>O,j , lancul cosa3”。，故曷一國sina cos a=-sin a - cosa=2,從而選C.例3 若sin2a>0,且cosq<0,試確定a所在的象限.分析用不等式表示出a ,進而求解.解 Vsin2a >0,，2 a在第一或第二象限，即2k n <2 a V2k兀+兀，kez)/.k7T<a<kH +； kg Z)當(dāng)k為偶數(shù)時，設(shè)k=2m(meZ),有2m 冗<Q <2m 兀 +- (mE Z)有當(dāng)k為

8、奇數(shù)時，設(shè)k=2m+l(mWZ)有2mK +冗<Q<2m冗 +/(mC Z). a為第一或第三象限的角又由cos a V0可知a在第二或第四象限.綜上所述，a在第三象限.例4求下列函數(shù)的定義域y = tg + ctgx； (2)y =屈后+ tgw解(l)tgx的定義域為裂R且裂產(chǎn)k兀+各，Z, ctgK的定義域 乙義域為x x£R 且 xWkir, k£Z(x|x£ R且兀十5，IcE Z Cl (x|xE R且兀Z)1C7T.函數(shù)y=tgx+ctgx的定義域是=閏在區(qū)且學(xué)E'kE Z)fsinx>0fek<z< (2k +

9、1)冗由卜kh刑匕)得12k冗土今(灰7T'. 2k冗式去 Qk + 1)冗且x盧2k冗+-(k£ Z)乙.二定義域為21c冗 72k冗+$U(21c冗+£, (21c + l)H(lce Z).乙乙說明 本例進一步鞏固終邊落在坐標(biāo)軸上角的集合及各三角函數(shù)值在每一象限的符 號，三角函數(shù)的定義域.例5 計算(l)a2sin(-1350° )+b2tg4050 -(a-b)2ctg765° -2abcos(-1080° )12cos tg4兀-13 secy冗.分析 利用公式1,將任意角的三角函數(shù)化為02兀間(或0。360。間)的三角函 數(shù)

10、，進而求值.解(1)原式:alin(-4X360° +90° )+b2tg(360° +45° )-(a-b)2ctg(2X360° +45° )-2abeos (-3X360" )=aLsin90° +bLtg450 -(a-b)Jctg45° -2abcos0° =aL+b2-(a-b)2-2ab=07C12 7C7C(2)原式=兀 + y) + cos tgO° -sec(4K +馬 633. 冗 冗=sm - - sec任意角的三角函數(shù)典型例題精析二例1 下列說法中，正確的是A

11、.第一象限的角是銳角B.銳角是第一象限的角C.小于90。的角是銳角D. 0°到90。的角是第一象限的角【分析】本題涉及了幾個基本概念，即“第一象限的角”、“銳角”、“小于90。的 角”和“0。到90°的角”.在角的概念推廣以后，這些概念容易混清.因此，弄清楚這些 概念及它們之間的區(qū)別，是正確解答本題的關(guān)鍵.【解】第一象限的角可表示為。Ik-360° < 0 <90° +k - 360° , k£Z,銳角可表示為。0° V。<90° ),小于90°的角為 H 。<90° ,

12、 0°到90°的角為 ( 0 0° W8V90。).因此，銳角的集合是第一象限角的集合當(dāng)k=0時的子集，故(A), (0, (D)均不正確，應(yīng)選(B).例2 己知sinCl cosQ<0, sinCl - tanCL<0,那么不，2口, (90° a)分別是第幾象限角【分析】 由sin a cos a <0,所以a在二、四象限；由sin a tan a <0,所 以a在二、三象限.因此a為第二象限的角，然后由角a的集合正確地寫出告，2 Q和(90。-Q)的集合是解題的關(guān)鍵.【解】(1)由題設(shè)可知a是第二象限的角，即90°

