電磁學(xué)部分習(xí)題解答

1、第三篇 電磁學(xué)第7章 靜電場圖7-68習(xí)題710圖解（b）（a）7-10在邊長為a的正六角形的六個頂點都放有電荷，如圖7-68（a）所示，則六角形中心O處的電場強度為多少？ 分析：在圖7-68（a）中標(biāo)注各頂點名稱后如圖7-68（b）所示，由對稱性可知，C點與F點的點電荷，B點與E點的點電荷在O點產(chǎn)生的電場相互抵消。因此O點的電場僅由A點和D點的點電荷產(chǎn)生。解： 根據(jù)點電荷在空間某點產(chǎn)生的電場公式可得：圖7-69習(xí)題711圖解（b）（a） 7-11一半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻地分布電荷Q，求環(huán)心處的電場強度，如圖769（a）所示。分析：在帶電半圓環(huán)上任取一線元，其電荷為：，此電荷元可視為點電荷，

2、它在O點產(chǎn)生的電場強度大小為：，方向沿徑向，如圖769（b）所示，。因圓環(huán)上電荷對軸呈對稱性分布，所以電場分布也是軸對稱的，即在軸上的電場強度，只有軸上有電場強度。解：“-”表示電場強度的方向沿軸負(fù)向。圖7-70 習(xí)題712圖解7-12設(shè)均勻電場的電場強度E與半徑為R的半球面的軸平行，試計算通過此半球面S1的電通量；若以半球面的邊線為邊線，另作一個任意形狀的曲面S2，則通過S2面的電通量又是多少？如圖770所示。分析：選半徑為R的大圓面與或和組成一個封閉曲面，由高斯定理可方便求得該閉合曲面的電通量為零，再由積分知識可知，通過曲面或的電通量大小即為通過大圓面的電通量大小。解：由高斯定理知：而，所

3、以：同理，由和以R為半徑的大圓面。組成一個封閉曲面，則可得：7-13如圖7-71（a）所示，電荷線密度為的無限長均勻帶電直線，其旁垂直放置電荷線密度為的有限長均勻帶電直線AB，兩者位于同一平面內(nèi)。則AB所受靜電作用力的大小為多少？ 分析一： 由題意可知，兩直線均勻帶電。由于庫侖定律只適用于點電荷系統(tǒng)。因此，需將兩帶電直線分成許多電荷元；建立如圖7-71 (b)所示的直角坐標(biāo)系，有，根據(jù)庫侖定律可得，施加給的作用力為：為兩電荷元之間的距離。將沿、軸投影，得：，；根據(jù)對稱性分析可知：為零。因此，F(xiàn)只沿軸正向。解一： 圖7-71 習(xí)題713圖解（a）（b）分析二： 由電場強度定義求解。如圖7-71

4、(b)所示，帶電直線AB處于無限長帶電直線產(chǎn)生的電場中，若把帶電直線AB視為許多電荷元的集合，則電場對每個電荷元的作用力為；各電荷元的dF的矢量和，即為帶電直線AB所受的電場力。解二：在距無限長帶電直線x處任取一電荷元，由無限長帶電直線的場強公式可知處的場強為：方向沿袖正向。于是有習(xí)題7-14圖解由于各電荷元所受力的方向均沿x軸正向，所以：若問題中的和異號，則F沿軸負(fù)向。根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系可知，無限長帶電直線所受的作用力，其大小與F相等，其方向與F相反。7-14 求無限長均勻帶電圓柱面內(nèi)、外場強E的空間分布。設(shè)圓柱面半徑為R。電荷面密度為。分析：由題可知，無限長均勻帶電圓柱體的電荷分布

5、具有柱對稱性，因而其產(chǎn)生的電電場強度也具有柱對稱分布，由高斯定理求解較為方便。解：如習(xí)題7-14圖解所示，過圓柱面內(nèi)、外任一點作高為的圓柱形高斯面，根據(jù)高斯定理，有：當(dāng)時，；當(dāng)時，；7-15求均勻帶電球體內(nèi)、外的場強分布，已知球體半徑為R，所帶總電荷為q。分析：由題可知，電荷分布是球?qū)ΨQ的，所以電場強度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此，在電場強度的空間中任意點的電場強度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場點的距離。即在同一球面上的各點的電場強度的大小是相等的。解：以球心到場點的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為：習(xí)題7-15圖解根據(jù)高斯定理，有： (1)當(dāng)場點在球體外，即時，由(1)式可得電場