13、 +k 3600 <a <180° +k 360° (kez),45。180" <4-<90°180° (氏 Z).當(dāng)k為偶數(shù)時，方是第一象限的角；當(dāng)k為奇數(shù)時，方是第三象限的角. 乙乙所以U是第一或第三象限的角. 乙(2)因為 180° +2k 360° <2 a <360° +2k 360° (k£Z),所以 2a 是第三、第 四象限角或終邊在y軸非正半軸上的角.(3)解法一：因為 90° +k 360° <a <180&#

14、176; +k 360° (k£Z),所以 一180° -k 360° <- a <-900 -k - 360° (kez).故 一90° -k 360° <90° - a <-k - 360° (kGZ).因此90° -a是第四象限的角.解法二：因為角a的終邊在第二象限，所以一。的終邊在第三象限.將一a的終邊按逆時針旋轉(zhuǎn)90° ,可知90° -a的終邊在第四象限內(nèi).【說明】在確定形如a +k-180。角的象限時，一般要分k為偶數(shù)或奇數(shù)討論； 確定象限

15、時，a+kn與a k n是等效的.例 3 已知集合 E= | cos 0 <sin。, 0W。W2 n , F= 。| tan 0 <sin。,那 么EAF是區(qū)間7T( 7T 3 冗3冗13K 5兀'【分析】解答本題必須熟練掌握各個象限三角函數(shù)的符號、各個象限的三角函數(shù)值由正、余弦函數(shù)的性質(zhì),隨角的變化而遞增或遞減的變化情況.可由三角函數(shù)的性質(zhì)判斷，也可由三角函數(shù)線判 斷.用代入特殊值排除錯誤答案的方法解答本題也比較容易.【解法一】7T5 冗JT在不<8 <丁的范圍內(nèi)，使t狗8<sm8成立的8為丁 <8<兀，所以EnF=e;<g<冗

16、選(a).【解法二】由單位圓中的正弦線和正切線容易看出，對于二、四象限的角，AT<MP,即 tana <sin 0 ,由正弦線和余弦線可看出，當(dāng)兀5兀( TTI7<8 < 丁時，MPOM,即汕8cosB,所以eC1F =(B彳<6<冗卜 應(yīng)選(A).冗 TT7 TT 7 TT法三1 由tan 丁sin 虧，可才滁(B).由 可排除(C), (D),得 A. 3366【說明】本題解法很多，用三角函數(shù)線還可以有以下解法：因為第一、三象限均有AT >MP,即tanO>sin。，所以(B), (C), (D)均不成立.用排除法也有些別的方法，可自己 練習(xí)

17、.例 4 (1)已知角 a 終邊上一點 P(3k, 4k) (k<0),求 sin Q , cos a , tan a 的值；(2)已知角a的線邊上一點P的坐標(biāo)為y) (y盧0)，且氯口a =子丫，求點P到原點的距離1和cos。，tan。，cot。的值.【分析】利用三角函數(shù)的定義進行三角式的求值、化簡和證明，是一種常用的基本方法,在第(2)小題中因己知-=-小，可判斷點P在二、三兩個象限，因此必須分兩種情況討論.【解】(1)因為x=3k, y=-4k,所以 r = J(3k)2 +(-4k)2 = -5k (k< 0).3k-5k5+卜. 羅一 4k 4x故 sin = = = ,

18、g$a =r - 5k5ry - 4k4tan Q = = = - z 3k3（2）由于 sin a =今y =y ,所以 r = 272 （序 0.由，=/+/,得y = ±i = ± 后因為x = 后，故a在第二或第三象限.若。在第二象限，則cos。. =y君花xa/Btan CL =-=束=-? cot CL =-= ；x- /33y5若Q在第三象限，貝Ucosd = tanQ =, cot例5 一個扇形的周長為1,求扇形的半徑、圓心角各取何值時，此扇形的面積最大.【分析】解答本題，需靈活運用弧度制下的求弧長和求面積公式.本題是求扇形面積的 最大值，因此應(yīng)想法寫出面積

19、S以半徑r為自變量的函數(shù)表達式，再用配方法求出半徑r和 已知周長1的關(guān)系.【解】設(shè)扇形面積為S,半徑為r,圓心角為a,則扇形弧長為12r.所以1；U-2r） 一（；）N4161 一 2 一故當(dāng)r = (,且。=1 = 2時，扇形面積最大.4【說明】在學(xué)習(xí)瓠度制以后，用弧度制表示的求弧長與扇形面積公式/=尸|和s = <七比角度制的求弧長、面積公式=暮及s = NLoll360更簡單，在實際中的應(yīng)用也較廣泛.尤其是在解決有關(guān)扇形、弓形的問題中，中心角用瓠度表示較方便.本例實際上推導(dǎo)出一個重要公式，即當(dāng)扇形周 長為定值時，怎樣選取中心角可使面積得到最大值.本題也可將面積表示為a的函數(shù)式， 用

20、判別式來解.例6根據(jù)下列條件求cos a , tan CL的值：(1)已知sinQ =且7Ts<Ct<JT ； （2）BsinC = -; （3）=m.乙J1【分析】第(1)小題因a在第二象限，因此只有一組解；第(2)小題給了正弦函數(shù)值， 但沒有確定角a的象限，因此有兩組解；第小題角a可能在四個象限或是軸線角，因 此需分兩種情況討論.?！窘狻緾O由于<a<冗，msQ<0, 乙5、i/= 12sin a 5所以 cosCl=-71-.n Q=-J tanCL = -=- 因為沏。=-5<0,所以Q是第三 四象限的角. io5當(dāng)。在第三象限時，85。= - si

21、n2 a = -q 9 tan Cl =;J乙195當(dāng)。在第四象限時，cos。= , tan a =-.因為sin a =m（|mi VI）,所以Q可能在四個象限或a的終邊在x軸上.當(dāng)Q的終邊在一、四象限或淄由的非負者由上時，cosQ = 71-m2,15.左邊=sin a + cos a + sin a + cos a + 2 sin. a cos a1 + sin a + cosa(sin a + cosce) + sin a + cosa1 + sin at + cosce(since + cosa)(l + sin a + cos a)1 + sin a + cosa=sm a + c

22、osQi當(dāng)Q的終邊在二、三象限或蚌由的非正半軸上時,cos =-，1- m），tan a =例7已知tan a 求sina的值；（2）已知 tana = m,求三角式2sin，Q的值.【分析】（1）已知tana的值求sina或cos a , 一般可將tanaV1 m2節(jié)n Cl寫成有，再和隱含到抬口為 + cW/即可，因需用防棺因此必須考慮角a的象限.（2）可將2s/ a +lcos2 Q化為分子、分母都是sina和cosa的同次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于tana的式子求值，轉(zhuǎn)化的方法是將分 子、分母同除以cos Q （或cos2 Q ,這里cosqWO）,即可根據(jù)已知條件求值.OS】 CD由cos a

23、sin2+ cos2 CL = 1,消去cos。，得sin2 a 十 =1,即m，n? Cl + sin"仕-m，= 0, sin2 = m1 + m兀兀因為一3+2Qr<Q<彳 + 2k兀(k£ Z)時，sin。與tand同號， 乙乙jr而當(dāng)7+ 2：乙n<a<m所以sin a二1 + m,3 JI；-+ 2k (k£ Z)時，si“a與tan。,異號.2 7TJT當(dāng)-一+2HTQ，+2k冗時(k£ Z) j221 + m,冗當(dāng)亍+2k兀<a< 乙37T+ 2k冗時(kZ).(2)2sin2CL 十;cos2 a 二