6、強度為：當(dāng)場點在球體內(nèi)時 即時，由(1)式可得電場強度為：其曲線如習(xí)題7-15圖解所示。7-16求均勻帶電細(xì)棒中垂面上的電場和電勢。設(shè)棒長2，帶電量為。習(xí)題7-16圖解分析：由于電勢是標(biāo)量，可由電勢疊加原理先求出帶電直線在P點的電勢，再由場強與電勢的微分關(guān)系求P點的場強。解：建立如習(xí)題7-16圖解所示的直角坐標(biāo)系，并取帶電直線中心為坐標(biāo)原點O。則在帶電直線上任取一電荷元，在P點產(chǎn)生的電勢為：因此，整個帶電系統(tǒng)在P點產(chǎn)生的電勢為則該點的場強為：，其中：，所以，P點的場強為：7-17求均勻帶電球體的電勢。已知電荷q均勻地分布在半徑為R的球體上，求空間個各點的電勢。分析：由題可知，均勻帶電球體的電荷

7、分布具有球?qū)ΨQ性，其電場分布也具有球?qū)ΨQ性。因而可由高斯定理方便地求得其電場分布，再由電勢的定義求得其電勢分布。解：由高斯定理可求出電場強度的分布 方向沿徑向。由電勢的定義式，可得：當(dāng)時，有： 當(dāng)時，有：7-18 如圖7-72所示，是以為中心、為半徑的半圓，點有點電荷，點有點電荷。求（1）把單位正電荷從O點沿OCD移到D點，電場力對它做了多少功?（2）單位負(fù)電荷從D點沿AB延長線移到無窮遠(yuǎn)處，電場力對它做了多少功? 圖7-72 習(xí)題718圖解分析：由可知，要求在電場中移動電荷時電場力所做的功，應(yīng)先求出始末位置的電勢大小。解：由點電荷在空間某點產(chǎn)生的電勢公式可得：由可得：(1)(2)7-19 在

8、玻爾的氫原子模型中，電子沿半徑為的圓周繞原子核旋轉(zhuǎn)。求：(1)若把電子從原子中拉出來需要克服電場力作多少功?(2)電子的電離能為多少?分析：由可知，克服電場力所做的功等于電勢能的增量，電子的電離能等于外界把電子從原子中拉出來需要的最低能量，其能量應(yīng)等于動能和勢能之和。解：(1)電子在玻爾軌道上作圓周運動時，它的電勢能為：因此，若把電子從原子中拉出來需克服電場力作功為：(2)電子在玻爾軌道上作圓周運動所需向心力為靜電力，即：電子的動能為：總能量為：根據(jù)電離能的定義：電子的電離能等于外界把電子從原子中拉出來需要的最低能量，即：圖7-73 習(xí)題720圖解(a)7-20 如圖773（a）所示，半徑為的

9、導(dǎo)體球，帶有電量，球外是一個內(nèi)、外半徑分別為、的同心導(dǎo)體球殼，球殼上的帶電量為。試求：（1）求場強和電勢分布；（2）若用導(dǎo)線連接兩球后，電勢分布如何?（3）若外球接地，兩球電勢各為多少?（4）若內(nèi)球接地，內(nèi)外兩球的電勢差為多少? (1) 分析：根據(jù)靜電感應(yīng)和靜電平衡時導(dǎo)體表面電荷分布規(guī)律，導(dǎo)體球殼內(nèi)表面所帶的電荷，外表面所帶的電荷為，電荷在表面均勻分布，具有球?qū)ΨQ性，可由高斯定理求得電場強度分布，再由電勢的定義求得電勢分布。解法一：由于場的分布具有對稱性，由高斯定理可得各區(qū)域的場強分布為：， ， E的方向均沿徑向向外。導(dǎo)體為有限帶電體，選無限遠(yuǎn)處為電勢零點。由電勢定義可分別求得電勢分布為：當(dāng)時

10、當(dāng)時當(dāng))時當(dāng)時圖7-73 習(xí)題720圖解 (b)（2）分析：當(dāng)用導(dǎo)線把球和球殼連接在一起后，由靜平衡條件可知，電荷全部分布在球殼的外表面上，如圖7-73 (b)所示，此時，電場只分布在的空間中，即。同時球體與球殼成為一個等勢體，即，于是。解：根據(jù)電勢的定義，可得當(dāng)時當(dāng)時圖7-73 習(xí)題720圖解 (c)（3）分析：若外球接地，球殼外表面的電荷為零，等量異號電荷分布在球體表面和球殼內(nèi)表面，此時電場只分布在的空間內(nèi)，如圖7-73 (c) 所示。解：由于外球殼電勢，則內(nèi)球體內(nèi)任一場點 ()的電勢由定義可得：（4）分析：當(dāng)內(nèi)球接地時，內(nèi)球的電勢。但無限遠(yuǎn)處的電勢也為零，這就要求外球殼所帶電量在內(nèi)外表面