24、一乙2sn CL +-cos" Cl221212tan Ct + 2m + 22sin2 Q +cos2 Q - tan2 Cl +1 - m2 +1【說明】 由tana的值求sina和cos a的值，有一些書上利用公式存“=$數(shù)。=擊,但這兩個公式由三角函數(shù)的定義很容易推出，所以不用專門推導(dǎo)和記憶這些公式，這類問題由現(xiàn)有的關(guān)系式和方法均可 解決.例8證明tan Cl * sin Cltan CL + sin. Cltan Q - sin a tan a sin a工分析】本題的證明方法很多,可由關(guān)系式=嬴了將兩邊的“切”化“弦”來證明，也可用比較怯證明兩邊的差為0,或者由左=右，或

25、由右=左，因為等式兩邊均為角a的三角函數(shù)，因此也可用三角函數(shù)的定義來證明.KE法一】左邊=一smsin2 aQ - sin 口 cos Qsin a1- cos 0，,sinQ + sin ° cos a 1 + cosd石【力=sin2 Cl如 a(1 十cosQ)Q-cosa)_1 -3asinCL (1 - cos 0-) sin 0- (1 - cos 0-) sin2 asin 0，sin。11 - cos)1 - cos Q由左邊二右邊，所以原式成立.【證法二】因為tan a * sin Qtan - sin atan Cl + sin 0tan a sin atan2Q

26、 sin? Cl - (t/ Cl -sh? Q)(tan Q - sin Cl) tan CL sin Ct_tai?。®:? Q _l) + sm2 a 0(tan 一 sin a ” tan °， sin '_ -tan2 Cl cos2 0 +sin2 Q(tan Cl - sin Cl) * tan Cl e sin Q= 一 sit? Q +£川 Q(tan Q - sin CL) tan.。sin. a =0,所以tanCl sin Cl _ tan Cl + sin Cl tan Q - sin Q tan Q sin Q【證法三】（根據(jù)三

27、角函數(shù)定義）設(shè)P（X, y）是角a終邊上的任意一點，則sin a = 1； /, tan Cl =,心十一zZ1左邊二左邊，故等式成立.例9 化簡或求值:/、47兀.(_2 ) -cos + 3 tan33,1cos2100 cos(-420° ) tan 330° ( cot 3900 sin7500 cos900011兀1"一'_2 17 .2 cos -4（3）Jl-2sm（冗-Q）gs（兀+ Q） （為第三象限角）.【分析】解本題的關(guān)鍵是熟練地應(yīng)用正、余弦的誘導(dǎo)公式和記住特殊角的三角函數(shù)值.【解】（0原式=(一cos30° )cos60&

28、#176; (-tan30° )cot300 sin30° cosl800，八由t 4 K ( 兀)11.2 7T原式=QCOS虧4 3- - -an2 3316)2石；33441=-X - + 3X3 2512(3)原式=Jl十 2)na cos a="(sin + cos Q=|sin +cqsQ|=sin a cos a (因為a為第三象限角).例 10(1)若 f (cos x) =cos9x,求 f(sin x)的表達式;（2）講=pin冗n,|f Cx-i) +i &沌),j) +s(l+f 口的值.【分析】在(1)中理解函數(shù)符號的含義，并將f

29、(sin x)化成f (cos (90。-x)是充分利 用已知條件和誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵.在(2)中必須正確掌握分段函數(shù)求值的方法.【解】(l)f(sin x)=f(cos(900 -x)=cos9(900 -x)=cos(2X360° +90° -9x)=cos(900 -9x)=sin9x；g眇叱1g(IW3正 7575 V2=i.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式典型例題分析1.已知某角的一個三角函數(shù)值，求該角的其他三角函數(shù)值.例1己知理。=,求a角其他三角函數(shù)值.解 Vsina V0.角a在第三或第四象限(不可能在y軸的負半軸上)若a在第三象限，則cos。=11-13=-|, tg

30、 = ltl = 5)5cos CL413r ctga 'k"1515sec CL =- =, cscQ =.-=-cos 3sinQ 4(2)若a在第四象限，則 L ( 4V 3 sin a4cos ci = 1- - = -, tgQ =-= 5f 5cos Ct 313rl 5ctga = =sec a =-="tg。4cos。315esc a =sin Q 4說明在解決此類問題時，要注意：(1)盡可能地確定a所在的象限，以便確定三角函數(shù)值的符號.(2)盡可能地避免使用平方關(guān)系(在一般情況下只要使用一次).(3)必要時進行討論.例2 已知sina=m( m W

31、l),求tga的值.解當(dāng)m = 0時。=黑=。(2)當(dāng)m二±1時，a的終邊在y軸上，tga無意義.(3)當(dāng) a 在 I、N象限時，Vcosa >0.=J1 -從而 tgQ = /1 =-J1 - n? l-m當(dāng)a在第II、III象限時，：cos a VO, cosCl = -71-m2，從而tga = m m - 1說明 (1)在對角的范圍進行討論時，不可遺漏終邊在坐標(biāo)軸上的情況.(2)本題在進行討論時，為什么以cosa的符號作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，而不按sina的符號 (即m的符號)來分類討論呢你能找到這里的原因并概括出所用的技巧嗎2 .三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡的結(jié)果應(yīng)滿足下

32、述要求:(1)函數(shù)種類盡可能地少.次數(shù)盡可能地低.(3)項數(shù)盡可能地少.盡可能地不含分母.盡可能地將根號中的因式移到根號外面來.化簡的總思路是：盡可能地化為同類函數(shù)再化簡.例 3 化簡 sirT a tg Q +cos a ctg a +2sin a cos a解1原式a sin a cos2 a cos a4cos asin4 Cl + cossin a4 a + 2sii? a cos+ 2sin cosClsin Q * cos Q sin2 a + cos2 a7sin。 cos a=sec a esc a解 2 原式二(sir? a tg a +sin a cos a ) + (co

33、s2 a ctg a +sin a cos a )=tg a (sin Q+cos,a )+ctg Q (sinJ a +cos" a )=tg a +ctg asinJ Q 十 cos/ Qcos a sin Q=sec a esc a說明 (1)在解1中，將正切、余切化為正弦、余弦再化簡，仍然是循著減少函數(shù)種類 的思路進行的.(2)解2中的逆用公式將sina .cosa用tga表示，較為靈活，解1與解2相比，思路 更自然，因而更實用.7T例4 化簡：1-cos 01 +cos83兀k十k(7T<9 < 1 + cos 81 -cos82分析 將被開方式配成完全平方式，

34、脫去根號，進行化簡.解 原式=Jtg葭- 2t孥+ 1 =|tgx-l|JT7TJT: 當(dāng)04區(qū)< 飛-時，tgH<l;當(dāng)丁彳時，tg2>lII乙原式二(1 - cos 0 )2+ (1 + cos。)' (1 + cos 8 )(1 - cos e) |(1 十 cos 9 )(1 - sin )一 1 - cos 8 +1 + cos 8|s.n。|3兀=-2csc。(1,兀 <。二 sn9<0)3 .三角恒等式的證明證明三角恒等式的過程，實際上是化異為同的過程，即化去形式上的異，而呈現(xiàn)實質(zhì)上 的同，這個過程，往往是從化簡開始的一一這就是說，在證明三角

35、恒等式時，我們可以從最 復(fù)雜處開始.例 5 求證 cos Q (2sec a +tg a ) (sec a -2tg a )=2cos a -3tg a .分析從復(fù)雜的左邊開始證得右邊.日七f c, 2 sinC 1 2sinQ、 證明 左邊二 cos 口 (一 + )(一- )cos0- cos u C0$u cos a1=(2 + sinC )(1 - 2sma ) cos。、11=(2-2sin2a - 3sin a ) =y(2cos2a 一駟如。，) cosQC(?s=2cos a -3tg a =右邊例6 證明恒等式(1) l+3sinL a sec1 a +tg" a