11、上重新分配，使球殼外的電場沿著徑向指向無限遠(yuǎn)處，球殼內(nèi)的電場沿著徑向指向球心處。因此，內(nèi)球必然帶負(fù)電荷。因為內(nèi)球接地，隨著它上面正電荷的減少，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷也相應(yīng)減少。當(dāng)內(nèi)球上的正電荷全部消失時，球殼內(nèi)表面上的負(fù)電荷也消失完。但就球殼來說，仍帶有電荷+Q，由于靜電感應(yīng)，在內(nèi)球和大地這一導(dǎo)體系統(tǒng)中便會感應(yīng)出等量的負(fù)電荷-Q，此負(fù)電荷(-Q)的一部分(設(shè)為，)均勻地分布在內(nèi)球表面上。球殼內(nèi)表面上將出現(xiàn)等量的正電荷()與之平衡。因此，在達(dá)到靜電平衡后，內(nèi)球帶電荷，球殼內(nèi)表面帶電量為，外表面上帶電量()，如圖7-73 (d)所示。解：圖7-73 習(xí)題720圖解 (d)方法一：根據(jù)高斯定理可知各區(qū)

12、域內(nèi)的場強分布為：球殼上任一場點()相對于無限遠(yuǎn)處和相對于接地內(nèi)球的電勢，應(yīng)用電勢定義式分別計算，可得：聯(lián)立上述兩式，可得：將的結(jié)果代入的表達(dá)式中，可得：相應(yīng)的球體與球殼間的電勢差為：方法二： 亦可根據(jù)帶電導(dǎo)體球的電勢公式及電勢疊加原理進(jìn)行求解。根據(jù)電勢疊加原理，電勢是由 (的球面)、(的球面)和(的球面)在內(nèi)球體中任一場點()共同產(chǎn)生的電勢的疊加。由于內(nèi)球接地，有：在外球殼體中任一場點(產(chǎn)生的電勢為：聯(lián)立上述兩式，也可解得相應(yīng)的球體與球殼間的電勢差為：圖7-74 習(xí)題721圖解（a）7-21 三塊平行金屬平板A、B、C，面積都是，A、B相距2mmA、C相距4mm，B、C接地，A板帶正電荷，忽

13、略邊緣效應(yīng)。如圖774(a)所示求：（1）B、C板上的電荷是多少?（2）A板的電勢是多少分析：由高斯定理可方便得出：處于靜電平衡的平行導(dǎo)體板，相對的兩個面應(yīng)帶等量異號電荷。此外，當(dāng)B、C兩板接地時，導(dǎo)體電勢的改變將會引起導(dǎo)體表面電荷的重新分布，但電荷的分布依然滿足相對面等量異號；相背面等量同號的規(guī)律，以使導(dǎo)體內(nèi)部，維持導(dǎo)體的靜電平衡，根據(jù)電荷分布可確定導(dǎo)體板間的電勢差。解：(1)設(shè)導(dǎo)體板上電荷面密度分布如圖7-74 (b)所示，忽略邊緣效應(yīng)，根據(jù)和A板上的電荷量恒不變。則有圖7-74 習(xí)題721圖解（b）由上述方程可得，則B、C板上的電量分別為：(2)由可得A板的電勢為：7-22計算兩條帶異號

14、電荷的平行導(dǎo)線單位長度的電容。設(shè)導(dǎo)線的線電荷密度分別為，導(dǎo)線的半徑為a，相隔的距離為d()，且兩導(dǎo)線為無限長，如圖775（a）所示。圖7-75 習(xí)題722圖解(b)圖7-75 習(xí)題722圖解（a）分析：由題可知，長直導(dǎo)線電荷分布具有柱對稱性，因而電場分布也具有柱對稱性，可由高斯定理進(jìn)行求得，據(jù)此可由場強的疊加原理求得導(dǎo)線間的電場分布，由電勢差的定義求得兩導(dǎo)線間的電勢差，由電容的定義式求得電容。解：如圖7-75 (b)所示，由疊加原理和高斯定理可求得兩導(dǎo)線之間垂直連線上任意一點P的場強。以導(dǎo)線A的軸線為軸以r為半徑，作過P點的圓柱形高斯畫，柱長為，則由對稱性分析可知：由于代人上式得：同理可得，導(dǎo)

15、線B在P點產(chǎn)生的場強為：由于和的方向均是由帶電荷線密度的導(dǎo)線指向帶電荷線密度的導(dǎo)線，故P點的總場強為：則兩導(dǎo)線之間的電勢差為：因此，單位長度導(dǎo)線上的電容為：由題意可知，則，所以：7-23半徑為R的導(dǎo)體球，帶有正電荷Q，球外有一同心均勻電介質(zhì)球殼，其半徑分別為a和b，相對電容率為，如圖776所示。試求：(1)介質(zhì)內(nèi)外的電位移D和場強E；圖7-76 習(xí)題723圖解（a）(2)介質(zhì)內(nèi)的極化強度P和介質(zhì)表面的極化面電荷密度；(3)離球心為r處的電勢V；(4)畫出D(r)、E(r)和V(r)的曲線。分析：自由電荷和極化電荷均勻分布在球面上，電場呈球?qū)ΨQ分布，取同心球面為高斯面，根據(jù)介質(zhì)的高斯定理可球得介