36、=sec* a(2) (sinA+ secA) 3+ (cosA+cscA) 2= (1+secAcscA)2分析 (1)的左、右兩邊均較復(fù)雜，所以可以從左、右兩邊同時化簡為一式，也可采用“左邊-右邊=0"或罌 =1 ”（考慮為零的情況）.證明(1)右邊-左邊=sec" Q -tg* a -3sin2 a sec1 a -1= (sec a -tg,a ) (sec1 a +sec- a tgJ a +tg- a )-3sinJ a sec1 a -1= (sec, a -2sec2a tg2a +tg2a )-l=(secJ a -tg2 a 尸一1 二0，等式成立左邊

37、sin A + secA V ( cosA 十 esc A V右邊 1 十 secA esc A J 1 十 sec A esc A J_ ( sin2 A cos A + anAl2 十| anAcosA +1 Jsin Acos2 Acos Asin A cos A +1（兩弦化）=sin-A+cos'A=l故原式成立在解題時，要全面地理解“繁”與“簡”的關(guān)系.實際上，將不同的角化為同角，以減 少角的數(shù)目，將不同的函數(shù)名稱，化為同名函數(shù)，以減少函數(shù)的種類，都是化繁為簡，以上 兩點在三角變換中有著廣泛的應(yīng)用.1 4做1-tgx1 + 2 sin z cos z cos2 x - si

38、n2 x分析1 從右端向左端變形，將"切''化為"弦"，以減少函數(shù)的種類.證明右邊=smx1 +COSXsinz1 -cosx 十 sinz)2cos- sin x)(cosx + sinx)cos區(qū)十 sin xcosx - sin xcos2x + sin.2 區(qū)+ 2sinx cosx2：2cos x - sin z=左邊分析2 由l+2sinxcosx立即想到（sinx+cosx）進而可以約分，達到化簡的目的.sinx + cosx- sinx證明左邊=sin2 x + cos2 x + 2sin xcosxcos2 x - sin2 xt

39、gxcosx + cosxCOSX - tgx COSH(sinx + cosx)2(cosz + sinx)(cosx - sin z)1 + tgx1_ tgz=右邊說明 （1）當(dāng)題目中涉及多種名稱的函數(shù)時，常常將切、割化為弦（如解法1）,或?qū)⑾?化為切（如解法2）以減少函數(shù)的種類.要熟悉公式的各種變形，以便迅速地找到解題的突破口，請看下列.?.i- l + sec.+tgQ 1 + sinQ例“ 求證 1-sec CL -tgCL = CoS CL證明.左邊二仝產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)巴1 + sec Cl - tg Cl(secQ 4 tgeI )(sec Q - tg CL + 1J14sec Q -

40、 tg a1 + sinQ .vi等式成立-sec a +tg a =石邊COSU說明 以上證明中采用了 “1的代換”的技巧，即將1用sec?a-tg%代換，可是解題 者怎么會想到這種代換的呢很可能，解題者在采用這種代換時，已經(jīng)預(yù)見到代換后，分子可 以因式分解，可以約分，而所有這一切都是建立在熟悉公式的各種變形的基礎(chǔ)上的，當(dāng)然， 對不熟練的解題者而言，還有如下的“一般證法” 一一即證明“左邊-右邊=0"證明1 十 sin acos q左邊-右邊=1 十 sec a + tga 十 sec a - tgacos Cl 1 + sec Ct +tgCl) - (1 + siti Q )1

41、 + sec - tg )c 1 sin2 Qcos a -+cos a cos a(1 + sec a - tg a) cos acosCl - cos 口7r = 0，左邊二右邊(1 + secQ - tg。)誘導(dǎo)公式典型例題分析例1 求下列三角函數(shù)值：4717 兀(1)那(200° )? (2)tg9450 ? (3)cosK； (4)ctg(-) u5解 (l)sin(-1200° )=-sinl2000 =-sin(3X360° +120° ) =-sinl200 =-sin(180° -60° )=-sin 600 =2(