16、質(zhì)中的電場分布，由可求得介質(zhì)內(nèi)的極化強度，由，可求得介質(zhì)內(nèi)外表面上的極化電荷面密度，由于電荷分布在有限空間，通常取無窮遠(yuǎn)處為零電勢，由可求得電勢分布。解：(1)依題意，電場分布球面對稱，如圖7-76 (b)，過點1()，2()，3()，4()分別作球形高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理和有： (2)介質(zhì)內(nèi)的極化強度為：方向與矢徑一致。由可得介質(zhì)內(nèi)外表面上的極化電荷面密度分別為：圖7-76 習(xí)題723圖解(b)圖7-76 習(xí)題723圖解(c)方向如圖7-76 (c)所示。(3)根據(jù)或三個均勻帶電球面產(chǎn)生的電勢的疊加,可得圖7-76(d)中各點的電勢分別為： 圖7-76 習(xí)題723圖解(d)圖7-76

17、習(xí)題723圖解(e)(4) D(r)、E(r)和V(r)的曲線如圖7-76 (e)所示。7-24實驗表明：在靠近地面處的電場強度約，方向指向地球中心,在離地面高處，電場強度約為，方向也是指向地球中心.試求：(1)地球所帶的總電量；(2)離地面下的大氣層中電荷的平均密度。分析：將地球視為均勻的帶電球休，其電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因而電場分布也具有球?qū)ΨQ性，可由高斯定理求出地球所帶電量，然后再求電荷密度。解：(1)根據(jù)電場分布的對稱性，以地球中心為球心，以近似于地球半徑R為半徑作同心球面為高斯面則由高斯定理有：故：(2) 以為半徑作同心球面為高斯面，則由高斯定理有：得：則大氣的電荷平均體密度為：綜合

18、練習(xí)題一、填空題1、 如圖7-77所示，半徑為的半球面置于場強為的均勻電場中，其對稱軸與場強方向一致，如圖所示，則通過該半球面的電場強度通量為_。2、半徑為、帶電量為的均勻帶電圓環(huán)環(huán)心處的電場強度為 。3、在點電荷的電場中，若取圖7-78中點處為電勢零點，則點的電勢為 。4、兩個點電荷電量分別為，當(dāng)它們相距為時，兩電荷之間的相互作用力            若，欲使最大，則         

19、60; 。圖7-77圖7-78圖7-795、 半徑為的均勻帶電球面，帶電量為，若取無限遠(yuǎn)處為電勢零點。則球心處的電勢        ，球面外離球心處的電勢        。6、半徑為的金屬球外有一層相對電容率為的介質(zhì)球殼，其外半徑為，若金屬帶電為，如圖7-79所示。 則介質(zhì)外離球心處的電場強度         ，介質(zhì)內(nèi)離球心處的電場強度= 

20、0;        金屬球心處的電勢 =          。7、極板面積為，間距為的平行板電容器，接入電源，保持電壓恒定，此時若把間距拉開為，則電容器中的靜電能改變了 。圖7-808、如圖7-80所示，把一塊原來不帶電的金屬板B，移近一塊已帶有正電荷Q的金屬板A，平行放置。設(shè)兩板面積都是S，板間距離是，忽略邊緣效應(yīng)。當(dāng)B板不接地時，兩板間電勢差U=，B板接地時，兩板間電勢差U=。二、選擇題1、高斯定理中： （ ）A、 其值與曲面外的電

21、荷有關(guān)； B、 場強與曲面外的電荷無關(guān)；C、 場強與曲面外的電荷有關(guān)；D、 以上說法都不對。2、以下說法正確的是：（ ）A、電勢均勻的空間電場強度一定為零； B、電場確定不變的空間電勢一定為零；C、電勢較高處，電場確定一定較大； D、電勢較低處電場強度一定較大。3、平行板電容器充電后仍與電源連接，若將極板間距拉大，則極板上的電量，電場強度和電場能量將作（）變化。A、增大，增大，增大B、減小，減小，減小C、增大，減小，增大圖7-82圖7-81D、減小，增大，增大4、如圖7-81所示，若將負(fù)點電荷從電場E中的點移至點，下列正確者是：（  ）A、電場力做負(fù)功  B、電場強度 C、電勢能減少 D、電勢 5、靜電場的環(huán)路定理表明靜電場是：( ) A、保守力場；