42、2)tg945° =tg(2X3600 +225° )=tg2250 =tg(108° +45° )=tg450 =14711 兀 11%K 兀(3)cos兀 =cos(6兀 H) = cos = cos(2兀 )=cos 66666=7| 21717兀兀 冗 3月(4)ctg(-幾)=-Ctg冗=-ctg(6冗-)=-Ctg(-) = Ctg =-兀5 JT7T例2 已知cos（丁”）=三，求cos（丁+Q）-smlCl -丁）的直 8sbo兀5兀5元分析7（天-Q） + （丁+Q） =兀，因此可以把丁+Q化成 6607T兀-（木-a）,進面利用誘導(dǎo)公

43、式求解.45兀解cos(+K) =0兀JT，,.原式w2 +百3cos冗 _ (- - Q ) = -cos(-y _ Cl )=-66例3化簡sin2a 十九)83(兀十 a ) ctg(- a + 2兀)tg(兀 一 Q)coJ(- Q - 兀)(- sin a )2 (- cos a ) (- ctgC )解 限丸=773-tg。, (- cos a)sin2 a * cos a * ctg Cltgd (-cos3 a)sin2 Q * ctg QtgCi cos2 atg2 ci ctg a=1培a例4 求證(l)sin(n Ji + a ) = (-l):lsina ； (n WZ

44、)(2)cos(n n + a ) = (-l)ncos a .證明 1°當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2kT(k£Z)則(l)sin(n 冗 +a )=sin(2k-l) n + a =sin(- n + a )=-sin a =(-l)"sin a (V (-l)n=-l)(2) cos (n n + a )=cos (2k-l) n + a =cos (- n + a )=-cos a =(-l) :，cos a20當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=2k(k£Z),則(1)sin(n n + a )=sin(2k n + a )=sina =(-l)"sina

45、(V (-l)n=l)(3) cos (n n + a )=cos (2k n + a )=cos a =(-l):，cos a由1° , 2° ,本題得證.例5 設(shè)A、B、C是一個三角形的三個內(nèi)角，則在sin (A+B)-sinCcos (A+B)+cosCtg(A+B)+tgCctg(A+B)-ctgCTT這四個式子中，值為常數(shù)的有(C盧=)乙A. 1個B. 2個 C. 3個D. 4個解 由已知，A+B+C= n , .A+B=n-C,故有siA+B)-sinC=sin( n -C)-sinC=sinC-sinC=0 為常數(shù).cos (A+B)+cosC=cos ( n

46、 -C) +cosC=-cosC+cosC=0 為常數(shù). tg(A+B) +tgC=tg( n -C) +tgC=-tgC+tgC=0 為常數(shù).ctg(A+B)-ctgC=ctg( n -C)-ctgC=-ctgC-ctgC=-2ctgC 不是常數(shù).從而選(C).用單位圓中的線段表示三角函數(shù)值典型例題分析(l)sin Cl =(2)tg。= -1解 如圖2-10過點(0, P',則sin<xOP = sin<xOP 1 = 滿足條件的所有角是如圖2-11,過點(1,疝a < (4)coSaU2-1O3作珞由的平行線與單位圓交于點p,1兀5兀-NnOP' = ,

47、 ZkOP7 =-/66p，Q|Q =2k冗或2k口+號二 代力式鼠、-1)和原點作直線交單位圓于點P和p',則因21L例1 利用三角函數(shù)線，求滿足下列條件的角或角的范圍.op和op，就是角。的終邊.二N：.滿足條件的所有角是如圖2.12,過點(0,則sin/xop = sin/zop， = 乙滿足條件的所有角是口也兀<op = = 7T - , Nxop f 444作W軸的平行線交單位圓于點p, P 工/11/, 7兀/1NOP = 尸冗，Z.KOp = , 667114-77r<a<2k7T +H, kf Z> 661yCi圖 2-13（4）如圖2-13,過

48、（與，0）作左軸的垂線與單位圓交于點汽P J則/ 布而/兀/，兀cosawop = cosazcp ' =, Nggp ' ="- .266Q|2k兀>ci<2k兀ke Z>，滿足條件的所有角是166三角公式總表l.L 5t長二同 R二180S 卡;LR=;R-冏二“乃內(nèi)3602 .正弦定理：，=/_ :二2R （R為三角形外接圓半徑） sin A sin B sin C2 =a 2 +b 2 -2ab cosC3 .余弦定理：a 2 =b 2 +c 2 -2bc cosA b 2 =a 2 +c 2 -2ac cosBcos A =b2 +c2 -

49、 a22-4 .Szi= a-/? = absiiiC- -bcsinA = acsiiiB = -=2R2 sin A sinB siiiC 22224Rc2 sin Asin B2sinCa2 sinBsinC b2 sin AsinC2sin A 2sinB=pr= 7 p(p - a)(p - b)(p - c)（其中 = '（a + + c） , r為三角形內(nèi)切圓半徑） 25.同角關(guān)系：商的關(guān)系：依8 二2二如0二sinHsec。cfgd =）= """ =cos6csc6 x cos0y sin 6 sin 0 = = cosO - tgOr

50、cos。= = sin 6 ctgOf Isec。= = csc0X COS0_ , esc 6 = = ctgO - sec 6y sin 8倒數(shù)關(guān)系：sin 夕 esc。= cos sec = tgO - ctgO = 1平方關(guān)系：sin0 + cos2 0 = sec2 0 _= esc2 0 ctg20 = 1（4） asnO + bcosO = y/a2 +b2 sin（8 +夕）（其中輔助角e與點（a,b）在同一象限，且b、依。=一） a6 .函數(shù)y=Asin（7yx + 0）+k的圖象及性質(zhì)：（勿0,A。）振幅A,周期T=1,頻率f=,，相位Gx + r，初相夕coT7 .五點作

51、圖法：令&1 + 0依次為吟,4,丁,2%求出x與y,依點（x,y）作圖228 .誘導(dǎo)公試sincostgCtg三角函數(shù)值等于a的同名三角函數(shù)值，前面 加上一個把a看作銳角時，原三角函數(shù)值的 符號；即：函數(shù)名不變，符號看象限三角函數(shù)值等于。的異名三角函數(shù)值，前面- a一 sina+ cosaga_ etget冗一 a+ sintz-cos。-吆a-dga-sina-cosa+吆。+ ,32-a- sin a+ cosa一吆a-dga2k + a+ sina+ COS6Z+吆。sincontgCtg_ 加上一個把a丟作史名時 廟二角函數(shù)值的7t- -a2+ COS4+ sina+ aga

52、+ 3符號；即：函數(shù)名改變，符號看象限9.和差角公式- sin(a± P) = siiiacos/7±coso<sin p -cos(a± P) = cosacos/? + sinasin p+ a 2+ cosa-sin a-etga3/r a2-cos a-sine?+aga+，ga3萬+ a2-cos a+ sina-etgaga包 fg(a ±/) = 丁出X + tgatgflfga i tgP = fg(ct ± /7)(1 + fga tg/3)儂a + /? + /)= %'"迎+ '0皿筮其中當(dāng)

53、A+B+O”時，有: '- igaig。- tgatgy-fg0igy.X . nAB A C B C ti). tgA + tgB + tgC = tgA B tgC ii). tg-tg- + tg-tg + tg-tg- = 10.二倍角公式：(含萬能公式) sin 26 = 2 sin cos1 +g6cos2。= cos2 0 - sin2 0 = 2cos2 6 1 = 1 2sin' 0 = "？ l + fg-8fN “ 2tg0 G 2q 晨夕 1 - COS 2，1+COS26tg20 = siir 0 = -= cos- 0 =一 61 一屋61 + 依汨 2-211.三倍角公式：sin30 = 3sin-4sin3 0 = 4sinsin(60° 一 g)sin(600 +，)cos38 = -3cos